Historien om matematisk notation

Historien om matematisk notation er historien om udviklingen af symboler , der bruges til kompakt at skrive matematiske ligninger og formler . Ud over de hindu-arabiske tal og bogstaver i forskellige alfabeter ( latin , herunder gotisk , græsk og hebraisk ), bruger det matematiske sprog mange specielle symboler, der er opfundet i løbet af de sidste par århundreder.

Gennemtænkte betegnelser, der afspejler de undersøgte objekters egenskaber, hjælper med at undgå fejl eller fejlfortolkninger, overføre en del af undersøgelsen til et teknisk niveau og ofte "antyde" den rigtige måde at løse problemet på. Ifølge Alfred Whitehead frigør god notation hjernen fra unødvendigt arbejde, og giver den derved mulighed for at fokusere på vigtigere opgaver [1] .

Til at begynde med (for eksempel i Euklids Principia ) blev matematiske udsagn formuleret verbalt. Sådan en optegnelse var besværlig, ofte tvetydig, og algebraiske transformationer krævede ekstraordinære kvalifikationer. Et stort bidrag til udviklingen af notation blev ydet af François Viet (XVI århundrede); især begyndte han at bruge bogstavbetegnelser i stedet for bestemte tal. Efterhånden blev næsten alle ord i matematiske formler (betegnelser for operationer , sammenligningsrelationer osv.) erstattet af specielle symboler - matematik fik sit eget sprog, der ikke krævede oversættelse, et sprog med en klart defineret betydning af "ord" og streng grammatik , som gør det muligt at udlede sande andre udsagn er sande.

Symbolers rolle i matematik

Fordelene ved symbolske betegnelser er kompakthed, entydig fortolkning, lethed ved transformation. Leibniz skrev i et brev til Tschirnhaus (1678) [2] :

Man skal passe på, at notationen er praktisk til opdagelser. Dette opnås i størst udstrækning, når tegnene kort udtrykker og så at sige afspejler en tings dybeste natur; samtidig reduceres tænkearbejdet overraskende.

Den tyske historiker Josef Peter Treutlein ( 1845-1912 ) bemærkede om symbolikken, at intetsteds er det intellektuelle indhold relateret til formen for dets repræsentation så tæt som i matematikken, så for at udvikle og uddybe indholdet er det ofte nødvendigt at forbedre formularen [3] .

En anden matematikhistoriker, Moritz Cantor , specificerer kravene til matematisk notation [4] :

Det skal klart og utvetydigt afspejle det koncept eller den operation, som det er beregnet til.
Det skal være kort og praktisk (let at skrive og printe).
Det bør være fleksibelt nok til, at det om nødvendigt kan udvides til at omfatte større områder.

Disse udsagn forklarer den retning, som systemet med matematisk notation historisk har udviklet sig i.

Gamle talsystemer og oprindelsen af matematisk symbolik

I enhver civilisation er den ældste matematiske notation nummerering (registrering af tal) . Ifølge metoden til at danne tal ud fra grundlæggende tegn (tal), er gamle nummersystemer opdelt i tre typer [5]

Additiv (af lat. additio - addition ). Eksempel: Romertal XXX, som består af tre romerske tegn "ti" og repræsenterer værdien 30.
Subtraktiv (fra lat. subtraktion - subtraktion ). Eksempel: det romerske tal IX, hvor enhedssymbolet står til venstre for tieren og derfor trækkes fra det.
Multiplikativ (af lat. multiplicatio - multiplikation ). Et eksempel er det kinesiske talnotationssystem (se nedenfor ).

Senere dukkede et positionstalsystem op , hvor den numeriske værdi af et ciffer ikke kun afhænger af selve cifferet, men også af dets placering i nummerindtastningen. Operationstegn , relationer og andre symbolske betegnelser dukkede også op senere, oprindeligt blev algoritmer og formler angivet verbalt.

Det gamle Egypten

Den gamle egyptiske nummerering lignede først den senere romerske : den havde separate tegn for 1, 10, 100, ... 10.000.000, kombineret additivt (tilsammen). Ægypterne skrev fra højre mod venstre, men de mindst betydende cifre i tallet blev skrevet først, så rækkefølgen af tallene til sidst svarede til den moderne. Hieratisk skrift har allerede separate betegnelser for hvert ciffer fra 1 til 9 og forkortelser for forskellige tiere, hundreder og tusinder [6] .

Særlige tegn betegnede brøkdele af formen såvel som praktisk vigtige brøker . De havde ikke et generelt koncept for en brøk , og alle ikke-kanoniske brøker blev repræsenteret som summen af aliquot-brøker . Typiske udvidelser blev opsummeret i besværlige tabeller [6] . ${\frac {1}{n}}$ ${\frac {2}{3))$ ${\frac {m}{n}}$

Eksempler på billeder af almindelige brøker

1/2

1/3

2/3

1/4

1/5

Et eksempel på at skrive brøker fra Rhinda Papyrus [7] :

5 + 1 ⁄ 2 + 1 ⁄ 7 + 1 ⁄ 14 (værdi: 5 5 ⁄ 7 )

For at betegne operationerne med addition og subtraktion blev en af hieroglyferne brugt:

eller

Hvis retningen af "benene" af denne karakter faldt sammen med skriveretningen, betød det "addition", i andre tilfælde betød det "subtraktion". Der var ingen særlige notationer for multiplikation og division [8] .

Babylon

Sumererne og babylonerne brugte det sexagesimale positionstalsystem . De skrev, ligesom europæere, fra venstre mod højre. Imidlertid var optagelsen af de nødvendige 60 cifre i kileskrift ejendommelig. Der var kun to tegn for tallene, lad os betegne dem som E (enheder) og D (tiere); senere var der et ikon for nul. Tallene fra 1 til 9 blev afbildet som E, EE, ... EEEEEEEEE. Dernæst kom D, DE, ... DDDDEEEEEEEE (59). Således var tallet repræsenteret i positionelt sexagesimalt system, og dets sexagesimale cifre - i additiv decimal. Brøker blev skrevet på samme måde. For de populære brøker 1/2, 1/3 og 2/3 var der særlige tegn [9] .

Når man beskriver algoritmerne til løsning af ligninger, var tegnene for de ukendte sumeriske, hvorfra vi kan konkludere, at disse algoritmer er gamle; disse tegn blev brugt som stenografi for ukendte i moderne algebra [10] .

Kina

Kinesiske tal blev udpeget af specielle hieroglyffer, som dukkede op i det 2. årtusinde f.Kr. e., og deres mærke blev endelig etableret i det III århundrede f.Kr. e. Disse hieroglyffer er stadig i brug i dag. Den kinesiske måde at skrive tal på var oprindeligt multiplikativ . For eksempel blev tallet 1946 skrevet som一千九百四十六 - "et-tusind-ni-et-hundrede-fire-ti-seks". Men i praksis blev beregninger udført på suanpan-tællebrættet , hvor notationen af tal var anderledes - positionel, som i Indien, og i modsætning til babylonierne, decimal. Nul blev først angivet af et tomt rum, en speciel hieroglyf dukkede op omkring det 12. århundrede e.Kr. e. Til multiplikation og division på tællebrættet er der udviklet effektive algoritmer, som er verbalt beskrevet i manualer [11] .

I det 3. århundrede e.Kr. e. under indflydelse af det traditionelle decimalsystem i Kina dukkede decimalbrøker op . I skriftlige kilder blev decimalbrøker afbildet i det traditionelle (ikke-positionelle) format i nogen tid, men efterhånden erstattede positionssystemet det traditionelle [12] .

Det antikke Grækenland

Græsk nummerering , ligesom egyptisk og romersk, var additiv, det vil sige, at de numeriske værdier af tegnene blev lagt sammen. Dens første version ( Attisk eller Herodian ) indeholdt alfabetiske tegn for 1, 5, 10, 50, 100 og 1000. I overensstemmelse hermed blev der arrangeret et tællebræt ( kuleramme ) med småsten. En speciel hullet sten betegnet nul. Senere (startende fra det 5. århundrede f.Kr.), i stedet for attisk nummerering, blev alfabetisk nummerering vedtaget - ud af 24 bogstaver i det græske alfabet betegnede de første 9 tallene fra 1 til 9, de næste 9 bogstaver var tiere, resten var hundredvis. For ikke at forveksle tal og bogstaver blev der tegnet en tankestreg over tallene. Tal større end 1000 blev skrevet positionelt, hvilket markerer yderligere cifre med et særligt streg (nederst til venstre). Særlige mærker gjorde det muligt at afbilde tal større end 10.000 [13] . Oldtidens græske videnskabsmænd var de første til at nedskrive brøker lodret - dog var deres tæller ikke højere, men lavere end nævneren, og der var ingen linje i brøken [14] .

I starten havde grækerne ikke algebraisk symbolik. Den eneste undtagelse kan betragtes som korte bogstaver af geometriske punkter såvel som linjestykker eller cirkulære buer ved deres endepunkter.

Højdepunktet af oldtidens algebra var værket af Diophantus af Alexandria (3. århundrede e.Kr.). Langt forud for sin tid indførte han bogstavsymbolik - indtil videre kun for en ukendt mængde, som han betegner med et bogstav ( zeta ). Diophantus brugte også specielle symboler for det ukendtes kræfter, op til den sjette, og deres gensidige. Et særligt symbol (omvendt bogstav ) betød subtraktionen af det tal, der fulgte efter det. Bogstavet ( iota , fra græsk ἴσος 'lige') spillede rollen som et lighedstegn. Alle disse nyskabelser gjorde det muligt at skrive i generel form, for eksempel reglerne for multiplikation af potenser (inklusive negative), reglen om fortegn ved multiplikation med et negativt tal og metoder til løsning af ubestemte ligninger i heltal [15] [ 16] . $\zeta$ $\psi$ $\iota$

Indien

Allerede i de gamle indiske tekster på sanskrit blev der givet midler til at navngive tal i decimaltalsystemet [17] , op til . $10^{53}$

Indisk nummerering er gået over i historien af to grunde. Omkring det 6. århundrede f.Kr e. i Indien dukkede separate tegn for tal fra 1 til 9 op, som blev prototypen på moderne europæiske tal; deres forfatter er ukendt, men de første tre betegnelser falder sammen med kinesiske. Omtrent 500 e.Kr. e. Indiske videnskabsmænd opfandt decimalpositionssystemet til at skrive tal. I det nye system viste det sig at være umådeligt lettere at udføre regneoperationer end i de gamle, med klodsede bogstavkoder eller seksagesimale tal. Med henblik på det nye system var det nødvendigt at indføre et nyt tal, nul . Forskere er uenige om, hvorvidt denne idé kom til Indien fra grækerne, fra Kina, eller om indianerne opfandt dette vigtige symbol på egen hånd [18] .

Indiske matematikere fortsatte udviklingen af matematisk symbolik, selvom de gik deres egne veje. Efter at have reduceret de tilsvarende sanskrit-udtryk til én stavelse, brugte de dem som symboler på ukendte, deres beføjelser og frie ligningsudtryk. For eksempel blev multiplikation betegnet med tegnet gu (fra ordet gunita , ganget). Subtraktion blev angivet med en prik over subtrahenden eller et plustegn til højre for det. Hvis der var flere ubekendte, blev de tildelt betingede farver for bestemthed. Kvadratroden blev betegnet med stavelsen " mu ", kort for mula (rod). Til navngivning af grader blev der brugt forkortelser af udtrykkene " varga " (firkantet) og " ghava " (terning) [19] :

Grad	$x^{2}$	$x^{3}$	$x^{4}$	$x^{5}$	$x^{6}$	$x^{7}$	$x^{8}$	$x^{9}$
Navn	wa	gha	wah wah	va gha ghata	hvad gha	wa va gha ghata	wah wah wah	gha gha

Optagelsen af brøker, i modsætning til grækerne, blev udarbejdet efter moderne regler: tælleren over nævneren, selvom det var sædvanligt at skrive hele delen af den blandede brøk ikke til venstre, men over tælleren. Addition og multiplikation af brøker blev betegnet på samme måde - begge brøker blev simpelthen skrevet side om side; operationstypen skulle genkendes ud fra tekstforklaringer. Der var intet lighedstegn , højre side af ligningen blev skrevet under venstre side, og trimmede monomierne med de samme magter af det ukendte [20] .

Rusland

Det kyrilliske talsystem ("slavisk nummerering") i Rusland dukkede op sammen med det kyrilliske alfabet (IX århundrede) og overtog den græske skik at angive tal ved hjælp af bogstaver markeret med et særligt ikon . Der blev brugt bogstaver svarende til græsk, men specifikt slaviske ( b , zh , w , etc.) modtog ikke numeriske værdier. En undtagelse blev gjort for bogstaverne h og ts , som overtog de numeriske værdier af de arkaiske græske bogstaver "koppa" og " sampi ". Tal blev skrevet som i det romersk-græske system - additivt: for eksempel betød mg 40 + 3. For store tal (startende fra 1000) blev der brugt specielle mærker [21] . Det kyrilliske talsystem blev brugt blandt østslaverne indtil 1700-tallet, hvorefter det overalt, med undtagelse af kirkelitteraturen, blev erstattet af det moderne.

Andre folkeslag

Artikler er afsat til andre folkeslags nummersystemer:

Historisk udvikling af symbolisme

Middelalder

Matematikere fra de arabiske lande i perioden fra omkring det 7. til det 13. århundrede bidrog til udviklingen af gammel og indisk viden. Blandt andet overtog de den indiske decimalpositionsnummerering og mestrede (tilsyneladende uafhængigt af kineserne) decimalbrøker . Al-Uklidisi var den første til at beskrive reglerne for at arbejde med decimalbrøker i det 10. århundrede , hele delen af brøken blev adskilt fra brøken med en apostrof . En detaljeret beskrivelse af decimalregning blev udgivet af al-Kashi i det 15. århundrede, men selv dengang blev decimalbrøker ikke udbredt i den islamiske verden. For at adskille brøkdelen af tallet brugte al-Kashi en lodret linje eller blæk af en anden farve. Selvom udtrykket " algebra " er af arabisk oprindelse, var der ingen symbolsk algebra i islamiske lande, alle formler blev angivet verbalt; undtagelsen var værker af den spansk-mauriske matematiker al-Kalasadi (1486) og hans elever. Al-Kalasadi opfandt tegn for det ukendte, dets kvadrat, kvadratrod og lighedstegn, men de modtog ikke distribution [22] .

Fra det 12. århundrede begyndte antikke og arabiske værker at trænge ind i Europa og blive oversat til latin . Samtidig breder indiske tal og regler for håndtering af dem sig hurtigt, især i handelsmiljøet. I de første skrifter af europæiske matematikere er alle formler stadig angivet verbalt. Den første (ikke særlig bekvemme) skitse af algebraisk symbolik blev givet af Luca Pacioli , den største algebraist i det 15. århundrede. Han indførte i almindelig brug notationen for operationen af addition og subtraktion (fra italiensk piu, meno ), ganske lig senere plus og minus . Til kvadratroden brugte Pacioli de stiliserede bogstaver foreslået af Fibonacci , fra ordet Radix (rod), med en note for rødder af en grad højere end den anden. Pacioli [23] indgangseksempel : ${\tilde {p}}$ ${\tilde {m}}$ $R_{x}$

R_{x}.6.{\tilde {m}}.R_{x}.2.

nutidig notation:

{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}.

Pacioli foreslog korte stavelser for det ukendte og dets grader, der minder om det indiske system, men i 1484 offentliggjorde Nicolas Chuquet et mere bekvemt udkast; for eksempel blev Schukes moderne monomial skrevet ganske enkelt, da Schukes andre lovende ideer inkluderer brugen af et minus som tegn på negative tal og understregning af komplekse udtryk i stedet for moderne parenteser [24] [25] . $12x^{3}$ $12^{3}.$ ${\tilde {m}}$

Et andet vigtigt skridt blev taget af den tyske algebraiske skole i det 15. århundrede, som kaldte sig kossister (Pacioli kaldte den ukendte mængde cosa , en ting). I Johann Widmanns lærebog i aritmetik (1489) blev Paciolis additions- og subtraktionssymboler erstattet af det moderne plus og minus. Kossister betegnede graderne af det ukendte ved en kombination af gotiske bogstaver , disse "kosmiske tegn" vandt en vis popularitet (deres indflydelse er mærkbar selv i Magnitskys "Arithmetic" , 1703) [26] .

XVI århundrede. Simon Stevin og François Viet

Et århundrede efter al-Kashi udkom Simon Stevins Den tiende (1585), hvormed den udbredte brug af decimalbrøker i Europa begyndte. For klarhedens skyld angav Stevin deres tal i cirkler over decimalerne (se figur). På samme måde skrev han algebraiske udtryk ned ; figuren i cirklen betegnede variablens nummer, før det, om nødvendigt, graden af denne variabel blev angivet: sek (kvadrat) eller ter (terning). Stevin brugte henholdsvis bogstaverne M og D som symboler for multiplikation og division. Stevin brugte frit brøkeksponenter, også omringet af ham [27] .

Andre etablerede notationer, der dukkede op i det 16. århundrede, omfatter lighedstegnet (1557, Robert Record ) og decimaltegnet ( Giovanni Magini , 1592). Den tyske matematiker Christoph Rudolf fra den kossistiske skole erstattede Paciolis notation for kvadratroden med det moderne radikale tegn (1525) [28] . En usædvanlig skæbne overgik de komplekse tal, der blev opdaget i det 16. århundrede - først indført som betingede, meningsløse symboler, de fik en klar betydning to århundreder senere og viste sig at være af stor praktisk brug som et juridisk matematisk objekt .

I slutningen af det 16. århundrede udkom den franske matematiker François Vietas værker , som revolutionerede algebraen. Viet satte sig som mål at udvikle et nyt sprog, en slags generaliseret aritmetik, som ville gøre det muligt at udføre matematisk forskning med hidtil uopnåelig dybde, generalitet og beviskraft. I sin forskning løser Viet straks problemer i generel form og giver først derefter numeriske eksempler. Han betegnede med bogstaver ikke kun ukendte, som allerede var blevet stødt på før, men også alle andre parametre , for hvilke han opfandt udtrykket " koefficienter " (bogstaveligt: bidragende ). Før Vieta blev betegnelsen af operander af algebraiske love og indledende data for ligninger med bogstavsymboler lejlighedsvis stødt på af Regiomontanus , Christoph Rudolf , Adam Rize , Gerolamo Cardano og Michael Stiefel , men kun Vieta var i stand til korrekt at vurdere mulighederne for en sådan tilgang og satte den til grund for hans algebra [29] [30] .

Vieta brugte kun store bogstaver til at navngive variabler (som i gammel geometri) - vokaler for ukendte, konsonanter for koefficienter. Af tegnene på operationer brugte han tre: plus , minus og en søjle på en brøkdel til division ; multiplikation blev betegnet med den latinske præposition i . I stedet for parenteser understregede han, efter Shuka, det fremhævede udtryk øverst (i flere tilfælde brugte Viet krøllede parenteser ). Vietas eksponenter er stadig optaget verbalt. For eksempel, i afhandlingen " Om analyse og forbedring af ligninger " er følgende ligning skrevet [29] :

A\ cubus+B\ plano\ 3\ in\ A\ aequari\ Z\ solido\ 2

I moderne notation:

x^{3}+3b^{2}x=2z^{3}

Det nye system gjorde det på trods af dets besværlighed og begrænsninger muligt at enkelt og klart beskrive de generelle love for aritmetik og beregningsalgoritmer; med dets hjælp gjorde Viet mange matematiske opdagelser. Symbolikken i Vieta blev straks værdsat af videnskabsmænd fra forskellige lande, som begyndte at forbedre den; det drejede sig primært om tegn på operationer , herunder at hæve til en magt og udvinde en rod .

1600-tallet

Algebraisk symbolik

I det 17. århundrede, efterfølgeren til skabelsen af symbolsk algebra efter Vieta, var den engelske matematiker Thomas Harriot , hans hovedværk blev udgivet posthumt i 1631. Harriot forenklede Vietas symbolik og forkortede notationen af formler - i stedet for store bogstaver brugte han små bogstaver, støttede Records lighedstegn , erstattede grader med multiplikation: i stedet for moderne . Harriots introduktion af sammenligningstegn (tidligere skrevet med ord: mindre, mere ) var en stor bedrift. En variant af ikke-strenge sammenligningssymboler blev foreslået af Wallis i 1670 [31] , men det var Pierre Bouguer (1734) [32] der gjorde den meget brugt . Harriot adskilte koefficienterne fra bogstaverne med en prik, så denne prik faktisk spillede rollen som et multiplikationstegn, for eksempel: (moderne notation: Det skal bemærkes, at han var den første, der systematisk overførte alle udtryk til venstre side af ligningen [33] . $aaa$ $a^{3}$ $<\ \>$ $\leqslant \ \ \geqslant$ $aaa-3.baa+3.bba$ $a^{3}-3ba^{2}+3b^{2}a).$

Albert Girard (1626) og William Oughtred (1631) introducerede deres forbedringer . Girard tilføjede parenteser og et plus-minus-tegn . Kvadratroden havde allerede på dette tidspunkt konturer svarende til moderne; Girard foreslog at skrive eksponenten for de kubiske og andre rødder af høje grader over tegnet af den radikale, og denne konstruktion forblev i matematikken [28] [34] [35] .

Othreds fortjeneste er introduktionen af følgende symboler [36] [37] : multiplikationstegnet (skråstreg ), divisionstegnet (skråstreg ) og paralleltegnet . Historikere anslår, at Otred brugte omkring 150 forskellige matematiske notationer, hans egne og andres. De fleste af dem klarede dog ikke tidens tand - for eksempel blev konstruktionerne for henholdsvis , eller for terningroden erstattet af mere vellykkede symboler [38] . $\ gange$ $/$ $\|$ $Aq,Aqq$ $A^{2},A^{3}$ ${\sqrt {}}c$

I det 17. århundrede kom mange førende matematikere til den konklusion, at eksponenten skulle udtrykkes som et eksplicit tal, og ikke kodet med en grundbetegnelse (som med kossister) eller verbale forkortelser som Q (kvadrat) eller C (terning), fordi ellers ville det være umuligt at nedskrive sådanne regler, handlinger med grader, som , og algebraiske transformationer kræver overdreven mental indsats. Girard, Erigon og andre matematikere [39] foreslog designmuligheder for registrering af indikatoren . ${\displaystyle a^{m}a^{n}=a^{m+n))$

Det algebraiske sprog fik et praktisk talt moderne udseende i midten af 1600-tallet fra Descartes . Han foreslog at bruge alfabetets begyndelsesbogstaver for kendte parametre: og for ukendte parametre, de sidste bogstaver: Descartes dannede en moderne rekord af grader: med eksponenten til højre og over variablen; mod slutningen af århundredet udvidede Newton denne notation til brøkeksponenter og negative eksponenter. F. Cajori karakteriserer den kartesiske notation af grader som den mest vellykkede og fleksible symbolik i hele algebra - den letter ikke kun transformationer, men stimulerede udvidelsen af begrebet eksponentiering til negative, fraktionerede og endda komplekse eksponenter, såvel som udseendet. i magtmatematik og eksponentielle funktioner ; alle disse resultater ville være vanskelige at implementere ved at bruge betegnelserne fra det XVI århundrede [40] $a,b,c\dots ,$ $x,y,z.$ $x^{3},$

Den algebraiske symbolik af Descartes blev næsten fuldstændig adopteret af efterfølgende generationer af videnskabsmænd, kun det usædvanlige kartesiske lighedstegn, som fik en vis udbredelse i Frankrig og Holland, blev erstattet af et mere vellykket symbol Robert Record . Derudover blev restriktioner på koefficienter fjernet, hvis værdier Descartes som standard anså for altid at være ikke-negative, og han markerede symbolerne for negative værdier foran med et minustegn. Hvis fortegnet for koefficienten var ukendt, satte Descartes en ellipse foran den [41] . Den hollandske matematiker Johann Hudde tillod allerede i 1657 bogstavelige variabler at tage værdier af ethvert tegn [42] . Newtons monografi " Universal Arithmetic " (1707), som gennemgik fem genoptryk, uden oversættelser, bruger Descartes' notation og Records lighedstegn. Foreningen af algebraisk notation blev stort set afsluttet i slutningen af det 17. århundrede [41] .

Geometri

I begyndelsen af det 17. århundrede eksisterede der allerede flere almindelige symboler i geometrien: punkter blev markeret med store latinske bogstaver, linjestykker, buer af kurver, trekanter og andre figurer blev angivet med bogstaver af grænsepunkter: osv. En ret vinkel blev betegnet ved bogstavet d (fra fransk droit 'lige'). I 1634 introducerede Pierre Erigon symbolerne for vinkel og , der betyder " vinkelret " [43] . Siden oldtiden har parallelsymbolet også været brugt , der falder sammen med det moderne lighedstegn ; efter fremkomsten af sidstnævnte, for at undgå forvirring, blev tegnet på parallelitet vendt lodret [37] : . $AB,{\widehat {ab)),ABC$ $\vinkel$ $\perp$ $\|$

Ved overgangen til det 17.-18. århundrede dukkede flere nye geometriske symboler op. Den engelske matematiker William Jones brugte først notationen for tal (1706). Denne notation blev generelt accepteret af Euler i det 18. århundrede [44] . Samtidig opfandt Leibniz symboler for at indikere ligheden eller kongruensen af geometriske figurer [45] . $\pi$ $\sim \ \cong$

Matematisk analyse

Da Isaac Newton og Gottfried Leibniz i slutningen af det 17. århundrede skabte en enorm ny gren af matematikken - matematisk analyse - opstod spørgsmålet om at udvikle en passende notation for den. Newton gjorde næsten ikke dette, og fra den notation, han foreslog i matematisk analyse , forblev kun måden at betegne den tidsafledede med en prik placeret over funktionssymbolet, for eksempel: Denne notation er ubelejlig for afledte af højere ordener (mere end Sekundet). Newton bidrog også til konsolideringen i videnskaben af de infinitesimale symboler ( "O" stor og "o" lille ), som tidligere var blevet foreslået af den skotske matematiker James Gregory . Inden for symbolikken kom Newton også på ideen om at bruge indekser til at navngive individuelle objekter fra et specificeret sæt: [46] [47] . ${\ddot {x}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}.$ $x_{1},x_{2}\dots$

Newton tilbød ikke et symbol for integralet , selvom han prøvede forskellige muligheder: en lodret streg over en funktion samt et kvadratisk symbol, der går forud for eller grænser op til en funktion. Selv i England blev disse varianter ikke udbredt, af de store matematikere var det kun Newtons elev Brooke Taylor (1715) der brugte dem. I sine " principper " betegnede Newton en række steder selve funktionerne med store bogstaver og deres afledte ( hastigheder ) - de samme, men med små bogstaver [48] .

Leibniz var mere opmærksom på udviklingen af notation. I flere år gennemtænkte han omhyggeligt og tålmodigt forskellige muligheder for udtryk og betegnelser, diskuterede med kolleger, udvalgte derefter de bedste, bragte dem i et enkelt system og populariserede dem aktivt. Leibniz er forfatteren til den moderne notation for differential , afledt (herunder højere ordener) og integral. Næsten alle hans innovationer på dette område slog rod i videnskaben, fordi Leibniz' symbolik, i modsætning til Newtons, klart afspejlede de operationelle træk ved analysemetoder [49] [50] .

Et eksempel er den velkendte formel for at ændre en variabel i et integral : $x=\varphi (t)$

\int F(x)dx=\int F(\varphi (t))\cdot {d\varphi (t) \over dt}dt

Det viser tydeligt, hvorfor Leibniz under integralet ikke angiver selve integrationsvariablen, men dens differentiale - kun i dette tilfælde opnås den korrekte formel rent algebraisk, "uden nogen ekstra tankegang" [51] .

1700-tallet

Leonhard Euler , en førende matematiker i det 18. århundrede, ydede betydelige bidrag til notationen. Euler gav navne til tre grundlæggende numeriske objekter - e for " Euler-tallet ", for forholdet mellem omkredsen af en cirkel og dens diameter , og i for den imaginære enhed [52] . Han introducerede også symbolet for det dobbelte integral over et vilkårligt fladt område (1769), summens tegn (1755) [53] , tegnet ("ikke lig") [54] . $\pi$ ${\boldsymbol {\Sigma ))$ $\neq$

Simon Lhuillier foreslog i 1787 et af analysens vigtigste symboler - betegnelsen af grænsen , hvis "polering" af forskellige matematikere fortsatte indtil slutningen af det 19. århundrede [55] .

1800-tallet

Et væsentligt bidrag til notationen blev ydet i begyndelsen af det 19. århundrede af Carl Friedrich Gauss . Han er forfatteren til de almindeligt accepterede symboler for funktionen " heltalsdel ": og Euler-funktionen , produktets tegn: (1812) og symbolikken i modulo-sammenligninger [56] . $[x]$ ${\fed symbol {\Pi }}$

I det 19. århundrede fortsatte dannelsen af den matematiske analyses symbolik . Weierstrass introducerede absolutværdisymbolet i 1841 . Symbolet ∂ begyndte at betegne den partielle afledte [47] [57] . Et moderne design blev etableret for grænserne for et bestemt integral ( Fourier , 1816), såvel som for kurve- , overflade- og volumentegraler [58] . Ved slutningen af århundredet var standardnotationen for de vigtigste analysefunktioner grundlæggende etableret.

I det 19. århundrede dukkede mange nye grene af matematik op, hvilket krævede udvikling af specifikke praktiske notationer til dem. Især i lineær algebra opstod et generelt accepteret design af matricer , determinanter og operationer med dem. Med denne aktivitet er skabelsen og begyndelsen af den udbredte brug af vektorregning og vektoranalyse forbundet , hvilket forårsagede fremkomsten af rig symbolik til at udpege vektorer, tensorer og operationer med dem [59] .

I det 19. århundrede blev begyndelsen på et langt arbejde om formalisering af matematisk logik lagt , som blev videreført i det 20. århundrede. De første symboler, der erstattede fagforeningerne "derfor" og "fordi" blev foreslået af Johann Rahn tilbage i det 17. århundrede. Leibniz foreslog ikke nogen ny symbolik i sine værker om grundlaget for matematisk logik [60] . Udvidede systemer med logisk notation blev samtidigt udgivet af de engelske matematikere August de Morgan og George Boole i 1847. De Morgans symbolik var langt fra moderne, nogle gange besværlig, og Boole forsøgte ikke at opfinde nye symboler (han brugte de sædvanlige aritmetiske tegn på operationer, som han gav logisk betydning), men faktisk definerede han symboler for grundlæggende logiske operationer - konjunktion , disjunktion og negation . Således blev den første omrids af en algebra for logiske objekter (" Boolsk algebra ") skabt, og reglerne for logiske transformationer blev udviklet [61] .

I slutningen af det 19. århundrede dukkede de første symboler for mængdeteori op i Georg Cantors værker , de beskæftigede sig hovedsageligt med kardinaliteten af de grundlæggende matematiksæt og operationer med magttegn. To monografier af Gottlob Frege (1879 og 1893) blev et nyt ideologisk stadie i den matematiske logik , men den logiske symbolik udviklet af Frege var mislykket, og bortset fra generelle ideer og "tegnet på deducerbarhed" var der kun lidt tilbage i videnskaben. Næsten samtidigt blev værker af Ernst Schroeder (1877 og 1890) og Giuseppe Peano (1895 og 1897) udgivet med originale symboler, hvoraf nogle (især den eksistentielle kvantifier ∃, symbolerne "indeholder" ∋ og "indeholder" ∈ ) forblev i videnskaben. $\vdash$

I et papir fra 1895 udtalte Peano selvsikkert: man kan ændre formen på symboler, man kan fjerne nogle og tilføje andre, men "vi er nu i stand til at udtrykke alle matematiske udsagn med et lille antal tegn, der har en nøjagtig betydning og adlyder godt -definerede regler” [62] .

20. århundrede

I det 20. århundrede blev notationen for intervallet af reelle tal standardiseret: [63] . $(a,b),\ [a,b]$

En del af logikkens aksiomer fra Principia Mathematica i 1. udgave notation (symbol ⊃ betegnet implikation , nu mere almindeligt brugt symbol )

\højre pil

✸1.2 . ⊦ : p ∨ p . ⊃ . p .

✸1.3 . ⊦ : q . ⊃ . p ∨ q .

✸1.4 . ⊦ : p ∨ q . ⊃ . q ∨ p .

✸1,5 . ⊦ : p ∨ ( q ∨ r ) . ⊃ . q ∨ ( p ∨ r ).

✸1.6 . ⊦ :. q ⊃ r . ⊃ : p ∨ q . ⊃ . p∨r . _ _

Som nævnt ovenfor havde to nye grene af matematikken, der opstod ved skiftet af det 19.-20. århundrede - matematisk logik og mængdeteori - brug for et omfattende sæt af nye symboler til logiske og mængdeteoretiske operationer . Matematikere har foreslået mere end et dusin sådanne notationssystemer, hvoraf tiden har valgt de enkleste muligheder [64] . Den banebrydende Principia Mathematica af Whitehead og Russell fremmede både teorien og symbolikken i matematisk logik betydeligt; Peanonotation i en forbedret stil blev taget som grundlag. Ud over logisk notation bruger Whitehead og Russell i deres bog mængdeteoriens symbolik, som i vid udstrækning er relateret til den, og som delvist blev dækket af Peanos værker. Forfatterne listede målene for kraftig brug af formel symbolik i denne bog [65] ;

Det er nødvendigt at give læseren en entydig forståelse af materialet af en høj grad af abstraktion.
Gennemtænkt formalisme hjælper den menneskelige intuition til at forstå tematiske ideologiske motiver og sammenhænge.
Kortheden af den symbolske optegnelse letter dens visuelle opfattelse.
Ved hjælp af symbolik kan logiske ræsonnementer udvides til områder, der normalt blev antaget at være utilgængelige for matematiske overvejelser.

I anden halvdel af det 20. århundrede var der behov for omfattende arbejde med at skabe nye symboler i udviklingen af programmeringssprog . Problemet er, at disse sprogs alfabeter var baseret på ASCII-tegnkodningen ( syv eller otte bit), som ikke indeholder mange af de designfunktioner, der er velkendte i matematik - især har den ikke hævet og sænket tegn, mange diakritiske tegn , mange specialtegn (rodtegn, plus eller minus) osv. [66] For eksempel viste den kartesianske repræsentation af eksponentiering sig at være meget vellykket fra et algebraisk synspunkt, men fraværet af et eksplicit operationstegn i det tvinger os til at implementere dette vigtige værktøj i et programmeringssprog på en anden måde, og dette gøres forskelligt på forskellige sprog (se artiklen Exponentiation for flere detaljer ). For eksempel er det i Fortran kodet som i BASIC - as , og nogle sprog (for eksempel C eller Pascal ) indeholder slet ikke eksponentieringsoperationssymbolet og bruger biblioteksfunktioner til dette formål [67] . $a^{b}$ a ** b,a^b

Situationen er den samme med andre praktisk vigtige symboler: indekser af array-elementer (normalt indesluttet i kvadrat eller parentes), operationen med at opnå resten fra heltalsdeling, logiske og bitoperationer osv. Manglen på forening af sådanne betegnelser, på trods af fremkomsten af internationale ISO-standarder 31-11 og ISO 80000-2 er stadig almindelig praksis.

Historien om individuelle karakterer

Algebra

Objekter

$0123456789$

For at betegne tal i lande med hieroglyfisk skrift (det gamle Egypten, Kina) brugte man specielle hieroglyffer, og i lande med et fonetisk alfabet brugte man normalt bogstaver til dette i starten, ofte med et særligt mærke. Romertal konstrueret på denne måde bruges nogle gange stadig i dag. I Indien fra det 6. århundrede f.Kr. e. særlige tegn blev indført for hvert ciffer fra 1 til 9. Efter at have ændret sig noget, blev disse tegn moderne tal [68] .

I forbindelse med opfindelsen af decimalpositionssystemet til at skrive tal (ca. 500 e.Kr.), var der brug for et nyt tegn for nul . Den første kode for nul, der ligner en cirkel, vi kender, blev fundet i selve Indien på en inskription af 876 fra Gwalior [69] . Tidligere inskriptioner med billedet af nul blev fundet i Sydøstasien : en inskription på en stentavle fra ruinerne af et tempel, der dateres tilbage til 683 fra det gamle Khmer-rige Chenla (ifølge den moderne administrative opdeling - distriktet Sambour i den cambodjanske provins Kratie ), og stammer fra samme (eller næste) år en inskription fra nærheden af Palembang (Sumatra, Indonesien), som på det tidspunkt var hovedstaden i det gamle malaysiske kongerige Srivijaya ; i det første tilfælde er nul afbildet som en tyk prik, i det andet som en lille cirkel [70] [71] .

Forskere og amatører har tilbudt snesevis af forklaringer på, hvorfor tallene tog denne form; en af disse hypoteser er kendt i redegørelsen af A. S. Pushkin [72] . F. Cajori , som et resultat af analysen af disse forklaringer, kommer til den konklusion, at de alle er pseudovidenskabelige fantasier [73] .

$\ {\frac {7}{12}}$

Den "to-etagers" registrering af en almindelig brøk blev brugt af oldgræske matematikere , selvom de skrev nævneren ned over tælleren , men der var ingen linje i brøken. Indiske matematikere har rykket tælleren op; gennem araberne blev dette format vedtaget i Europa. Brøklinjen blev først introduceret i Europa af Leonardo af Pisa (1202), men den kom kun i brug med støtte fra Johann Widmann (1489) [14] .

$3{,}62$

Decimalbrøker stødes først på i Kina fra omkring det 3. århundrede e.Kr. e. når man regner på tællebrættet ( suanpan ) [74] . Den persiske matematiker Jamshid al-Kashi erklærede sig selv som opfinderen af decimalbrøker, selvom de blev fundet i værker af Al-Uqlidisi , som levede 5 århundreder tidligere [75] . I Europa blev decimalbrøker oprindeligt skrevet som hele tal på en aftalt skala. De første decimalbrøker i Europa blev beskrevet af Immanuel Bonfils omkring 1350, men de blev først udbredt efter fremkomsten af Simon Stevins Den tiende (1585) [76] . For klarhedens skyld (og også på grund af manglen på en almindeligt anerkendt decimalseparator ) angav Stevin eksplicit nummeret på hver decimal - for eksempel afbildede han tallet i følgende form: . Et så komplekst design fandt kun få tilhængere (for eksempel Ozanam ), de fleste matematikere anså det for overflødigt [77] . $0{,}3759$ ${\displaystyle 3^{(1)}7^{(2)}5^{(3)}9^{(4)))$

Decimalpunkt , der adskiller brøkdelen af tallet fra heltallet, blev introduceret af den italienske astronom G. A. Magini (1592) og Napier (1617, men Napier brugte også et punkt). Tidligere blev andre symboler brugt i stedet for et komma - Viet brugte en lodret linje: 3|62 eller skrev brøkdelen ned i mindre tal [78] ; andre muligheder inkluderer et nul i parentes: 3 (0) 62 eller et kolon. Nogle forfattere, efter al-Kashi , brugte blæk i forskellige farver [14] [79] . I England foretrak de i stedet for et komma at bruge det punkt, der blev foreslået af Clavius i 1593, som var placeret midt på en linje; denne tradition blev adopteret i USA, men prikken blev flyttet ned for ikke at forveksle den med Leibniz multiplikationstegnet [80] . Manglen på forening af decimalseparatorsymbolet fik mange nye forslag til at dukke op i det 18. og 19. århundrede, hvoraf ingen blev generelt accepteret [81] . En ny faktor i anden halvdel af det 20. århundrede var, at notationen af numeriske konstanter i de fleste programmeringssprog kun tillader den anglo-amerikanske periode som en separator.

$706.510.941{,}252$

Grupperingen af cifre af lange tal er praktisk til deres hurtige evaluering og sammenligning. Leonardo af Pisa (Fibonacci) havde allerede givet en anbefaling om dette partitur i den første udgave af sin Bog om Abacus (1202); han rådede til at markere hundreder, hundredtusinder osv. med et streg fra oven, og samtidig markere tusinder, millioner osv. med et streg nedefra. I den anden udgave af Bogen om Abacus (1228) gav Fibonacci en anden anbefaling: at markere trillinger af cifre med en parentes fra oven [82] , for eksempel: ${\widehat {678}}\ {\widehat {935}}\ {\widehat {784}}\ {\widehat {105}}\ 296.$

I det 13. århundrede foreslog Sacrobosco at adskille tusinder med prikker. Luca Pacioli og nogle tyske matematikere brugte sænkede skrifter i stedet for at adskille prikker, og antallet af prikker svarede til antallet af cifregruppen, og Otred brugte lodrette linjer. I sidste ende vandt Sacroboscos simple skema i de fleste lande, kun i Storbritannien og USA, hvor prikken er decimalseparatoren, blev den erstattet af et komma [82] . I trykte publikationer, i henhold til anbefalingerne fra International Bureau of Weights and Measures og ISO [83] [84] , er den neutrale version fremherskende, der dateres tilbage til Pacioli, hvor trippler af tal er adskilt af ikke -brydende mellemrum : 678 935 784 105 296 .

$-273$

Med anerkendelsen af den praktiske værdi af negative tal opstod spørgsmålet om, hvordan man skriver dem. Nicolas Shuquet foreslog i 1484 at fremlægge den betegnelse , der dengang blev brugt som tegn på subtraktion. Med fremkomsten af moderne plus- og minus- symboler (1489) begyndte mange matematikere at sætte minus foran negative tal, men nogle matematikere protesterede og påpegede, at det samme symbol ikke skulle bruges både som tegn på et tal og som tegn på en subtraktionsoperation, især da minus i rollen som et taltegn er let at forveksle med en bindestreg . Projekter af andre symboler for tallets tegn blev foreslået, for eksempel hjørner eller billedet af den aftagende / voksende måne (se figur). Farkas Bolyai foreslog at bruge plus- og minustegn for tal, men at fremhæve dem i en speciel stil (hans plus var som et maltesisk kors ). Ikke desto mindre er den dobbelte brug af minus fastlagt i videnskaben [85] [86] . ${\tilde {m)),$

$x,\y,\z$
$a,\ b,\ c$

Særlige tegn (kun for ukendte mængder) blev også brugt af babylonske matematikere , og blandt de gamle grækere - Diophantus . Vieta var den første, der foreslog at nedskrive aritmetikkens love og formler i en generel, symbolsk form, og erstatte specifikke tal (ikke kun ukendte, men også forskellige koefficienter) med bogstaver (1591). Viète betegnede ukendte mængder med store bogstaver af vokaler ( A, E, I, O, U, Y ), og kendte med store konsonanter [87] .

Andre matematikere (især Johann Rahn ) foreslog at bruge sondringen mellem store og små bogstaver til samme formål. I 1637 foreslog Descartes et mere bekvemt system: for ukendte mængder bruges de sidste bogstaver i alfabetet ( x, y, z ) og for kendte de første ( a, b, c ... ), og ikke med store bogstaver, men med små bogstaver. Descartes brugte den samme tredobbelte som koordinatsymboler, når han plottede grafer; Descartes selv begrænsede sig dog til flade kurver, den aktive brug af rumlige koordinater begyndte senere Clairaut . Denne konvention er forankret i videnskaben. Der blev fremsat mange formodninger om årsagerne til Descartes' valg af bogstaverne x, y, z for ukendte, men intet blev dog bekræftet [88] [89] . $x,y,z$

${\fed symbol {i}}$

Bogstavet i som en imaginær enhedskode : foreslået af Euler i artiklen De formulis differentialibus secundi gradus, quae integrationem admittunt ; en artikel skrevet i 1777 blev publiceret (posthumt) i 1794. Ifølge den generelle opfattelse tog Euler det første bogstav i det latinske ord imaginarius (imaginær) for symbolet på den imaginære enhed [52] . Symbolet blev støttet af Gauss (" Arithmetical Investigations ", 1801) og blev hurtigt almindeligt accepteret, selvom mange matematikere fortsatte med at bruge den eksplicitte notation af radikalet i lang tid: Nogle misforståelser opstod, da fysikere begyndte at udpege størrelsen af det elektriske aktuel med et bogstav; snart, i vekselstrøms elektrodynamik, blev behovet for komplekse tal (til at beskrive svingninger) opdaget, og for at undgå forvirring begyndte fysikere at betegne den imaginære enhed med bogstavet [90] . $i={\sqrt {-1}}$ ${\sqrt {-1)).$ $jeg$ $j$

0123456789ABCDEF

Behovet for hexadecimal ciffernotation opstod i 1950'erne, da computere dukkede op med en otte-bit eksplicit adresserbar byte ; dens indhold var mest bekvemt repræsenteret som to hexadecimale cifre. For at angive tal fra 0 til 9 blev de samme tegn brugt som i decimalsystemet, og for hexadecimale tal fra 10 til 15 blev der tilbudt forskellige muligheder - tal fra 0 til 5 med en bindestreg ( makron ) øverst, bogstaver fra U til Z (Bendix computere G-15, 1956); den moderne A til F-tegnkodning dukkede op i IBM System/360 -serien (1964) [91] .

Operationer

${\fed symbol {+\;-}}$

Plus- og minustegnene blev tilsyneladende opfundet i den tyske matematiske skole for "kossister" (det vil sige algebraister). De bruges i lærebogen Behende und hüpsche Rechenung auff allen Kauffmanschafft , udgivet i 1489, af Johann Widmann "En hurtig og behagelig beretning for alle købmænd" . Før dette blev addition betegnet med bogstavet p (plus) eller det latinske ord et (sammenhæng "og"), og subtraktion med bogstavet m (minus), disse bogstaver var ofte markeret med en tilde ovenpå . I Widman erstatter plussymbolet ikke kun addition, men også foreningen "og". Oprindelsen af disse symboler er uklar, men højst sandsynligt blev de tidligere brugt i handelen som tegn på køb og salg. Nogle matematikere fra det 16. og 17. århundrede brugte det latinske eller maltesiske kors som variationer af plus, og i stedet for minus foreslog de tilde eller obelus . Ikke desto mindre blev plus og minus almindelige i Europa - med undtagelse af Italien, som brugte de gamle betegnelser i omkring et århundrede, [92] [93] [94] .

${\boldsymbol {\ gange \;\cdot }}$

Multiplikationstegnet i form af et skråt kors blev introduceret i 1631 af William Oughtred (England). Før ham var det mest brugte bogstav M, foreslået i 1545 af Michael Stiefel og støttet af Stevin . Andre betegnelser blev senere foreslået: det latinske ord i ( Francois Viet ), rektangelsymbolet i begyndelsen af værket og kommaet i slutningen ( Erigon , 1634), stjernen ( Johann Rahn , 1659), bogstavet x ( Wallis ). , 1655, måske er dette en typografisk fejl, eftersom Wallis både har bogstavet x og et kryds på samme side) [36] [79] [95] . $\Boks$

Grunden til at vælge det diagonale kors som multiplikationstegnet var højst sandsynligt skemaet med krydsmultiplikation af korte tal almindeligt i disse år [96] ; dette er så meget desto mere sandsynligt, fordi skråstreget før Oughtred blev brugt til at angive andre operationer forbundet med forskellige former for cross-computing [97] .

Leibniz besluttede efter at have eksperimenteret med flere forskellige symboler til sidst at erstatte korset med en prik (slutningen af 1600-tallet) for ikke at blive forvekslet med bogstavet x ; før ham fandt man en sådan symbolik i Regiomontanus (1400-tallet) og Thomas Harriot . Mange matematikere, der startede med Diophantus , i stedet for multiplikationstegnet, skrev simpelthen operanderne i en række: denne kompakte notation viste sig at være særlig praktisk til at konvertere bogstavelige udtryk [95] [36] . $ab=a\cdot b;$

${\fed symbol {/\;:\;\div }}$

Heron , Diophantus og islamiske forfattere brugte brøkens vandrette linje som et tegn på splittelse . I middelalderens Europa blev division ofte betegnet med bogstavet D. Ootred foretrak en skråstreg eller (nogle gange) en højre parentes, sidstnævnte findes også i Stiefel : konstruktioner eller betød division med Colon begyndte at betegne division fra 1684 af Leibniz [98] . $8)24$ $8)24($ $24$ $8.$

I England og USA blev symbolet ( obelus ) udbredt, hvilket blev foreslået i 1659 af Johann Rahn (muligvis med deltagelse af John Pell , tidligere brugte Girard dette symbol som et synonym for minus) [99] [100] . Et forsøg fra American National Committee on Mathematical Requirements på at fjerne obelus fra praksis (1923) var mislykket [101] . $\div$

$([\{\}])$

Parenteser optrådte i Tartaglia (1556) for det radikale udtryk, senere blev de understøttet af Clavius og Girard [28] [102] . Bombelli (1560) brugte et hjørne i form af bogstavet L som startbeslag, og som sidste parentes blev det reflekteret i forhold til lodret (se figur) [C 1] ; sådan en optegnelse blev stamfader til kantede parenteser. Krøllede seler blev foreslået af Viet (1593) [28] .

De fleste matematikere før det 18. århundrede (inklusive Newton) foretrak at understrege (eller understrege) det fremhævede udtryk i stedet for parenteser. Da dette gjorde typografisk sætning vanskeligere, dukkede andre metoder op. Wallis (1655) brugte kolon eller et kolon i begyndelsen og et punktum i slutningen af et udtryk i stedet for parenteser, for eksempel: i stedet for moderne , blev der også foreslået forskellige restriktive konstruktioner af prikker eller kommaer, hvilket allerede var ubelejligt, fordi disse tegn var udbredt bruges til andre formål. Beslag blev indført i almindelig brug af Leibniz (fra omkring 1708) og Euler [103] [104] . ${\sqrt {}}:ad-a^{2}:$ ${\sqrt {ad-a^{2))}.$

${\boldsymbol {\pm ))$

Plus-minus tegnet dukkede op i Girard (1626) og Oughtred. Girard dannede dette symbol som følger [34] : et plustegn, under det ordet "eller" ( fr. ou ), og endnu lavere - et minus: Newton foreslog sit eget symbol: ("halvt plus"), som ikke gjorde det. gevinstfordeling [105] . ${\boldsymbol {{\underset {-}{\overset {+}{\operatørnavn {\scriptscriptstyle ou} }}}\ \ }}.$ $\perp$

${\displaystyle {\boldsymbol {a^{n))}\ {\boldsymbol {a^{x))))$

Eksponentiering . I Europa blev graden først skrevet i verbale forkortelser (q eller Q betegnede en firkant, c eller C - en terning, bq eller qq - en bi-kvadrat, det vil sige 4. grad osv.) eller som en produkt - for eksempel blev det afbildet, som Otred skrev som følger: (hvis der kun er én ukendt, blev den ofte ikke tildelt et bogstavmærke) [106] . Den tyske skole af kossister tilbød et særligt gotisk mærke for hver grad af det ukendte. $x^{4}$ $xxxx.$ ${\displaystyle x^{5}-15x^{4))$ $1qc-15qq$

I det 17. århundrede begyndte ideen om eksplicit at angive eksponenten gradvist at sejre. Girard (1629), for at hæve et tal til en potens, satte en indikator i parentes før dette tal, og hvis der ikke var noget tal til højre for indikatoren, betød det, at tilstedeværelsen af en ukendt i den specificerede grad var underforstået [100] ; for eksempel mente han . Pierre Erigon og den skotske matematiker James Hume foreslog placeringsmuligheder for eksponenten , de skrev i formen og henholdsvis [39] . $(2)2+1(2)$ $2^{2}+x^{2}$ $x^{4}$ $x4$ $x^{IV}$

Den moderne optegnelse af eksponenten - til højre og over basen - blev introduceret af Descartes i hans " Geometry " (1637), dog kun for naturlige magter større end 2 (kvadrering i lang tid blev betegnet på den gamle måde, af produktet). Senere udvidede Wallis og Newton (1676) den kartesiske skriveform til negative og fraktionerede eksponenter, hvis fortolkning på dette tidspunkt allerede var kendt fra værker af Orem , Shuquet , Stevin , Girard og Wallis selv. I begyndelsen af det 18. århundrede var alternativer til at skrive grader "ifølge Descartes", som Newton udtrykte det i " Universal Aritmetik ", "ude af mode " . Den eksponentielle funktion , det vil sige at hæve i en variabel grad, optrådte først i bogstaver og derefter i Leibniz ' skrifter (1679). At hæve sig til en imaginær magt blev retfærdiggjort af Euler (1743) [39] [107] [108] .

${\boldsymbol {\sqrt {x}}}$

Middelaldermatematikere (for eksempel Pacioli og Cardano ) betegnede kvadratroden med et symbol eller en stiliseret kombination (fra latin Radix , rod) [109] . En vis forvirring blev indført af det faktum, at i det 16. århundrede forkortelser og ofte betegnede ikke kun kvadratroden, men også roden af ligningen , det vil sige den ønskede værdi af det ukendte; ikke desto mindre var disse notationer i brug af nogle italienske og spanske matematikere indtil slutningen af det 17. århundrede [110] . $R$ $R_{x}$ $R$ $R_{x}$

Den moderne betegnelse for rodtegnet blev første gang brugt i 1525 af den tyske matematiker Christoph Rudolph fra den kossistiske skole [28] . Dette tegn kommer fra det stiliserede første bogstav i det samme ord radix . Linjen over det radikale udtryk ( vinculum ) var fraværende i begyndelsen; det blev senere introduceret af Descartes (1637) til et andet formål (i stedet for parenteser), og dette træk smeltede hurtigt sammen med rodtegnet [35] .

${\boldsymbol {\sqrt[{3}]{x}}}$

Terningroden i 1500-tallet kunne betegnes som følger: R x .u.cu (fra latin Radix universalis cubica ), der var andre muligheder [109] . Med fremkomsten af det moderne tegn på radikalet blev rødderne af en grad højere end den anden i nogen tid betegnet med indviklede zigzags bestående af de radikale tegn "limet" det tilsvarende antal gange, eller med et mærke efter radikalet - for eksempel kunne det betegnes , hvor bogstavet C betød "kubisk", eller Den moderne betegnelse for roden af en vilkårlig grad med en indikator øverst til venstre, Albert Girard (1629) begyndte at bruge det. Dette format blev rettet takket være Newton og Leibniz [35] [111] . ${\sqrt[ {3}]{x}}$ ${\sqrt {Dx))$ ${\sqrt {3:x}}.$

${\boldsymbol {\Sigma ))$

Sumtegnet blev indført af Euler i 1755 [53] .

${\fed symbol {\Pi }}$

Tegnet på produktet blev introduceret af Gauss i 1812 i hans arbejde med den hypergeometriske serie [56] .

$|x|$

Notationen for den absolutte værdi og for modulet af et komplekst tal dukkede op af Weierstrass i 1841. I 1903 brugte Lorentz den samme symbolik for længden af vektoren [112] .

Relationer

${\bold symbol {=}}$

Som et lighedstegn foreslog matematikere en række forskellige betegnelser: sænket bindestreg, mellemrum, ordet est , forkortelser for ordet "lige" ( aequantur, faciunt ) osv. Det moderne symbol blev foreslået af Robert Record i 1557; symbolets inskription var meget længere end den nuværende. Forfatteren forklarede, at der ikke er noget mere lige i verden end to parallelle segmenter af samme længde. Til at begynde med var størrelsen på Record-symbolet variabel - tegnet kunne forlænges, så resultatet registreret efter det faldt i den ønskede kolonne på arket med beregningen [57] [113] .

I nogen tid blev udbredelsen af Record-symbolet hindret af, at fra gammel tid blev det samme symbol brugt til at angive linjers parallelitet ; i sidste ende blev det besluttet at gøre symbolet på parallelisme vertikalt. I England i 1630'erne adopterede næsten alle større matematikere, fra Harriot til Newton , Record-symbolet, men Viet og Girard brugte det samme symbol i stedet for et minus, og Descartes brugte det som et tegn på, at en variabel kan have et hvilket som helst tegn. Descartes foreslog et andet symbol for lighed, der minder om Wallis- uendelighedssymbolet , der dukkede op i samme periode : Et ret eksotisk lighedstegn på tre symboler: forsvaret af Erigon (1644); han foreslog også en anden version af skiltet: . Alt dette forsinkede foreningen af et så vigtigt symbol; ikke desto mindre begyndte symbolet på rekorden i anden halvdel af det 17. århundrede også at fordrive konkurrenter på det europæiske kontinent [113] (støtten fra Leibniz og Bernoulli-brødrene var afgørende) og etablerede sig endelig i løbet af det 18. århundrede [114 ] . $\infty .$ $2|2$ ${\mathcal {t))$

Mange programmeringssprog bruger lighedstegnet som symbol for opgaveoperatøren .

$\ca$

Tegnet "omtrent lige" blev opfundet af den tyske matematiker Sigmund Günther i 1882 [57] [115] . Lignende i betydning og stil blev et symbol bestående af et lighedstegn og en tilde ovenover brugt tidligere (1777) af I. Heseler [116] . $\cong ,$

$\neq$

Tegnet "ikke lige" støder man først på, sandsynligvis af Euler; i hvert fald brugte han aktivt denne betegnelse [54] .

$\ækvivalent$

Forfatteren til tegnet " identisk lig " er Bernhard Riemann (1857). Det samme symbol, ifølge Gauss' forslag, bruges i talteorien som et modulo-sammenligningstegn , og i logikken som et tegn på ækvivalensoperationen [117] .

$<\ \>$

Sammenligningsmærker blev introduceret af Thomas Harriot i hans arbejde, udgivet posthumt i 1631. Foran ham skrev de med ordene: mere , mindre [32] [53] .

$\leqslant \ \ \geqslant$

Ikke-strenge sammenligningssymboler blev først foreslået af Wallis i 1670. I starten var bjælken over sammenligningstegnet, og ikke under det, som det er nu. Disse symboler modtog generel distribution efter støtte fra den franske fysiker Pierre Bouguer (1734), fra hvem de fik en moderne form [32] .

$A:B=C:D$

Mange betegnelser for andelen blev foreslået - Descartes brugte notationen Othred skrev m.fl.. I sidste ende vandt den moderne symbolik foreslået af Leibniz i 1708 [118] sejren . $a|b||c|d,$ $AB::CD$

$\ll\;\gg$

Disse notationer blev introduceret af Henri Poincaré og Émile Borel (1901) og blev brugt til at indikere, at en serie er majoriseret af en anden. Nogle gange bruges de i denne snævre betydning allerede nu, men oftere betyder de "meget mindre" og "meget mere" [32] .

Geometri

$\angle \ \ \perp$

Symbolerne " vinkel " og " vinkelret " blev opfundet i 1634 af den franske matematiker Pierre Erigon . Erigons vinkelsymbol lignede et ikon ; den moderne form, for at undgå forveksling med det tidligere indførte mindre tegn, blev givet til den af de engelske matematikere Seth Ward (1654) og William Oughtred (1657). En ret vinkel blev ofte betegnet med bogstavet d (fra det franske droit 'lige') [119] [43] . $<$

$\|$

Symbolet på parallelisme har været kendt siden oldtiden, det blev brugt af Heron og Pappus fra Alexandria . Til at begynde med lignede dette symbol det nuværende lighedstegn, men med fremkomsten af sidstnævnte gav Oughtred (1677), Kersey (1673) og andre matematikere fra det 17. århundrede, for at undgå forvirring, linjerne, der danner symbolet, en lodret retning [ 37] [120] .

$30^{\circ }40'50''$

Moderne betegnelser for vinkelenheder ( grader, minutter, sekunder ) findes i Ptolemæus' Almagest , men i middelalderens Europa blev de i stedet skrevet med ordene: gradus, minutes, secundae (helt eller forkortet). Gradsymbolet blev brugt igen i 1568 af den franske matematiker og digter Jacques Peletier ; i det næste årti bruger Erasmus Reingold , Tycho Brahe og Juan Caramuel allerede alle tre kantede tegn, hvorefter disse tegn hurtigt kom i almindelig brug [121] .

Radianmålet for vinkler, mere praktisk til analyse , blev foreslået i 1714 af den engelske matematiker Roger Coates . Selve udtrykket radian blev opfundet i 1873 af James Thomson , bror til den berømte fysiker Lord Kelvin . Nogle forfattere har foreslået at markere radianværdier med bogstaver eller hævet skrift , men disse forslag har ikke fundet støtte, selvom bogstavet nogle gange bruges i værker om geodæsi [121] . $\rho$ $R,$ $\rho$

${\widehat {ab}),{\widehat {abc}}$

Den nu almindeligt accepterede notation for buer af en cirkel eller en anden kurve blev brugt for første gang i Europa i hans "Treatise on Geometry" af den jødiske matematiker fra det 12. århundrede Abraham bar-Hiya ( Savasorda ); dette værk blev straks oversat til latin af Platon fra Tivoli [43] .

$\pi$

John Wallis brugte kvadratsymbolet for forholdet mellem omkreds og diameter (hvilket hentyder til cirklen i kvadrat ) eller det hebraiske bogstav מ ("mem"), der også ligner en firkant. William Oughtred og Isaac Barrow betegnede dette tal som følger: : her betegner det første bogstav i det græske ord περιφέρεια, ' cirkel ', tilsvarende for diameter , således at hele notationen er en forkortelse for "forholdet mellem omkredsen af en cirkel og dens diameter" [122] . $\Boks$ $\pi /\delta$ $\pi$ $\delta$

Den almindeligt accepterede betegnelse blev først dannet af William Jones i hans afhandling " Synopsis Palmariorum Matheseos " (1706), han havde også det første bogstav i det græske navn for cirklen i tankerne. Euler besluttede senere at bruge den samme forkortelse (i sine tidlige skrifter tøvede han mellem bogstaverne c og p ). Eulers arbejde i 1740'erne befæstede betegnelsen [44] . $\pi$

$\sim \ \cong$

Symboler til at angive ligheden eller kongruensen af geometriske figurer blev foreslået af Leibniz i begyndelsen af det 18. århundrede. Leibniz' kongruenssymbol havde i modsætning til det moderne kun én lige linje under tilden; den moderne form dukkede senere op i hænderne på flere matematikere [45] .

$\phi$

Notationen for forholdet mellem det gyldne snit (de bruger også indskriften ) blev foreslået af den amerikanske matematiker Mark Barr (ca. 1909). Betegnelsen går tilbage til det første bogstav i navnet på den antikke græske billedhugger Phidias ( andre græske Φειδίας ), som ifølge nogle arkitekturhistorikere systematisk brugte det gyldne snit i sine kreationer (disse påstande stilles der i øjeblikket spørgsmålstegn ved). I den professionelle matematiske litteratur betegnes dette forhold ofte (fra det græske τομή 'afsnit') [123] [124] . $\phi$ $\varphi$ $\tau$

Talteori

$a\equiv b{\pmod m}$

Symbolikken ved modulo-sammenligning blev udviklet af Gauss , offentliggjort i 1801 i hans Arithmetical Investigations . Den pedantiske Gauss satte en prik efter "mod"-koden, da dette er en forkortelse for lat. modulo , men hans tilhængere anså prikken for overflødig [125] .

$a\mid b$

Den lodrette streg som et symbol på forholdet " deler " (eller, hvad der er det samme, " deler med ") blev først foreslået af Edmund Landau i bogen "Elementary Number Theory" (1927); tidligere blev dette symbol nogle gange brugt af Godfrey Harold Hardy i det upublicerede materiale til hans seminar [126] . $-en$ $b$ $b$ $-en$

$\varphi (n)$

Eulers funktion, som spiller en vigtig rolle i talteori og generel algebra , viste sig for Euler i 1760, og derefter udpegede han dens moderne betegnelse foreslået af Gauss (1801) [127] . $\pi D,$

$n!\$

En kompakt notation for faktorialet blev foreslået af Christian Kramp (1808); tidligere brugte Euler [128] symbolet a, mens Gauss, Jacobi og andre brugte [129] symbolerne og . ${\displaystyle[n],}$ $\Pi (n)$ $\Pin}$

$[x]$

Heltalsdelsymbolet blev introduceret af Gauss i 1808. Nogle matematikere foretrækker i stedet at bruge notationen E(x) foreslået i 1798 af Legendre [130] .

$\lgulv x\rgulv ,\;\lceil x\rceil$

To par hjørnesymboler, der betyder afrunding op eller ned fra henholdsvis et reelt tal til et heltal, blev introduceret af Kenneth Iverson i 1962 [131] .

$\left({\frac {a}{p}}\right)$

Legendre introducerede symbolet for et primtal , som fik hans navn, i sin monografi om talteori (1791). Et symbol, der ligner design, men defineret for et hvilket som helst ulige tal , blev udgivet af Jacobi (1837) [132] . $s$

Funktioner

$f(x)$

Den første generelle notation for funktioner blev brugt af Johann Bernoulli i 1718. I lang tid specificerede matematikere argumenter uden parentes: parenteser blev kun brugt i tilfælde af mange argumenter, og også hvis argumentet var et komplekst udtryk. Ekkoer fra dengang er almindelige og nu optegnelser osv. Men efterhånden (for Euler - fra 1734, for d'Alembert - fra 1754) blev brugen af parentes en generel regel [133] [134] [135] . $fx$ $\sin x,\lg x$

Elementære funktioner

$\log _{a}b,\;\lg ,\;\ln$

Forkortelser dukkede op allerede i det 17. århundrede, men indtil slutningen af det 19. århundrede var der ingen almindeligt accepteret notation for logaritmen - grundtallet ɑ var angivet enten til venstre og over symbolet , derefter over det. I sidste ende kom matematikere til den konklusion, at det mest bekvemme sted for basen er under linjen efter symbolet . Symbolet for den naturlige logaritme optræder første gang i Irving Stringham (1893) [136] . $\log ,\operatørnavn {Log} ,\operatørnavn {L}$ $\log$ $\log$ $\ln$

$\sin ,\operatørnavn {tg} \ (\tan ),\sec$

Den første forkortede notation for sinus , tangent og sekant blev foreslået af Thomas Fincke (1583), som skrev: sin., tan., sec. ; notation af de samme funktioner uden en prik blev introduceret af William Oughtred (1632); dog indtil midten af det 19. århundrede fortsatte mange forfattere med at sætte en stopper for notationen af trigonometriske funktioner [137] [138] . Leonhard Euler i 1748 bruger stavemåden med en prik ( sin., tang., sec. ), og i 1753 nægter han prikken (og sammen med tang har han også notationen tg brugt i russisksproget litteratur) [139] .

$\cos ,\operatørnavn {ctg} \ (\cot ),\operatørnavn {cosec} \ (\csc )$

Fincke betegnede cosinus , cotangens og cosecant gennem sin.com., tan.com., sec.com (hvor com er en forkortelse for latinsk komplement 'addition'). Blandt de mange betegnelser, der senere er foreslået af forskellige forfattere, finder vi i Jonas Moore (1674) Cos and Cot., og i Samuel Jake i hans afhandling udgivet i 1696 - cos., cot., cosec . Stavemåden cos (uden prik) forekommer i Euler i 1729 (systematisk siden 1753); Abraham Kestner (1758) bruger konsekvent betegnelserne cos, cot, cosec [138] [140] . Ifølge F. Cajorie optræder betegnelsen csc for cosecant brugt i moderne vestlig litteratur i Treatise on Trigonometry af Oliver, Waite og Jones (1881), og betegnelsen ctg for cotangens, som er blevet fast i russisk litteratur, findes først. i Arthur Schoenflies (1886) [141] .

$\arcsin$

Måden at betegne inverse trigonometriske funktioner med præfikset arc- (fra latin arcus 'arc') dukkede op hos den østrigske matematiker Karl Scherfer ( tysk Karl Scherffer ; 1716-1783) og blev rettet takket være Lagrange . Det var meningen, at den sædvanlige sinus for eksempel giver dig mulighed for at finde akkorden ved at spænde den langs en cirkelbue, og den omvendte funktion løser det modsatte problem. Indtil slutningen af det 19. århundrede tilbød de engelske og tyske matematiske skoler andre notationer: , men de slog ikke rod [142] . $\sin ^{-1},{\frac {1}{\sin ))$

$\operatørnavn {sh} \ (\sinh ),\operatørnavn {ch} \ (\cosh )$

Den hyperbolske sinus og cosinus blev introduceret af Vincenzo Riccati (1757), som betegnede dem Sh og Ch . Den moderne notation ( sh og ch ), samt th for den hyperbolske tangent , findes i William Clifford (1878). Betegnelserne sinh og cosh , der er almindelige i engelsktalende lande, går tilbage til Johann Lambert (1768) [143] . Blandt andre foreslåede betegnelser var også sinhyp og coshyp (som f.eks. bruges i Brockhaus og Efrons encyklopædi ); disse to betegnelser er nu ude af brug [144] .

$\operatørnavn {sgn} (x)$

Nyttigt i mange tilfælde begyndte funktionen sgn( x ) (fra latin signum 'tegn') at blive brugt i hans forelæsninger af Kronecker (1884), men med en anden betegnelse: [ x ] . Det moderne symbol sgn blev introduceret af Peano (1908) [145] [146] .

Særlige funktioner

$\Gamma (a),\operatørnavn {\mathrm {B} } (a,b)$

Moderne notation for Euler-integralerne af 2. og 1. slags introduceret af Euler (henholdsvis i 1729 og 1730) blev foreslået af: Adrien Marie Legendre (1811) for integralen af 2. art og Jacques Philippe Marie Binet (1839) for integral 1 -byer. Derefter blev begreberne " Gammafunktion " og " Betafunktion " [147] [148] udbredt . $\Gamma (a)$ $\operatørnavn {\mathrm {B} } (a,b)$

$\mathrm {li} ,\mathrm {Si} ,\mathrm {Ci} ,\mathrm {Ei}$

Forfatteren af notationen li for integrallogaritmen er Johann von Soldner (1809). I 1843 introducerede Karl Anton Bretschneider si og ci for integral sinus og integral cosinus . Oskar Schlömilch (1846) modificerede disse notationer til Si og Ci , og introducerede også notationen Ei for den integrale eksponentielle funktion [149] .

$\operatørnavn {\zeta } (s)$

Notationen for Riemann zeta-funktionen (som blev studeret af Euler og senere af P. L. Chebyshev ), som spiller en afgørende rolle i talteorien , blev foreslået af Bernhard Riemann i 1857 [150] . $\operatørnavn {\zeta } (s)$

$F(\varphi ,k),\;\,E(\varphi ,k),\;\,\Pi (\varphi ,n,k)$

Notationen for elliptiske integraler af 1., 2. og 3. art (ufuldstændig) i Legendres normale form blev indført i det væsentlige af Legendre selv (1825); den eneste forskel mellem hans notation og den moderne er, at han betegnede modulet af et elliptisk integral med (den moderne notation blev første gang brugt af Carl Jacobi i 1829), og han satte variablen på den sidste plads i listen over argumenter [ 151] . $F(\varphi ,k),$ $E(\varphi ,k),$ $\Pi (\varphi ,n,k)$ $c$ $k$ $\varphi$

$\operatørnavn {am} u$

Begrebet amplituden af et elliptisk integral som en funktion invers til et elliptisk integral af 1. slags og notationen for det blev introduceret af Carl Jacobi (1829) [152] . $\varphi =\operatørnavn {am} u$

$\operatørnavn {sn} u,\;\operatørnavn {cn} u,\;\operatørnavn {dn} u$

De vigtigste Jacobi elliptiske funktioner - sinus for amplituden sn, cosinus af amplituden cn og deltaet af amplituden dn - blev introduceret af Jacobi (1829), som betegnede dem som sin am u , cos am u og Δ am u (bogstavet Δ erstatter det udtryk , som Legendre foreslog i 1825) . Den mere kompakte notation sn, cn og dn blev introduceret af Christoph Gudermann (1838). I 1882 introducerede James Glaisher notationen for yderligere ni elliptiske funktioner: ns, nc, nd, cs, ds, dc, sc, sd og cd [153] . ${\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi )),$

$\vartheta _{0}(v),\;\dots ,\;\vartheta _{3}(v)$

For effektivt at beregne elliptiske funktioner, foreslog Jacobi at udtrykke dem som forhold mellem theta-funktioner , hvortil han opnåede repræsentationer som hurtigt konvergerende serier af funktioner . Jacobi betegnede oprindeligt theta-funktioner i 1862. Karl Weierstrass , der modificerede Jacobis definitioner, introducerede den moderne notation [153] . $\operatørnavn {\Theta } (v),$ $\operatørnavn {\mathrm {H} } (v),$ $\operatørnavn {\mathrm {H} _{1}} (v),$ $\operatørnavn {\Theta _{1)) (v);$ $\vartheta _{0}(v),\;\dots ,\;\vartheta _{3}(v)$

$\wp (z),\;\operatørnavn {\zeta} (z),\;\operatørnavn {\sigma } (z)$

Weierstrass elliptiske funktion (læs: "pe-funktion"; her - Weierstrass-tegnet , som er et stiliseret bogstav P ) og den nært beslægtede Weierstrass-zeta-funktion og Weierstrass-sigma-funktionen blev introduceret (sammen med den tilsvarende notation) af Karl Weierstrass , der satte dem som grundlag for hans generelle teori om elliptiske funktioner , som han forklarede fra 1862 ved forelæsninger ved universitetet i Berlin [154] . $\wp (z)$ $\wp$ $\operatørnavn {\zeta } (z)$ $\operatørnavn {\sigma } (z)$

$J_{\nu}(x),\;Y_{\nu}(x),\;H_{\nu }^{(1)}(x),\;H_{\nu }^{( 2)}(x)$

Den nu almindeligt anerkendte notation for Bessel-funktioner af 1. art optræder først i Isaac Todhunter (1875) [155] . Notationen for Bessel-funktioner af 2. slags (Weber-funktioner) blev indført af Hermann Hankel (1869), og notationen for Bessel- funktioner af 3. art (Hankel-funktioner) tilhører Niels Nielsen (1902) [156] . $J_{\nu}(x)$ $Y_{\nu}(x)$ $H_{\nu }^{(1)}(x)$ $H_{\nu }^{(2)}(x)$

$I_{\nu}(x),\;K_{\nu}(x)$

Notationen for modificerede Bessel-funktioner af 1. slags blev foreslået af Alfred Basset (1886), og for de modificerede Bessel-funktioner af 2. slags (MacDonald-funktioner), den notation , hvorunder de blev introduceret i 1899 af Hector Macdonald [ 156] bibeholdes . $I_{\nu }(x)$ $K_{\nu}(x),$

$\operatørnavn {Ai} (x),\;\operatørnavn {Bi} (x)$

Betegnelsen Ai for den luftige funktion af 1. slags blev foreslået i 1828 af Harold Jeffreys [157] ; han brugte de to første bogstaver i navnet George Airy , som i 1838 var den første til at undersøge Airy-ligningen [158] . I 1946 tilføjede Jeffrey Miller notationen Bi for den luftige funktion af 2. slags , som også blev standard [159] .

$B_{i,m}(x)$

Betegnelsen læses som " B-spline af grad m med nummer i " (det antages, at denne spline er bygget på knudepunkter Xi , … , Xi +m+1 af en vis maske ). En generel definition af B-splines for et gitter med tilfældigt fordelte noder er givet af Haskell Currie og Isaac Schoenberg (1947), som i deres papir [160] kaldte dem "basic splines" og brugte bogstavet N i stedet for B . Selve udtrykket "B-spline" blev introduceret af Schoenberg i 1967, hvorefter betegnelsen også ændrede sig [161] [162] [163] . $B_{i,m}(x)$

$\operatørnavn {op} (x)$

Op - funktionen (læs "ap-funktion"), som historisk blev det første og vigtigste eksempel på atomfunktioner (som er uendeligt differentierbare analoger af polynomiske splines [164] ), blev introduceret med denne betegnelse i 1971 i artiklen [165 ] af V. L. Rvachev og V. A. Rvachev [166] [167] .

$\delta(x)$

Dirac delta-funktionen δ( x ) , som blev det første eksempel på en generaliseret funktion , blev introduceret af Paul Dirac i hans 1927- artikler [168] [169] [170] [171] . Heaviside (1893) havde dog allerede en klar idé om denne funktion og dens hovedegenskaber , hvor den optrådte som en afledning af Heaviside-funktionen , men fik ikke en særlig betegnelse [172] .

Lineær algebra

${\bar {a)),{\vec {a)],\mathbf {a} ,{\mathfrak {A)),{\mathfrak {a))$

Begrebet en vektor blev introduceret i videnskaben i 1847 [173] af William Rowan Hamilton som en del af hans teori om quaternioner (efter at have kaldt en quaternion med en skalardel nul for en vektor ); han betegnede vektorer med græske bogstaver og skalarer med latinske bogstaver. Men tilbage i 1803 brugte Lazar Carnot begrebet geometrisk størrelse , idet han forstod det som hovedsageligt rettede segmenter og betegnede et segment med en begyndelse i punkt A og en slutning ved punkt B ved hjælp af en tankestreg øverst: AB ; August Ferdinand Möbius foreslog i 1827 at repræsentere et sådant segment som forskellen B − A . James Clerk Maxwell foretrak at udpege vektorer med gotiske bogstaver , grundlæggerne af vektoranalyse Oliver Heaviside og Josiah Willard Gibbs med fed skrift. Næsten alle disse typer symbolik findes stadig, især fed skrift, en bindestreg eller en pil over bogstavet [59] [174] .

$(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\ \left[\mathbf {a} ,\mathbf {b} \right]$

Begreberne og notationen af operationer på vektorer blev dannet i det 19. århundrede af mange matematikere, og foreningen af notation er endnu ikke opnået. Grassmann skrev vektorproduktet ned i formen (1844) og betegnede skalarproduktet som (1846) eller (1862); den sidste version genoplivede uventet i det 20. århundrede i form af bra-ket symbolisme introduceret af Dirac (1939) og brugt i kvantemekanikken [175] [176] . Heaviside foretrak den enkleste form for skalarproduktet , mens Gibbs tilføjede en lavere prik mellem operanderne af skalarproduktet, og vektorproduktet blev skrevet, som Hendrik Lorentz 's skalar- og vektorprodukter så således ud: og Notationen findes først i Olaus Henrici (1903). Betegnelserne på moderne forfattere varierer oftest de givne muligheder [175] . $\left[\mathbf {a} \mathbf {b} \right]$ $\mathbf {a} \times \mathbf {b}$ $\left[\mathbf {a} |\mathbf {b} \right]$ $\mathbf {a} \mathbf {b} ,$ $\mathbf {a} \times \mathbf {b} .$ $\mathbf {a} .\mathbf {b}$ $\left[\mathbf {a} .\mathbf {b} \right].$ $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )$

$\left\|{\bar {a}}\right\|$

Notationen for normen for en vektor dukkede først op i Erhard Schmidt (1908) i det særlige tilfælde af en norm i rummet . En generel definition af en norm i et abstrakt vektorrum blev givet af Stefan Banach i hans artikel "Om operationer på abstrakte mængder..." [177] (1922), hvor han også brugte denne notation [178] . $\left\|{\bar {a}}\right\|$ ${\bar {a}}$ $\ell _{2}$

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\ {\begin{Vmatrix}a&b\\c&d\end{Vmatrix}}\ {\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{ vmatrix}}$

Afgrænsende matricer med to lodrette linjer blev introduceret af Cayley omkring 1843; nu bruges ofte parenteser eller firkantede parenteser i stedet for. Moderne lærebøger omslutter determinanten i enkelte linjer, også efter Cayley. Parenteser for matricer blev sandsynligvis første gang brugt af den engelske matematiker Cuthbert Edmund Cullis i 1913 [179] [180] .

$\Gamma^{k}_{ij}$ eller $\{{\begin{smallmatrix}k\\ij\end{smallmatrix}}\}$

Christoffel-symbolerne , i hjertet af tensoranalyse og generel relativitetsteori , blev introduceret af Alvin Bruno Christoffel i et papir fra 1869, der brugte notationsformatet ; en variant foreslået i 1923 af George Birkhoff [181] [182] . $\{{\begin{smallmatrix}k\\ij\end{smallmatrix}}\}$ $\Gamma^{k}_{ij}$

$\delta _{s_{1}\dots s_{n}}^{r_{1}\dots r_{n}}$

Kronecker-symbolet , som spiller en stor rolle i tensorregning , definerede Kronecker for sagen i et papir fra 1866; i 1924 beskrev Francis Murnaghan dens generalisering til en tensor af vilkårlig rang [182] . $n=1$

Matematisk analyse

$(a,b)\ [a,b]$

Notationen for intervallet af reelle tal blev første gang brugt i 1909 af den tyske matematiker Gerhard Kovalevsky ; hvis grænsepunktet var inkluderet i intervallet, blev der brugt vinkelparenteser i stedet for parenteser. I 1921 udskiftede Hans Hahn vinkelbeslagene med firkantede parenteser, og denne symbolik slog rod i videnskaben [63] .

$e$

Standardnotationen for Eulers tal e = 2,7182818... blev første gang noteret af Euler i et upubliceret manuskript fra 1728, og det forekommer igen i hans " Mechanics " (1736) og i mange efterfølgende værker. Senere kom der andre forslag: bogstavet c ( D'Alembert , 1747), ( August de Morgan , 1842), og Benjamin Pierce foreslog indviklede tegn formet som en papirclips for konstanter (1859); disse varianter vandt ikke popularitet [183 ] $\epsilon$ $e,\pi$

$\Delta x$

Betegnelsen af en stigning med et bogstav blev først brugt af Johann Bernoulli (som dog ikke gjorde en klar skelnen mellem en stigning og en differens ) og Euler (1755) [184] [185] . $\Delta$

$o, o$

Infinitesimale symboler blev brugt af den skotske matematiker James Gregory . Newton overtog fra ham betegnelsen "om små" [186] . Den store version af symbolet i dets moderne betydning ( "stor" ) optrådte i andet bind af Paul Bachmanns analytiske talteori (1894). Begge symboler blev populariseret af Edmund Landau i et papir fra 1909 [187] , hvorfor de ofte omtales som "Landau-symboler" [188] .

${\displaystyle dx\quad {\frac {dy}{dx}}\quad {\frac {d^{n}y}{dx^{n))))$

Notationen dx og dy for differentialerne af et argument og en funktion blev introduceret af Leibniz i hans memoirer "A New Method of Maximums and Minima..." [189] (1684), hvorefter notationen af den afledede som et forhold mellem differentialer dukkede naturligt op . I sin erindringsbog "Svar til hr. Bernard Nieventeit..." [190] (1695) overvejer Leibniz også differentialer af højere orden , og introducerer ret moderne betegnelser for dem [191] [192] .

${\dot {x}}$

Traditionen med at betegne den tidsafledte med en prik over bogstavet stammer fra Newton (1691) [47] .

$f'(x)$

Den korte betegnelse af den afledte med et streg går tilbage til Lagrange , hvor det grundlæggende analysebegreb, i modsætning til Leibniz, ikke var differentialet , men det afledede [193] .

${\frac {\partial }{\partial x))$

Indtil midten af det 18. århundrede stod registreringen af det partielle afledte symbol ikke på nogen måde. Euler i 1755 foreslog, at de partielle derivater skulle omgives i parentes; denne symbolik havde en vis udbredelse. Den moderne betegnelse blev først stødt på i artikler af Condorcet (1770) og Legendre (1786), men blev ikke fastsat selv af disse forfattere. Lagrange prøvede forskellige muligheder - for eksempel at indeksere derivater: eller at angive i parentes, hvilken variabel der differentieres: men denne symbolik var tydeligvis mislykket. I flere artikler af William Hamilton findes et symbol tæt på det moderne . Den moderne notation blev gjort almindelig af Carl Jacobi (1841) [194] . ${\displaystyle F'_{1))$ $F'(y),$ ${\frac {\delta f}{\delta x))$

$\int \ \iint \ \iiiint$

I de tidlige noter brugte Leibniz symbolet omn som symbol for integralet . (fra latin de omnium , 'total' - denne forkortelse blev indført af Cavalieri for at beregne arealer " ved metoden med udelelige dele "). Den moderne betegnelse for integralet, dannet af Leibniz ud fra det stiliserede begyndelsesbogstav i ordet "Summa" ( lat. Summa ), blev først fundet i et upubliceret manuskript dateret 29. oktober 1675, og på tryk optrådte det i erindringerne "On Skjult geometri og analysen af udelelige ..." (1686); dog erstattede trykkeriet for at lette sit arbejde det integrerede symbol med bogstavet i denne første artikel . Johann Bernoulli foreslog i sin korrespondance med Leibniz oprindeligt et bogstav som et symbol på integralet, men gik senere med til at acceptere Leibniz-tegnet [195] [196] [197] . I sine første artikler understregede Leibniz ofte udtrykkene for integralet og differentialet, måske i et ønske om at vise, at disse var integrale symboler, men opgav senere denne praksis [198] . ${\mathit {f))$ $jeg$

Det dobbelte integral over et vilkårligt plan domæne blev introduceret af Euler (1769), og det tredobbelte (over volumen) integral blev snart brugt af Lagrange [199] .

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)\ \ \lim _{x\to a+0}f(x)\ \ \varlimsup _{n\to \infty }x_{n))$

Grænsesymbolet dukkede op i 1787 med Simon Lhuillier i følgende format: denne betegnelse blev understøttet af Cauchy (1821). Prikken efter lim forsvandt hurtigt [55] . $\operatørnavn {lim.} x:a;$

Weierstrass introducerede en betegnelse tæt på den moderne , selvom han i stedet for den pil, vi kender, brugte lighedstegnet: [200] . Pilen dukkede op i begyndelsen af det 20. århundrede i hænderne på flere matematikere [201] . $\operatorname {Lim} _{x=a}$

Notationen for den ensidige grænse blev først foreslået af Dirichlet (1837) i form: Moritz Pasch (1887) introducerede andre vigtige begreber - de øvre og nedre grænser , som han skrev i formen: og hhv. I udlandet er denne symbolik blevet standard, og andre betegnelser er fremherskende i russisk litteratur: indført af Alfred Pringsheim i 1898 [202] . $f(a+0),f(a-0).$ $\lim \sup$ $\lim \inf$ $\varlimsup _{n\to \infty }x_{n},\ \varliminf _{n\to \infty }x_{n},$

$\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$

Designet af et bestemt integral i den form, vi kender, blev opfundet af Fourier , som har brugt det siden 1816. Før ham blev grænserne først angivet verbalt; Euler i 1768 skrev dem ned efter integralet i firkantede parenteser, i to linjer (fra/til) [203] [58] .

$\punkt$

Notationen med en cirkel for et krumlinjet integral over en lukket kontur blev foreslået i 1923 af Kramers [199] .

$f*g$

Asterisk -notationen for foldning af funktioner blev først foreslået af Vito Volterra i 1912 ved hans forelæsninger på Sorbonne (udgivet et år senere) [204] .

$\nabla$

Symbolet for denne differentialoperator blev opfundet af William Rowan Hamilton (1853), og navnet " nabla " blev foreslået som en vittighed af en af vennerne til den skotske matematiker Tait , en ven af Hamilton, og bemærkede, at formen på dette tegn ligner den assyriske harpe med dette (oldgræske) navn (1892). Udtrykket " Hamilton-operatør " bruges også [205] .

$\Delta$

Symbolet for Laplace-operatøren (" Laplace "), som er udbredt i matematisk fysik , dukkede op i 1833 fra den engelske fysiker og matematiker Robert Murphy (Robert Murphy, 1806-1843) [115] . Før ham blev symbolet foreslået af Fourier [206] nogle gange brugt i stedet $\Delta \Phi$ $D\Phi .$

$\mathrm {grad} ,\mathrm {div} ,\mathrm {rot}$

Symbolikken for de klassiske differentialoperatorer for vektoranalyse blev dannet gradvist ved overgangen til det 19.-20. århundrede. Begrebet gradient blev introduceret af William Hamilton så tidligt som i 1846, men navnet og den almindeligt accepterede betegnelse for udtrykket dukkede op omkring 1900 i en tysk skole, måske takket være Heinrich Weber . Begreberne divergens og krølle blev introduceret af Maxwell i hans arbejde med teori om elektromagnetiske felter ; termerne og notationen blev foreslået af Clifford (1878) [207] .

$\gamma \ C$

Euler-Mascheroni konstanten blev introduceret i 1735 af Leonhard Euler . Euler betegnede det med bogstavet , og Mascheroni [132] - betegnelsen foreslået af Bretschneider bruges ofte nu, da denne konstant er forbundet med gammafunktionen [208] . $C$ $A;$ $\gamma ,$

Matematisk logik og mængdeteori

I matematisk logik er et stort antal symboler for logiske operationer blevet foreslået , og forskellige forfattere brugte ofte forskellige notationer for den samme operation. En meget større grad af forening er karakteristisk for mængdelærens symbolik [209] .

$\land \ \&\ \lor$

George Boole (1854) brugte de sædvanlige multiplikations- og additionstegn til de logiske operationer af konjunktion og disjunktion . Betegnelser tæt på moderne blev foreslået af Giuseppe Peano (1895); sammenlignet med de aktuelt brugte muligheder, var de mere "udjævnede", i form af buer af en cirkel. Det moderne disjunktionssymbol optræder første gang i Bertrand Russells "Mathematical Logic Based on Type Theory" [210] (1908), mens konjunktionen der er angivet med en prik på linjen af en linje (disjunktionssymbolet er afledt af latin vel 'or '; senere opstod tradition for at betegne driften af streng disjunktion [211] ). Det moderne konjunktionssymbol (det omvendte disjunktionstegn) blev foreslået af Arend Heiting (1930); og-tegnet & [64] [212] forbliver et almindeligt alternativ til det . $\land ,\ \lor$ $\lor$ $\jord$

I programmeringssprog bruger konjunktion, disjunktion og streng disjunktion normalt andre notationer (for eksempel bruger Ada de reserverede ord and, orog xor[213] , mens C og C++ bruger notationen &, |, ^til bitvise operationer og &&, ||til logiske operationer [214] ).

$\sim \ \lnot$

Logisk negation blev udpeget af Giuseppe Peano i 1897 med et symbol ( tilde ) svarende til et minus; nu er standarden symbolet tæt på det foreslået af Heyting i 1930 [64] [212] . De bruger også en vandret streg over udtrykket for at betegne negation, som også blev fundet i Boole og Charles Pierce (1867) [215] . Andre notationer bruges til negation i programmeringssprog ( Ada bruger f.eks. det reserverede ord [213] , mens C og C++ bruger notationer til bitvis drift og logisk negation [214] ). $\sim$ $\likke$ not ~!

$\to \ \supset \ \equiv \ \leftrightarrow$

Det første logiske symbol, der betyder "derfor", foreslået af Johann Rahn i 1659, det bestod af tre prikker: . Otred (1677) skildrede konsekvensen med to forskrevne prikker. Omvendt symbol: i det 19. århundrede, nogle gange erstattet konjunktionen "fordi" i engelsktalende lande [60] . ${\dot {.\ .))$ ${\dot {}}\,.{\dot {\ \,}}$

Symbolet for implikation blev foreslået af David Hilbert (1922). Ikke mindre almindeligt er tegnet ⊃ , som blev brugt i denne betydning selv af Giuseppe Peano (1898) og erstattede den tidligere stil ɔ af dette tegn (som Peano brugte siden 1891). For at betegne ækvivalens bruges både symbolet på identitet (som Russell gjorde i det allerede nævnte arbejde fra 1908), og tegnet foreslået af Albrecht Becker (1933) [212] [216] . $\til$ $\ækvivalent$ $\venstrehøjrepil$

$\mid \ \downarrow$

Schaeffers streg til at betegne antikonjunktionens funktion blev introduceret af Henry Schaeffer , som i sin artikel "A set of five independent postuates ..." [217] (1913) underbyggede muligheden for at konstruere propositionel logik baseret på en enkelt logisk operation - antikonjunktion [218] . Schaeffers resultater blev imidlertid forudset af Charles Peirce (1880), som i sit upublicerede værk "Boolean Algebra with One Constant" faktisk udførte en sådan konstruktion på basis af en anden operation - antidisjunction , som normalt betegnes med et tegn ( Pearces pil ) [219] [220] . $\midt$ $\pil ned$

$\forall \ \exists$

De første symboler for kvantificerere dukkede op i 1879 i Gottlob Freges Begrebsregning; Freges notation var baseret på en besværlig to-dimensionel notation og blev ikke udbredt i fremtiden. Efterfølgende blev mere vellykkede betegnelser foreslået; for eksempel brugte Oscar Mitchell i 1883 og Charles Peirce i 1885 store græske bogstaver og (begrebet "kvantifier" blev også foreslået af Peirce) [221] . Den almindeligt accepterede notation for den eksistentielle kvantifier var ( Giuseppe Peano , 1897) og for den generelle kvantifier symbolet , dannet af Gerhard Gentzen i 1935 i analogi med Peanos symbol; disse tegn er de omvendte første bogstaver i de engelske ord Exists 'exists' og All 'all' [222] [223] . $\Pi$ $\Sigma$ $\eksisterer$ $\for alle$

$\vdash$

Afledningstegnet ( vendekors ) blev i det væsentlige introduceret af Frege (1879) i den allerede nævnte bog "Calculus of Concepts" [224] . I den moderne stil findes den hos Bertrand Russell (1908) [210] .

$\lambda xE$

Udtryk betyder "en funktion, der tilknytter hver værdi af argumentet den tilsvarende værdi af udtryk " (hvor generelt afhænger af ). λ - abstraktionsoperatoren og λ-regningen baseret på dens brug blev foreslået af Alonzo Church i slutningen af 1920'erne (den første publikation var hans papir [225] i 1932, hvor Church dog stadig skrev ; den moderne standardnotation tog den af 1941 ) [226] . $\lambda xE$ $x$ $E$ $E$ $x$ $\lambda x[E]$

$\in \ \cap \ \cup \ \subset \ \supset$

Symbolikken i mængdeteorien var i høj grad påvirket af den matematiske logiks symbolik, tæt forbundet med den og allerede veludviklet i slutningen af det 19. århundrede . Tegnet på medlemskab (oprindeligt et stiliseret bogstav ε på græsk εστι 'at være') blev introduceret af Giuseppe Peano (1889) i hans værk "Fundamentals of Arithmetic Set forth in a New Way" [227] . Han er også forfatteren af symbolerne for skæringspunktet og foreningen af sæt (1888). De mængdeteoretiske symboler "indeholder" og "indeholder" dukkede op i 1890 med Ernst Schroeder [212] [228] . $\i$

$\aleph \ \omega \c$

I 1880'erne opdagede Georg Cantor hierarkiet af uendelige mængder og ordnede dem efter kardinalitet . Den mindste af dem - kraften i den naturlige række - han betegnede det første bogstav i det hebraiske alfabet " aleph " med nul indeks: Kantor betegnede ordenstallet for den naturlige række med bogstavet i det sidste bogstav i det græske alfabet . Kardinaliteten af et sæt reelle tal er normalt angivet med et bogstav (fra ordet kontinuum 'kontinuitet') [229] [230] . $\aleph _{0}.$ $\omega,$ $c$

$\varnothing \ \emptyset$

Tegnet til det tomme sæt blev foreslået i 1939 af André Weil under arbejdet i Bourbaki-gruppen med forberedelsen til udgivelsen af bogen "Theory of Sets. Resumé af resultater" af afhandlingen "Elements of Mathematics" (et bogstav i det norske alfabet med samme stil blev brugt som prototype på tegnet) [231] . Før 1939 blev det tomme sæt nogle gange betegnet med symbolet nul [232] . $\varnothing$

$f\colon X\rightarrow Y$

Notationen til at kortlægge et sæt X til et sæt Y dukkede første gang op i 1940 i Vitold Gurevichs forelæsninger om relative homotopigrupper [233] . $f\colon X\rightarrow Y$

$\mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$

I 1888 brugte Richard Dedekind i artiklen " Was ist und was sollen die Zahlen " først symbolet for mængden af naturlige tal og for mængden af reelle tal . For heltal og komplekse tal foreslog Dedekind henholdsvis symboler. Den moderne generelt accepterede notation for sættet af heltal blev først brugt af Edmund Landau i 1930 (Landau havde en tankestreg over symbolet Z , som senere blev afskaffet). Bourbaki , i Algebraic Structures (1942), støttede symbolet og foreslog en notation for feltet af rationelle tal. Symbolet for feltet med komplekse tal dukkede op i et papir af Nathan Jacobson (1939) og blev generelt accepteret i 1950'erne [234] . $\mathbb {N}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {K} ,\mathbb {J}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {\bar {Z))$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {C}$

Andre betegnelser

Procentsymbolet dukkede op i midten af 1600-tallet i flere kilder på én gang, dets oprindelse er uklart. Der er en hypotese om, at det stammer fra en fejl fra en sættemaskine, som skrev forkortelsen cto (cento, hundrededel) som 0/0. Det er mere sandsynligt, at dette er et kursivt kommercielt emblem, der opstod omkring 100 år tidligere [235] .

$C_{n}^{k}\ {n \vælg k}\ A_{n}^{k}$

Betegnelsen for antallet af kombinationer (eller, hvad der er det samme, for binomiale koefficienter ) dukkede op i 1880 hos den engelske matematiker Robert Potts ( Robert Potts , 1805-1885), den kommer fra lat. combinatio - kombination. Samtidig var det øverste symbol i Potts-notationen placeret til venstre, ikke til højre for bogstavet C. I vestlig litteratur er den anden version af betegnelsen almindelig: foreslået af Euler , men den adskilte sig også fra den moderne i starten: Eulers blev omarrangeret og adskilt af en vandret linje, som en brøk. Den notation, der nu er accepteret i Vesten, blev standardiseret af den tyske matematiker Andreas von Ettingshausen i bogen Combinatorial Analysis (1827), derefter blev de støttet af Josef Ludwig Raabe (1851). Notationen for antallet af placeringer blev foreslået i 1904 af en anden tysk matematiker , Eugen Netto , i analogi med antallet af kombinationer [236] [237] . $C_{n}^{k}$ $k$ ${n\choose k},$ $n,k$ $A_{n}^{k}$

$\infty \ +\infty \ -\infty$

Uendelighedssymbolet blev opfundet af John Vallis , udgivet i 1655 [28] . To modifikationer af dette symbol dukkede op i Weierstrass (1876) og fandt bred anvendelse i analyse: plus-uendelighed og minus-uendelighed [230] .

$x_{n}$

Indeksering for nummerering af homogene variable i sin moderne form blev introduceret af Newton (1717). Til at begynde med, på grund af typografiske begrænsninger, blev indekserne udskrevet ikke under stregen, men på samme niveau. Dobbeltindekser (for elementer af matricer ) blev indført i almindelig brug af Jacobi (1835) [238] .

${\cancel {0}}\ {\cancel {\mathsf {O}}}$

I ingeniørpraksis bruges en krydset cirkel til at angive diameteren (Unicode-8960-karakter) [239] . Når du arbejder med en computer , på grund af faren for at forveksle tallet 0 med det latinske eller russiske bogstav O , var der på et tidspunkt en anbefaling (især relevant, når du skriver programmer på kodningsformularer ) om at strege nul over [240] : (nogle gange de gjorde det modsatte: ved programmering på en computer streg " Minsk-32 " over bogstavet O , ikke nul [241] ). Tegngeneratorerne i mange tekstterminaler , videoadaptere til personlige computere og dotmatrixprintere udsender også nul i gennemstregning, når de arbejder i teksttilstand (nogle printere har indbyggede kontakter til at aktivere og deaktivere den gennemstregede nultilstand) [242] [ 243] . I moderne computerskrifttyper er bogstavet O mærkbart bredere end nul, så gennemstregning er normalt ikke påkrævet. ${\annuller {0}}$

Se også

Noter

Kommentarer

↑ I N. V. Alexandrovas bog er endehjørnet afbildet forkert, se fotokopi af siden i Bombellis bog i bogen: Cajori F. , vol. 1, § 144.

Kilder

↑ Mazur J., 2014 , kapitel 20. Rendezvous in the Mind.
↑ Yushkevich A.P. Leibniz og grundlaget for infinitesimalregning // Uspekhi matematicheskikh nauk . - Det russiske Videnskabsakademi , 1948. - T. 3 , nr. 1 (23) . - S. 155-156 . (Russisk)
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007 , §199.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , §639.
↑ History of Mathematics, bind I, 1970 , s. 12-13.
↑ 1 2 History of Mathematics, bind I, 1970 , s. 21.
↑ Gardiner Alan H. Egyptisk grammatik: at være en introduktion til studiet af hieroglyffer 3. udg., rev. London: 1957, s. 197.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007 , §200.
↑ O'Connor JJ, Robertson EF En oversigt over babylonsk matematik . Hentet 23. december 2015. Arkiveret fra originalen 5. oktober 2008. (ubestemt)
↑ History of Mathematics, bind I, 1970 , s. 42.
↑ History of Mathematics, bind I, 1970 , s. 157-161.
↑ Martzloff, Jean-Claude. . En historie om kinesisk matematik . - Springer, 1997. - S. 197-200 . — ISBN 3-540-33782-2 .
↑ History of Mathematics, bind I, 1970 , s. 62-64.
↑ 1 2 3 Aleksandrova N.V., 2008 , s. 48-50.
↑ History of Mathematics, bind I, 1970 , s. 144-145.
↑ Bashmakova I. G. . Diophantiske og diofantiske ligninger. - M . : Nauka, 1972 (genoptryk M .: LKI, 2007). - 68 sek.
↑ Volodarsky A.I. Matematik i det gamle Indien // Historisk og matematisk forskning . - M . : Nauka , 1975. - Nr. 20 . - S. 289 .
↑ History of Mathematics, bind I, 1970 , s. 181-183.
↑ History of Mathematics, bind I, 1970 , s. 188-189.
↑ History of Mathematics, bind I, 1970 , s. 185-186, 189.
↑ History of Mathematics, bind I, 1970 , s. 252.
↑ History of Mathematics, bind I, 1970 , s. 212-214, 227.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007 , §134, 135.
↑ History of Mathematics, bind I, 1970 , s. 286-290.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007 , §122, 130.
↑ History of Mathematics, bind I, 1970 , s. 290-291.
↑ History of Mathematics, bind I, 1970 , s. 301-304, 306.
↑ 1 2 3 4 5 6 Mathematical Encyclopedia, 1979 .
↑ 1 2 History of Mathematics, bind I, 1970 , s. 308-311.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007 , §176.
↑ History of Mathematics, bind II, 1970 , s. 22-23.
↑ 1 2 3 4 Aleksandrova N. V., 2008 , s. 111-112.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007 , §188.
↑ 1 2 Aleksandrova N.V., 2008 , s. 127.
↑ 1 2 3 Mathematics History, bind II, 1970 , s. 41.
↑ 1 2 3 Alexandrova N.V., 2008 , s. 141.
↑ 1 2 3 Aleksandrova N.V., 2008 , s. 123.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007 , §185.
↑ 1 2 3 Alexandrova N.V., 2008 , s. 130-131.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007 , §315.
↑ 1 2 Matematikkens historie, bind II, 1970 , s. 40-46.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , §392.
↑ 1 2 3 History of Mathematical Notations, bd. 2, 2007 , §359.
↑ 1 2 History of Mathematical Notations, bd. 2, 2007 , §396-397.
↑ 1 2 History of Mathematical Notations, bd. 2, 2007 , §372.
↑ History of Mathematics, bind II, 1970 , s. 234-237, 266.
↑ 1 2 3 Aleksandrova N.V., 2008 , s. 142-143.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , §622.
↑ History of Mathematics, bind II, 1970 , s. 255-257, 266.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , s. 45-46.
↑ Mazur J., 2014 , kapitel 18. Symbolmesteren.
↑ 1 2 Aleksandrova N.V., 2008 , s. 54.
↑ 1 2 3 Encyclopedic Dictionary of a Young Mathematician, 1985 .
↑ 12 Rouse Ball W.W. En kort fremstilling af matematikkens historie. 4. udg . - Dover Publications, 2010. - 522 s. — (Dover Bøger om Matematik). - ISBN 978-0486206301 . — S. 242.
↑ 1 2 Hairer E., Wanner G. . Matematisk analyse i lyset af dens historie. - M . : Scientific world, 2008. - 396 s. - ISBN 978-5-89176-485-9 . - S. 172.
↑ 1 2 History of Mathematical Notations, bd. 2, 2007 , s. 78-79 ($451).
↑ 1 2 3 Aleksandrova N.V., 2008 , s. 150-151.
↑ 1 2 Aleksandrova N.V., 2008 , s. 63.
↑ 1 2 Aleksandrova N.V., 2008 , s. 22-23.
↑ 1 2 History of Mathematical Notations, bd. 2, 2007 , §667-670.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , §677-678.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , §685-691.
↑ 1 2 Aleksandrova N.V., 2008 , s. 67.
↑ 1 2 3 History of Mathematical Notations, bd. 2, 2007 , s. 281-314.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , §695.
↑ Orlov S. A. Teori og praksis for programmeringssprog: En lærebog for universiteter. 3. generations standard. - M. : Piter, 2013. - S. 148-149. — 688 s. - ISBN 978-5-496-00032-1 .
↑ Akimov P. A., Kaitukov T. B., Mozgaleva M. L., Sidorov V. N. Konstruktionsinformatik . - M. : ASV, 2014. - S. 56. - 432 s. - ISBN 978-5-4323-0066-9 .
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , s. 214-215.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , s. 114.
↑ Chrisomalis S. Numerisk notation: En sammenlignende historie . - Cambridge: Cambridge University Press , 2010. - ix + 486 s. - ISBN 978-0-521-87818-0 . — S. 195.
↑ Joseph G.G. The Crest of the Peacock: Matematiks ikke-europæiske rødder. 3. udgave . - Princeton: Princeton University Press , 2011. - xxvii + 561 s. - ISBN 978-0-691-13526-7 . — S. 339.
↑ Pushkin A. S. . Fuldstændige værker . - M . : Pravda, 1954. - T. 5. - S. 286.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007 , §96.
↑ Jean-Claude Martzloff. En historie om kinesisk matematik. - Springer, 1997. - ISBN 3-540-33782-2 .
↑ Berggren J. Lennart. . Matematik i middelalderlig islam // Matematik i Egypten, Mesopotamien, Kina, Indien og Islam: En kildebog . - Princeton: Princeton University Press, 2007. - s . 518 . - ISBN 978-0-691-11485-9 .
↑ Guter R. S., Polunov Yu. L. . John Napier, 1550-1617 — M .: Nauka , 1980. — 226 s. — (Videnskabelig og biografisk litteratur). - S. 197-204.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007 , §276-277.
↑ Zeiten G. G., 1938 , s. 136.
↑ 1 2 History of Mathematical Notations, bd. 1, 2007 , §186, 195, 282.
↑ Glazer G.I., 1981 , s. 43.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007 , §286-288.
↑ 1 2 History of Mathematical Notations, bd. 1, 2007 , §91.
↑ Det internationale enhedssystem (SI) . Dato for adgang: 30. december 2015. Arkiveret fra originalen 4. marts 2016. (ubestemt) : "Efter den 9. CGPM (1948, resolution 7) og den 22. CGPM (2003, resolution 10), kan cifrene for tal med mange cifre opdeles i grupper af tre med et tyndt mellemrum for at lette læsningen. Hverken prikker eller kommaer er indsat i mellemrummene mellem grupper på tre".
↑ Del 0: Generelle principper, Sect. 3.3 // International standard ISO 31-0: Mængder og enheder. — Genève: International Organization for Standardization , 1992.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007 , §212.
↑ Mazur J., 2014 , kapitel 17. Et katalog over symboler.
↑ History of Mathematics, bind I, 1970 , s. 42, 144-145, 308-310.
↑ History of Mathematics, bind II, 1970 , s. 22, 40-41.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007 , §340-341.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , §498-500.
↑ Hexadecimal . Dato for adgang: 21. februar 2016. Arkiveret fra originalen 4. marts 2016. (ubestemt)
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007 , §201-209.
↑ Cardanos Ars Magna, side 4 . Dato for adgang: 8. oktober 2013. Arkiveret fra originalen 19. august 2014. (ubestemt)
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , s. 126-127.
↑ 1 2 History of Mathematical Notations, bd. 1, 2007 , §217, 232-233.
↑ Accelererede multiplikationsteknikker (2. marts 2008). Dato for adgang: 12. januar 2016. Arkiveret fra originalen 5. marts 2016. (ubestemt)
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007 , §218-230.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007 , §235-239.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , s. 40.
↑ 1 2 History of Mathematical Notations, bd. 1, 2007 , §164.
↑ Divide-symboler (engelsk) (link utilgængeligt) . Hentet 22. august 2015. Arkiveret fra originalen 14. maj 2011.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007 , §161.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , s. 170-171.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007 , §195, 342-350.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007 , §210.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007 , §290-297.
↑ Glazer G.I., 1982 , s. 59-60.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007 , §298-301, 307-309.
↑ 1 2 Nikiforovsky V. A. . Fra algebraens historie i det 16.-17. århundrede. — M .: Nauka , 1979. — 208 s. — (Videnskabens og teknologiens historie). - S. 81.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007 , §318-321.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007 , §328-333.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , s. 22-23, 106, 218.
↑ 1 2 History of Mathematical Notations, bd. 1, 2007 , §260-268.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007 , s. 139.
↑ 12 Math4school . _
↑ Ben-Menahem A., 2007 , s. 5503.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , s. 173, 183.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , s. 144.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , s. 120, 190.
↑ Tidligste brug af symboler fra geometri . Hentet 22. august 2015. Arkiveret fra originalen 2. november 2015.
↑ 1 2 History of Mathematical Notations, bd. 2, 2007 , §514-515.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , s. 124-125.
↑ Livio M. The Golden Ratio: The Story of Phi, the World's Most Astonishing Number . - NY: Broadway Books , 2002. - viii + 294 s. — ISBN 0-7679-0815-5 . - S. 5-6, 72-75.
↑ Sen SK, Agarwal RP Gyldent forhold i videnskab, som tilfældig sekvenskilde, dens beregning og videre // Computere og matematik med applikationer . - 2008. - Bd. 56, nr. 2. - S. 469-498. - doi : 10.1016/j.camwa.2007.06.030 .
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , §408.
↑ Paul Pollack. Tidligste brug af symboler i talteori (link utilgængeligt) . Hentet 22. oktober 2017. Arkiveret fra originalen 31. januar 2010. (ubestemt)
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , §409.
↑ Donald Knuth . Kunsten at programmere, bind I. Grundlæggende algoritmer. - M .: Mir , 1976. - S. 81. - 736 s.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , s. 199-200.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , s. fjorten.
↑ Knut D. Kunsten at programmere computer. T. 1. Grundlæggende algoritmer. — M .: Mir , 1976. — 735 s. - S. 68.
↑ 1 2 History of Mathematical Notations, bd. 2, 2007 , §407.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , §643-646.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , s. 204-205.
↑ Læser om matematikkens historie. Matematisk analyse. Theory of Probability, 1977 , s. 82.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , §469-471.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , s. 150, 158, 170.
↑ 1 2 Tidligste brug af symboler til trigonometriske og hyperbolske funktioner . Dato for adgang: 7. januar 2016. Arkiveret fra originalen 5. marts 2016. (ubestemt)
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , s. 166.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , s. 150, 163, 166.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , s. 170.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , s. 210-211.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , s. 172-174.
↑ Hyperbolske funktioner // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : i 86 bind (82 bind og 4 yderligere). - Sankt Petersborg. , 1890-1907.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007 , §211.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , s. 168.
↑ Ben-Menahem A., 2007 , s. 5503-5504.
↑ Tidligste brug af funktionssymboler . Hentet 8. januar 2016. Arkiveret fra originalen 30. november 2015. (ubestemt)
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , s. 280-281.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , s. 278.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , s. 272-275.
↑ Solomentsev E. D. . Amplitude af det elliptiske integral // Mathematical Encyclopedia. bind 1 / kap. udg. I. M. Vinogradov . - M . : Sovjetisk encyklopædi , 1977. - 1152 stb. - Stb. 243.
↑ 1 2 Solomentsev E. D. . Jacobi elliptiske funktioner // Mathematical Encyclopedia. T. 5 / Ch. udg. I. M. Vinogradov . - M . : Sovjetisk encyklopædi , 1985. - 1248 stb. - Stb. 1054-1058.
↑ Solomentsev E. D. . Weierstrass elliptiske funktioner // Mathematical Encyclopedia. bind 1 / kap. udg. I. M. Vinogradov . - M . : Sovjetisk encyklopædi , 1977. - 1152 stb. - Stb. 621-624.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , s. 279.
↑ 1 2 Watson G. N. . Teori om Bessel funktioner. Del 1. - M. : IIL , 1949. - 798 s. - s. 70-71, 88, 92.
↑ Vallee O., Soares M. . Luftige funktioner og anvendelser til fysik . - London: Imperial College Press , 2004. - x + 194 s. — ISBN 1-86094-478-7 . — S. 4.
↑ Fedoryuk M. V. . Luftige funktioner // Matematisk encyklopædi. T. 5 / Ch. udg. I. M. Vinogradov . - M . : Sovjetisk encyklopædi , 1985. - 1248 stb. - Stb. 939-941.
↑ Airy Function Ai: Introduktion til de luftige funktioner . // The Wolfram Functions Site. Hentet 5. februar 2016. Arkiveret fra originalen 3. juni 2016. (ubestemt)
↑ Curry H. B. , Schoenberg I. J. Om splinefordelinger og deres grænser: Pólya-fordelingsfunktionerne // Bulletin of the American Mathematical Society . - 1947. - Bd. 53, nr. 11. - S. 1114.
↑ Tikhomirov V. M., 1987 , s. 190.
↑ Zavyalov Yu. S., Leus V. A., Skorospelov V. A. . Splines i teknisk geometri. - M . : Mashinostroenie, 1985. - 224 s. - S. 46-47.
↑ De Bohr K. . En praktisk guide til splines. - M . : Radio og kommunikation, 1985. - 304 s. - S. 86-87, 91.
↑ Kravchenko V. F. . Forelæsninger om teorien om atomare funktioner og nogle af deres anvendelser. - M . : Radioteknik, 2003. - 510 s. — ISBN 5-93108-019-8 . - S. 272.
↑ Rvachov V. L. , Rvachov V. O. Om en endelig funktion // DAN URSR. Ser. A. - 1971. - Nr. 8 . - S. 705-707 .
↑ Tikhomirov V. M., 1987 , s. 202-203.
↑ Teori om R -funktioner og faktiske problemer i anvendt matematik / Otv. udg. V. I. Mossakovsky. - Kiev: Naukova Dumka , 1986. - 264 s. - S. 46.
↑ Dirac P.A.M. The Physical Interpretation of the Quantum Dynamics // Proceedings of the Royal Society . - 1927. - Bd. 113. - S. 621-641.
↑ Dirac P.A.M. The Quantum Theory of the Emission and Absorption of Radiation // Proceedings of the Royal Society . - 1927. - Bd. 114. - S. 243-265.
↑ Egorov Yu. V. Om teorien om generaliserede funktioner // Fremskridt i matematiske videnskaber . - Russian Academy of Sciences , 1990. - T. 45, no. 5 . - S. 3-40 . (Russisk)
↑ Bernstein J. . Et kor af klokker og andre videnskabelige undersøgelser . - Singapore: World Scientific , 2014. - xii + 274 s. — ISBN 978-9-81-457894-3 . - S. 70-71.
↑ Lützen J. . Forhistorien om fordelingsteorien . - NY: Springer Science & Business Media , 2012. - viii + 232 s. - (Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. Vol. 7). — ISBN 978-1-4613-9474-7 . - S. 115-116.
↑ Bogolyubov A. N. . Matematik. Mekanik. Biografisk guide . - Kiev: Naukova Dumka, 1983. - 639 s. - S. 118.
↑ Glazer G.I., 1983 , s. 91.
↑ 1 2 History of Mathematical Notations, bd. 2, 2007 , §506, 509.
↑ Sal B.C. Kvanteteori for matematikere . - NY: Springer Science & Business Media , 2013. - xvi + 553 s. - (Kandidattekster i matematik. Bd. 267). — ISBN 978-1-4614-7115-8 . — S. 85.
↑ Banach S. Sur les operations dans les ensembles abstraits et leur application aux equations intégrales // Fundamenta Mathematicae . - 1922. - Bd. 3. - S. 133-181.
↑ Megginson R. E. . En introduktion til Banachs rumteori . - NY: Springer Science & Business Media , 2012. - xix + 598 s. - (Kandidattekster i matematik. Bd. 183). - ISBN 978-1-4612-0603-3 . - P. ix-x.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , s. 97.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , §462.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , §510.
↑ 1 2 Aleksandrova N.V., 2008 , s. 168.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , §400-401.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , s. 45, 153.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , §572.
↑ History of Mathematics, bind II, 1970 , s. 234, fodnote 2.
↑ Landau E. . Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen . - Leipzig: Teubner, 1909. - xviii + 961 S. - S. 883.
↑ Narkiewicz W. . Udviklingen af primtalsteori: Fra Euklid til Hardy og Littlewood . - NY: Springer Science & Business Media , 2013. - xii + 449 s. — ISBN 978-3-662-13157-2 . - P. xi.
↑ Leibniz G. W. Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas, nec irrationales quantitates moratur, & singular pro illis calculi genus // Acta Eruditorum . - 1684. - Bd. 3. - S. 467-473.
↑ Leibniz G. W. Responsio ad nonnullas besværliggør en Dn. Bernardo Niewentijt circa methodum differentialem seu infinitesimalem motas // Acta Eruditorum . - 1695. - S. 310-316.
↑ Rybnikov K. A. . Matematikkens historie. 2. udg. - M . : Forlag ved Moscow State University, 1974. - 456 s. - S. 182-183.
↑ Bos H. J. M. Differentialer, højere ordens differentialer og den afledte i Leibnizian calculus // Archive for History of Exact Sciences . - 1974. - Bd. 14, nr. 1. - S. 1-90.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , §575.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , §593-611.
↑ Leibniz G. W. De geometria recondita et analysi indivisibilium atque infinitorum // Acta Eruditorum . - 1686. - Bd. 5. - S. 292-300.
↑ Durán, Antonio H. Sandheden ved grænsen. Analyse af infinitesimals. - M. : De Agostini, 2014. - S. 86. - 144 s. — (Matematikkens verden: i 45 bind, bind 14). - ISBN 978-5-9774-0708-3 .
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , § 620.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , §539-541.
↑ 1 2 Aleksandrova N.V., 2008 , s. 58-59.
↑ Yushkevich A.P. Udvikling af begrebet grænse før K. Weierstrass // Historisk og matematisk forskning . - M . : Nauka , 1986. - Nr. 30 . - S. 76 .
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , s. 133-135.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007 , §631-637.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , §626.
↑ Domínguez A. A History of the Convolution Operation // IEEE Pulse. - 2015. - Bd. 6, nr. 1. - S. 38-49.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , s. 107-108.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , §592.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , s. 37, 44, 158.
↑ Carl Anton Bretschneider. Theoriae logarithmi integralis lineamenta nova (13. oktober 1835) // Journal für die reine und angewandte Mathematik. - 1837. - Bd. 17. - S. 257-285.
↑ Kondakov N.I., 1975 , s. 534-540.
↑ 1 2 Russell B. Matematisk logik baseret på teorien om typer // American Journal of Mathematics . - 1908. - Bd. 30, nr. 3. - S. 222-262.
↑ Kondakov N.I., 1975 , s. 150.
↑ 1 2 3 4 Tidligste anvendelser af symboler i mængdeteori og logik . Dato for adgang: 17. december 2015. Arkiveret fra originalen 10. april 2015. (ubestemt)
↑ 1 2 Wegner P. . Programmering i Ada-sproget. — M .: Mir , 1983. — 240 s. - S. 68.
↑ 1 2 Ellis M. , Stroustrup B. . En referencevejledning til C++ programmeringssproget med kommentarer. — M .: Mir , 1992. — 445 s. — ISBN 5-03-002868-4 . - S. 65, 86-87.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , s. 291.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , s. 299, 301.
↑ Sheffer H. M. Et sæt af fem uafhængige postulater for boolske algebraer, med anvendelse på logiske konstanter // Transactions of the American Mathematical Society . - 1913. - Bd. 14. - S. 481-488.
↑ Kondakov N.I., 1975 , s. 43, 672-673.
↑ Styazhkin N.I., 1967 , s. 443-444.
↑ Kondakov N.I., 1975 , s. 42, 571.
↑ Styazhkin N.I., 1967 , s. 357, 429-430, 438.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , s. 72.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , s. 293-314.
↑ Kondakov N.I., 1975 , s. 102.
↑ Church A. Et sæt af postulater til grundlaget for logik // Annals of Mathematics. Serie 2. - 1932. - Bd. 33, nr. 2. - S. 346-366.
↑ Seldin J. P. . The Logic of Church and Curry // Logik fra Russell til Church / Ed. af DM Gabbay & J. Woods. - Amsterdam: Nord-Holland , 2009. - xii + 1055 s. - (Håndbog i logikkens historie. bind 5). — ISBN 978-0-444-51620-6 . - s. 819-874.
↑ Marciszewski W., Murawski R. . Mekanisering af ræsonnement i et historisk perspektiv . - Amsterdam: Rodopi, 1995. - 267 s. — (Poznań Studies in the Philosophy of the Sciences and the Humanities, bind 43). — ISBN 90-5183-790-9 . - S. 162-163.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , s. 294.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , s. 104-106.
↑ 1 2 History of Mathematical Notations, bd. 1, 2007 , §421.
↑ Weil A. . En Matematikers læretid . - Basel: Birkhäuser Verlag, 1992. - 197 s. — ISBN 3-7643-2650-6 . — S. 114.
↑ Hausdorf F. Sæteori. - M. - L. : GITTL, 1937. - S. 10. - 305 s.
↑ Maclane S. . Kategorier for den arbejdende matematiker . - NY: Springer-Verlag , 1971. - ix + 261 s. - (Kandidattekster i matematik. Bind 5). - ISBN 978-0-387-90036-0 . — S. 29.
↑ Tidligste brug af symboler i talteori . Hentet 3. april 2021. Arkiveret fra originalen 16. april 2021. (ubestemt)
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , s. 148.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , s. 74-75.
↑ Donald Knuth . Kunsten at programmere, bind I. Grundlæggende algoritmer. - M .: Mir , 1976. - S. 85. - 736 s.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , s. 56-57.
↑ Bolshakov V.P., Tozik V.T., Chagina A.V. . Engineering og computergrafik . - Sankt Petersborg. : BHV-Petersburg, 2013. - 288 s. - ISBN 978-5-9775-0422-5 . - S. 90.
↑ Brich Z. S., Voyush V. I., Degtyareva G. S., Kovalevich E. V. . Programmering i Assembler Language ES Computer. — M .: Statistik, 1976. — 296 s. - S. 13-14, 19.
↑ Kulakovskaya V.P., Romanovskaya L.M., Savchenko T.A., Feldman L.S.. Kobol computer Minsk-32. Godtgørelse til ansatte i edb-centre. - M . : Statistik, 1973. - 284 s.
↑ Bryabrin V. M. . Software til personlige computere. 3. udg. — M .: Nauka , 1990. — 272 s. — ISBN 5-02-014824-5 . - S. 17, 113-114.
↑ Smirnov N. N. . Software til personlige computere. - L . : Mashinostroenie, 1990. - 272 s. — ISBN 5-217-00029-5 . - S. 13, 80-81.

Litteratur

Alexandrova N. V. . Matematiske termers, begrebers, betegnelsers historie: Ordbogsopslagsbog. - 3. udg. - Sankt Petersborg. : LKI, 2008. - 248 s. - ISBN 978-5-382-00839-4 .
- Genudgivelse 2015: URSS, ISBN 978-5-382-01578-1 .
Bashmakova I. G. . Dannelse af algebra (fra matematiske ideers historie). - M . : Viden, 1979. - 64 s. - (Matematik, Kybernetik, nr. 9 (1979)).
Vileitner G. En historie om matematik fra Descartes til midten af det 19. århundrede . - M. : GIFML, 1960. - 468 s. - S. 13-17.
Glazer G. I. . Historie om matematik i skolen. IV - VI klasser. - M .: Uddannelse , 1981. - 239 s.
Glazer G. I. . Historie om matematik i skolen. VII - VIII klasser. - M .: Uddannelse , 1982. - 240 s.
Glazer G. I. . Historie om matematik i skolen. IX-X klasser. - M .: Uddannelse , 1983. - 351 s.
Depman I. Ja. Aritmetikkens historie. En guide til lærere. 2. udg . - M .: Uddannelse , 1965. - 416 s. - S. 208-212.
Matematiske tegn // Great Soviet Encyclopedia . - Ed. 3. - T. 9.
Matematiske tegn // Matematisk leksikon. bind 2 / kap. udg. I. M. Vinogradov . - M . : Sovjetisk encyklopædi , 1979. - 1104 stb. - Stb. 457-463.
Matematiske tegn // Encyclopedic Dictionary of a Young Mathematician / Comp. A. P. Savin. - M . : Pædagogik , 1985. - 352 s. - S. 114-116.
Matematikkens historie redigeret af A. P. Yushkevich i tre bind:
- Matematikkens historie. T. I. Fra oldtiden til begyndelsen af den nye tidsalder / Redigeret af A. P. Yushkevich. — M .: Nauka , 1970. — 352 s.
- Matematikkens historie. T. II. Matematik i det 17. århundrede / Redigeret af A.P. Yushkevich. — M .: Nauka , 1970. — 301 s.
- Matematikkens historie. T. III. Matematik i det 18. århundrede / Redigeret af A.P. Yushkevich. — M .: Nauka , 1972. — 496 s.
Kondakov N.I. Logisk ordbogsopslagsbog. 2. udg . — M .: Nauka , 1975. — 720 s.
Cajorie F. Elementær matematiks historie. 2. udg / Per. fra engelsk. udg. I. Yu. Timchenko. - Odessa: Mathesis, 1910. - x + 368 s.
Styazhkin N. I. . Dannelse af matematisk logik. — M .: Nauka , 1967. — 508 s.
Tikhomirov V. M. . Approksimationsteori // Moderne matematikproblemer. grundlæggende retninger. T. 14. - M. : VINITI AN SSSR , 1987. - 272 s. - S. 103-260.
Læser om matematikkens historie. Aritmetik og algebra. Talteori. Geometri / Udg. A.P. Yushkevich. - M .: Uddannelse , 1976. - 318 s.
Læser om matematikkens historie. Matematisk analyse. Sandsynlighedsteori / Udg. A.P. Yushkevich. - M .: Uddannelse , 1977. - 224 s.
Zeiten G. G. . Matematikkens historie i det 16. og 17. århundrede. - M. - L. : ONTI, 1938. - 456 s.
Ben-Menahem A. Historical Encyclopedia of Natural and Mathematical Sciences. Vol. 1 . - Berlin: Springer-Verlag , 2007. - cxxix + 5985 s. - ISBN 978-3-540-68831-0 .
Cajori F. . En historie om matematiske notationer. Vol. 1 (optryk 1929) . - NY: Cosimo, Inc., 2007. - xvi + 456 s. — ISBN 978-1-60206-684-7 .
Cajori F. . En historie om matematiske notationer. Vol. 2 (1929 genoptryk) . - NY: Cosimo, Inc., 2007. - xii + 392 s. - ISBN 978-1-60206-713-4 .
Mazur J. . Oplysende symboler: en kort historie om matematisk notation og dens skjulte kræfter. - Princeton: Princeton University Press, 2014. - 312 s. — ISBN 978-0-69115-463-3 .

Links

Matematiske tegn . Hentet: 30. december 2015. (ubestemt)
Cižmár, Jan. Oprindelsen og udviklingen af matematisk notation (En historisk oversigt) (engelsk) . Hentet: 4. februar 2016.
Tidligste anvendelser af forskellige matematiske symboler . Hentet: 17. december 2015.
Michon, Gerard P. Videnskabelige symboler og ikoner . Hentet: 17. december 2015.
Weaver D., Smith AD The History of Mathematical Symbols (engelsk) . Dato for adgang: 23. januar 2016. Arkiveret fra originalen 20. februar 2001.

Matematikkens historie
Lande og epoker	forhistorisk periode Det gamle Egypten Babylon Det gamle Kina Det gamle Grækenland Indien Armenien Inkariget islamiske lande Rusland
Tematiske afsnit	Algebra Analytisk geometri Aritmetik Variationsberegning Geometri Differentialgeometri og topologi Kombinatorik Kryptografi Lineær algebra Logaritmer Matematisk analyse Ikke-euklidisk geometri Sandsynlighedsteori mængdeteori Topologi Trigonometri funktionel analyse
se også	uendelig lille Reelle tal Irrationelle tal Komplekse tal Matematisk notation Fortsat brøker Negative tal Funktioner

Matematiske tegn

Plus ( + )
Minus ( - )
Multiplikationstegn ( · eller × )
Divisionstegn ( : eller / )
Obelus ( ÷ )
Rodtegn ( √ )
Faktoriel ( ! )
Integraltegn ( ∫ )
Nabla ( ∇ )
Lighedstegn ( = , ≈ , ≡ osv. )
Ulighedstegn ( ≠ , > , < osv. )
Proportionalitet ( ∝ )
Klameparenteser ( ( ) , [ ] , ⌈ ⌉ , ⌊ ⌋ , { } , ⟨ ⟩ )
Lodret streg ( | )
Skråstreg, skråstreg ( / )
Omvendt skråstreg, omvendt skråstreg ( \ )
Uendelighedstegn ( ∞ )
Gradtegn ( ° )
Slagtilfælde ( ′ , ″ , ‴ , ⁗ )
Stjerne ( * )
Procent ( % )
Ppm ( ‰ )
Tilde ( ~ )
Karet ( ^ )
Circumflex ( ˆ)
Plus-minus ( ± )
Minus-plus tegn ( ∓ )
Decimalseparator ( , eller . )
Slut på bevistegn ( ∎ )

Historien om matematisk notation

Symbolers rolle i matematik

Gamle talsystemer og oprindelsen af ​​matematisk symbolik

Det gamle Egypten

Babylon

Kina

Det antikke Grækenland

Indien

Rusland

Andre folkeslag

Historisk udvikling af symbolisme

Middelalder

XVI århundrede. Simon Stevin og François Viet

1600-tallet

1700-tallet

1800-tallet

20. århundrede

Historien om individuelle karakterer

Algebra

Geometri

Talteori

Funktioner

Lineær algebra

Matematisk analyse

Matematisk logik og mængdeteori

Andre betegnelser

Se også

Noter

Litteratur

Links

Gamle talsystemer og oprindelsen af matematisk symbolik