Majoranta

Majorant (fra fransk majorer - at hæve) er et udtryk, der bruges i matematik til at henvise til flere begreber, der generaliserer begrebet supremum eller nøjagtig øvre grænse . Det bruges oftest til at bevise konvergensen af integraler og serier.

Majorant af et ordnet sæt

Begrebet majorant af et ordnet sæt introduceres for at definere supremumet af et sæt. Lad M være en delmængde af et ordnet sæt. Så er majoranten i mængden M et element, der ikke er mindre end ethvert element i M. Mængden M er det højeste minimum af alle majoranterne i mængden M. [1]

Funktionens majorant

Majoranten af en funktion er en funktion, hvis værdier ikke er mindre end de tilsvarende værdier af den givne funktion på det betragtede interval af den uafhængige variabel. Integrerbarheden af majoranten af en sekvens af integrerbare funktioner er en tilstrækkelig betingelse for eksistensen af et integral af sekvensens grænse. [2]

Eksempel

Lad integrerbare funktioner have en grænse, og der er en integrerbar majorant. Så kan vi passere til grænsen under integraltegnet: [3] $f_{n}(x),n=1,2,...$ $\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x)$ $g(x)\geq |f_{n}(x)|,n=1,2,...$

\lim _{n\to \infty }\int \limits _{-\infty }^{+\infty }f_{n}(x)dx=\int \limits _{-\infty }^{ +\infty }\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)dx

Serie Majorant

Majoranten i en serie er en numerisk serie , hvis alle medlemmer, startende fra et bestemt antal, ikke er mindre end den absolutte værdi af de tilsvarende medlemmer af denne serie. Hvis den oprindelige serie afhænger af argumentet, for eksempel er en potens eller trigonometrisk , så angiv det interval, over hvilket uligheden er opfyldt. For at konstruere majoranterne i matrixrækker bruges matrixnormen .

Som majoranter anvendes sædvanligvis simple velkonvergerende serier - endimensionel og multidimensionel geometrisk progression og serier med en faktor i betegnelsen for begreberne. Konvergensen af majoranten indebærer konvergensen af den originale serie. For serier, der er funktioner, er konstruktionen af majoranter det vigtigste værktøj til at bevise konvergens.

Eksempler er beviser for Hadamards talrækkesætning , Abels lemma for rækker af flere komplekse variable og et bevis for den punktvise konvergens af en trigonometrisk række. [4] [5]

Klasse majorant

Begrebet en majorant kan introduceres på ethvert sæt, hvis der er givet en numerisk funktion på det. Majoranten af en klasse eller delmængde er et element, hvis funktionsværdi er den øverste af funktionsværdierne på denne klasse eller delmængde. Lignende definitioner introduceres for at forenkle præsentationen. [6]

Noter

↑ Afgrænsede sæt. Majoranter og mindreårige. . Hentet 3. juni 2019. Arkiveret fra originalen 3. juni 2019. (ubestemt)
↑ Matematisk encyklopædisk ordbog . - M . : "Ugler. encyklopædi" , 1988. - S. 847 .
↑ STORT OG MINDRE . Hentet 3. juni 2019. Arkiveret fra originalen 3. juni 2019. (ubestemt)
↑ Sammendrag af orienteringsforelæsninger til statseksamen i matematik i retning af "Anvendt matematik og fysik" (St. Petersburg State University) . Hentet 3. juni 2019. Arkiveret fra originalen 3. juni 2019. (ubestemt)
↑ Omfattende analyse . Hentet 3. juni 2019. Arkiveret fra originalen 23. november 2018. (ubestemt)
↑ HOVED- OG MINORANTE I KLASSEN AF GRAFTER MED EN FAST DIAMETER OG ANTALLET AF KUNDER. T. I. Fedoryaeva . Hentet 3. juni 2019. Arkiveret fra originalen 3. juni 2019. (ubestemt)