Naturlig logaritme

Den naturlige logaritme er logaritmen til basen e , hvor er en irrationel konstant på cirka 2,72. Det betegnes som , eller nogle gange blot hvis basen er underforstået [1] . Normalt er tallet under logaritmen reelt , men dette begreb kan udvides til komplekse tal . $e$ $\ln x$ $\log _{e}x$ $\log x$ $e$ $x$

Det følger af definitionen, at den logaritmiske afhængighed er en invers funktion for eksponenten , så deres grafer er symmetriske i forhold til halveringslinjen af første og tredje kvadrants (se figuren til højre). Ligesom den eksponentielle hører den logaritmiske funktion til kategorien transcendentale funktioner . ${\displaystyle y=e^{x))$

Naturlige logaritmer er nyttige til at løse algebraiske ligninger , hvor det ukendte er til stede som en eksponent, de er uundværlige i calculus . For eksempel bruges logaritmer til at finde henfaldskonstanten for en kendt halveringstid af et radioaktivt stof . De spiller en vigtig rolle inden for mange områder af matematik og anvendt videnskab, bruges inden for finansiering til at løse forskellige problemer (for eksempel at finde renters rente ).

Definition

Den naturlige logaritme af et tal er den eksponent , som e skal hæves til for at få . Med andre ord er den naturlige logaritme løsningen på ligningen $-en$ $-en$ $\ln a$ $x$ $e^{x}=a.$

Eksempler:

\ln e=1

fordi ;

e^{1}=e

\ln 1=0

, fordi .

e^{0}=1

Ægte naturlig logaritme

Den naturlige logaritme for et reelt tal er defineret og unikt for ethvert positivt tal $\ln a$ $-en$ $en.$

Den naturlige logaritme kan også defineres geometrisk for ethvert positivt reelt tal a som arealet under kurven i intervallet . Enkelheden af denne definition, som er i overensstemmelse med mange andre formler, der bruger denne logaritme, forklarer oprindelsen af navnet "naturlig". $y={\frac {1}{x}}$ $[1;a]$

Egenskaber

Fra definitionen af logaritmen følger den grundlæggende logaritmiske identitet [2] :

e^{\ln a}=a

Her er en oversigt over formlerne, forudsat at alle værdier er positive [3] :

	Formel	Eksempel
Arbejde	$\ln(xy)=\ln x+\ln y$	$\ln(4\cdot 3)=\ln 4+\ln 3$
Privat	$\ln \left({\frac {x}{y))\right)=\ln x-\ln y$	$\ln \left({\frac {1}{e^{2}}}\right)=\ln(1)-\ln(e^{2})=0-2=-2$
Grad	$\ln(x^{p})=p\ln x$	$\ln(64)=\ln(2^{6})=6\ln 2$
Rod	$\ln {\sqrt[{p}]{x}}={\frac {\ln x}{p}}$	$\ln {\sqrt {10}}={\frac {1}{2}}\ln 10$

Andre egenskaber:

Ligheden af to reelle logaritmer indebærer ligheden af logaritmeudtryk.
Efterhånden som argumentet stiger, stiger logaritmen også: hvis da $0<x<y,$ $\ln x<\ln y.$
${\frac {h}{1+h}}\leqslant \ln(1+h)\leqslant h,$ hvis $h>-1.$

Forbindelse med logaritmer i en anden base

Logaritmen kan defineres for enhver positiv base bortset fra , ikke kun for , men logaritmer for andre baser adskiller sig kun fra den naturlige logaritme med en konstant faktor. $en$ $e$

Logaritmen til basen kan konverteres [4] til den naturlige logaritme og omvendt: $\log _{a}b$ $-en$

\ln b={\frac {\log _{a}b}{\log _{a}e))=\log _{a}b\cdot \ln a

\log _{a}b={\frac {\ln b}{\ln a))

Forholdet mellem decimal ( ) og naturlige logaritmer [5] : $\lg x$

\ln x\approx 2{,}30259\ \lg x;\quad \lg x\approx 0{,}43429\ \ln x

Forholdet mellem binære ( ) og naturlige logaritmer: $\operatørnavn {lb} x$

\ln x\approx 0,693147\operatørnavn {lb} x;\quad \operatorname {lb} x\approx 1{,}442695\ln x

Logaritmisk funktion

Hvis vi betragter et logaritmisk tal som en variabel, får vi en logaritmisk funktion . Det er defineret ved . Værdiområde: . Denne kurve kaldes ofte logaritmen [6] . Ud fra formlen for ændring af logaritmens basis kan det ses, at graferne for logaritmiske funktioner med forskellige baser større end én adskiller sig kun fra hinanden ved skalaen langs aksen ; grafer for baser mindre end én er deres spejlbillede om den vandrette akse. $y=\ln x$ $x>0$ $E(y)=(-\infty ;+\infty )$ $y$

Funktionen er strengt stigende, den er kontinuerlig og ubegrænset differentierbar overalt i sit definitionsdomæne.

Y- aksen ( ) er den lodrette asymptote , fordi: $x=0$

\lim _{x\to 0+}\ln x=-\infty

Den afledte af den naturlige logaritmiske funktion er:

{\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}

Enkelheden af denne formel er en af grundene til den udbredte brug af den naturlige logaritme til analyse og løsning af differentialligninger .

Efter at have integreret formlen for den afledte i intervallet fra til , får vi: $x=1$ $x=b$

\ln b=\int \limits _{1}^{b}{\frac {dx}{x}}

Med andre ord er den naturlige logaritme lig med arealet under hyperbelen for det angivne interval . ${\displaystyle \ln {b))$ $y={\frac {1}{x}}$ $[1,b]$

Fra den generelle algebras synspunkt implementerer den logaritmiske funktion den (eneste mulige) isomorfi mellem den multiplikative gruppe af positive reelle tal og den additive gruppe af alle reelle tal. Med andre ord er den logaritmiske funktion den eneste (defineret for alle positive værdier af argumentet) kontinuerlige løsning af den funktionelle ligning [7] :

f(xy)=f(x)+f(y)

Funktionens analytiske egenskaber

Af formlen for derivatet af den naturlige logaritme følger det, at antiderivatet for en hyperbel har formen: $y=1/x$

\int {dx \over x}=\ln |x|+C,

hvor er en vilkårlig integrationskonstant. Da funktionen består af to grene (den ene for positiv, den anden for negativ ), består familien af antiderivater for også af to underfamilier, og deres integrationskonstanter er uafhængige af hinanden. $C$ $y=1/x$ $x$ $y=1/x$

Det ubestemte integral af den naturlige logaritme er let at finde ved integration efter dele :

\int {\ln x\,\mathrm {d} x}=x\ln x-x+C

I matematisk analyse og teorien om differentialligninger spiller begrebet den logaritmiske afledte af en funktion en vigtig rolle : $f(x)$

{\frac {d}{dx}}\ln(f(x))={\frac {f'(x)}{f(x)))

Metoder til beregning af logaritmen

Vi udvider den naturlige logaritme i en Taylor-serie tæt på enhed:

\ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}} {4}}+\prikker

(række 1)

Denne serie, kaldet " Mercator -serien", konvergerer kl . I særdeleshed: $-1<x\leqslant 1$

\ln 2=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\prikker

Formlen for serie 1 er uegnet til praktisk beregning af logaritmer på grund af det faktum, at rækken konvergerer meget langsomt og kun i et smalt interval. Det er dog ikke svært at få en mere bekvem formel fra det:

\ln \venstre({\frac {1+x}{1-x}}\right)=2\venstre(x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{ 5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\dots \right)

(række 2)

Denne serie konvergerer hurtigere, og desuden kan venstre side af formlen nu udtrykke logaritmen af ethvert positivt tal , for så er den absolutte værdi mindre end én. Denne algoritme er allerede velegnet til reelle numeriske beregninger af logaritmeværdier, men den er ikke den bedste med hensyn til arbejdsintensitet. $z={\frac {1+x}{1-x}}$ $x={\frac {z-1}{z+1))$

Til beregning af den naturlige logaritme med mange cifre af præcision er Taylor-serien ikke effektiv, fordi dens konvergens er langsom. Et alternativ er at bruge Newtons metode til at invertere til en eksponentiel funktion, hvis serie konvergerer hurtigere.

Et alternativ til meget høj beregningsnøjagtighed er formlen: [8] [9] :

\ln x\ca. {\frac {\pi }{2M(1,4/s)))-m\ln 2

hvor angiver det aritmetisk-geometriske middelværdi af 1 og 4/s, og $M$

s=x\,2^{m}>2^{{p/2}},

m er valgt således, at der opnås p -cifre med præcision. (I de fleste tilfælde er en værdi på 8 for m tilstrækkelig.) Faktisk, hvis denne metode bruges, kan Newtons inversion af den naturlige logaritme anvendes til effektivt at beregne eksponentialfunktionen. Konstanterne ln 2 og pi kan forudberegnes til den ønskede nøjagtighed ved brug af en hvilken som helst af de kendte hurtigt konvergerende serier.

Beregningskompleksiteten af naturlige logaritmer (ved anvendelse af det aritmetisk-geometriske middelværdi) er O( M ( n ) ln n ). Her er n antallet af præcisionscifre, for hvilke den naturlige logaritme skal evalueres, og M ( n ) er den beregningsmæssige kompleksitet ved at gange to n -cifrede tal.

Nyttige grænser

Her er nogle nyttige grænser relateret til logaritmer [10] :

\lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1

\lim _{x\to 0+}x^{b}\ln x=0\quad (b>0)

\lim _{x\to \infty }{\frac {\ln x}{x^{b))}=0\quad (b>0)

\ln x=\lim _{n\to \infty }n\left({\sqrt[{n}]{x}}-1\right)=\lim _{n\to \infty }n\left( 1-{\frac {1}{\sqrt[{n}]{x}}}\right)

\ln x=\lim _{h\to 0}{\frac {x^{h}-1}{h}}

Transcendens

Følgende konsekvens følger af Lindemann-Weierstrass-sætningen (1885): hvis argumentet er et algebraisk tal andet end et, så er værdien ikke kun et irrationelt tal , men også et transcendentalt tal [11] . $x$ $\ln x$

Fortsat brøker

Selvom der ikke er nogen klassiske fortsatte brøker til at repræsentere logaritmen , kan flere "generaliserede fortsatte brøker" bruges, herunder:

\ln(1+x)={\frac {x^{1}}{1}}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3} }{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\dots ={\cfrac {x}{1-0\ cdot x+{\cfrac {1^{2}x}{2-1\cdot x+{\cfrac {2^{2}x}{3-2x+{\cfrac {3^{2}x}{4-3x+ {\cfrac {4^{2}x}{5-4x+\ddots ))))))))))))

\ln \left(1+{\frac {2x}{y}}\right)={\cfrac {2x}{y+{\cfrac {x}{1+{\cfrac {x}{3y+{ \cfrac {2x}{1+{\cfrac {2x}{5y+{\cfrac {3x}{1+\ddotter )))))))))))))={\cfrac {2x}{y+ x -{\cfrac {(1x)^{2}}{3(y+x)-{\cfrac {(2x)^{2}}{5(y+x)-{\cfrac {(3x)^ { 2}}{7(y+x)-\ddotter }}}}}}}}

Historie

For første gang dukkede naturlige logaritmer i moderne forstand op i 1619, da Londons matematiklærer John Speidel genudgav Napiers logaritmiske tabeller, korrigerede og supplerede, så de faktisk blev til tabeller over naturlige logaritmer [12] . I 1649 viste den belgiske matematiker Grégoire de Saint-Vincent , at arealet under en hyperbel varierer i henhold til en logaritmisk lov, og foreslog at kalde denne type logaritme for "hyperbolisk" [13] . $y={\frac {1}{x}}$

Udtrykket "naturlig logaritme" blev introduceret af Pietro Mengoli (1659) og Nicholas Mercator i det grundlæggende værk "Logarithmotechnia" (1668) [14] [15] . Samme sted beskrev Mercator udvidelsen af den naturlige logaritme til " Mercator-serien ".

De første forsøg på at udvide logaritmer til komplekse tal blev foretaget ved overgangen til det 17.-18. århundrede af Leibniz og Johann Bernoulli , men det lykkedes ikke at skabe en holistisk teori, primært af den grund, at selve begrebet logaritmen endnu ikke var klart. defineret [16] . Diskussionen om dette emne var først mellem Leibniz og Bernoulli, og i midten af det 18. århundrede mellem d'Alembert og Euler . Bernoulli og D'Alembert mente, at man burde definere , mens Leibniz hævdede, at logaritmen af et negativt tal er et imaginært tal [16] . Den komplette teori om logaritmerne af negative og komplekse tal blev offentliggjort af Euler i 1747-1751 og adskiller sig i det væsentlige ikke fra den moderne [17] . $\log(-x)=\log(x)$

Komplekse logaritmer

Den komplekse logaritme er en analytisk funktion opnået ved at udvide den reelle logaritme til hele det komplekse plan (undtagen nul). I modsætning til det virkelige tilfælde er den komplekse logaritmefunktion flerværdi .

Definition . Den naturlige logaritme af et komplekst tal er [6] en løsning til ligningen $\mathrm {Ln} \,z$ $z$ $w$ $e^{w}=z.$

Et ikke-nul tal kan udtrykkes i eksponentiel form: $z$

z=r\cdot e^{{i(\varphi +2\pi k)}}\;\;,

hvor er et vilkårligt heltal

k

Derefter findes den ved formlen [18] : $\mathrm {Ln} \,z$

\mathrm {Ln} \,z=\ln r+i\venstre(\varphi +2\pi k\right)

Her er den rigtige logaritme. Det følger heraf: $\ln \,r=\ln \,|z|$

Den komplekse logaritme eksisterer for enhver , og dens reelle del er entydigt bestemt, mens den imaginære del har et uendeligt antal værdier, der adskiller sig med et heltal $\mathrm {Ln} \,z$ $z\neq 0$ $2\pi.$

Det kan ses af formlen, at én og kun én af værdierne har en imaginær del i intervallet . Denne værdi kaldes hovedværdien af den komplekse naturlige logaritme [6] . Den tilsvarende (allerede enkeltværdi) funktion kaldes logaritmens hovedgren og betegnes . Hvis er et reelt tal, så falder hovedværdien af dets logaritme sammen med den sædvanlige reelle logaritme. $(-\pi ,\pi ]$ $\ln\,z$ $z$

Logaritmen af et negativt tal findes ved formlen [18] :

\mathrm {Ln} (-x)=\ln x+i\pi (2k+1)\qquad (x>0,\ k=0,\pm 1,\pm 2\dots )

Eksempler:

\ln(1)=0;\;\mathrm {Ln} (1)=2k\pi i

\ln(-1)=i\pi ;\;\mathrm {Ln} (-1)=(2k+1)i\pi

\ln(i)=i{\frac {\pi}{2));\;\mathrm {Ln} (i)=i{\frac {4k+1}{2))\pi

Du bør være forsigtig, når du konverterer komplekse logaritmer, idet du tager i betragtning, at de har flere værdier, og derfor følger ligheden af disse udtryk ikke af ligheden af logaritmerne for nogen udtryk. Et eksempel på fejlagtig begrundelse:

i\pi =\ln(-1)=\ln((-i)^{2})=2\ln(-i)=2(-i\pi /2)=-i\pi

er en åbenlys fejl.

Bemærk, at hovedværdien af logaritmen er til venstre, og værdien fra den underliggende gren ( ) er til højre. Årsagen til fejlen er den skødesløse brug af egenskaben , som generelt set i det komplekse tilfælde indebærer hele det uendelige sæt af værdier af logaritmen, og ikke kun hovedværdien. $k=-1$ $\log _{a}{(b^{p})}=p~\log _{a}b$

Naturlig logaritmefunktioner på det komplekse plan (hovedgren)
$z=Re(\ln(x+iy))|$
$z=Im(\ln(x+iy))|$
$z=|\ln(x+iy)|$
Superposition af de foregående tre diagrammer

Funktionen af den naturlige logaritme af et komplekst tal kan også defineres som den analytiske fortsættelse af den reelle logaritme til hele det komplekse plan undtagen nul. Lad kurven starte ved et, slutte ved z, ikke passere gennem nul og ikke krydse den negative del af den reelle akse. Så kan hovedværdien af logaritmen ved endepunktet af kurven bestemmes ved formlen [19] : $\Gamma$ $w$ $\Gamma$

\ln z=\int \limits _{\Gamma }{du \over u}

Nogle applikationer

Talteori

Fordelingen af primtal adlyder asymptotisk simple love [20] :

Antallet af primtal mellem 1 og omtrent lig med . $n$ ${\frac {n}{\ln n))$
k -th primtal er omtrent lig med . $k\ln k$

Matematisk analyse

Logaritmer opstår ofte, når man finder integraler og ved løsning af differentialligninger . Eksempler:

\int {\operatørnavn {tg} x}\,dx=-\ln |\cos x|+C;\quad \int {\frac {dx}{\sqrt {x^{2}+a} }}=-\ln \ \venstre|\ x+{\sqrt {x^{2}+a}}\ \right|+C

Sandsynlighedsteori og statistik

I statistik og sandsynlighedsteori indgår logaritmen i en række praktisk vigtige sandsynlighedsfordelinger. For eksempel bruges den logaritmiske fordeling [21] i genetik og fysik. Den lognormale fordeling forekommer ofte i situationer, hvor den undersøgte værdi er produktet af flere uafhængige positive stokastiske variable [22] .

For at estimere en ukendt parameter bruges maksimumsandsynlighedsmetoden og den tilhørende log-sandsynlighedsfunktion [23] i vid udstrækning .

Udsving i en tilfældig gåtur er beskrevet af Khinchin-Kolmogorov-loven .

Fraktaler og dimensioner

Logaritmer hjælper med at udtrykke Hausdorff-dimensionen af en fraktal [24] . Betragt for eksempel Sierpinski-trekanten , som fås fra en ligesidet trekant ved successiv fjernelse af lignende trekanter, hvis lineære størrelse er halveret på hvert trin (se figur). Dimensionen af resultatet bestemmes af formlen:

{\frac {\ln 3}{\ln 2))\ca. 1{,}58

Mekanik og fysik

Boltzmann-princippet i statistisk termodynamik er en af de vigtigste funktioner i tilstanden af et termodynamisk system , der karakteriserer graden af dets tilfældighed .

Tsiolkovsky-formlen bruges til at beregne hastigheden af en raket.

Kemi og fysisk kemi

Nernst-ligningen forbinder systemets redoxpotentiale med aktiviteterne af de stoffer, der indgår i den elektrokemiske ligning, samt med standardelektrodepotentialerne for redoxpar.

Logaritmen bruges i definitionerne af sådanne mængder som indekset for autoprotolysekonstanten (selvionisering af molekylet) og brintindekset (opløsningens surhed).

Psykologi og fysiologi

Den menneskelige opfattelse af mange fænomener er godt beskrevet af den logaritmiske lov.

Weber-Fechner-loven er en empirisk psykofysiologisk lov, som siger, at sansningens intensitet er proportional med logaritmen af stimulusets intensitet [25] - lydens styrke [26] , lysets lysstyrke .

Fitts' lov : jo længere eller mere nøjagtigt kroppens bevægelse udføres, jo mere korrektion er nødvendig for dens gennemførelse, og jo længere tid udføres denne korrektion [27] .

Tiden til at træffe en beslutning i nærvær af et valg kan estimeres i henhold til Hicks lov [28] .

Noter

↑ Mortimer, Robert G. Matematik for fysisk kemi . — 3. - Academic Press , 2005. - S. 9. - ISBN 0-125-08347-5 . , Uddrag af side 9 Arkiveret 24. juni 2016 på Wayback Machine
↑ Algebra og begyndelsen af analysen. Lærebog for 10-11 klassetrin. 12. udgave, Moscow: Enlightenment, 2002. S. 233.
↑ Vygodsky M. Ya. Handbook of elementary mathematics, 1978 , s. 187.
↑ Korn G., Korn T. Handbook of Mathematics, 1973 , s. 34.
↑ Vygodsky M. Ya. Handbook of elementary mathematics, 1978 , s. 189..
↑ 1 2 3 Logaritmisk funktion. // Matematisk encyklopædi (i 5 bind) . - M . : Soviet Encyclopedia , 1982. - T. 3.
↑ Fikhtengolts G. M. Forløb af differential- og integralregning, 1966 , bind I, s. 159-160.
↑ Sasaki T., Kanada Y. Praktisk talt hurtig flerpræcisionsevaluering af log(x ) // Journal of Information Processing. - 1982. - Bd. 5 , iss. 4 . - S. 247-250 .
↑ Ahrendt, Timm. Hurtige beregninger af den eksponentielle funktion. Forelæsningsnotater i datalogi (neopr.) . - 1999. - T. 1564 . - S. 302-312 . - doi : 10.1007/3-540-49116-3_28 .
↑ Fikhtengolts G. M. Course of differential and integral calculus, 1966 , bind I, s. 164.
↑ Rudio F. Om at kvadrere cirklen (Archimedes, Huygens, Lambert, Legendre). - Ed. 3. - M. - L. : OGIZ, 1936. - S. 89. - 237 s. - ( Naturvidenskabens klassikere ).
↑ Cajori, Florian. A History of Mathematics, 5. udg (ubestemt) . - AMS Boghandel, 1991. - S. 152. - ISBN 0821821024 .
↑ Flashman, Martin. Estimering af integraler ved hjælp af polynomier . Dato for adgang: 30. juni 2011. Arkiveret fra originalen den 11. februar 2012. (ubestemt)
↑ Matematik i det 17. århundrede // Matematikkens historie / Redigeret af A.P. Yushkevich , i tre bind. - M . : Nauka, 1970. - T. II. - S. 63.
↑ JJ O'Connor og E. F. Robertson. Tallet e . MacTutor History of Mathematics-arkivet (september 2001). Dato for adgang: 30. juni 2011. Arkiveret fra originalen den 11. februar 2012. (ubestemt)
↑ 1 2 History of Mathematics, bind III, 1972 , s. 325-328..
↑ Rybnikov K. A. Matematikkens historie. I to bind. - M. : Red. Moscow State University, 1963. - T. II. - S. 27, 230-231 ..
↑ 1 2 Korn G., Korn T. Handbook of Mathematics, 1973 , s. 623..
↑ Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Theory of functions of a complex variable, 1967 , s. 45-46, 99-100..
↑ Derbyshire, John. Simpel besættelse. Bernhard Riemann og det største uløste problem i matematik. - Astrel, 2010. - 464 s. — ISBN 978-5-271-25422-2 .
↑ Weisstein , Eric W. Log-Series Distribution . matematik verden. Hentet 26. april 2012. Arkiveret fra originalen 11. maj 2012.
↑ Logaritmisk normalfordeling // Mathematical Encyclopedia (i 5 bind) . - M . : Soviet Encyclopedia , 1982. - T. 3.
↑ Maximum likelihood-metode // Mathematical Encyclopedia (i 5 bind) . - M . : Soviet Encyclopedia , 1982. - T. 3.
↑ Ivanov M. G. Størrelse og dimension // "Potentiale", august 2006.
↑ Golovin S. Yu. WEBER-FECHNER LAW // Ordbog for en praktisk psykolog . Hentet 17. april 2012. Arkiveret fra originalen 11. juni 2013. (ubestemt)
↑ Irina Aldoshina. Grundlæggende om psykoakustik // Lydtekniker. - 1999. - Udgave. 6 . Arkiveret fra originalen den 24. april 2012.
↑ Fitts' lov // Psychological Encyclopedia (utilgængeligt link) . Hentet 17. april 2012. Arkiveret fra originalen 27. maj 2012. (ubestemt)
↑ Welford, A. T. Grundlæggende om færdigheder . - London: Methuen, 1968. - S. 61 . - ISBN 978-0-416-03000-6 .

Litteratur

Vygodsky M. Ya. Håndbog i elementær matematik . — M .: Nauka, 1978.
- Genudgivelse: AST, 2003, ISBN 5-17-009554-6 .
Matematik i det 18. århundrede // Matematikkens historie / Redigeret af A.P. Yushkevich , i tre bind. - M . : Nauka, 1972. - T. III.
Korn G., Korn T. Håndbog i matematik (for forskere og ingeniører) . - M . : Nauka, 1973. - 720 s.
Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Teori om funktioner af en kompleks variabel. — M .: Nauka, 1967. — 304 s.
Fikhtengol'ts G. M. Forløb af differential- og integralregning. - udg. 6. — M .: Nauka, 1966. — 680 s.

Links

" Afmystificere den naturlige logaritme Arkiveret 26. september 2013 på Wayback Machine " Afmystificere den naturlige logaritme (ln) | Bedre forklaret _

Ordbøger og encyklopædier	Britannica (online)