Algebra

Algebra (fra arabisk اَلْجَبْرُ ‎ al -jabr "genopfyldning" [1] ) er en gren af matematikken , der løst kan karakteriseres som en generalisering og udvidelse af aritmetik ; i dette afsnit er tal og andre matematiske objekter betegnet med bogstaver og andre symboler, hvilket gør det muligt at nedskrive og studere deres egenskaber i den mest generelle form. Ordet "algebra" bruges også generelt algebra i navnene på forskellige algebraiske systemer . I bredere forstand forstås algebra som en gren af matematik, der er viet til studiet af operationer på elementer af mængder af vilkårlig karakter, der generaliserer de sædvanlige operationer med addition og multiplikation af tal [2] .

Klassifikation

Algebra som en gren af matematik omfatter traditionelt følgende kategorier.

Elementær algebra , som studerer egenskaberne ved operationer på reelle tal . I den er konstanter og variabler angivet med alfabetiske tegn. Elementær algebra indeholder regler for transformation af algebraiske udtryk og ligninger ved hjælp af disse symboler. Normalt undervist i en skole kaldet algebra [3] .
Generel algebra , nogle gange kaldet moderne algebra eller abstrakt algebra , hvormest generelle algebraiske strukturer såsom grupper , ringe og felter aksiomatiseres og studeres .
Universal algebra , som studerer egenskaber, der er fælles for alle algebraiske strukturer (betragtet som en undersektion af generel algebra).
Lineær algebra , som studerer egenskaberne af vektorrum (inklusive matricer ).
Algebraisk kombinatorik , hvor abstrakt algebras metoder bruges til at studere spørgsmål i kombinatorik .

Elementær algebra

Elementær algebra er en gren af algebra, der studerer de mest grundlæggende begreber. Normalt studeret efter at have lært de grundlæggende begreber i aritmetik . I aritmetik studeres tal og de enkleste (+, −, ×, ÷) operationer med dem. I algebra erstattes tal med variable ( og så videre). Denne tilgang er nyttig, fordi: $a,b,c,x,y$

Giver dig mulighed for at få en generel idé om aritmetikkens love (for eksempel for enhver og ), hvilket er det første skridt mod en systematisk undersøgelse af egenskaberne ved reelle tal . $a + b = b + a$ $-en$ $b$
Giver dig mulighed for at introducere begrebet "ukendt", formulere ligninger og studere måder at løse dem på. (For eksempel "Find et tal x sådan " eller mere generelt "Find et tal x sådan at ". Dette fører til den konklusion, at det at finde værdien af en variabel ikke ligger i arten af tallene fra ligningen, men i operationer mellem dem.) $3x+1=10$ $ax+b=c$
Giver os mulighed for at formulere begrebet en funktion . (For eksempel, "Hvis du solgte billetter , så vil din fortjeneste være rubler eller , hvor er en funktion, og er et tal, som funktionen afhænger af") $x$ $3x-10$ $f(x)=3x-10$ $f$ $x$

Lineær algebra

Lineær algebra er den del af algebra, der studerer vektorer, vektor- eller lineære rum, lineære afbildninger og lineære ligningssystemer . Lineær algebra omfatter også teorien om determinanter , teorien om matricer , teorien om former (for eksempel kvadratisk ), teorien om invarianter (delvis), tensorregning (delvis) [4] . Moderne lineær algebra fokuserer på studiet af vektorrum [5] .

Lineær , eller vektorrum over et felt er en ordnet firdobbelt , hvor $V\venstre(F\højre)$ $F$ $(V,F,+,\cdot )$

V

- et ikke- tomt sæt af elementer af vilkårlig karakter, som kaldes vektorer ;

F

- (algebraisk) felt, hvis elementer kaldes skalarer ;

+\colon V\ gange V\til V

er operationen af vektoraddition, som tilordner hvert par af elementer i sættet det eneste element i sættet , betegnet med ;

\mathbf {x} ,\mathbf {y}

V

V

\mathbf {x} +\mathbf {y}

\cdot \colon F\gange V\til V

er operationen med at multiplicere vektorer med skalarer, som forbinder hvert element i feltet og hvert element i mængden med et enkelt element i mængden , betegnet med ;

\lambda

\in F

\mathbf {x}

V

V

\lambda \mathbf {x}

desuden opfylder de givne operationer følgende aksiomer - aksiomer af et lineært (vektor) rum:

$\mathbf {x} +\mathbf {y} =\mathbf {y} +\mathbf {x}$ , for enhver ( kommutativitet af tilføjelse ); $\mathbf {x} ,\mathbf {y} \i V$
$\mathbf {x} +(\mathbf {y} +\mathbf {z} )=(\mathbf {x} +\mathbf {y} )+\mathbf {z}$ , for enhver ( associativitet af tilføjelse ); $\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} \in V$
der er et element således, at det for enhver ( eksistensen af et neutralt element med hensyn til addition ), i særdeleshed, ikke er tomt; $\theta \i V$ $\mathbf {x} +\theta =\mathbf {x}$ $\mathbf {x} \i V$ $V$
for enhver er der et element sådan, at ( eksistensen af et modsat element med hensyn til addition ). $\mathbf {x} \i V$ $-\mathbf {x} \i V$ $\mathbf {x} +(-\mathbf {x} )=\theta$
$\alpha (\beta \mathbf {x} )=(\alpha \beta )\mathbf {x}$ ( associativitet af multiplikation med en skalar );
$1\cdot \mathbf {x} =\mathbf {x}$ ( unitarity: multiplikation med et neutralt (ved multiplikation) element i feltet F bevarer en vektor ).
$(\alpha +\beta )\mathbf {x} =\alpha \mathbf {x} +\beta \mathbf {x}$ ( distributivitet af multiplikation med en vektor med hensyn til addition af skalarer );
$\alpha (\mathbf {x} +\mathbf {y} )=\alpha \mathbf {x} +\alpha \mathbf {y}$ ( distributivitet af multiplikation med en skalar med hensyn til vektoraddition ).

Euklidiske rum , affine rum , såvel som mange andre rum studeret i geometri , er defineret ud fra et vektorrum. Automorfier af et vektorrum over et felt danner en gruppe under multiplikation , der er isomorf med gruppen af ikke-degenererede kvadratmatricer , som forbinder lineær algebra med gruppeteori , især med teorien om lineære repræsentationer af grupper [5] .

Overgangen fra n-dimensionelle vektorrum brugt i lineær algebra til uendelig-dimensionelle lineære rum blev afspejlet i nogle sektioner af funktionel analyse [4] . En anden naturlig generalisering er ikke at bruge et felt, men en vilkårlig ring . For et modul over en vilkårlig ring holder de grundlæggende sætninger i lineær algebra ikke. Generelle egenskaber for vektorrum over et felt og moduler over en ring studeres i algebraisk K-teori [5] .

Generel algebra

Generel algebra omhandler studiet af forskellige algebraiske systemer. Den omhandler egenskaberne ved operationer på objekter, uanset objekternes faktiske karakter [2] . Det omfatter primært teorien om grupper og ringe. Generelle egenskaber, der er karakteristiske for begge typer algebraiske systemer, førte til overvejelse af nye algebraiske systemer: gitter, kategorier, universelle algebraer, modeller, semigrupper og kvasigrupper. Ordnede og topologiske algebraer, delvist ordnede og topologiske grupper og ringe hører også til den generelle algebra [6] .

Den nøjagtige grænse for den generelle algebra er ikke defineret. Det kan også omfatte teorien om felter, endelige grupper, endelig-dimensionelle Lie-algebraer [6] .

Gruppeteori

Et ikke-tomt sæt med en binær operation defineret kaldes en gruppe, hvis følgende aksiomer er sande: $G$ $*\,\colon G\times G\to G$ $(G*)$

associativitet :; $\foralt (a,b,c\i G):(a*b)*c=a*(b*c)$
tilstedeværelsen af et neutralt element : ; $\eksisterer e\i G\quad \forall a\in G:(e*a=a*e=a)$
tilstedeværelsen af et omvendt element : $\forall a\in G\quad \exists a^{-1}\in G:(a*a^{-1}=a^{-1}*a=e)$

Begrebet en gruppe opstod som et resultat af en formel beskrivelse af geometriske objekters symmetri og ækvivalens. I Galois-teorien , som gav anledning til begrebet en gruppe, bruges grupper til at beskrive symmetrien af ligninger, hvis rødder er rødderne til en polynomisk ligning . Grupper bruges allestedsnærværende i matematik og naturvidenskab, ofte for at opdage objekters indre symmetri ( automorfigrupper ). Næsten alle strukturer af generel algebra er specielle tilfælde af grupper.

Ringteori

En ring er et sæt R , hvor der er givet to binære operationer : + og × (kaldet addition og multiplikation ), med følgende egenskaber:

$\foralt a,b\in R\venstre(a+b=b+a\højre)$ — kommutativitet af tilføjelse;
$\foralt a,b,c\i R\venstre(a+(b+c))=((a+b)+c\højre)$ - associativitet af tilføjelse;
$\exists 0\in R\;\forall a\in R\left(a+0=0+a=a\right)$ - eksistensen af et neutralt element med hensyn til addition;
$\foralt a\i R\;\eksisterer b\i R\venstre(a+b=b+a=0\højre)$ - eksistensen af det modsatte element med hensyn til addition;
$\foralt a,b,c\in R\;(a\ gange b)\ gange c=a\ gange (b\ gange c)$ - associativitet af multiplikation (nogle forfattere kræver ikke, at dette aksiom er opfyldt [7] )
$\foralt a,b,c\i R\venstre\{{\begin{matrix}a\gange (b+c)=a\gange b+a\gange c\\(b+c)\ gange a=b \times a+c\times a\end{matrix}}\right.$ - distributionsevne .

Universal algebra

Universal algebra er en særlig gren af generel algebra, der beskæftiger sig med studiet af egenskaber, der er karakteristiske for alle algebraiske systemer. Et algebraisk system er et vilkårligt ikke-tomt sæt med et givet (muligvis uendeligt) sæt af finite-array-operationer på sig og finite-array-relationer: , , . Sættet i dette tilfælde kaldes systemets bærer (eller hovedsæt), sættet af funktionelle symboler og prædikatsymboler med deres arities er dets signatur . Et system med et tomt sæt af relationer kaldes en universel algebra (i fagets kontekst - oftere blot en algebra), og med et tomt sæt af operationer - en model eller et system af relationer, et relationssystem. ${\mathfrak {A}}=\langle A,F,R\rangle$ $F=\langle f_{1}:A^{n_{1}}\to A,\dots f_{i}:A^{n_{i}}\to A,\dots \rangle$ $R=\langle r_{1}\subseteq A^{m_{1}},\dots r_{i}\subseteq A^{m_{i}},\dots \rangle$ $EN$ $\langle F,R,\langle n_{1},\dots n_{i},\dots \rangle ,\langle m_{1}\dots m_{i},\dots \rangle \rangle$

I universel algebra-termer er en ring for eksempel en universel algebra , således at algebraen er en Abelsk gruppe, og operationen er venstre og højre distributiv med hensyn til . En ring siges at være associativ, hvis den multiplikative gruppeoid er en semigruppe . $\venstre(R,+,\gange\højre)$ $\venstre(R,+\højre)$ $+$ $\ gange$

Afsnittet betragter både korrekte universelle algebraer og ledsagende strukturer: monoiden af alle endomorfier , gruppen af alle automorfier , gitteret af alle subalgebraer og alle kongruenser [8] . $\mathbf {End} {\mathfrak {A}}$ $\mathbf {Aut} {\mathfrak {A}}$ $\mathbf {Sub} {\mathfrak {A}}$ $\mathbf {Con} {\mathfrak {A}}$

Universal algebra er i skæringspunktet mellem logik og algebra [6] .

Historisk disposition

Oprindelsen af algebra går tilbage til oldtiden. Aritmetiske operationer på naturlige tal og brøker - de enkleste algebraiske operationer - findes i tidlige matematiske tekster [3] . Tilbage i 1650 f.Kr. e. Egyptiske skriftlærde kunne løse abstrakte ligninger af første grad og de simpleste ligninger af anden grad, disse inkluderer opgave 26 og 33 fra Rinda-papyrus og opgave 6 fra Moskva-papyrus (de såkaldte "aha"-problemer). Det antages, at løsningen af problemer var baseret på reglen om falsk holdning [9] . Den samme regel blev dog ekstremt sjældent brugt af babylonierne [10] .

Babylonske matematikere vidste, hvordan man løser andengradsligninger. De beskæftigede sig kun med positive koefficienter og rødder af ligningen, da de ikke kendte negative tal. Ifølge forskellige rekonstruktioner i Babylon kendte de enten reglen for kvadratet af summen eller reglen for produktet af summen og forskellen, men metoden til at beregne roden er helt i overensstemmelse med den moderne formel. Der er også ligninger af tredje grad [11] . Derudover blev der introduceret særlig terminologi i Babylon, sumeriske kileskriftstegn blev brugt til at betegne det første ukendte ("længde"), det andet ukendte ("bredde"), det tredje ukendte ("dybde"), såvel som forskellige afledte mængder ("felter" som produkter af "længde" og "bredde", "volumen" som et produkt af "længde", "bredde" og "dybde"), hvilket kan betragtes som matematiske symboler, da det akkadiske sprog allerede blev brugt i almindelig tale . På trods af den åbenlyse geometriske oprindelse af opgaverne og termerne, blev de brugt abstrakt, især blev "areal" og "længde" betragtet som homogene [10] . For at løse andengradsligninger var det nødvendigt at kunne udføre forskellige identiske algebraiske transformationer, for at operere med ukendte størrelser. Således blev en hel klasse af problemer identificeret, til hvis løsning det er nødvendigt at bruge algebraiske teknikker [11] .

Efter at inkommensurabiliteten af siden og diagonalen af et kvadrat blev opdaget, oplevede græsk matematik en krise, hvis opløsning blev lettet af valget af geometri som grundlag for matematik og definitionen af algebraiske operationer for geometriske størrelser. Geometrisk algebra er emnet for den anden bog af Euklids elementer , værker af Archimedes og Apollonius . Ved hjælp af segmenter , rektangler og parallelepipeder , addition og subtraktion, blev et produkt (et rektangel bygget på to segmenter) defineret. En sådan repræsentation gjorde det muligt at bevise den distributive lov om multiplikation med hensyn til addition, identiteten for kvadratet af summen. Algebra var oprindeligt baseret på planimetri og tilpasset primært til at løse andengradsligninger [12] . Samtidig reduceres de problemer , som pythagoræerne formulerede om at fordoble terningen og tredele vinklen , og konstruere regulære polygoner [13] til algebraiske ligninger . Løsningen af kubiske ligninger blev udviklet i værker af Archimedes (værkerne "Om sfæren og cylinderen" og "Om konoider og sfæroider"), som studerede ligningen i generel form . Individuelle problemer blev løst ved hjælp af keglesnit [14] . $x^{3}+ax+b=0$

En uventet overgang til algebra baseret på aritmetik fandt sted i Diophantus ' værker , som introducerede bogstavbetegnelser: han kaldte det ukendte tal "tal", anden potens af det ukendte - "kvadrat", den tredje - "terning", den fjerde - "square-square", den femte - "square-cube", den sjette - "cube-cube". Han introducerede også notationen for negative potenser, det frie led, det negative tal (eller subtraktion) og lighedstegnet. Diophantus kendte og brugte reglen for at overføre, hvad der trækkes fra en del af en ligning til en anden, og reglen for reduktion af lige led [15] . Ved at udforske ligningerne for tredje og fjerde grad bruger Diophantus metoder til geometrisk algebra til at finde et rationelt punkt på en kurve, såsom at tegne en tangent ved et rationelt punkt i en kurve eller tegne en ret linje gennem to rationelle punkter. I det 10. århundrede blev Diophantus' Aritmetik, hvori han skitserede sine metoder, oversat til arabisk, og nåede i det 16. århundrede Vesteuropa, hvilket påvirkede Fermats og Vietas værker . Diophantus ideer kan også ses i værker af Euler , Jacobi , Poincare og andre matematikere frem til begyndelsen af det 20. århundrede. På nuværende tidspunkt tilskrives Diophantus problemer normalt til algebraisk geometri [16] .

2000 år før vores tid løste kinesiske videnskabsmænd førstegradsligninger og deres systemer samt andengradsligninger (se Matematik i ni bøger ). De kendte allerede negative og irrationelle tal. Da hvert tegn på kinesisk står for et begreb, var der ingen forkortelser. I det 13. århundrede opdagede kineserne loven om dannelse af binomiale koefficienter, nu kendt som " Pascals trekant ". I Europa blev den opdaget kun 250 år senere [17] .

Udtrykket "algebra" er taget fra arbejdet af den centralasiatiske videnskabsmand Al-Khwarizmi " En kort bog om beregningen af al-jabr og al-muqabala " ( 825 ). Ordet "al-jabr" betød i dette tilfælde operationen med at overføre det subtraherede fra en del af ligningen til en anden, og dets bogstavelige betydning er "genopfyldning" [1] .

I det 12. århundrede kom algebra til Europa. Siden den tid begynder dens hurtige udvikling. Metoder til løsning af ligninger på 3 og 4 grader blev opdaget. Negative og komplekse tal er blevet udbredt. Det er blevet bevist, at enhver ligning over 4. grad ikke kan løses på en algebraisk måde.

Indtil anden halvdel af det 20. århundrede var den praktiske anvendelse af algebra hovedsageligt begrænset til at løse algebraiske ligninger og ligningssystemer med flere variable. I anden halvdel af det 20. århundrede begyndte den hurtige udvikling af en række nye teknologigrene. Elektroniske computere , enheder til lagring, behandling og transmission af information og radar- lignende overvågningssystemer dukkede op . Designet af nye typer teknologi og deres anvendelse er utænkeligt uden brug af moderne algebra. Så elektroniske computere er arrangeret efter princippet om endelige automater . Boolske algebrametoder bruges til at designe elektroniske computere og elektroniske kredsløb . Moderne computerprogrammeringssprog er baseret på principperne i teorien om algoritmer . Sætteori bruges i computergenfindings- og informationslagringssystemer . Kategoriteori bruges i mønstergenkendelsesproblemer , der definerer semantikken i programmeringssprog og andre praktiske problemer. Kodning og afkodning af information sker ved hjælp af gruppeteoretiske metoder . Teorien om tilbagevendende sekvenser bruges i driften af radarer . Økonomiske beregninger er umulige uden brug af grafteori . Matematisk modellering gør udstrakt brug af alle grene af algebra.

Noter

↑ 1 2 Alexandrova N. V. Matematiske termer (Opslagsbog). Moskva: Higher School, 1978, s. 6.
↑ 1 2 Algebra // Great Soviet Encyclopedia : [i 30 bind] / kap. udg. A. M. Prokhorov . - 3. udg. - M . : Sovjetisk encyklopædi, 1969-1978.
↑ 1 2 Vinogradov I. M. Algebra // Mathematical Encyclopedia. - M . : Soviet Encyclopedia, 1977.
↑ 1 2 Lineær algebra // Great Soviet Encyclopedia : [i 30 bind] / kap. udg. A. M. Prokhorov . - 3. udg. - M . : Sovjetisk encyklopædi, 1969-1978.
↑ 1 2 3 Vinogradov I. M. Lineær algebra // Mathematical Encyclopedia. - M . : Soviet Encyclopedia, 1977.
↑ 1 2 3 Vinogradov I. M. Generel algebra // Matematisk encyklopædi. - M . : Soviet Encyclopedia, 1977.
↑ Algebra - artikel fra Mathematical Encyclopedia
↑ Vinogradov I. M. Universal Algebra // Mathematical Encyclopedia. - M . : Soviet Encyclopedia, 1977.
↑ History of mathematics, bind I, 1970 , s. 29-30.
↑ 1 2 Mathematics historie, bind I, 1970 , s. 42.
↑ 1 2 Mathematics historie, bind I, 1970 , s. 42-46.
↑ History of mathematics, bind I, 1970 , s. 78-80.
↑ History of mathematics, bind I, 1970 , s. 82-86.
↑ History of mathematics, bind I, 1970 , s. 86-87.
↑ History of mathematics, bind I, 1970 , s. 144-146.
↑ History of mathematics, bind I, 1970 , s. 146-150.
↑ M. Ya. Vygodsky "Håndbog i elementær matematik"

Litteratur

Matematikkens historie: i 3 bind / redigeret af A.P. Yushkevich . - M . : Nauka, 1970. - T. I: Fra oldtiden til begyndelsen af den nye tidsalder.
Nikiforovsky V. A. Fra historien om algebra i XVI-XVII århundreder. - M . : Nauka, 1979. - S. 174-204. — 208 s. — (Videnskabens og teknologiens historie).

Links

Algebra hos Curlie Links Directory (dmoz)
Oplysninger i begyndelsen af det 20. århundrede : Algebra // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : i 86 bind (82 bind og 4 yderligere). - Sankt Petersborg. , 1890-1907.

Ordbøger og encyklopædier

I bibliografiske kataloger
BNE : XX527665 BNF : 119308580 GND : 4001156-2 J9U : 987007293933405171 LCCN : sh85003425 NDL : 00561221 NKC : ph114025

Grene af matematik

Portal "Science"

Grundlaget for matematik mængdeteori matematisk logik logikkens algebra

Talteori ( aritmetik )

Algebra
Elementær algebra	Ligningsløsning
Lineær algebra	Vektorregning matricer Tensorregning Multilineær algebra
Generel algebra	Kommutativ algebra Repræsentationsteori Differentiel algebra Homologisk algebra Universal Algebra Kategori teori

Analyse
Klassisk analyse	Differentialregning Integralregning
Funktionsteori	Harmonisk analyse Kvaternion Analyse Kompleks analyse måle teori Teori om funktioner af en reel variabel funktionel analyse Variationsberegning
Differential- og integralligninger	Dynamiske systemer og ergodisk teori Differentialligninger almindelig i partielle derivater Integralligninger
Vektoranalyse Global Analyse Katastrofe teori Tilpasset analyse Glat infinitesimal analyse

Geometri og topologi
Geometri	Algebraisk geometri Analytisk geometri Euklidisk geometri Ikke-euklidisk geometri Planimetri Stereometri
Topologi	Generel topologi Algebraisk topologi Differentialgeometri og topologi

Diskret matematik
Kombinatorik grafteori

Anvendt matematik
Matematisk fysik Matematisk kemi matematisk biologi Matematik statistik Matematisk modellering Teori om algoritmer Numeriske metoder matematisk økonomi finansiel matematik Sandsynlighedsteori Operationsforskning Spilteori

Portal "Matematik"
Kategori "Matematik"