Kompleks fly

Den komplekse [1] plan er en geometrisk repræsentation af mængden af komplekse tal . $\mathbb {C}$

Et punkt på et todimensionalt reelt plan med koordinater repræsenterer et komplekst tal , hvor: $\mathbb {R} ^{2}$ $(x,y)$ $z=x+iy$

x=\mathrm {Re} \,z

er den reelle (virkelige) del af det komplekse tal,

y=\mathrm {Im} \,z

er dens imaginære del.

Med andre ord svarer et komplekst tal til en radiusvektor med koordinater.Algebraiske operationer på komplekse tal svarer til operationer på deres tilsvarende punkter eller vektorer. Således får forskellige relationer mellem komplekse tal en visuel repræsentation på det komplekse plan: $z=x+iy$ $(x,y).$

addition af komplekse tal svarer til addition af radiusvektorer;
multiplikation med et komplekst tal svarer til at dreje radiusvektoren med en vinkel og strække radiusvektoren med en faktor; ${\displaystyle re^{i\varphi ))$ $\varphi$ $r$
de n'te rødder af et tal er placeret i spidserne af en regulær n-gon centreret ved origo.

Kompleks værdisatte funktioner af en kompleks variabel fortolkes som afbildninger af det komplekse plan ind i sig selv. Konforme kortlægninger spiller en særlig rolle i komplekse analyser .

Sætter i det komplekse plan

Åbn sæt

Det grundlæggende begreb om et kvarter introduceres på det komplekse plan meget enkelt - et kvarter til et punkt er et sæt af formen . Geometrisk har kvartererne på det komplekse plan en meget enkel form - de er blot cirkler med et centrum på bestemte punkter i det komplekse plan. Nogle gange er det for nemheds skyld nødvendigt at overveje punkterede kvarterer . ${{\mathcal U}}_{{z_{0}}}$ $z_{0}\in {\mathbb C}$ ${{\mathcal U}}_{{z_{0}}}=\{z\colon |z-z_{0}|<r\},\,r>0$ ${\dot {{\mathcal U}}}_{{z_{0}}}={{\mathcal U}}_{{z_{0}}}\setminus \{z_{0}\}$

Lad os nu definere et åbent sæt - ifølge en af varianterne af den klassiske definition fra generel topologi, vil et sæt være åbent , hvis det for nogen af dets punkter indeholder noget af dets naboskab. Vi har allerede definitionen af kvarteret, henholdsvis det åbne sæt er ikke helt defineret. $\mathbb {C}$

Grænsepunkt og lukket sæt

Det vil heller ikke være svært at bestemme grænsepunktet - punktet vil være grænse for sættet, hvis krydset ikke er tomt for et vilkårligt kvarter. Et punkt er med andre ord begrænsende, hvis det altid vil være muligt at finde punkter i sættet i en vilkårlig "nærhed" til det. Sættet af grænsepunkter kaldes undertiden afledte og betegnes . $z_{0}\in {\mathbb C}$ $G\subset \mathbb {C}$ ${{\mathcal U}}_{{z_{0}}}$ ${{\mathcal U}}_{{z_{0}}}\cap G$ $G'$

Et sæt vil blive kaldt lukket , hvis inkluderingen er sand for det . Det ses tydeligt, at for et vilkårligt sæt vil sættet være lukket; det kaldes lukningen af sættet . $G\subset \mathbb {C}$ $G'\delmængde G$ $G$ $\overline {G}=G\kop G'$ $G$

Border

Et punkt vil blive kaldt et grænsepunkt for sættet, hvis skæringspunkterne for et vilkårligt kvarter ikke er tomme. Mættet af alle grænsepunkter kaldes grænsesættet eller blot grænsen . $z_{0}\in {\mathbb C}$ $G\subset \mathbb {C}$ ${{\mathcal U}}_{{z_{0}}}$ ${{\mathcal U}}_{{z_{0}}}\cap G$ ${{\mathcal U}}_{{z_{0}}}\cap ({{\mathbb C}}\setminus G)$ $\delvis G$

Overalt tætte sæt

Et sæt kaldes overalt tæt i et andet sæt, hvis krydset ikke er tomt for et vilkårligt punkt og et hvilket som helst kvarter . $E\delsæt {\mathbb C}$ $G\subset \mathbb {C}$ $z_{0}\i G$ ${{\mathcal U}}_{{z_{0}}}$ ${{\mathcal U}}_{{z_{0}}}\cap E$

Forbindelse

Afstand mellem sæt

Som det er kendt fra elementær matematik, er afstanden mellem to punkter på det komplekse plan lig med modulet af deres forskel. Lad os nu definere afstanden mellem et punkt og et sæt som en værdi . $z_{0}$ $G\subset \mathbb {C}$ ${\mathrm {dist}}\,(z_{0},G)=\inf _{{z\in G}}|z-z_{0}|$

Baseret på dette koncept er det allerede muligt at bestemme afstanden mellem to vilkårlige sæt i : . $\mathbb {C}$ ${\mathrm {dist}}\,(G_{1},G_{2})=\inf _{{z\i G_{1}}}{\mathrm {dist}}\,(z,G_{2 })=\inf _{{z\in G_{2}}}{\mathrm {dist}}\,(z,G_{1})$

Forbindelse

Et sæt kaldes forbundet , hvis det opfylder relationen . Hvis denne værdi ikke er lig med nul, kaldes sættet disconnected . Det kan vises, at et frakoblet sæt kan repræsenteres som en forening (endelig eller tællig) , hvor der er ikke-skærende forbundne sæt, kaldet forbundne komponenter af sættet . Kardinaliteten af et sæt forbundne komponenter kaldes tilslutningsrækkefølgen . $G\subset \mathbb {C}$ $\inf _{{z_{1},z_{2}\in G}}|z_{1}-z_{2}|=0$ $G$ $\sum G_{n}$ $G_{n}$ $G$

Konvekse, stjerne- og stiforbundne sæt

Et sæt kaldes stjerneformet med hensyn til et punkt, hvis inklusionen gælder for et vilkårligt punkt . $G\subset \mathbb {C}$ $z_{0}\i G$ $z\in G$ $\overline {z_{0}z}\delsæt G$

Et sæt kaldes konveks , hvis det er stjerneformet med hensyn til nogen af dets punkter. Et sæt kaldes det konvekse skrog af et sæt, hvis det er konveks, og for ethvert konveks sæt , der indeholder sættet , gælder inklusion . $G\subset \mathbb {C}$ $G^{*}$ $G$ $G\undersæt G^{*}$ $G^{{**}}$ $G$ $G^{*}\delsæt G^{{**}}$

En stiplet linje er et sæt punkter i det komplekse plan, repræsenteret som en forening af segmenter. Et sæt kaldes stiforbundet , hvis der for to vilkårlige punkter er en polylinje , sådan at . $\Gamma$ $G$ $z_{1},z_{2}\i G$ $\Gamma \delsæt G$ $z_{1},z_{2}\i \Gamma$

Det kan bevises, at ethvert stiforbundet sæt vil blive forbundet. Dette indebærer umiddelbart, at alle konvekse og stjernesæt er forbundet.

Kurver på $\mathbb {C}$

Kurver og stier

En kurve eller en sti på det komplekse plan er en kortlægning af formen . Det er især værd at bemærke, at med en sådan definition er det muligt at specificere ikke kun typen af kurven, som vil afhænge af funktionens analytiske egenskaber , men også dens retning . For eksempel vil funktionerne og definere en kurve, der er ens i udseende, men som kan krydses i modsatte retninger. $\mathbb {C}$ $\varphi (t)\colon [0;1]\to {\mathbb C}$ $\varphi (t)$ $\varphi (t)$ $\eta (t)=\varphi (1-t)$

Homotopi af kurver

Kurver og kaldes homotopiske , hvis der findes en kurve afhængig af parameteren på en sådan måde, at og . $\varphi _{0}(t)\colon [0;1]\to {\mathbb C}$ $\varphi _{1}(t)\colon [0;1]\to {\mathbb C}$ $\xi (t,q)\colon [0;1]\ gange [0;1]\til {\mathbb C}$ $q$ $\xi (t,0)\equiv \varphi _{0}$ $\xi (t,1)\equiv \varphi _{1}$

Analytisk geometri på det komplekse plan

Studiet af flyvefigurer lettes ofte, hvis de overføres til det komplekse plan. Mange planimetriske sætninger tillader en klar og kompakt notation ved hjælp af komplekse tal, for eksempel [2] :

Tre (særskilte) punkter ligger på samme linje, hvis og kun hvis følgende betingelse er opfyldt: ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3))$

{\frac {z_{1}-z_{3}}{z_{2}-z_{3}}}

er et reelt tal.

Fire (særskilte) punkter ligger på samme cirkel (eller på samme linje), hvis og kun hvis følgende betingelse er opfyldt: ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},z_{4))$

forholdet er et reelt tal.

{\frac {z_{1}-z_{3}}{z_{2}-z_{3}}}:{\frac {z_{1}-z_{4}}{z_{2}- z_{4}}}

Hvis der er givet tre spidser af et parallelogram : så bestemmes det fjerde af ligheden [3] : $z_{1},z_{2},z_{3},$ $z_{4}=z_{1}-z_{2}+z_{3}.$

Den parametriske ligning for en ret linje på det komplekse plan har formen [4] :

z=ud+v,

hvor er komplekse tal, er en vilkårlig reel parameter.

u, v

u\neq 0,t

Vinklen mellem to linjer og er Især linjerne er vinkelrette , når er et rent imaginært tal. To linjer er parallelle, hvis og kun hvis der er et reelt tal; hvis også reelle, så falder begge linjer sammen. Hver lige linje skærer det komplekse plan i to halvplaner: på den ene af dem er udtrykket positivt, på det andet er det negativt [4] . $z=ut+v$ $z=u't+v'$ $\operatørnavn {arg} (u'/u).$ $u'/u$ $u'/u$ $(v'-v)/u$ $z=ut+v$ $t=\operatørnavn {Im} {\frac {zv}{u}}$

Ligningen af en cirkel med centrum og radius har en yderst simpel form: Uligheden beskriver det indre af en cirkel [4] . Den parametriske form af cirkelligningen er ofte praktisk [5] : $c$ $r$ $|zc|=r.$ $|zc|<r$ $z=c+e^{i\varphi }.$

Det udvidede komplekse plan og punktet ved uendelig

I kompleks analyse er det ofte nyttigt at betragte det udvidede komplekse plan [6] forstærket sammenlignet med det sædvanlige punkt ved uendelig : $(z=\infty )$

{\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}

Geometrisk er et punkt repræsenteret af et punkt på Riemann-sfæren (dens "nordpol"). $\infty$

Med denne tilgang anses en uendeligt stigende (modulo) sekvens for at konvergere til et uendeligt punkt. Algebraiske operationer med uendelighed udføres ikke, selvom flere algebraiske relationer gælder [6] :

${\frac {z}{\infty }}=0;\ \ z+\infty =\infty \ (z\neq \infty )$
$z\cdot \infty =\infty ;\ \ {\frac {z}{0}}=\infty \ (z\neq 0)$

$\varepsilon$ Et punkts -kvarter ved uendelighed anses for at være det sæt af punkter, hvis modul er større end , det vil sige den ydre del af -kvarteret af oprindelsen. $z$ $1 \over \varepsilon$ $1 \over \varepsilon$

Det udvidede komplekse plan kaldes også Riemann-sfæren , da den er isomorf i forhold til den almindelige sfære (isomorfi kan f.eks. etableres ved hjælp af stereografisk projektion ). Funktioner med kompleks værdi kan i nogle tilfælde udvides til Riemann-sfæren. Da linjer på planet (under stereografisk projektion) bliver til cirkler på kuglen, der indeholder et punkt i det uendelige, er det mere bekvemt at overveje komplekse funktioner på kuglen. $S^{2}$ [ afklare ]

Noter

↑
Dobbeltspændingen er givet i henhold til følgende kilder.
- Great Soviet Encyclopedia , 3. udg. (1973), bind 12, s. 588, artikel Komplekse tal .
- Soviet Encyclopedic Dictionary (1982), s. 613, artikel Kompleks nummer .
- Den seneste udgave af "Ordbog over det russiske sprogs vanskeligheder" (Rosenthal D. E., Telenkova M. A., Iris-press, 2005, s. 273) angiver begge muligheder: "komplekse (komplekse) tal."
- I Great Russian Encyclopedia (Volume 14, 2010) tilbydes accenterne Complex number (s. 691), men Complex analyse (s. 695) samtidigt.
↑ Privalov I.I., 1984 , s. 43.
↑ Solomentsev E. D., 1988 , s. ti.
↑ 1 2 3 Ahlfors Lars V., 1979 , s. 17-18.
↑ Solomentsev E. D., 1988 , s. 12.
↑ 1 2 Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N., 1967 , s. 20-21.

Litteratur

Arnold V. I. Geometri af komplekse tal, kvaternioner og spins , MTsNMO, 2002.
Pontryagin L. Complex numbers , Kvant , nr. 3, 1982.
Privalov II Introduktion til teorien om funktioner af en kompleks variabel. - 13. udgave - M . : Fizmatlit, 1984. - 432 s.
Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Teori om funktioner af en kompleks variabel - M. : Nauka, 1967. - 304 s.
Solomentsev ED Funktioner af en kompleks variabel og deres anvendelser. - M . : Højere skole, 1988. - 167 s. — ISBN 5-06-003145-6 .
Shabat B. V. Introduktion til kompleks analyse: En lærebog for studerende i mekanik og matematik ved universiteter, St. Petersborg: 2004.
Ahlfors Lars V. Kompleks analyse. En introduktion til teorien om analytiske funktioner af en kompleks variabel. — Tredje Udgave. - Harvard University: McGraw-Hill Book Company, 1979. - 317 s. — ISBN 0-07-000657-1 .