Multipel integral

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 27. december 2020; verifikation kræver 1 redigering .

I matematisk analyse er et multipel- eller multipelintegral et sæt integraler taget fra variabler. For eksempel: $\d > 1$

{\displaystyle \underbrace {\int \cdots \int } _{d}f(x_{1},\ldots ,x_{d})dx_{1}\cdots dx_{d))

Bemærk: et multipelintegral er et bestemt integral, og når det beregnes, opnås altid et tal.

Definition af et multipelt integral

Lad være et målbart [1] sæt af et n-dimensionelt reelt rum, være en funktion på . $B\sub \R^n$ $f:B\til\R$ $B$

En partition af et sæt $\sigma$ er et sæt af parvise usammenhængende delmængder , der kombineres for at give alt . $B$ $\sigma =\left\{{{U}_{i}}\subset B\right\}$ $B$

Finheden af skillevæggen er den største diameter af sættene . $\venstre| \sigma \right|$ $U_i \in \sigma$

\venstre| \sigma \right|=\max \left\{ \operatørnavn{diam}\left( {{U}_{i}} \right) \right\}

En partition kaldes finit , hvis den er en finit mængde, og målbar , hvis alle dens elementer er målbare (i dette tilfælde ifølge Jordan) mængder.

Et multipelt (n-fold) integral af en funktion i en mængde er et tal (hvis det findes), sådan at der, uanset hvor lille kvarteret til tallet vi sætter, altid er en sådan partition af mængden og et sæt af mellemliggende punkter, at summen af produkterne af værdien af funktionen ved mellempunktet for partitionen på partitionsmålet vil falde ind i dette kvarter. Formelt: $f$ $B$ $jeg$ $\varepsilon$ $jeg$ $B$

\forall \varepsilon>0\;\; \eksisterer\delta>0

: :

\sigma = \{ U_i \}_{i=1}^{m}

\venstre| \sigma \right|<\delta \; \forall \xi_i \in U_i \; \; \venstre| {\sum_{i=1}^{m}f(\xi_i)\mu(U_i) - I} \right| < \varepsilon

Her er sættets mål . $\mu(U_i)$ $U_{i}$

Denne definition kan formuleres i en anden form ved hjælp af integrale summer. Nemlig, for en given partition og et sæt punkter , skal du overveje den integrale sum $\sigma = \{ U_i \}_{i=1}^{m}$ $\xi = \{ \xi_i \in U_i \}$

\zeta(f,\sigma, \xi) = \sum_{i=1}^mf(\xi_i) \mu(U_i)

Multiple integralet af en funktion er grænsen $f:B\til \R$

I = \lim_{\venstre| \sigma \right|\to 0} \zeta(f,\sigma,\xi)

hvis det findes. Grænsen overtages af sættet af alle sekvenser af partitioner, med finhed, der har tendens til 0. Denne definition adskiller sig naturligvis fra den foregående, faktisk kun i det anvendte sprog.

Integralet er angivet som følger:

I vektorform [2]

\int\limits_{G}{f\left( X \right)dX}=I

Eller de sætter de integrale ikontider , skriver funktionen og differentialer ned: . $\d$ $\d$ $\underbrace{\int{\cdots }\int }_{d}f({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}})d{{x}_{1} }\cdots d{{x}_{d}}=I$
For dobbelt- og tredobbelte integraler bruges også notationen og hhv. $\int$ $\iiiint$

I moderne matematiske og fysiske artikler bruges den gentagne brug af integraletegnet ikke.

Sådan et multipelt integral kaldes et egentligt integral .

I tilfældet er multipelintegralet det samme som Riemannintegralet . $n=1$

Eksistensen af et multipelt integral

Tilstrækkelige forhold

Hvis en funktion er kontinuerlig på et Jordan-målbart kompakt sæt, så kan den integreres på det.
- En ubegrænset funktion på et sæt er muligvis ikke integrerbar, selvom den er kontinuerlig. For eksempel kan funktionen ikke integreres på intervallet . $y=1/x$ $\venstre( 0;1 \højre)$
Hvis en funktion er defineret på et Jordan-målbart sæt, som har vilkårligt små partitioner, for hvilke den givne funktion er ubegrænset på foreningen af alle deres elementer af positive mål, så er denne funktion ikke integrerbar på dette sæt.

Darboux-kriterium

Lad der være øvre og nedre Darboux-integraler af funktionen på . Så, hvis de øvre og nedre Darboux-integraler er ens, så kan denne funktion integreres på , og: $jeg^*$ $JEG_*$ $G$ $G$

I^*=I_*=\int\limits_{G}{f\left( X \right)dX}

Lebesgue kriterium

Lad være et Jordan målbart sæt. Funktionen kan integreres på, hvis: $G$ $G$

Funktionen er begrænset til . $G$
Funktionen er kontinuerlig tændt , hvor sættet har nul Lebesgue-mål . $G\setminus E$ $E$

Egenskaber for flere integraler

Linearitet i funktion . Lad målbare, funktioner og integrerbare på , så $\G$ $\f$ $\g$ $\G$

\forall \lambda ,\mu \in \R:~ \int\limits_{G}{\left( \lambda f+\mu g \right)dX}=\lambda \int\limits_{G}{fdX}+\ mu \int\limits_{G}{gdX}

Additivitet i forhold til integrationssættet . Lad sættene og være målbare, og . Lad også funktionen være defineret og integrerbar på hvert af sætene og . Så eksisterer integralet over og er lig med ${G}_{1}$ $G_{2}$ $G_1\cap G_2 = \varnothing$ $G_1\kop G_2 = G$ $f(X)$ $G_{1}$ $G_{2}$ $G$

\int_G f(X) dX = \int_{G_1} f(X) dX + \int_{G_2} f(X) dX

Monotonicitet i funktion . Lad målbart, fungerer og være integrerbar på , og . Derefter $G$ $f$ $g$ $G$ $\forall X\in G\colon f\left( X \right)\leqslant g\left( X \right)$

\int_G f(X)dX \leqslant \int_G g(X)dX

Integral trekant ulighed . Konsekvens af den tidligere ejendom.

\venstre| \int_G f(X)dX \right|\leqslant \int_G \left| f(X)\højre| dX

Integral middelværdisætning . Lad være kompakt, funktionen er kontinuerlig og integrerbar på , så $G$ $f(X)$ $G$

\eksisterer Y\i G\kolon \int_G f(X)dX = f(Y) \mu(G)

Konstantfunktionen kan integreres på ethvert målbart sæt , og $f(X) = c$ $G$

\int_G f(X)dX = c\cdot \mu(G)

Som en konsekvens ,. $\ \int_G dX = \mu(G)$

Beregning af flere integraler

Reduktion af et multiple integral til iterative

Lad være et målbart sæt, vær også et målbart sæt, være defineret og integrerbart på . Derefter $D\delsæt {{\mathbb{R}}^{d-1}}$ $G=\left\{ \left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right):\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right)\in D;\varphi \left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right )\le {{x}_{d}}\le \psi \left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right) \right\}$ $f\venstre( X\højre)$ $\G$

$\int \limits _{\ \varphi \left({{x}_{1)),\ldots ,{{x}_{d-1}}\right)}^{\psi \left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}}\right)}{f\left({{x}_{1}},\ldots,{{x} _{d}}\right)d{{x}_{d}}}\equiv I\left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}}\ ret)$ findes overalt på , bortset fra et sæt Lebesgue-mål nul ( kan være tom); $D$ $D_0$ $D_0$
findes hvor $\int \limits _{D}{\tilde {I}}\left({{x}_{1)),\ldots ,{{x}_{d-1}}\right)d{ {x}_{1}}\ldots d{{x}_{d-1}}\equiv \int \limits _{D}{\left[\int \limits _{\,\varphi \left({ {x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}}\right)}^{\psi \left({{x}_{1}}),\ldots ,{{ x }_{d-1}}\right)}{f\left({{x}_{1}},\ldots,{{x}_{d}}\right)d{{x}_{ d }}}\right]d{{x}_{1}}\ldots d{{x}_{d-1}}}$

\tilde I\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right) \equiv \begin{cases} I\left( {{x}_{ 1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right), & ({{x}_{1}},\ldots,{{x}_{d-1}}) \ i D \backslash D_0 \\ \qquad \quad 0 & ({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}}) \i D_0, \end{cases}

kaldes det itererede integral af en funktion over et sæt ;

f\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right)

G

$\int \limits _{G}{f\left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}}\right)d{{x}_{1} }\ldots d{{x}_{d}}}=\int \limits _{D}{\left[\int \limits _{\,\varphi \left({{x}_{1}}, \ldots ,{{x}_{d-1}}\right)}^{\psi \left({{x}_{1}},\ldots,{{x}_{d-1}}\ højre)}{f\venstre({{x}_{1}},\ldots,{{x}_{d}}\right)d{{x}_{d}}}\right]d{{ x}_{1}}\ldots d{{x}_{d-1}}}$ .

Ethvert d-dimensionelt integral kan reduceres til d endimensionelle.

Ændring af variable i et multipelt integral

Lad en bijektiv mapping gives , der transformerer domænet til : ${{\mathbb{R}}^{d}} \leftrightarrow {{\mathbb{R}}^{d}}$ $\ {{D}'}$ $\D$

\left\{ \begin{align} {{t}_{1}}={{\psi }_{1}}\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_ {d}} \right) \\ {{t}_{2}}={{\psi }_{2}}\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_ {d}} \right) \\ \ldots \\ {{t}_{d}}={{\psi }_{d}}\left( {{x}_{1}},\ldots ,{ {x}_{d}} \right) \\ \end{align} \right.

hvor er de "gamle" koordinater og er de "nye" koordinater. Lad endvidere funktionerne, der definerer kortlægningen, have kontinuerte partielle afledte af første orden i domænet, såvel som en afgrænset og ikke-nul Jacobian $t$ $x$ $\ {{D}'}$

\frac{D\left( t \right)}{D\left( x \right)}=\frac{D\left( {{t}_{1}},\ldots ,{{t}_{d }} \right)}{D\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right)}

Så under den betingelse, at integralet eksisterer

\int\limits_{D}{f\left( T \right)dT}=\int{\int\limits_{D}{\ldots \int{f\left( {{t}_{1)),\ ldots ,{{t}_{d}} \right)d{{t}_{1}}\ldots d{{t}_{d}}}}}

formlen for ændring af variable er gyldig:

\int{\int\limits_{D}{\ldots \int{f\left( {{t}_{1)),\ldots ,{{t}_{d)) \right)d{{t} _{1}}\ldots d{{t}_{d}}}}}=\int{\int\limits_{{{D}'}}{\ldots \int{f\left( {{\psi }_{1}}\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right),\ldots ,{{\psi }_{d}}\left ( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right) \right)\left| \frac{D\left( {{t}_{1}},\ldots ,{{t}_{d}} \right)}{D\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right)} \right|d{{x}_{1}}\ldots d{{x}_{d}}}}}

Brug af symmetri

Hvis integrationsdomænet er symmetrisk med hensyn til oprindelsen af koordinater for mindst én af integrationsvariablerne, og integranden er ulige i denne variabel, er integralet lig med nul, da integralerne over de to halvdele af integrationsdomænet har samme absolutte værdi, men modsatte fortegn. Hvis integranden er lige over denne variabel, er integralet lig med det dobbelte af integralet over en af halvdelene af integrationsdomænet, da integralerne over hver af halvdelene er ens.

Eksempel 1. Lad funktionen integreres over domænet $f(x,y) = 2\sin(x)-3y^3+5$

T=\venstre \{ ( x,y) \i \mathbf{R}^2 \ : \ x^2+y^2\le 1 \right \},

en cirkel med radius 1 centreret ved origo.

Ved at bruge linearitetsegenskaben kan integralet dekomponeres i tre dele:

\iint_T (2\sin x - 3y^3 + 5) \, dx \, dy = \iint_T 2 \sin x \, dx \, dy - \iint_T 3y^3 \, dx \, dy + \iint_T 5 \ , dx \, dy

2sin( x ) og 3 y 3 er ulige funktioner, og det er også tydeligt, at skiven T er symmetrisk om både x -aksen og y -aksen . Det er således kun konstant 5, der bidrager til det endelige resultat.

Eksempel 2. Lad funktionen f ( x , y , z ) = x exp( y 2 + z 2 ) integreres over en kugle med radius 2 centreret i origo,

T = \venstre \{ ( x,y, z) \i \mathbf{R}^3 \ : \ x^2+y^2+z^2 \le 4 \right \}.

"Kuglen" er symmetrisk langs alle tre akser, men det er nok at integrere langs x -aksen for at vise, at integralet er 0, da funktionen er ulige i denne variabel.

Dobbelt integral

Et dobbeltintegral er et multipelintegral med . $\d=2$

\iint\limits_{D}{f\left( P \right)d\sigma }

. Her er arealelementet i de betragtede koordinater.

\d\sigma

I rektangulære koordinater: , hvor er arealelementet i rektangulære koordinater. $\iint\limits_{D}{f\left( x,y \right)dxdy}$ $\dxdy$

Geometrisk betydning af dobbeltintegralet

Lad funktionen kun tage positive værdier i domænet. Så er det dobbelte integral numerisk lig med volumenet af et lodret cylindrisk legeme bygget på bunden og afgrænset ovenfra af det tilsvarende stykke overflade . $f\venstre(x,y\højre)$ $\D$ $\iint \limits _{D}{f\left(x,y\right)d\sigma}::$ $\V$ $\D$ $z=f\venstre( x,y\højre)$

Udtryk af dobbeltintegralet i form af polære koordinater

I nogle tilfælde er det lettere at beregne dobbeltintegralet ikke i rektangulære, men i polære koordinater , da der i dette tilfælde kan forekomme en betydelig forenkling af formen af integrationsregionen og hele integrationsprocessen som helhed.

Vi anvender sætningen om ændring af variable. Transformationen svarende til overgangen har formen:

\left\{{\begin{aligned}&x=r\cos \varphi \\&y=r\sin \varphi \end{aligned}}\right.

Modulus for kortlægningens jakobiske er . Det får vi altså $\r$

\iint \limits _{D}{f\left(x,y\right)dxdy}=\iint \limits _{{D}'}{g\left(r,\varphi \right)rdrd\ varphi },\quad

hvor .

g\left(r,\varphi \right)=f\left(r\cos \varphi ,r\sin \varphi \right)

Her er arealelementet i polære koordinater. $\rdrd\varphi$

Et eksempel på overgang til et vilkårligt koordinatsystem

Lad os beregne arealet af regionen . $D=\left\{ \left( x,y \right):{{x}^{2}}+\frac{{{y}^{2}}}{4}\le 1 \right\}$

Skift til et polært koordinatsystem vil ikke gøre området nemmere:

{D}'=\left\{ \left( r,\varphi \right):{{r}^{2}}\left( {{\cos }^{2}}\varphi +\frac{1} {4}{{\sin }^{2}}\varphi \right)\le 1 \right\}

Multiplikatoren foran sinus "interfererer". I dette tilfælde kan overgangen justeres lidt:

\left\{ \begin{align} & x=r\cos \varphi \\ & y=2r\sin \varphi \\ \end{align} \right.

Denne transformation vil oversætte det oprindelige område til følgende:

{D}''=\left\{ \left( r,\varphi \right):{{r}^{2}}\le 1 \right\}\Rightarrow \left\{ \begin{align} & 0 \le \varphi \le 2\pi \\ & 0\le r\le 1 \\ \end{align} \right.

Jacobiansk skærm:

\venstre| \begin{matrix} {{{{x}'}}_{r}} og {{{{y}'}}_{r}} \\ {{{x}'}}_{\varphi } } & {{{y}'}}_{\varphi }} \\ \end{matrix} \right|=\left| \begin{matrix} \cos \varphi & 2\sin \varphi \\ -r\sin \varphi & 2r\cos \varphi \\ \end{matrix} \right|=2r

Det Jacobianske modul er også . $2r$

Herfra

S\left( D \right)=\iint\limits_{{{D}''}}{2rdrd\varphi }=2\int\limits_{0}^{2\pi }{d\varphi }\int\ limits_{0}^{1}{rdr}=\int\limits_{0}^{2\pi }{d\varphi }=2\pi

Resultatet er korrekt, fordi området er afgrænset af ellipsen givet af den kanoniske ligning. Arealet kan beregnes ved hjælp af formlen . Ved substitution sikrer vi os, at beregningen af integralet er korrekt. $\D$ $S=\pi ab$

Anvendelser af dobbeltintegraler

Værdinavn	Generelt udtryk	Rektangulære koordinater	Polære koordinater
Areal af en flad figur	$S=\iint\limits_{G}{d\sigma }$	$\iint\limits_{G}{dxdy}$	$\iint\limits_{G}{rdrd\varphi }$
Masse af en tynd flad plade massefylde $\mu$	$m=\iint\limits_{G}{\mu \left( \sigma \right)d\sigma }$	$\iint\limits_{G}{\mu \left( x,y \right)dxdy}$	$\iint\limits_{G}{\mu \left( r,\varphi \right)rdrd\varphi }$
Overflade stykke areal $^{1)}$	$S=\iint\limits_{G}{\frac{d\sigma }{\cos \gamma }}$	$\iint\limits_{G}{\sqrt{1+{{\left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)}^{2))+{{\left( \frac{\partial z}{\partial y} \right)}^{2}}}dxdy}$	$\iint\limits_{G}{\sqrt{{{r}^{2}}+{{r}^{2}}{{\left( \frac{\partial z}{\partial \rho } \right )}^{2))+{{\left( \frac{\partial z}{\partial \varphi } \right)}^{2))}drd\varphi }$
Volumen af en cylindrisk krop, står på flyet $XOY$	$V=\iint\limits_{G}{zd\sigma }$	$\iint\limits_{G}{zdxdy}$	$\iint\limits_{G}{zrdrd\varphi }$
Inertimoment af en flad figur $^{2)}$ om aksen $O{{Z}^{3)}}$	${{I}_{z}}=\iint\limits_{G}{{{r}^{2}}d\sigma }$	$\iint\limits_{G}{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)dxdy}$	$\iint\limits_{G}{{{r}^{3}}drd\varphi }$
Inertimoment af en flad figur $^{2)}$ om aksen $O{{X}^{3)}}$	${{I}_{z}}=\iint\limits_{G}{{{y}^{2}}d\sigma }$	$\iint\limits_{G}{{{y}^{2}}dxdy}$	$\iint\limits_{G}{{{r}^{3}}{{\sin }^{2}}\varphi drd\varphi }$
Center for massekoordinater homogen plade $^{3)}$	${{x}_{c}}=\frac{1}{S}{\iint\limits_{G}{xd\sigma }}$ ${{y}_{c}}=\frac{1}{S}{\iint\limits_{G}{yd\sigma }}$	$\begin{align} & \frac{1}{S}{\iint\limits_{G}{xdxdy}} \\ & \frac{1}{S}{\iint\limits_{G}{ydxdy}} \ \ \end{align}$	$\begin{align} & \frac{1}{S}{\iint\limits_{G}{{{r}^{2}}\cos \varphi drd\varphi }} \\ & \frac{1}{ S}{\iint\limits_{G}{{{r}^{2}}\sin \varphi drd\varphi }} \\ \end{align}$
Noter	1) Område - projektion på et plan ; kun et punkt af overfladen projiceres ind i hvert punkt i området; $G$ $XOY$ $\gamma$ er vinklen mellem tangentplanet og planet . $XOY$ 2) Kombineret med flyet . $XOY$ 3) Eller, som er det samme, i forhold til centrum O.

Triple integral

Et tredobbelt integral er et multipelt integral med : $\d=3$

\iiiint\limits_{D}{f\left( P \right)dV }

hvor er volumenelementet i de betragtede koordinater. $\dV$

Udtryk af tredobbelt integralet i form af rektangulære koordinater

I rektangulære koordinater har det tredobbelte integral følgende form:

\iiiint\limits_{D} f(x,y,z) \, dx \, dy \, dz

hvor er volumenelementet i rektangulære koordinater. $\dxdydz$

Udtryk af det tredobbelte integral i form af cylindriske koordinater

Tilsvarende er det tredobbelte integral i nogle tilfælde lettere at beregne ikke i rektangulære, men i cylindriske koordinater . Vi anvender sætningen om ændring af variable. Transformationen svarende til overgangen har formen:

\left\{ \begin{align} & x=r\cos \varphi \\ & y=r\sin \varphi \\ & z=h \\ \end{align} \right.

Modulus for kortlægningens jakobiske er . Det får vi altså $\r$

\iiiint\limits_{D}{f\left( x,y,z \right)dxdydz}=\iiint\limits_{{{D}'}}{f\left( r,\varphi ,h \right)rdrd \varphi dh}

hvor er volumenelementet i cylindriske koordinater. $rdrd\varphi dh$

Udtryk af tredobbelt integralet i form af sfæriske koordinater

Ud over cylindriske koordinater kan du også skifte til sfæriske koordinater . Vi anvender sætningen om ændring af variable. Transformationen svarende til overgangen har formen:

\left\{ \begin{align} & x=r\sin \theta \cos \varphi \\ & y=r\sin \theta \sin \varphi \\ & z=r\cos \theta \\ \end{ align}\right.

Modulus for kortlægningens jakobiske er . Det får vi altså $\ {{r}^{2}}\sin \theta$

\iiiint\limits_{D}{f\left( x,y,z \right)dxdydz}=\iiint\limits_{{{D}''}}{f\left( r,\varphi ,\theta \right ){{r}^{2}}\sin \theta drd\varphi d\theta }

hvor er volumenelementet i sfæriske koordinater. ${{r}^{2}}\sin \theta drd\varphi d\theta$

Anvendelser af tredobbelte integraler

Værdinavn	Generelt udtryk	Rektangulære koordinater	Cylindriske koordinater	Kugleformede koordinater
kropsvolumen	$V=\iiiint\limits_{G}{dV }$	$\iiiint\limits_{G}{dxdydz}$	$\iiiint\limits_{G}{rdrd\varphi dh}$	$\iiiint\limits_{G}{{{\rho }^{2}}\sin \theta d\rho d\varphi d\theta }$
Inertimoment af det geometriske legemer om aksen $oz$	${{I}_{z}}=\iiiint\limits_{G}{{{r}^{2}}dV }$	$\iiiint\limits_{G}{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)dxdydz}$	$\iiiint\limits_{G}{{{r}^{3}}drd\varphi dh}$	$\iiiint\limits_{G}{{{\rho }^{4}}{{\sin }^{3}}\theta d\rho d\varphi d\theta }$
Masse af en fysisk krop med tæthed $\mu$	$m=\iiiint\limits_{G}{\mu dV }$	$\iiiint\limits_{G}{\mu dxdydz}$	$\iiiint\limits_{G}{\mu rdrd\varphi dh}$	$\iiiint\limits_{G}{\mu {{\rho }^{2}}\sin \theta d\rho d\varphi d\theta }$
Center for massekoordinater homogen krop	$\begin{align} & {{x}_{c}}={\frac{1}{V}}{\iiiint\limits_{G}{xdV }} \\ & {{y}_{c}} ={\frac{1}{V}}{\iiiint\limits_{G}{ydV }} \\ & {{z}_{c}}={\frac{1}{V}}{\iiiint\ grænser_{G}{zdV }} \\ \end{align}$	$\begin{align} & {\frac{1}{V}}{\iiiint\limits_{G}{xdxdydz}} \\ & {\frac{1}{V}}{\iiiint\limits_{G}{ ydxdydz)) \\ & {\frac{1}{V)){\iiiint\limits_{G}{zdxdydz)) \\ \end{align}$	—	—

Se også

Noter

↑ Her og overalt nedenfor, medmindre andet er angivet, forstås et sæts målbarhed i jordansk betydning.
↑ Det er ret typisk i en sådan notation at bruge et andet bogstav for elementet i det ( n - dimensionale) integrationsomfang end til betegnelsen af vektorargumentet for den integrerbare funktion, dvs. ikke men for eksempel eller blot eller osv., da dette volumenelement i koordinatnotationen i de simpleste tilfælde er produktet af koordinatdifferenser , og i det mere generelle tilfælde af krumlinjede koordinater skal X også inkludere determinanten af metrikken : $\int\limits_{G}{f\left( X \right)dX},$ $\int\limits_{G}{f\left( X \right)dV_X}$ $\int\limits_{G}{f\left( X \right)dV}$ $\int\limits_{G}{f\left( X \right)d\Omega}$ $dV_X = \prod_i dX_i$ $dV_X = |\det g| \prod_i dX_i.$

Litteratur

Vygodsky, M. Ya. Differentiering og integration af funktioner af flere argumenter // Håndbog i højere matematik. - M . : Astrel, AST, 2005. - 991 s. — 10.000 eksemplarer. - ISBN 5-17-012238-1 , 5-271-03651-0.
Ilyin, V. A., Poznyak, E. G. Kapitel 2. Dobbelt- og n-foldede integraler // Fundamentals of Mathematical Analysis. - 4. - M. : FIZMATLIT, 2001. - T. 2. - 464 s. — (Kursus i højere matematik og matematisk fysik). - 5000 eksemplarer. — ISBN 5-9221-0131-5 .
Kudryavtsev, L. D. Kapitel 6. Integralregning af funktioner af flere variable // Matematisk analyseforløb. - M . : Højere skole, 1981. - T. 2. - 584 s.
Budak, B. M., Fomin S. V. Multiple integraler og serier. — M .: Nauka , 1967. — 608 s.

Ordbøger og encyklopædier	Stor russer Britannica (online)
I bibliografiske kataloger	BNE : XX552555 NKC : ph385192

Integralregning

Hoved

Generaliseringer
af Riemann-integralet

Integrale
transformationer

Numerisk
integration

måle teori

relaterede emner

Lister over integraler