Elementær algebra

Elementær algebra er den ældste gren af algebra , som studerer algebraiske udtryk og ligninger over reelle og komplekse tal .

Grundlæggende begreber

I algebra er det sædvanligt at skrive matematiske udtryk ( formler ) i den mest generelle form, der erstatter specifikke tal med alfabetiske tegn, på grund af hvilket, når man løser problemer af samme type, opnås den maksimale generalitet af resultatet. Hovedindholdet i algebra er reglerne for identiske transformationer af formler, der er nødvendige for at løse ligninger, analysere afhængigheder, optimere det undersøgte system og andre praktiske problemer [1] .

Ud over bogstaver og tal bruger elementære algebraformler aritmetiske operationer ( addition , subtraktion , multiplikation , division , eksponentiering , rodudvinding ) og elementære funktioner ( logaritme , trigonometriske funktioner ). To formler forbundet med et lighedstegn kaldes en ligning .

Hvis der ikke er angivet et operatorsymbol mellem to udtryk, antages multiplikation:

ab=a\cdot b;\;1{,}2\ x=1{,}2\cdot x;\;\pi (a^{2}+b^{2})=\pi \cdot (a ^{2}+b^{2})

Et eksempel på en formel: arealet af en trekant er udtrykt som følger i form af længden af en af siderne og længden af højden sænket til siden : $S$ $-en$ $h$ $-en$

S={1\over 2}ah

Det enkleste algebraiske udtryk er et monomial bestående af en numerisk faktor ganget med et eller flere alfabetiske tegn [2] . Eksempler:

1{,}2\ x;\;{\sqrt {2}}abc^{2};\;x^{2}w

Algebraiske summer (det vil sige summer og/eller forskelle) af monomer kaldes polynomier . Udtryk, der ligner en kvotient fra at dividere et polynomium med et andet, kaldes en algebraisk brøk . Operationer med algebraiske brøker ligner operationer med almindelige brøker - faktorisering af tæller og nævner i faktorer, bringer flere brøker til en fællesnævner, reducerer tæller og nævner med en fælles faktor osv.

Love for elementær algebra

Beregning af værdien af et udtryk

Rækkefølgen, hvori handlingerne udføres, er angivet med parentes . Hvis der ikke er nogen parenteser, er prioriteten, i faldende rækkefølge, den næste.

Eksponentiering.
Funktionsberegning.
Multiplikation og division.
Addition og subtraktion.

Eksempler:

$a^{b^{c}}=a^{(b^{c})}$
$\sin x^{2}=\sin(x^{2})$
$\sin a+b=(\sin a)+b$

Ved beregning af værdien af et udtryk, i stedet for alfabetiske tegn, erstattes deres numeriske værdier, der svarer til en specifik opgave. Sættet af numeriske værdier, som udtrykket giver mening, kaldes rækken af gyldige værdier for dette udtryk [3] . Eksempel: for et udtryk er intervallet af gyldige værdier alle par , hvor . ${\frac {a+b}{ab}}$ $a,b$ $a\neq b$

Operationsegenskaber

Kommutativitet (permutationsegenskab) ved addition :

a+b=b+a.\

Subtraktion er det omvendte af addition .
At trække tallet b fra svarer til at lægge til det modsatte af b :

ab=a+(-b).\

Kommutativitet (permutationsegenskab) af multiplikation :

a\cdot b=b\cdot a\

Division er det omvendte af multiplikation .
Det er ikke muligt at dividere med nul.
At dividere med b er det samme som at gange med det reciproke af b :

{a \over b}=a\venstre({1 \over b}\højre).

Eksponentiering er ikke kommutativ. Derfor har den to omvendte operationer: at udtrække roden og tage logaritmen .
- Eksempel: hvis , så Hvis , så $3^{x}=10$ $x=\log _{3}10.$ $x^{2}=10$ $x=\pm {\sqrt {10}}.$
Der er ingen lige rod af et negativt tal (blandt reelle tal). Se komplekse tal .
Associativ (associativ) egenskab ved addition: $(a+b)+c=a+(b+c).$
Associativ (associativ) egenskab ved multiplikation: $(ab)c=a(bc).$
Distributiv (distributiv) egenskab til multiplikation: $c(a+b)=ca+cb.$
Distributiv (distributiv) egenskab til eksponentiering: $(ab)^{c}=a^{c}b^{c}.$
Tilføjelse af eksponenter: $a^{b}a^{c}=a^{b+c}.$
Multiplikation af eksponenter: $(a^{b})^{c}=a^{bc}.$

Equality Properties

Hvis og , så ( transitivitet af lighed). $a=b$ $b=c$ $a=c$
$a=a$ ( refleksivitet ).
Hvis , så ( symmetrisk ). $a=b$ $b=a$

Andre love

Hvis og , så ( additivitet af lighed) $a=b$ $c=d$ $a+c=b+d.$
- Hvis , så for enhver
c $a=b$ $a+c=b+c$

Hvis og , så = ( multiplikativitet af lighed)

a=b

c=d

ac

bd.

Hvis , så for enhver

a=b

ac=bc

Hvis værdierne af to tegn er de samme, kan du i stedet for den ene erstatte den anden (substitutionsprincippet).

Hvis og , så ( ordrens transitivitet ).

a>b

b>c

a>c

Hvis , så for enhver c .

a>b

a+c>b+c

Hvis og så

a>b

c>0

ac>bc.

Hvis og så

a>b

c<0

ac<bc.

Nogle algebraiske identiteter

(a+b)(ab)=a^{2}-b^{2}

(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2};\;(ab)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}

(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3};\;(ab)^{3}=a^{3} -3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}

a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2});\;a^{3}-b^{3}=(ab) (a^{2}+ab+b^{2})

Løsning af ligninger

En ligning er en lighed af formen:

f(x_{1},x_{2}\dots )=g(x_{1},x_{2}\dots )

Løsningen af ligningen er opgaven med at finde sådanne værdier af ukendte variabler, for hvilke denne lighed er opnået. Yderligere betingelser (heltal, reelle osv.) kan pålægges de mulige værdier af variabler. Løsning af ligninger er et af hovedproblemerne i algebra og matematik generelt; i løbet af den historiske udvikling af videnskaben er der udviklet adskillige metoder ( algoritmer ) til forskellige varianter af dette problem.

Historisk disposition

For oprindelsen af videnskabens navn, se algebra .

Ideen om at nedskrive de generelle egenskaber af tal og beregningsalgoritmer i et særligt symbolsk metasprog dukkede op for længe siden, men i begyndelsen betegnede de alfabetiske symboler i ligningerne kun ukendte, hvis værdier skulle findes, og for andre udtryk i ligningen blev specifikke numeriske værdier nedskrevet. Ideen om, at det også er nyttigt for almenheden at betegne kendte mængder ( koefficienter ) ved hjælp af symboler, kom langsomt.

For første gang, så vidt det kan bedømmes ud fra de gamle skrifter, der er kommet ned til os, optræder et udviklet algebraisk system i Diophantus' Aritmetik ( 4. århundrede ). Det kan næppe være tvivl om, at han havde forgængere, som Euklid , Arkimedes og andre havde dem, men vi ved ikke noget om de mennesker eller de værker, som denne bemærkelsesværdige algebraist kunne stole på. Og han fik først tilhængere i det 15. århundrede . Men i Europa blev oversættelsen af "Aritmetik" først kendt i det 16. århundrede , og Diophantus' metoder havde en enorm indflydelse på Vieta og Fermat .

Hovedproblemet med aritmetik er at finde rationelle løsninger på ubestemte ligninger (polynomier af vilkårlig grad) med rationelle koefficienter. Diophantus bruger alfabetiske symboler, dog stadig kun for ukendte personer. I introduktionen til Aritmetik anvender Diophantus følgende betegnelser: han kalder det ukendte "tal" og betegner det med bogstavet ξ, kvadratet af det ukendte med symbolet osv. Særlige symboler betegnet negative grader, lighedstegnet og endda , ser det ud til, negative tal (der er endda en regel tegn: minus gange minus er lig med plus). Alt andet er verbalt. Mange algebraregler, vi kender, er blevet formuleret: tegnskifte ved overførsel til en anden del af ligningen, reduktion af almindelige udtryk osv. $\delta ^{\nu }$

De indiske matematikere i middelalderen var også langt fremme i algebra; deres symbolik er rigere end Diophantus, selv om det er noget besværligt (fyldt med ord).

I Europa, i bøgerne "Arithmetic" og "On Given Numbers" af Jordan Nemorarius ( XIII århundrede ), ses begyndelsen af symbolsk algebra, for øjeblikket ikke adskilt fra geometri. Han, såvel som Fibonacci , har allerede udtryk som " en hest spiser e mål af havre på f dage." De har dog endnu ikke inddraget symbolik i det generelle præsentationsbegreb.

Den største algebraist i det 15. århundrede, Luca Pacioli , udgav sin version af algebraisk symbolik, som endnu ikke var for generel og ikke for bekvem.

En begrebsreform og grundlæggende forbedringer i det algebraiske sprog blev introduceret i slutningen af det 16. århundrede af Francois Viet , en advokat af profession, en matematiker af sjælens tilbøjelighed. Han forestillede sig klart det endelige mål - udviklingen af en "ny calculus", en slags generaliseret regnestykke. Viet betegnede med bogstaver alle koefficienterne (det var i øvrigt Viet, der opfandt dette udtryk). Alle problemer løses på en generel måde, og først derefter gives numeriske eksempler. Viet frit anvendte algebraiske transformationer, ændring af variabler og andre algebraiske teknikker.

Vietas system blev bredt beundret. Det gjorde det muligt at beskrive aritmetikkens og algoritmernes love med hidtil utænkelig generalitet og kompakthed, lettede og uddybede studiet af generelle numeriske love. Men symbolikken i Vieta var i modsætning til moderne, nogle gange besværlig, og videnskabsmænd fra forskellige lande begyndte at forbedre den.

Englænderen Thomas Harriot er i sit posthumt publicerede (1631) arbejde allerede meget tæt på moderne symbolik: han betegner variable med små bogstaver, og ikke med store bogstaver, som i Vieta, bruger lighedstegnet, samt sammenligningssymbolerne opfundet af ham ">" og "<" . Et næsten moderne udseende blev givet til algebraisk symbolisme af Rene Descartes (midten af det 17. århundrede, afhandling " Geometri ").

Resultatet og afslutningen af denne proces var Newtons universelle aritmetik . Nogle resterende finesser blev forfinet af Euler . Bogstaver i algebra blev dog i lang tid kun forstået som ikke-negative reelle tal ; forståelsen af, at algebraiske love og metoder til løsning af ligninger er anvendelige på en lang række matematiske objekter (under hensyntagen til deres detaljer) kom først i det 19. århundrede.

Se også

Litteratur

Vygodsky M. Ya. Håndbog i elementær matematik. - M .: AST, 2003. - ISBN 5-17-009554-6 .
Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Elementær matematik. Gentag kurset. - Tredje udgave, stereotypisk. — M .: Nauka, 1976. — 591 s.
Glazer GI Historie om matematik i skolen . - M . : Uddannelse, 1964. - 376 s.

Grene af matematik

Portal "Science"

Grundlaget for matematik mængdeteori matematisk logik logikkens algebra

Talteori ( aritmetik )

Algebra
Elementær algebra	Ligningsløsning
Lineær algebra	Vektorregning matricer Tensorregning Multilineær algebra
Generel algebra	Kommutativ algebra Repræsentationsteori Differentiel algebra Homologisk algebra Universal Algebra Kategori teori

Analyse
Klassisk analyse	Differentialregning Integralregning
Funktionsteori	Harmonisk analyse Kvaternion Analyse Kompleks analyse måle teori Teori om funktioner af en reel variabel funktionel analyse Variationsberegning
Differential- og integralligninger	Dynamiske systemer og ergodisk teori Differentialligninger almindelig i partielle derivater Integralligninger
Vektoranalyse Global Analyse Katastrofe teori Tilpasset analyse Glat infinitesimal analyse

Geometri og topologi
Geometri	Algebraisk geometri Analytisk geometri Euklidisk geometri Ikke-euklidisk geometri Planimetri Stereometri
Topologi	Generel topologi Algebraisk topologi Differentialgeometri og topologi

Diskret matematik
Kombinatorik grafteori

Anvendt matematik
Matematisk fysik Matematisk kemi matematisk biologi Matematik statistik Matematisk modellering Teori om algoritmer Numeriske metoder matematisk økonomi finansiel matematik Sandsynlighedsteori Operationsforskning Spilteori

Portal "Matematik"
Kategori "Matematik"