Ændrede Bessel-funktioner

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 1. oktober 2021; verifikation kræver 1 redigering .

Modificerede Bessel- funktioner er Bessel-funktioner af et rent imaginært argument.

Hvis i Bessel differentialligning

z^{2}{\frac {d^{2}\omega }{dz^{2}}}+z{\frac {d\omega}{dz}}+(z^{2}- \nu ^{2})\omega =0

erstatte med , vil det tage formen $\z$ $\iz$

z^{2}{\frac {d^{2}\omega }{dz^{2}}}+z{\frac {d\omega}{dz}}-(z^{2}+ \nu ^{2})\omega =0.\qquad (1)

Denne ligning kaldes den modificerede Bessel-ligning .

Hvis ikke er et heltal, så fungerer Bessel og er to lineært uafhængige løsninger af ligningen . Funktionerne er dog mere almindeligt anvendte $\nu$ $J_{\nu}(iz)$ $J_{-\nu }(iz)$ $(en)$

I_{\nu }(z)=e^{-{\frac {i\nu \pi }{2}}}J_{\nu}\left(ze^{\frac {i\pi }{ 2}}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\left({\dfrac {z}{2}}\right)^{2k+\nu }}{k! \Gamma(k+\nu+1)}}

og

I_{-\nu }(z).

De kaldes modificerede Bessel-funktioner af den første slags eller Infeld-funktioner . Hvis er et reelt tal, og z er ikke-negativ, så tager disse funktioner reelle værdier. $\nu$

$\nu$ kaldes rækkefølgen af funktionen.

Fungere

K_{\nu }(z)={\frac {\pi }{2\sin \nu \pi }}{\biggl [}I_{-\nu }(z)-I_{\nu}( z){\biggr ]}

er også en løsning på ligningen . Det kaldes den modificerede Bessel-funktion af anden slags eller Macdonald- funktion . Det er indlysende $(en)$

K_{\nu }(z)=K_{-\nu }(z)

og tager reelle værdier, hvis er et reelt tal, og er positivt. $\nu$ $z$

Funktioner af heltal rækkefølge

Da , for en helhed , som det grundlæggende system af løsninger af ligningen , vælger vi og hvor $I_{-\nu }(z)=I_{\nu}(z)$ $\nu$ $(en)$ $I_{n}(z)$ $K_{n}(z),$

K_{n}(z)=\lim \limits _{\nu \to n}K_{\nu}(z).

Tilbagevendende relationer og differentieringsformler

Ændrede Bessel-funktioner af den første slags

\left({\frac {d}{zdz}}\right)^{m}{\Bigl [}z^{\nu}I_{\nu}(z){\Bigr ]}=z^ {\nu -m}I_{\nu -m}(z).

\left({\frac {d}{zdz}}\right)^{m}{\Bigl [}z^{-\nu }I_{\nu}(z){\Bigr ]}=z ^{-\nu -m}I_{\nu +m}(z).

I_{\nu -1}(z)-I_{\nu +1}(z)=2\nu z^{-1}I_{\nu}(z).

I_{\nu -1}(z)+I_{\nu +1}(z)=2I'_{\nu}(z).

Modificerede Bessel-funktioner af anden art

\left({\frac {d}{zdz}}\right)^{m}{\Bigl [}z^{\nu}K_{\nu}(z){\Bigr ]}=(- 1)^{m}z^{\nu -m}K_{\nu -m}(z).

\left({\frac {d}{zdz}}\right)^{m}{\Bigl [}z^{-\nu }K_{\nu}(z){\Bigr ]}=( -1)^{m}z^{-\nu -m}K_{\nu +m}(z).

K_{\nu -1}(z)-K_{\nu +1}(z)=-2\nu z^{-1}K_{\nu }(z).

K_{\nu -1}(z)+K_{\nu +1}(z)=-2K'_{\nu}(z).

Wronskiansk system af modificerede Bessel-funktioner

W\left[I_{\nu}(z),I_{-\nu}(z)\right]=-{\frac {2\sin(\nu \pi )}{\pi z)) .

W\left[I_{\nu}(z),K_{\nu}(z)\right]=-z^{-1}.

Integrale repræsentationer

Ændrede Bessel-funktioner af den første slags

I_{\nu}(z)={\frac {2^{-\nu}z^{\nu }}({\sqrt {\pi }}\Gamma (\nu +{\frac {1 }{2))))}}\int _{0}^{\pi }e^{z\cos t}\left(\sin t\right)^{2\nu}dt,\qquad Re(\ nu )>-{\frac {1}{2)),\Gamma (z)

er gammafunktionen .

I_{\nu}(z)={\frac {2^{1-\nu}z^{\nu}}({\sqrt {\pi }}\Gamma (\nu +{\frac { 1}{2)))))\int _{0}^{1}(1-t^{2})^{\nu -{\frac {1}{2))}\cosh(zt)dt ,\qquad Re(\nu )>-{\frac {1}{2}}.

I_{\nu}(z)={\frac {2^{-\nu}z^{\nu }}({\sqrt {\pi }}\Gamma (\nu +{\frac {1 }{2)))))\int _{-1}^{1}(1-t^{2})^{\nu -{\frac {1}{2))}e^{-zt} dt,\qquad Re(\nu )>-{\frac {1}{2}}.

I_{n}(z)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi}e^{z\cos t}\cos(nt)dt,\qquad n\i \mathbb {Z} ,Re(z)>0.

Modificerede Bessel-funktioner af anden art

{{K}_{\nu}}(z)=\int _{0}^{\infty }{{e}^{-z\cosh t}}\cosh(\nu t)dt, \qquad |Arg(z)|<{\frac {\pi }{2)).

{{K}_{\nu}}(z)={\frac {{\sqrt {\pi }}({\left({\frac {z}{2}}\right)}^{ \nu ))}{\Gamma (\nu +{\frac {1}{2))))}}\int _{1}^{\infty }{{({{t}^{2}}- 1 )}^{\nu -{\frac {1}{2}}}}{{e}^{-zt}}dt,\qquad Re(\nu )>-{\frac {1}{2} } ,|Arg(z)|<{\frac {\pi }{2)).

{{K}_{\nu}}(z)={\frac {{\sqrt {\pi }}({\left({\frac {z}{2}}\right)}^{ \nu ))}{\Gamma (\nu +{\frac {1}{2))))}}\int _{0}^{\infty }{{e}^{-z\cosh t}} { {\left(\sinh t\right)}^{2\nu }}dt,\qquad Re(\nu)>-{\frac {1}{2)),|Arg(z)|<{\ frac {\pi }{2}}.

Asymptotisk adfærd

I_{\nu}(z)\varpropto {\frac {e^{z}}{\sqrt {2\pi z}}}\left(1+O\left({\frac {1}{ z}}\right)\right),\qquad \left|Arg(z)\right|<{\frac {\pi }{2)),\left|z\right|\to \infty .

K_{\nu}(z)\varpropto {\sqrt {\frac {\pi }{2))}{\frac {e^{-z)){\sqrt {z))}\venstre( 1+O\left({\frac {1}{z}}\right)\right),\qquad \left|z\right|\to \infty .

Særlig situation:

K_{0}(z)={\sqrt {\frac {\pi }{2z))}e^{-z}\sum \limits _{m=0}^{\infty }{\frac {\left[\left({2m-1}\right)!!\right]^{2}}{m!\left(-{8z}\right)^{m}}},\qquad \left| z\right|\to \infty ,\quad |\arg z|<2\pi

Bemærk

Der er en klassisk Schlömilch -serie i Bessel j-funktioner [1] [2]

Se også

Cylindriske funktioner

Litteratur

Watson G. Teori om Bessel-funktioner. T. 1, 2. - M .: IL , 1949.
Bateman G., Erdeyi A. Højere transcendentale funktioner. Bessel-funktioner, parabolske cylinderfunktioner, ortogonale polynomier: Reference matematisk bibliotek. — M.: Fizmatgiz , 1966. — 296 s.

Noter

↑ Lyakhov L.N. På Schlemilch j-serien. Videnskabelige udsagn. Serien "Matematik. Fysik". 2013. nr. 12 (155). Problem. 31.// https://cyberleninka.ru/article/n/oj-ryadah-shlemilha
↑ J.N. Watson. Teori om Bessel funktioner. (Bestil). Kapitel XIX. Rækker af Schlemilch

Links

Weisstein, Eric W. modificerede Bessel-funktion af den første slags (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .
Weisstein, Eric W. modificerede Bessel-funktion af anden type hos Wolfram MathWorld .