Jacobi elliptiske funktioner

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 2. januar 2020; checks kræver 2 redigeringer .

Jacobi elliptiske funktioner er et sæt grundlæggende elliptiske funktioner af en kompleks variabel og hjælpe -theta-funktioner , der er direkte relateret til nogle anvendte problemer (for eksempel pendulligningen ). De har også nyttige analogier med trigonometriske funktioner , som vist ved den tilsvarende notation for . De giver ikke den nemmeste måde at udvikle en generel teori på, som bemærket for nylig: dette kan gøres baseret på Weierstrass elliptiske funktioner . Jacobi elliptiske funktioner har to simple poler og to simple nuller i hovedparallellegrammet. $\operatørnavn{\mathrm{sn))$ $\synd$

Introduktion

Der er en elliptisk funktion, der har en andenordens pol og to simple nuller i hovedparallelografien; dette er den "elliptiske Weierstrass-funktion". Mere brugbare er dog "Jacobi elliptiske funktioner", som har to simple poler og to simple nuller i hvert hovedparallelografi. Hver af disse funktioner i hovedparalellogrammet tager en hvilken som helst værdi nøjagtigt to gange.

Betegnelse

For elliptiske funktioner kan man støde på forskellige notationer, der kan forvirre sagens essens. Elliptiske funktioner er funktioner af to variable. Den første variabel kan gives i form af amplitude eller normalt i form af nedenfor. Den anden variabel kunne gives i form af en parameter , enten som et elliptisk modul , hvor , eller i form af en modulær vinkel , hvor . $\varphi$ $u$ $m$ $k$ $k^{2}=m$ ${\mbox{æ}}$ $m=\sin ^{2}{\mbox{æ))$

Definition som invers til elliptiske integraler

Ovenstående definition med hensyn til meromorfe funktioner er abstrakt. Der er en enklere, men absolut ækvivalent definition, der definerer elliptiske funktioner som invers af et ufuldstændigt elliptisk integral af den første slags. Lade

u=\int \limits _{0}^{\varphi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}.

Den elliptiske funktion er givet som $\operatørnavn {sn} u$

\operatørnavn {sn} u=\sin \varphi

og bestemt $\operatørnavn {cn} u$

\operatørnavn {cn} u=\cos \varphi ,

-en

\operatorname {dn} u={\sqrt {1-m\sin ^{2}\varphi )).

Her kaldes vinklen for amplitude . kaldet delta-amplituden . Værdien er en fri parameter, der antages at være reel i området , og elliptiske funktioner er således funktioner af to argumenter: amplitude og parameter . $\varphi$ $\operatørnavn {dn} u=\Delta (u)$ $m$ $0\leqslant m\leqslant 1$ $\varphi$ $m$

De resterende ni elliptiske funktioner er nemme at konstruere ud fra de tre ovenstående. Dette vil blive gjort nedenfor.

Bemærk, at når , så er lig med en fjerdedel af perioden . $\varphi =\pi /2$ $u$ $K$

Definition i form af theta-funktioner

Tilsvarende kan Jacobi elliptiske funktioner defineres i form af θ-funktioner . Hvis vi definerer henholdsvis som , og som ( theta konstanter ) så er ellipsemodulet . Forudsat at vi får $\vartheta (0;\;\tau )$ $\vartheta$ $\vartheta _{01}(0;\;\tau ),\vartheta _{10}(0;\;\tau ),\;\vartheta _{11}(0;\;\tau )$ $\vartheta _{01},\;\vartheta _{10},\;\vartheta _{11}$ $k$ $k=\left({\frac {\vartheta _{10}}{\vartheta }}\right)^{2}$ $u=\pi \vartheta ^{2}z$

\operatorname {sn} (u;\;k)=-{\frac {\vartheta \vartheta _{11}(z;\;\tau )}{\vartheta _{10}\vartheta _{01 }(z;\;\tau )}},

\operatorname {cn} (u;\;k)={\frac {\vartheta _{01}\vartheta _{10}(z;\;\tau )}{\vartheta _{10}\vartheta _{01}(z;\;\tau )}},

\operatorname {dn} (u;\;k)={\frac {\vartheta _{01}\vartheta (z;\;\tau )}{\vartheta \vartheta _{01}(z;\ ;\tau )}}.

Da Jacobi-funktionerne er defineret ud fra elliptisk modul , er det nødvendigt at finde deres invers og udtrykke dem i form af . Lad os starte med et ekstra modul . Hvordan man skriver en funktion $k(\tau)$ $\tau$ $k$ $k'={\sqrt {1-k^{2}}}$ $\tau$

k'(\tau )=\left({\frac {\vartheta _{01}}{\vartheta }}\right)^{2}.

Lad os introducere notationen

\ell ={\frac {1}{2}}{\frac {1-{\sqrt {k'}}}{1+{\sqrt {k'}}}}={\frac {1 }{2}}{\frac {\vartheta -\vartheta _{01}}{\vartheta +\vartheta _{01}}}.

Vi definerer også nomen som og udvider den i en række i potenser af nomen . Få $q$ $q=\exp(\pi i\tau )$ $\ell$ $q$

\ell ={\frac {q+q^{9}+q^{25}+\ldots }{1+2q^{4}+2q^{16}+\ldots )).

Invertering af serien giver

q=\ell +2\ell ^{5}+15\ell ^{9}+150\ell ^{13}+1707\ell ^{17}+20910\ell ^{21}+268616\ ell ^{25}+\ldots

Da vi kan betragte det specielle tilfælde, hvor den imaginære del er større end eller lig med , kan vi sige, at værdien er mindre end eller lig med . For så små værdier konvergerer ovenstående serie meget hurtigt, og det gør det nemt at finde en passende værdi for . $\tau$ ${\sqrt {3}}/2$ $q$ $\exp(-\pi {\sqrt {3}}/2)$ $q$

Andre funktioner

Ved at ændre rækkefølgen af to bogstaver i navnet på funktioner, betegner de normalt det omvendte af de tre funktioner ovenfor:

\operatørnavn {ns} (u)=1/\operatørnavn {sn} (u),

\operatørnavn {nc} (u)=1/\operatørnavn {cn} (u),

\operatørnavn {nd} (u)=1/\operatørnavn {dn} (u).

Forholdet mellem de tre hovedfunktioner er angivet med det første bogstav i tælleren efter det første bogstav i nævneren:

\operatørnavn {sc} (u)=\operatørnavn {sn} (u)/\operatørnavn {cn(u)} ,

\operatørnavn {sd} (u)=\operatørnavn {sn} (u)/\operatørnavn {dn(u)} ,

\operatørnavn {dc} (u)=\operatørnavn {dn} (u)/\operatørnavn {cn(u)} ,

\operatørnavn {ds} (u)=\operatørnavn {dn} (u)/\operatørnavn {sn(u)} ,

\operatørnavn {cs} (u)=\operatørnavn {cn} (u)/\operatørnavn {sn(u)} ,

\operatørnavn {cd} (u)=\operatørnavn {cn} (u)/\operatørnavn {dn(u)} .

Lad os skrive mere kort

\operatørnavn {pq} (u)={\frac {\operatørnavn {pr} (u)}{\operatørnavn {qr(u)} )),

hvor alle bogstaver , , og er alle bogstaver , , , (husk at ). $\operatørnavn {p}$ $\operatørnavn {q}$ $\operatørnavn {r}$ $\operatørnavn {s}$ $\operatørnavn {c}$ $\operatørnavn {d}$ $\operatørnavn {n}$ $\operatørnavn {ss} =\operatørnavn {cc} =\operatørnavn {dd} =\operatørnavn {nn} =1$

Yderligere sætninger

Funktioner opfylder to algebraiske relationer

\operatørnavn {cn} ^{2}+\operatørnavn {sn} ^{2}=1,

\operatørnavn {dn} ^{2}+k^{2}\operatørnavn {sn} ^{2}=1.

Det kan ses, at ( , , ) parametriserer den elliptiske kurve , som er skæringspunktet mellem to kvadrikker defineret af de to ovenstående ligninger. Vi kan nu definere gruppeloven for punkter på denne kurve ved hjælp af yderligere formler for Jacobi-funktionerne $\operatørnavn {cn}$ $\operatørnavn {sn}$ $\operatørnavn {dn}$

\operatørnavn {cn} (x+y)={\frac {\operatørnavn {cn} (x)\,\operatørnavn {cn} (y)-\operatørnavn {sn} (x)\,\operatørnavn { sn} (y)\,\operatørnavn {dn} (x)\,\operatørnavn {dn} (y)}{1-k^{2}\,\operatørnavn {sn} ^{2}(x)\, \operatørnavn {sn} ^{2}(y)}},

\operatørnavn {sn} (x+y)={\frac {\operatørnavn {sn} (x)\,\operatørnavn {cn} (y)\,\operatørnavn {dn} (y)+\operatørnavn { sn} (y)\,\operatørnavn {cn} (x)\,\operatørnavn {dn} (x)}{1-k^{2}\,\operatørnavn {sn} ^{2}(x)\, \operatørnavn {sn} ^{2}(y)}},

\operatørnavn {dn} (x+y)={\frac {\operatørnavn {dn} (x)\,\operatørnavn {dn} (y)-k^{2}\,\operatørnavn {sn} ( x)\,\operatørnavn {sn} (y)\,\operatørnavn {cn} (x)\,\operatørnavn {cn} (y)}{1-k^{2}\,\operatørnavn {sn} ^{ 2}(x)\,\operatørnavn {sn} ^{2}(y)}}.

Trigonometriske og hyperbolske funktioner som et særligt tilfælde af elliptisk

Hvis , så $m=1$

u=\int \limits _{0}^{\varphi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}{\theta ))))=\operatørnavn {ln } \left({\frac {1}{\cos \varphi }}-\operatørnavn {tg} \varphi \right).

Herfra

\sin \varphi =\operatørnavn {sn} \,u={\frac {e^{2u}-1}{e^{2u}+1}}=\operatørnavn {th} \,u.

Herfra

\operatørnavn {cn}\,u={\sqrt {1-\operatørnavn {sn}^{2}\,u}}={\frac {1}{\operatørnavn {ch}\,u}}

\operatørnavn {dn} \,u={\sqrt {1-\operatørnavn {sn} ^{2}\,u}}={\frac {1}{\operatørnavn {ch} \,u}} .

Således degenererer elliptiske funktioner til hyperbolske funktioner . $m=1$

Hvis , så $m=0$

u=\int \limits _{0}^{\varphi }d\theta =\varphi .

Herfra

\sin \varphi =\sin \,u=\operatørnavn {sn} \,u,

såvel som

\operatørnavn {cn} \,u=\cos \,u,

\operatørnavn {dn} \,u=1.

Således degenererer elliptiske funktioner til trigonometriske funktioner . $m=0$

Relation mellem kvadraterne af funktioner

For kvadraterne af disse funktioner er følgende relationer sande

-\operatørnavn {dn} ^{2}(u)+m_{1}=-m\;\operatørnavn {cn} ^{2}(u)=m\;\operatørnavn {sn} ^{2 }(u)-m,

-m_{1}\;\operatørnavn {nd} ^{2}(u)+m_{1}=-mm_{1}\;\operatørnavn {sd} ^{2}(u)=m\ ;\operatørnavn {cd} ^{2}(u)-m,

m_{1}\;\operatørnavn {sc} ^{2}(u)+m_{1}=m_{1}\;\operatørnavn {nc} ^{2}(u)=\operatørnavn {dc } ^{2}(u)-m,

\operatørnavn {cs} ^{2}(u)+m_{1}=\operatørnavn {ds} ^{2}(u)=\operatørnavn {ns} ^{2}(u)-m,

hvor og . $m+m_{1}=1$ $m=k^{2}$

Yderligere ligheder for kvadrater kan opnås ved at bemærke, at , og , hvor , , er alle bogstaver , , , og . $\operatørnavn {pq}^{2}\cdot \operatørnavn {qp}^{2}=1$ $\operatørnavn {pq}=\operatørnavn {pr}/\operatørnavn {qr}$ $\operatørnavn {p}$ $\operatørnavn {q}$ $\operatørnavn {r}$ $\operatørnavn {s}$ $\operatørnavn {c}$ $\operatørnavn {d}$ $\operatørnavn {n}$ $\operatørnavn {ss} =\operatørnavn {cc} =\operatørnavn {dd} =\operatørnavn {nn} =1$

Navn

Lad nom være lig og lad argumentet være . Så kan funktionerne repræsenteres som Lambert-summer $q=\exp(-\pi K'/K)$ $v=\pi u/(2K)$

\operatorname {sn} (u)={\frac {2\pi }{K{\sqrt {m))))\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^ {n+1/2}}{1-q^{2n+1}}}\sin(2n+1)v,

\operatorname {cn} (u)={\frac {2\pi }{K{\sqrt {m))))\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^ {n+1/2}}{1+q^{2n+1}}}\cos(2n+1)v,

\operatorname {dn} (u)={\frac {\pi }{2K}}+{\frac {2\pi }{K}}\sum _{n=1}^{\infty }{ \frac {q^{n}}{1+q^{2n}}}\cos 2nv.

Løsninger til ikke-lineære ordinære differentialligninger

Afledte af de tre grundlæggende Jacobi elliptiske funktioner er skrevet som:

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\,\mathrm {sn} \,(z;\;k)=\mathrm {cn} \,(z;\ ;k)\,\mathrm {dn} \,(z;\;k),

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\,\mathrm {cn} \,(z;\;k)=-\mathrm {sn} \,(z; \;k)\,\mathrm {dn} \,(z;\;k),

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\,\mathrm {dn} \,(z;\;k)=-k^{2}\mathrm {sn} \,(z;\;k)\,\mathrm {cn} \,(z;\;k).

Ved at bruge sætningen, hvis formulering er givet ovenfor , til en given ( ) ligning, hvis løsninger er Jacobi elliptiske funktioner: $k$ $0<k<1$

$\mathrm {sn} \,(x;\;k)$ er en løsning på ligningen og ${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+(1+k^{2})y-2k^{2}y^ {3}=0$ $\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(1-y^{2})(1-k^{2 }y^{2});$

$\mathrm {cn} \,(x;\;k)$ er en løsning på ligningen og ${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+(1-2k^{2})y+2k^{2}y^ {3}=0$ $\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(1-y^{2})(1-k^{2 }+k^{2}y^{2});$

$\mathrm {dn} \,(x;\;k)$ er en løsning på ligningen og ${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2))}-(2-k^{2})y+2y^{3}=0$ $\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(y^{2}-1)(1-k^{2 }-y^{2}).$

Litteratur

Bobylev D.K. Elliptiske integraler og funktioner // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : i 86 bind (82 bind og 4 yderligere). - Sankt Petersborg. , 1890-1907.
Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. eds. Håndbog i matematiske funktioner med formler, grafer og matematiske tabeller . — New York: Dover, 1972. Se kapitel 16

Akhiezer N. I. Elementer i teorien om elliptiske funktioner (neopr.) . — M .: Nauka, 1970.

Watson J. N., Whittaker E. T. Kursus for moderne analyse. Del 2. Transcendente funktioner . - M . : Mir, 1963. (Russisk) eller Moskva: URSS, 2010

Kurver

Definitioner

Forvandlet

Ikke-plan

Flad
algebraisk

Keglesnit

3. orden ( kubisk )

Elliptisk	Elliptisk kurve Jacobi elliptiske funktioner Elliptisk integral Elliptiske funktioner
Andet	Verziera Agnesi Kartesisk ark Maclaurin trisektor Chirnhaus Ophiurida Strophoid Semikubisk parabel Trident Cissoid af Diocles

4. orden

Lemniscates

Tilnærmelse

Spline
- B-spline
- Kubik
- monospline
- Udglatning
- Perfekt
- Hermite
beziers

Cycloidal

Andet

Krogede Gård

Flad
transcendental

Spiraler	Archimedov Gård Galilæa hyperbolsk "Tryllestav" Gylden clothoid logaritmisk sinusformet
Cycloidal	trochoid Cycloid Epitrochoid Epicykloid Hypotrochoid Hypocykloid Kvasitrochoid "Rose" quadrifolium Hurtig nedstigning (brachistochrone, cycloid bue)
Andet	Quadratrix cochleoid Jage traktor trochoid kæde linje omvendt buet konstant bredde sinusformet Ribokura Super formel Superellipse Reuleaux trekant polygon Lissajous figurer

fraktal

Enkel	Gilbert Gosper dragekurve Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologisk	Sierpinski serviet Sierpinski tæppe Svamp Menger cirkulær fraktal Apollonius tæppe

Jacobi elliptiske funktioner

Introduktion

Betegnelse

Definition som invers til elliptiske integraler

Definition i form af theta-funktioner

Andre funktioner

Yderligere sætninger

Trigonometriske og hyperbolske funktioner som et særligt tilfælde af elliptisk

Relation mellem kvadraterne af funktioner

Navn

Løsninger til ikke-lineære ordinære differentialligninger

Links

Litteratur