Hele delen

I matematik rundes heltalsdelen af et reelt tal ned til nærmeste heltal . Heltalsdelen af et tal kaldes også antier ( fransk entier ), eller floor ( engelsk floor ). Sammen med gulvet er der en parfunktion - loftet ( engelsk loft ) - der runder op til nærmeste heltal. $x$ $x$ $x$

Notation og eksempler

For første gang brugte Gauss i 1808 firkantede parenteser ( ) til at angive den heltallige del af et tal i hans bevis på loven om kvadratisk gensidighed [1] . Denne notation blev betragtet som standard [2] indtil Kenneth Iverson i sin bog A Programming Language udgivet i 1962 foreslog [3] [4] [5] at afrunde et tal til det nærmeste hele tal op og ned for at kalde "gulv" og " loft" og betegne og hhv. $[x]$ $x$ $x$ $x$ $\lgulv x\rgulv$ $\lceil x\rceil$

Moderne matematik bruger både notationer [6] , og , men mere og mere overvejende bruges Iversons terminologi og notation: en af grundene er, at for negative tal er begrebet "heltalsdel af et tal" allerede tvetydigt [5] . For eksempel er heltalsdelen af tallet 2,7 lig med 2, men to synspunkter er allerede mulige for, hvordan man bestemmer heltalsdelen af tallet −2,7: per definition angivet i denne artikel , men i nogle regnemaskiner, funktion af den heltallige del af INT for negative tal er defineret som INT(– x ) = –INT( x ), så INT(–2,7) = −2. Iversons terminologi er blottet for disse mangler: $[x]$ $\lgulv x\rgulv$ $[x]\ækvivalent \lgulv x\rgulv =-3$

{\begin{matrix}\lgulv 2{,}7\rgulv =2,&\lgulv -2{,}7\rgulv =-3,\\\lceil 2{,}7\rceil =3, &\lceil -2{,}7\rceil =-2.\end{matrix}}

Definitioner

Funktionen "køn" er defineret som det største heltal mindre end eller lig med: $\lgulv \cdot \rgulv \kolon x\mapto \lgulv x\rgulv$ $x$

\lfloor x\rfloor =\max\{n\in \mathbb {Z} \mid n\leqslant x\}.

Loftfunktionen er det mindste heltal større end eller lig med : $\lceil \,\cdot \,\rceil \colon x\mapsto \lceil x\rceil$ $x$

\lceil x\rceil =\min\{n\in \mathbb {Z} \mid n\geqslant x\}.

Disse definitioner svarer til følgende uligheder (hvor n er et heltal): [7]

{\begin{matrix}\lfloor x\rfloor =n&\Longleftrightarrow &n\leqslant x<n+1&\Longleftrightarrow &x-1<n\leqslant x,\\\lceil x\rceil =n&\Longleftrightarrow &n- 1<x\leqslant n&\Longleftrightarrow &x\leqslant n<x+1.\end{matrix}}

Egenskaber

I formlerne skrevet nedenfor betegner bogstaverne og reelle tal , og bogstaverne og betegner heltal . $x$ $y$ $n$ $m$

Gulv og loft som funktioner af en reel variabel

Gulv- og loftfunktionerne kortlægger et sæt reelle tal til et sæt heltal:

\lgulv \,\cdot \,\rgulv \colon {\mathbb {R}}\til {\mathbb {Z}},\quad \lceil \,\cdot \,\rceil \colon {\mathbb {R}} \til {\mathbb {Z)),\quad

Gulv og loft er stykkevis konstante funktioner .

Gulv- og loftfunktionerne er diskontinuerlige : ved alle heltalspunkter lider de af diskontinuiteter af den første slags med et spring svarende til et.

I dette tilfælde er gulvfunktionen:

Loftets funktion er:

Sammenhæng mellem gulv- og loftfunktioner

For et vilkårligt tal er følgende ulighed sand [8] $x$

\lgulv x\rgulv \leqslant x\leqslant \lceil x\rceil

For hele gulvet og loftet er det samme: $x$

\lfloor x\rfloor =x\quad \Longleftrightarrow \quad x\in {\mathbb {Z))\quad \Longleftrightarrow \quad \lceil x\rceil =x

Hvis ikke er et heltal, så er værdien af loftfunktionen én mere end værdien af etagefunktionen: $x$

\lceil x\rceil -\lfloor x\rfloor ={\begin{cases}1,&x\notin {\mathbb {Z}}\\0,&x\in {\mathbb {Z}}\end{cases}}

Gulv- og loftfunktionerne er reflektioner af hinanden fra begge akser:

\lgulv -x\rgulv =-\lceil x\rceil ,\quad \lceil -x\rceil =-\lgulv x\rgulv

Gulv/loft: uligheder

Enhver ulighed mellem reelle og heltal er ækvivalent med en gulv- og loftulighed mellem heltal [7] :

{\begin{matrix}n\leqslant x&\Longleftrightarrow &n\leqslant \lfloor x\rfloor &\qquad x\leqslant n&\Longleftrightarrow &\lceil x\rceil \leqslant n\\n<x&\Longleftrightarrow &n<\lce \rceil &\qquad x<n&\Longleftrightarrow &\lfloor x\rfloor <n\end{matrix}}

De to øverste uligheder er direkte konsekvenser af definitionerne af gulv og loft , og de to nederste er vendingen af de øverste .

Gulv-/loftfunktionerne er monotont stigende funktioner:

x\leqslant y\Rightarrow \lfloor x\rfloor \leqslant \lfloor y\rfloor ,\quad x\leqslant y\Rightarrow \lceil x\rceil \leqslant \lceil y\rceil

Gulv/loft: tilføjelse

Heltalsleddet kan introduceres/indstilles i parentes gulv/loft [9] :

\lgulv x+n\rgulv =\lgulv x\rgulv +n,\quad \lceil x+n\rceil =\lceil x\rceil +n

De tidligere ligheder holder generelt ikke, hvis begge led er reelle tal. Imidlertid gælder følgende uligheder i dette tilfælde:

\lgulv x\rgulv +\lgulv y\rgulv \leqslant \lgulv x+y\rgulv \leqslant \lgulv x\rgulv +\lgulv y\rgulv +1,\quad \lceil x\rceil +\lceil y\rceil - 1\leqslant \lceil x+y\rceil \leqslant \lceil x\rceil +\lceil y\rceil

Gulv/loft under funktionsskilt

Følgende forslag gælder: [10]

Lad være en kontinuerlig monotont stigende funktion, defineret på et eller andet interval , med egenskaben: $f(x)$

f(x)\in {\mathbb {Z}}\Højrepil x\in {\mathbb {Z}}

Derefter

\lgulv f(x)\rgulv =\lgulv f(\lgulv x\rgulv )\rgulv ,\quad \lceil f(x)\rceil =\lceil f(\lceil x\rceil )\rceil

når som helst defineret . $f(x),f(\lgulv x\rgulv),f(\lceil x\rceil)$

I særdeleshed,

\venstre\lgulv {\frac {x+m}{n}}\højre\rgulv =\venstre\lgulv {\frac {\venstre\lgulv x\højre\rgulv +m}{n}}\højre\rgulv , \quad \left\lceil {\frac {x+m}{n}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {\left\lceil x\right\rceil +m}{n}}\right\ rceil

hvis og er heltal, og . $m$ $n$ $n>0$

Gulv/loft: summer

Hvis er heltal, , så [11] $m,n$ $m>0$

n=\venstre\lgulv {\frac {n}{m}}\højre\rgulv +\venstre\lgulv {\frac {n+1}{m}}\højre\rgulv +\dots +\venstre\lgulv { \frac {n+m-1}{m}}\højre\rgulv

Generelt, hvis er et vilkårligt reelt tal og er et positivt heltal, så $x$ $m$

\lgulv mx\rgulv =\venstre\lgulv x\højre\rgulv +\venstre\lgulv x+{\frac {1}{m))\højre\rgulv +\prikker +\venstre\lgulv x+{\frac {m- 1}{m}}\højre\rgulv

Der er en mere generel sammenhæng [12] :

\sum _{{0\leqslant k<m}}\venstre\lgulv {\frac {nk+x}{m}}\højre\rgulv =d\venstre\lgulv {\frac {x}{d}}\ højre\rgulv +{\frac {(m-1)(n-1)}{2}}+{\frac {d-1}{2}},\quad d=(m,n)

Da højre side af denne lighed er symmetrisk med hensyn til og , så er følgende lov om gensidighed gyldig : $m$ $n$

\sum _{{0\leqslant k<m}}\venstre\lgulv {\frac {nk+x}{m}}\right\rgulv =\sum _{{0\leqslant k<n}}\venstre\ lgulv {\frac {mk+x}{n}}\højre\rgulv ,\quad m,n>0

Nedbrydelighed i en serie

På en triviel måde udvides antier-funktionen til en serie ved hjælp af Heaviside-funktionen :

[x]=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }n\left(\theta (xn)-\theta (xn-1)\right),

hvor hvert led i serien skaber karakteristiske " trin " for funktionen. Denne serie konvergerer absolut , men en fejlagtig transformation af dens termer kan føre til en "forenklet" serie

\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\theta \left(xn\right),

som divergerer .

Ansøgning

Heltals gulv/loft-funktioner finder bred anvendelse i diskret matematik og talteori . Nedenfor er nogle eksempler på, hvordan disse funktioner kan bruges.

Antal cifre i et tal

Antallet af cifre i notationen af et positivt heltal i positionstalsystemet med basis b er [13]

\lgulv \log _{{b}}n\rgulv +1

Afrunding

Det nærmeste heltal på et heltal kan bestemmes af formlen $x$

(x)=\lgulv x+0{,}5\rgulv

Binær operation mod

Modulo-restoperationen, betegnet , kan defineres ved hjælp af gulvfunktionen som følger. Hvis er vilkårlige reelle tal, og , Så den ufuldstændige kvotient af division med er $x{\bmod {y))$ $x,y$ $y\neq 0$ $x$ $y$

\lgulv x/y\rgulv

og resten

x\,{\bmod \,}y=xy\lgulv x/y\rgulv

Brøkdel

Brøkdelen af et reelt tal er per definition lig med $x$

\{x\}=x\,{\bmod \,}1=x-\lgulv x\rgulv

Antal heltalsintervalpunkter

Det er nødvendigt at finde antallet af heltalspunkter i et lukket interval med ender og det vil sige antallet af heltal , der opfylder uligheden $\alfa$ $\beta$ $n$

\alpha \leqslant n\leqslant \beta

På grund af gulvets/loftets egenskaber svarer denne ulighed til

\lceil \alpha \rceil \leqslant n\leqslant \lfloor \beta \rfloor

Dette er antallet af punkter i et lukket interval med ender og lig med . $\lceil \alpha \rceil$ $\lgulv \beta \rgulv$ $\lgulv \beta \rgulv -\lceil \alpha \rceil +1$

På samme måde kan du tælle antallet af heltalspunkter i andre typer mellemrum . Et resumé af resultaterne er givet nedenfor [14] .

\#\{n\in {\mathbb {Z}}\colon \alpha \leqslant n\leqslant \beta \}=\lfloor \beta \rfloor -\lceil \alpha \rceil +1

\#\{n\in {\mathbb {Z}}\colon \alpha \leqslant n<\beta \}=\lceil \beta \rceil -\lceil \alpha \rceil

\#\{n\i {\mathbb {Z}}\colon \alpha <n\leqslant \beta \}=\lgulv \beta \rgulv -\lgulv \alpha \rgulv

\#\{n\in {\mathbb {Z}}\colon \alpha <n<\beta \}=\lceil \beta \rceil -\lfloor \alpha \rfloor -1

( Sættets kardinalitet er angivet med ) $\#M$ $M$ .

De første tre resultater gælder for alle , og det fjerde er kun gyldigt for . $\alpha \leqslant \beta$ $\alfa <\beta$

Rayleighs spektrumsætning

Lad og vær positive irrationelle tal relateret af relationen [15] $\alfa$ $\beta$

{\frac {1}{\alpha }}+{\frac {1}{\beta }}=1.

Derefter i rækken af tal

\lgulv \alpha \rgulv ,\lgulv \beta \rgulv ,\lgulv 2\alpha \rgulv ,\lgulv 2\beta \rgulv ,\ldots ,\lgulv m\alpha \rgulv ,\lgulv m\beta \rgulv ,\ ldots

hver naturlig forekommer nøjagtigt én gang. Med andre ord sekvenserne $n\in \mathbb {N}$

\{m\alpha \mid m\in {\mathbb {N}}\}

og ,

\{m\beta \mid m\in {\mathbb {N}}\}

kaldet Beatty-sekvenser , danner en opdeling af den naturlige serie. [16]

I datalogi

I programmeringssprog

Mange programmeringssprog har indbyggede gulv/loft-funktioner floor(), ceil() .

I layoutsystemer

TeX (og LaTeX ) har specielle kommandoer til gulv/loft-symbolerne , , , \lfloor , \rfloor , \ lceil , \ rceil . Da wikien bruger LaTeX til at skrive matematiske formler, bruges disse kommandoer også i denne artikel. $\lgulv$ $\rgulv$ $\lceil$ $\rceil$

Noter

↑ Lemmermeyer, s. 10, 23.
↑ Gauss-notation brugt af Cassels, Hardy & Wright og Ribenboim. Graham, Knuth & Patashnik og Crandall & Pomerance brugte Iversons notation.
↑ Iverson, s. 12.
↑ Highham, s. 25.
↑ 1 2 R. Graham, D. Knuth, O. Patashnik. konkret matematik. - S. 88.
↑ Weisstein, Eric W. Floor Function på Wolfram MathWorld- webstedet .
↑ 1 2 R. Graham, D. Knuth, O. Patashnik. konkret matematik. - S. 90.
↑ R. Graham, D. Knuth, O. Patashnik. konkret matematik. - S. 89.
↑ R. Graham, D. Knuth, O. Patashnik. konkret matematik. - S. 90-91.
↑ R. Graham, D. Knuth, O. Patashnik. konkret matematik. - S. 93.
↑ R. Graham, D. Knuth, O. Patashnik. konkret matematik. - S. 108.
↑ R. Graham, D. Knuth, O. Patashnik. konkret matematik. — S. 112-117.
↑ R. Graham, D. Knuth, O. Patashnik. konkret matematik. - S. 91.
↑ R. Graham, D. Knuth, O. Patashnik. konkret matematik. - S. 95-96.
↑ R. Graham, D. Knuth, O. Patashnik. konkret matematik. — S. 99-100.
↑ A. Baababov. "Pentium" er godt, men sindet er bedre // Kvant . - 1999. - Nr. 4 . - S. 36-38 .

Se også

Litteratur

R. Graham, D. Knuth, O. Patashnik. konkret matematik. - M . : "Mir", 1998. - 703 s. — ISBN 5-03-001793-3 .
M. K. Potapov, V. V. Alexandrov, P. I. Pasichenko. Algebra og begyndelsen af analysen. - AO Century, 1996.