Hypergeometrisk funktion

Den hypergeometriske funktion (gaussisk funktion) er defineret inde i cirklen som summen af den hypergeometriske række $|z|<1$

F(a,b;c;z)=1+\sum _{{k=1}}^{\infty }\left[\prod _{{l=0}}^{{k-1}}{ (a+l)(b+l) \over (1+l)(c+l)}\right]z^{k}=1+{\frac {ab}{c}}{\frac {z} {1!}}+{\frac {a(a+1)b(b+1)}{c(c+1)}}{\frac {z^{2}}{2!}}+\prikker ,

og at - som dens analytiske fortsættelse . Det er en løsning på en andenordens lineær ordinær differentialligning (ODE) kaldet den hypergeometriske ligning. $|z|>1$

Historie

Udtrykket "hypergeometrisk serie" blev første gang brugt af John Wallis i 1655 i bogen Arithmetica Infinitorum . Dette udtryk refererede til en serie, hvis generelle formel har formen [1]

{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2n+1)}{2\cdot 4\cdot \ldots \cdot 2n)).

Hypergeometriske serier blev studeret af Leonhard Euler og mere detaljeret af Gauss [2] . I det 19. århundrede blev undersøgelsen videreført af Ernst Kummer, og Bernhard Riemann definerede den hypergeometriske funktion ud fra den ligning, den opfylder.

Hypergeometrisk ligning

Overvej Eulers differentialligning, hvor parametrene a , b , og c kan være vilkårlige komplekse tal. Dens generalisering til vilkårlige regulære entalspunkter er givet af Riemanns differentialligning . Eulers ligning har tre entalspunkter : 0, 1 og . $z(1-z){\frac {d^{2}u}{dz^{2}}}+[c-(a+b+1)z]{\frac {du}{dz}}-abu =0,$ $\infty$

Når parameteren ikke er lig med nul og negative heltal , kan løsningen af Euler-ligningen regulær på nul skrives gennem en serie kaldet hypergeometrisk: $c$ $(c\neq 0,-1,-2,\ldots )$

_{2}F_{1}(a,b;c;z)\equiv F(a,b;c;z)=1+{\frac {ab}{c}}{\frac {z}{1 !}}+{\frac {a(a+1)b(b+1)}{c(c+1)}}{\frac {z^{2}}{2!}}+\dots .

Denne funktion kaldes hypergeometrisk. Ofte brugt notation ( Pochhammer symbol )

(p)_{n}={\frac {\Gamma (p+n)}{\Gamma (p))),

hvor er gammafunktionen . Så kan den hypergeometriske funktion repræsenteres som $\Gamma$

F(a,b;c;z)=\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {(a)_{n}(b)_{n}z^{n}} {(c)_{n}n!}}.

Notationen angiver, at der er to parametre, a og b, "at gå til tælleren", og en, c, "gå til nævneren". På grænsen konvergerer rækken gennem hvilken den hypergeometriske funktion er defineret absolut , hvis den reelle del af summen konvergerer betinget ved og divergerer, hvis . Den anden lineært uafhængige løsning af Eulers differentialligning har formen $_{2}F_{1}(a,b;c;z)$ $|z|=1$ $a+bc<0$ $z\neq 1$ $0\leq a+bc<1$ $a+bc\geq 1$

\ z^{{1-c}}F(b-c+1,a-c+1;2-c;z)

Den har et ental punkt ved og er gyldig for alle ikke-positive . [3] $z=0$ $c$ $(c=0,-1,-2,\ldots)$

Den integrale repræsentation for den hypergeometriske funktion ved (Eulers formel) kan skrives som følger: ${\text{Re}}(c)>{\text{Re}}(b)>0$

F(a,b;c;z)={\Gamma (c) \over \Gamma (b)\Gamma (cb)}\int \limits _{{0}}^{{1}}t^{{ b-1}}(1-t)^{{cb-1}}(1-tz)^{{-a}}\,dt,

hvor er Euler gamma-funktionen . Dette udtryk er en analytisk funktion med en enkelt værdi på det komplekse plan med et snit langs den reelle akse fra til og giver en analytisk fortsættelse til hele det komplekse plan for den hypergeometriske serie, der kun konvergerer ved . $\gamma (x)$ $z$ $en$ $\infty$ $\left|z\right|<1$

Private værdier hos $z=1/2$

Den anden Gauss summationssætning er udtrykt ved formlen:

_{2}F_{1}\venstre(a,b;{\tfrac 12}\left(1+a+b\right);{\tfrac 12}\right)={\frac {\Gamma ({\ tfrac 12})\Gamma ({\tfrac 12}\left(1+a+b\right))}{\Gamma ({\tfrac 12}\left(1+a)\right)\Gamma ({\tfrac 12}\left(1+b\right)))}}.

Baileys sætning er udtrykt ved formlen:

_{2}F_{1}\left(a,1-a;c;{\tfrac 12}\right)={\frac {\Gamma ({\tfrac 12}c)\Gamma ({\tfrac 12} \left(1+c\right))}{\Gamma ({\tfrac 12}\left(c+a\right))\Gamma ({\tfrac 12}\left(1+ca\right)))) .

Skrivning af andre funktioner i form af hypergeometrisk

En vigtig egenskab ved den hypergeometriske funktion er, at mange specielle og elementære funktioner kan opnås fra den med visse parameterværdier og transformation af det uafhængige argument.

Eksempler

$\venstre(1+x\højre)^{n}=F(-n,b;b;-x)$
$x^{n}=F\venstre(-n,b;b;1-x\højre)$
${1 \over x}\ln(1+x)=F(1,1;2;-x)$

{1 \over x}\arcsin(x)=F\venstre({\frac {1}{2)),{\frac {1}{2));{\frac {3}{2));x ^{2}\right)

$e^{x}=\lim _{{n\to \infty }}F\left(1,n;1;{x \over n}\right)$
$\cos x=\lim _{{a,\;b\to \infty }}F\venstre(a,b;{\frac {1}{2));-{\frac {x^{2}} {4ab}}\right)$
$\cosh x=\lim _{{a,\;b\to \infty }}F\left(a,b;{\frac {1}{2}};{x^{2} \over 4ab}\ ret)$
Komplet elliptisk integral af den første slags: $K(k)=\int \limits _{{0}}^{{\pi /2}}\!{\frac {d\varphi }{{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{ 2}\varphi ))))={\frac {\pi}{2))F\venstre({\frac {1}{2)),{\frac {1}{2));1;k^ {2}\right)$
Komplet elliptisk integral af den anden slags: $E(k)=\int \limits _{{0}}^{{\pi /2}}\!{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}\,d \varphi ={\frac {\pi }{2}}F\venstre(-{\frac {1}{2)),{\frac {1}{2));1;k^{2}\right )$
Legendre polynomium : $P_{n}(x)=F(n+1,-n;1;{\frac {1-x}{2)))$
Tilknyttet Legendre-funktion : $P_{{n,\;m}}(x)=(1-x^{2})^{({\frac {m}{2}}}}{\Gamma (n+m+1) \over 2^{m}\Gamma (n-m+1)\Gamma (m+1)}F\venstre(n+m+1,mn;m+1;{\frac {1-x}{2)) \ret)$
Bessel funktioner : $J_{\nu}(x)=\lim _{a,\;b\to \infty }\left[{\frac {\left({\dfrac {x}{2))\right)^ {\nu }}{\Gamma (\nu +1)}}F\venstre(a,b;\nu +1;-{\frac {x^{2}}{4ab}}\right)\right]$
Kummer (Pochhammer) funktion, eller degenereret hypergeometrisk funktion $M(a,c,z)={}_{1}F_{1}(a,c,z)=\lim _{b\to \infty }F(a,b;c;z/ b)$ er en løsning på den degenererede hypergeometriske ligning $z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(cz){\frac {dw}{dz}}-aw=0.$
En degenereret hypergeometrisk funktion med et heltal ikke-positivt første argument er et generaliseret Laguerre-polynomium : $L_{n}^{\lambda }(x)={}_{1}F_{1}(-n,\lambda,x).$

Identiteter

$27\,(z-1)^{2}\cdot {_{2}F_{1}}\left({\tfrac {1}{4)),{\tfrac {3}{4} };{\tfrac {2}{3}};z\right)^{8}+18\,(z-1)\cdot {_{2}F_{1}}\left({\tfrac {1 }{4)),{\tfrac {3}{4}};{\tfrac {2}{3}};z\right)^{4}-8\cdot {_{2}F_{1}} \left({\tfrac {1}{4)),{\tfrac {3}{4));{\tfrac {2}{3));z\right)^{2}=1$
Og et vidunderligt specialtilfælde af det tidligere udtryk: $_{2}F_{1}\venstre({\frac {1}{4)),{\frac {3}{4));\,{\frac {2}{3));\ ,{\frac {1}{3}}\right)={\frac {1}{\sqrt ({\sqrt ({\frac {4}{\sqrt {2-{\sqrt[{3}]{ 4}}}}}+{\sqrt[{3}]{4}}+4}}-{\sqrt {2-{\sqrt[{3}]{4}}}}-2}}}$

Noter

↑ Scott, 1981 , s. 16.
↑ Vinogradov, 1977 , s. 1004.
↑ Bateman, Erdeyi, bind 1, 1973 , s. 69-70.

Litteratur

Matematisk encyklopædi / Ed. I. M. Vinogradova. - M. , 1977. - T. 1.
Bateman G., Erdeyi A. Højere transcendentale funktioner = højere transcendentale funktioner / Pr. N. Ya. Vilenkina. - Ed. 2.,. - M. : Nauka, 1973. - T. 1. - 296 s. - 14.000 eksemplarer.
Kuznetsov D. S.: Specialfunktioner - M .: "Higher School", 1962
Landau L. D. , Lifshits E. M. Kvantemekanik (ikke-relativistisk teori). — Udgave 4. — M .: Nauka , 1989. — 768 s. - (" Teoretisk fysik ", bind III). - ISBN 5-02-014421-5 . - matematiske tilføjelser
Kazuhiko Aomoto, Michitake Kita. Teori om hypergeometriske funktioner / Overs. af Kenji Iohara. - Springer, 2011. - Vol. 305. - 317 s. — (Springer Monographs in Mathematics Series). — ISBN 9784431539124 .
Scott JF Det matematiske arbejde af John Wallis, DD, FRS, (1616-1703). - American Mathematical Soc., 1981. - 240 s. — (Chelsea Publishing Series). — ISBN 9780828403146 .

Ordbøger og encyklopædier	Great Soviet (1 udg.) Britannica (online)
I bibliografiske kataloger	NKC : ph161655