Kvadring af cirklen

Kvadreringen af en cirkel er en opgave, der består i at finde en måde at konstruere ved hjælp af et kompas og en lineal (uden en skala med divisioner) et kvadrat , der i areal er lig med en given cirkel . Sammen med tredelingen af en vinkel og fordoblingen af en terning er det et af de mest berømte uløselige konstruktionsproblemer med et kompas og en ligekant.

Hvis vi betegner radius af en given cirkel, længden af siden af det ønskede kvadrat, så er problemet i moderne forstand reduceret til at løse ligningen: hvorfra får vi: Det er bevist, at det er umuligt at nøjagtigt konstruer en sådan værdi ved hjælp af et kompas og lineal. $R$ $x$ $x^{2}=\pi R^{2},$ $x={\sqrt {\pi }}R\ca. 1{,}77245R.$

Historie

Det kan ses fra formuleringen af problemet, at det er tæt forbundet med det praktisk vigtige problem med at finde arealet af en cirkel . I det gamle Egypten vidste man allerede, at dette areal er proportionalt med kvadratet af cirklens diameter.I Rhinda -papyrusen bruges formlen [1] til beregninger $S$ $d.$

S=\left({\frac {8}{9}}d\right)^{2}.

Fra denne formel kan det ses, at arealet af en cirkel med diameter blev betragtet som lig med arealet af en firkant med en side . I moderne terminologi betyder det, at egypterne tog værdien lig med $d$ ${\frac {8}{9}}d.$ $\pi$ $\left({\frac {16}{9}}\right)^{2}\approx 3{,}16.$

Gamle græske matematikere betragtede deres opgave ikke at beregne, men nøjagtigt at konstruere det ønskede kvadrat (" kvadrering "), desuden i overensstemmelse med tidens principper kun ved hjælp af et kompas og en lineal . Problemet blev behandlet af de største antikke videnskabsmænd - Anaxagoras , Antiphon , Bryson fra Heracles , Archimedes , Sporer og andre.

Hippokrates fra Chios i det 4. århundrede f.Kr e. opdagede først, at nogle krumlinjede figurer ( Hippokratiske lunulae ) indrømmer nøjagtig kvadratur. De gamle matematikere formåede ikke at udvide klassen af sådanne figurer. Hans samtidige Dinostratus tog en anden vej og viste, at kvadratiseringen af en cirkel strengt kan udføres ved hjælp af en speciel kurve - en kvadratrix [2] .

I Euklids " principper " (3. århundrede f.Kr.) behandles spørgsmålet om området af cirklen ikke. Et vigtigt trin i studiet af problemet var arbejdet med Archimedes "Measuring the Circle", hvor sætningen for første gang blev strengt bevist: arealet af en cirkel er lig med arealet af en højre- vinklet trekant, hvor det ene ben er lig med cirklens radius, og det andet er cirklens længde. Dette betød, at hvis det var muligt at udføre en " udretning af cirklen ", det vil sige at konstruere et segment af samme længde, så ville problemet være fuldstændig løst. Archimedes gav også et skøn [3] af antallet : $\pi$

{\frac {223}{71}}<\pi <{\frac {22}{7));\quad

i decimalnotation:

3{,}1408<\pi <3{,}1429.

Yderligere forskning foretaget af indiske , islamiske og europæiske matematikere om dette emne i lang tid vedrørte hovedsageligt forfining af betydningen af tallet og udvælgelse af omtrentlige formler til at kvadrere cirklen. I middelalderens Europa tog Fibonacci , Nicholas af Cusa og Leonardo da Vinci sig af med problemet . Senere blev omfattende undersøgelser offentliggjort af Kepler og Huygens . Efterhånden blev troen på, at tallet ikke kunne udtrykkes nøjagtigt ved hjælp af et endeligt antal regneoperationer (inklusive at udtrække roden ), styrket, og derfor ville umuligheden af at kvadrere cirklen [4] følge . I 1775 besluttede Paris Academy of Sciences (efterfulgt af en række andre akademier i verden) ikke at tage hensyn til forsøg på at kvadrere cirklen og andre uløselige problemer. $\pi$ $\pi$

Tallets irrationalitet blev bevist af Lambert i 1766 i sit værk "Tidligere information til dem, der søger cirklens firkant og berigtigelse." Lamberts arbejde indeholdt huller, snart rettet af Legendre (1794). Det endelige bevis på uløseligheden af at kvadrere cirklen blev givet i 1882 af Lindemann (se næste afsnit) [5] . Matematikere har også fundet på mange praktiske måder at tilnærme cirkelkvadrering med god nøjagtighed [6] . $\pi$

Uafgørelighed

Hvis vi tager cirklens radius som en måleenhed og angiver x længden af siden af det ønskede kvadrat, så reduceres problemet til at løse ligningen: , hvorfra :. Med kompas og ligekant kan alle 4 regneoperationer og kvadratrod udføres ; Det følger heraf, at kvadreringen af en cirkel er mulig, hvis og kun hvis det ved hjælp af et begrænset antal sådanne operationer er muligt at konstruere et længdesegment . Uløseligheden af dette problem følger således af nummerets ikke-algebraiske karakter ( transcendens ) , som blev bevist i 1882 af Lindemann . $x^{2}=\pi$ $x={\sqrt {\pi ))$ $\pi$ $\pi$

Denne uafgørelighed skal dog forstås som uafgøreligheden, når du kun bruger kompas og lige . Problemet med at kvadrere en cirkel bliver løseligt, hvis der udover et kompas og en lineal bruges andre midler (for eksempel quadratrix ). Den enkleste mekaniske metode blev foreslået af Leonardo da Vinci [7] . Lad os lave en cirkulær cylinder med en basisradius og højde , smør sidefladen af denne cylinder med blæk og rul den langs planet. I en hel omdrejning udskriver cylinderen et rektangel på planet med areal . Med et sådant rektangel er det allerede let at konstruere et kvadrat med lige areal. $R$ ${\frac {R}{2))$ $\pi R^{2}$

Det følger også af Lindemanns sætning, at det er umuligt at kvadraturere en cirkel ikke kun med et kompas og en lineal, det vil sige ved hjælp af rette linjer og cirkler, men også ved hjælp af andre algebraiske kurver og flader (f.eks. , ellipser , hyperbler , kubiske parabler osv.) [8] .

Tilnærmet løsning

Lad være siden af kvadratet, være diagonalen af kvadratet, og være radius af cirklen. Lige store arealer af en firkant og en cirkel: . Ifølge Pythagoras sætning , hvorfra , . Substituerer vi i lighed, får vi . Udtryk , får vi . Diagonalen af det ønskede kvadrat er omtrent lig med 2,5 cirkelradier. Konstruerer vi et kvadrat med en side af den angivne længde og tager halvdelen af dets diagonal, får vi siden af det ønskede omtrentlige kvadrat [9] . Med denne konstruktion vil fejlen være 0,016592653. Med en indledende radius på 1 meter vil du få en "arealmangel" på godt 10 tændstikæsker. $-en$ $D$ $r$ $\pi r^{2}=a^{2}$ ${\displaystyle D^{2}=a^{2}+a^{2))$ $D=a{\sqrt {2}}$ ${\displaystyle a={\frac {D}{\sqrt {2))))$ $-en$ $\pi r^{2}=\left({\frac {D}{\sqrt {2}}}\right)^{2}$ $D$ $D=r{\sqrt {2\pi }}\approx 2{,}506628275\cdot r$

Metaforen om "squaring the circle"

Det matematiske bevis på umuligheden af at kvadrere en cirkel har ikke stoppet mange entusiaster fra at bruge år på at løse dette problem. Det nytteløse i forskning for at løse problemet med at kvadrere cirklen har overført denne omsætning til mange andre områder, hvor den blot betegner en håbløs, meningsløs eller forgæves virksomhed . Se også evighedsmaskine .

Se også

Noter

↑ Fem berømte antikkens problemer, 1975 , s. 10-11.
↑ Fem berømte antikkens problemer, 1975 , s. 24-27.
↑ Fem berømte antikkens problemer, 1975 , s. 30-34.
↑ Fem berømte antikkens problemer, 1975 , s. 97-98.
↑ Fem berømte antikkens problemer, 1975 , s. 144-168.
↑ Fem berømte antikkens problemer, 1975 , s. 188-191.
↑ Alexandrova N. V. Historie om matematiske termer, begreber, notation: Ordbogsopslagsbog, red. 3 . - Sankt Petersborg. : LKI, 2008. - S. 71 . — 248 s. - ISBN 978-5-382-00839-4 .
↑ Rudio F., 1936 , s. 87.
↑ Er det muligt at firkante en cirkel? . Hentet 20. april 2012. Arkiveret fra originalen 19. januar 2012. (ubestemt)

Litteratur

Belozerov S.E. Fem berømte problemer fra antikken. Historie og moderne teori. - Rostov: Rostov Universitets forlag, 1975. - 320 s.
Manin Yu. I. Om løseligheden af konstruktionsproblemer ved hjælp af kompas og lige. Encyklopædi af elementær matematik. Book Four (Geometry) Arkiveksemplar dateret 18. september 2011 på Wayback Machine , M., Fizmatgiz, 1963. - 568 s.
Perelman Ya. I. Kvadring af cirklen . L .: House of entertaining science, 1941.
Prasolov V. V. . Tre klassiske byggeproblemer. Fordobling af en terning, tredeling af en vinkel, firkant af en cirkel. Arkivkopi dateret 9. december 2008 på Wayback Machine M.: Nauka, 1992. 80 s. Serien "Popular Lectures in Mathematics", udgave 62.
Rudio F. Om at kvadrere cirklen (Archimedes, Huygens, Lambert, Legendre). - Ed. 3. - M. - L .: OGIZ, 1936. - 237 s. - ( Naturvidenskabens klassikere ).
Hal Hellman. Store konfrontationer i videnskaben. Ti mest spændende tvister. Kapitel 2. Wallis vs. Hobbes: Squaring the Circle = Store fejder i videnskaben: Ti af de livligste stridigheder nogensinde. - M . : "Dialektik" , 2007. - 320 s. - ISBN 0-471-35066-4 .
Chistyakov V.D. Tre berømte problemer fra antikken. - M . : Stat. uch.-ped. Forlag for Undervisningsministeriet i RSFSR, 1963. - 96 s. .
Shchetnikov A. I. Hvordan blev nogle løsninger på tre klassiske problemer fra antikken fundet? // Matematisk uddannelse. - 2008. - Nr. 4 (48) . - S. 3-15 .

Matematik i det antikke Grækenland
Matematikere	Autolycus Anaxagoras Anfimy Apollonius Aristark Aristaeus Archimedes archite bion Boethius Bryson af Heracles Gemin Hejre Hypatia Hipparchus flodheste Hippies Hippokrates Hypsikel Demokrit Dicaearchus Dinostrat Diocles Diophantus Domnin Evdem Eudoxus Euklid Evtokii Zenodor Zeno af Sidon Zeno af Elea Isidore Kallippus Karpe Cleomedes Conon Xenokrates Ctesibius Lev Matematiker Marin Menelaos Menechmus Nicomachus nycomedes Papp Perseus Pythagoras Porfiry Posidonius Proclus Ptolemæus Fredfyldt Symplicius Sosigen Theon af Alexandria Theon af Smyrna Theaetetus Timarid Thales Theano Theodor Theodosius Philolaus Chrysippus enopid Eratosthenes
Afhandlinger	Almagest Introduktion til aritmetik Aritmetik Arkimedes' tyreproblem Kalkulation af sandkorn Begyndelser Om den bevægende sfære Om kuglen og cylinderen Palimpsest af Archimedes Arbejde med keglesnit
Under indflydelse	Babylonsk matematik gammel egyptisk matematik
Indflydelse	Europæisk matematik Indisk matematik Middelalderlig islamisk matematik
borde	Kronologisk tabel over græske matematikere
Opgaver	Apollonius' problem Kvadring af cirklen Vinkel tresektion Fordobling af terningen