Integral

∫

Billede

◄

∧

∨

∩

∪

∫

∬

∭

∮

∯

►

Egenskaber

Navn

integral

Unicode

U+222B

HTML-kode

∫ eller ∫

UTF-16

0x222B

URL-kode

%E2%88%AB

Mnemonics

&∫;

Integral (fra lat. heltal - bogstaveligt talt hel) [1] - et af de vigtigste begreber inden for matematisk analyse , som opstår ved løsning af problemer:

om at finde området under kurven;
afstanden tilbagelagt med ujævn bevægelse;
masser af en inhomogen krop og lignende;
samt i problemet med at genvinde en funktion fra dens afledte ( ubestemt integral ) [2] .

Forenklet kan integralet repræsenteres som en analog af summen for et uendeligt antal uendeligt små led. Afhængigt af det rum, som integranden er givet på, kan integralet være dobbelt , tredobbelt , krumlinjet , overflade , og så videre; der er også forskellige tilgange til definitionen af integralet - der er integraler af Riemann , Lebesgue , Stieltjes og andre [3] .

Integral af en funktion af en variabel

Ubestemt integral

Lade være en funktion af en reel variabel . Et ubestemt integral af en funktion , eller dens antiderivative , er en funktion, hvis afledte er lig med , det vil sige . Det er markeret således: $f(x)$ $f(x)$ $F(x)$ $f(x)$ $F'(x)=f(x)$

F(x)=\int f(x)dx

I denne notation kaldes integralets fortegn integranden og er integrationselementet . $\int$ $f(x)$ $dx$

Et antiderivat findes ikke for hver funktion. Det er let at vise, at i det mindste alle kontinuerte funktioner har en antiderivativ. Da afledte af to funktioner, der adskiller sig med en konstant , er sammenfaldende, indgår en vilkårlig konstant i udtrykket for det ubestemte integral , f.eks. $C$

\int x^{2}dx={\frac {x^{3}}{3}}+C,\qquad \int \cos(x)dx=\sin(x)+C

Operationen med at finde integralet kaldes integration . Operationerne af integration og differentiering er omvendt til hinanden i følgende forstand:

{\frac {d}{dx}}\int f(x)dx=f(x),\qquad \int {\frac {df(x)}{dx}}dx=f(x)+ C

Bestemt integral

Konceptet med et bestemt integral opstår i forbindelse med problemet med at finde arealet af en krumt trapez, finde en sti med en kendt hastighed med ujævn bevægelse osv.

Betragt en figur afgrænset af x-aksen , rette linjer og en funktionsgraf , kaldet en krumlinjet trapez (se figur). Hvis tiden er plottet langs abscisseaksen, og kroppens hastighed er plottet langs ordinataksen, så er arealet af den krumlinjede trapez den vej, som kroppen tilbagelægger. $x=a$ $x=b$ $y=f(x)$

For at beregne arealet af denne figur er det naturligt at anvende følgende metode. Lad os opdele segmentet i mindre segmenter ved punkter sådan, at , og selve trapezet i en række smalle strimler, der ligger over segmenterne . Lad os tage et vilkårligt punkt i hvert segment . På grund af det faktum, at længden af det -th segment er lille, vil vi betragte værdien af funktionen på det for at være omtrent konstant og lig med . Arealet af den buede trapez vil være omtrent lig med arealet af den trinformede figur vist på figuren: $[a;b]$ $x_{i}$ $a=x_{0}<...<x_{i}<x_{i+1}<...<x_{n}=b$ $[x_{i};x_{i+1}]$ $\xi _{i}\in [x_{i};x_{i+1}]$ $jeg$ ${\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i+1}-x_{i))$ $f(x)$ $y_{i}=f(\xi _{i})$

S\approx \sum _{i=0}^{n-1}y_{i}\Delta x_{i}\qquad (*)

Hvis vi nu øger antallet af skillepunkter, så længderne af alle segmenter falder på ubestemt tid ( ), vil arealet af den trinformede figur være tættere og tættere på arealet af den buede trapez. $\max \Delta x_{i}\to 0$

Så vi kommer til denne definition:

Hvis der eksisterer, uanset valget af opdelingspunkter for segmentet og punkterne , grænsen for summen (*), når længderne af alle segmenter har en tendens til nul, så kaldes en sådan grænse for et bestemt integral ( i Riemanns forstand ) af en funktion over et segment og er betegnet $\xi _{i}$ $f(x)$ $[a;b]$

\int \limits _{a}^{b}f(x)dx

Selve funktionen kaldes integrerbar (i betydningen Riemann) på intervallet . Summer af formen (*) kaldes integralsummer . $[a;b]$

Eksempler på integrerbare funktioner:

kontinuerlige funktioner
funktioner, der kun har et begrænset antal diskontinuiteter af den første slags
monotone funktioner .

Et eksempel på en ikke-integrerbar funktion: Dirichlet-funktionen (1 for rationel , 0 for irrationel ). Da mængden af rationelle tal overalt er tæt i , kan man ved at vælge punkterne få en hvilken som helst værdi af integralerne fra 0 til . $x$ ${\mathbb {R} }$ $\xi _{i}$ $ba$

Der er en simpel sammenhæng mellem de bestemte og ubestemte integraler. Nemlig hvis

\int f(x)dx=F(x)+C

derefter

\int \limits _{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)

Denne lighed kaldes Newton-Leibniz-formlen .

Integral i rum af højere dimension

Dobbelte og multiple integraler

Konceptet med et dobbeltintegral opstår ved beregning af volumenet af en cylindrisk stang , ligesom et bestemt integral er forbundet med beregning af arealet af en krumt trapez. Overvej en todimensionel figur på planet og en funktion af to variabler givet på den . Ved at forstå denne funktion som en højde på et givet punkt rejser vi spørgsmålet om at finde volumen af den resulterende krop (se figur). I analogi med det endimensionelle tilfælde opdeler vi figuren i tilstrækkeligt små områder , tager et punkt i hver og sammensætter integralsummen $D$ $XY$ $f(x,y)$ $D$ $d_{i}$ $\xi _{i}=(x_{i},y_{i})$

\sum _{i}f(x_{i},y_{i})S(d_{i})

hvor er området i regionen . Hvis der eksisterer, uanset valget af partition og punkter , grænsen for denne sum, da regionernes diametre har tendens til nul, så kaldes en sådan grænse dobbeltintegralet (i Riemann betydning) af funktionen over området og er betegnet $S(d_{i})$ $d_{i}$ $\xi _{i}$ $f(x,y)$ $D$

\int \limits _{D}f(x,y)dS

, , eller

\int \limits _{D}f(x,y)dxdy

\iint \limits _{D}f(x,y)dxdy

Volumenet af en cylindrisk stang er lig med dette integral.

Kurvilineært integral

Overfladeintegral

Ansøgning

Problemet med massen af et inhomogent legeme fører naturligvis også til begrebet et integral. Massen af en tynd stang med variabel tæthed er således givet af integralet $\rho (x)$

M=\int \rho (x)dx

i det analoge tilfælde af en plan figur

M=\iint \rho (x,y)dxdy

og for en tredimensionel krop

M=\iiiint \rho (x,y,z)dxdydz

Generaliseringer

Lebesgue integral

Definitionen af Lebesgue-integralet er baseret på begrebet -additiv foranstaltning . Mål er en naturlig generalisering af begreberne længde, areal og volumen. $\sigma$

Lebesgue-integralet af en funktion defineret på rummet med mål er angivet $f$ $x$ $\mu$

\int \limits _{X}f\mu

, eller ,

\int \limits _{x\in X}f(x)\mu

\int \limits _{X}f(x)\mu (dx)

de sidste to betegnelser anvendes, hvis det er nødvendigt at understrege, at integrationen udføres over variablen . Den følgende ikke helt korrekte notation bruges dog ofte $x$

\int \limits _{X}fd\mu .

Antage, at målet for et segment (rektangel, parallelepipedum) er lig med dets længde (areal, volumen) og målet for en endelig eller tællig forening af ikke-skærende segmenter (rektangler, parallelepipeder) til summen af deres mål, og udvider denne foranstaltning til en bredere klasse af målbare sæt , opnår vi t. naz. Lebesgue-mål på linjen (i , i . ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{2))$ ${\mathbb {R} }^{3})$

Naturligvis kan andre foranstaltninger, der er forskellige fra Lebesgues, indføres i disse rum. Et mål kan også indføres på ethvert abstrakt sæt. I modsætning til Riemann-integralet forbliver definitionen af Lebesgue-integralet den samme for alle tilfælde. Dens idé er, at når man konstruerer integralsummen, grupperes værdierne af argumentet ikke efter deres nærhed til hinanden (som i definitionen ifølge Riemann), men efter nærheden af funktionsværdierne svarende til dem.

Lad der være nogle sæt , hvorpå -additivt mål er givet , og en funktion . Når man konstruerer Lebesgue-integralet, tages der kun hensyn til målbare funktioner , det vil sige dem, for hvilke mængderne $x$ $\sigma$ $\mu$ $f:X\to {\mathbb {R} }$

E_{a}=\{x\in X:f(x)<a\}

er målbare for enhver (dette svarer til målbarheden af det omvendte billede af ethvert Borel-sæt ). $a\in {\mathbb {R} }$

For det første defineres integralet for trinfunktioner , det vil sige dem, der tager et endeligt eller tælligt antal værdier : $a_{i}$

\int \limits _{X}f\mu =\sum _{i}a_{i}\mu (f^{-1}(a_{i}))

hvor er det fulde forbillede af punktet ; disse sæt er målbare på grund af funktionens målbarhed. Hvis denne serie konvergerer absolut , vil vi kalde trinfunktionen integrerbar i betydningen Lebesgue . Yderligere kalder vi en vilkårlig funktion integrerbar i betydningen Lebesgue, hvis der eksisterer en sekvens af integrerbare trinfunktioner , der konvergerer ensartet til . Desuden konvergerer rækkefølgen af deres integraler også; dens grænse vil blive kaldt Lebesgue-integralet af funktionen med hensyn til målingen : $f^{-1}(a_{i})$ $a_{i}$ $f$ $f$ $f_n$ $f$ $f$ $\mu$

\int \limits _{X}f\mu =\lim \int \limits _{X}f_{n}\mu

Hvis vi betragter funktioner på og et integral over Lebesgue-målet, så vil alle funktioner, der kan integreres i Riemanns betydning, også være integrerbare i betydningen Lebesgue. Det omvendte er ikke sandt (for eksempel er Dirichlet-funktionen ikke Riemann-integrerbar, men Lebesgue-integrerbar, da den er lig med nul næsten overalt ). Faktisk er enhver afgrænset målbar funktion Lebesgue-integrerbar. ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n))$

Historisk baggrund

De grundlæggende begreber for integralregningen blev introduceret i Newtons og Leibniz ' værker i slutningen af det 17. århundrede (de første udgivelser fandt sted i 1675). Leibniz ejer betegnelsen for integralet , der minder om integralsummen, ligesom symbolet selv , fra bogstavet ſ (" langt s ") - det første bogstav i det latinske ord summa (derefter ſumma , sum) [4] . Selve udtrykket "integral" blev foreslået af Johann Bernoulli , en elev af Leibniz. Notationen for grænserne for integration i formen blev introduceret af Fourier i 1820. $\int ydx$ $\int$ $\int _{a}^{b}$

Fremkomsten af Ostrogradskys metode (1844), som inspirerede næsten alle efterfølgende matematikere, havde en betydelig indflydelse på studiet af integralregning og integrationen af rationelle funktioner .

En streng definition af integralet for tilfælde af kontinuerlige funktioner blev formuleret af Cauchy i 1823, og for vilkårlige funktioner af Riemann i 1853. Definitionen af et integral i betydningen Lebesgue blev først givet af Lebesgue i 1902 (for tilfældet med en funktion af en variabel og Lebesgue-målet).

Se også

Noter

↑ Ordbog over fremmede ord. - M .: " Russisk sprog ", 1989. - 624 s. ISBN 5-200-00408-8
↑ Integral // Kasakhstan. National Encyclopedia . - Almaty: Kasakhiske encyklopædier , 2005. - T. II. — ISBN 9965-9746-3-2 . (Russisk) (CC BY SA 3.0)
↑ Great Russian Encyclopedia : [i 35 bind] / kap. udg. Yu. S. Osipov . - M . : Great Russian Encyclopedia, 2004-2017.
↑ Florian Cajori. En historie med matematiske notationer . - Courier Dover Publications, 1993. - S. 203 . — 818 sider. - (Dover bøger om matematik). — ISBN 9780486677668 .

Litteratur

Vinogradov I. M. (chefredaktør). Integral // Matematisk encyklopædi . - M. , 1977. - T. 2.
Fikhtengol'ts G. M. Forløb af differential- og integralregning. - M . : Nauka, 1969.
Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. Elementer i teorien om funktioner og funktionel analyse. — M .: Nauka, 1976.

Links

Weisstein, Eric W. Integral (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .
Wolfram Integrator - beregner integraler online ved hjælp af Mathematica
" Integral som multiplikation " - oversættelse af artiklen A Calculus Analogy: Integrals as Multiplication | Bedre forklaret _

Ordbøger og encyklopædier	Flot dansk Fantastisk norsk Stor russer V. Dahl Britannica (online) Britannica (online) Treccani
I bibliografiske kataloger	BNF : 119395946 J9U : 987007555515105171 LCCN : sh85067099 NKC : ph121136

Integralregning

Hoved

Generaliseringer
af Riemann-integralet

Integrale
transformationer

Numerisk
integration

måle teori

relaterede emner

Lister over integraler