Power funktion

En potensfunktion er en funktion , hvor ( eksponent ) er et reelt tal [1] [2] . En funktion af formen , hvor er en eller anden (ikke-nul) koefficient [3] , omtales også ofte som en potensfunktion . Der er også en kompleks generalisering af potensfunktionen . $y=x^{a}$ $-en$ $y=kx^{a}$ $k$

Potensfunktionen er et specialtilfælde af et polynomium . I praksis er eksponenten næsten altid et heltal eller et rationelt tal .

Virkelig funktion

Omfang

For positive heltalseksponenter kan potensfunktionen betragtes på hele tallinjen , mens for negative heltalseksponenter er funktionen ikke defineret ved nul (nul er dens entalspunkt ) [4] . $-en$ $-en$

For rationelle afhænger definitionsdomænet af pariteten og af tegnet , da : $a={\frac {p}{q}}\ (q>0)$ $q$ $s.$ $x^{a}={\sqrt[{q}]{x^{p))}.$

Hvis og er ulige , så er defineret på hele tallinjen. $q$ $p>0$ ${\displaystyle x^{p/q))$
Hvis og er ulige , så er defineret på hele tallinjen, undtagen nul. $q$ $p<0$ ${\displaystyle x^{p/q))$
Hvis og er lige , så er defineret for ikke-negativ $q$ $p>0$ ${\displaystyle x^{p/q))$ $x.$
Hvis og er lige , så er defineret som positiv $q$ $p<0$ ${\displaystyle x^{p/q))$ $x.$

For en reel eksponent er den eksponentielle funktion , generelt set, kun defineret for If så er funktionen også defineret ved nul [4] . $-en$ $x^{a}$ $x>0.$ $a>0,$

Heltalseksponent

Grafer for en potensfunktion med en heltalseksponent : $y=x^{n}$ $n$

Parabler af orden n : $n=0$ $n=1$ $n=2$ $n=3$ $n=4$ $n=5$
Hyperbler af orden n : $n=-1$ $n=-2$ $n=-3$

Hvis det er ulige , er graferne centralt symmetriske i forhold til oprindelsen , hvor den har et bøjningspunkt . Når lige , er potensfunktionen lige : dens graf er symmetrisk om y-aksen [5] . $n$ $n$ $(-x)^{n}=x^{n},$

Grafer for en potensfunktion med en naturlig eksponent kaldes ordensparabler . For selv er funktionen overalt ikke-negativ (se grafer). Når en funktion opnås , kaldet en lineær funktion eller et direkte proportionalt forhold [3] [5] . $n>1$ $n$ $n$ $n=1$ $y=kx$

Grafer af funktioner i formen , hvor er et naturligt tal, kaldes hyperbler af orden . Når det er ulige , er koordinatakserne hyperblernes asymptoter . For lige , asymptoterne er x- aksen og den positive retning af y-aksen (se grafer) [6] . Med eksponenten opnås en funktion , kaldet den omvendte proportionale afhængighed [3] [5] . ${\displaystyle y=x^{-n}={\frac {1}{x^{n))))$ $n$ $n$ $n$ $n$ $-en$ $y={\frac {k}{x}}$

Når funktionen degenererer til en konstant: $a=0$ $y=1.$

Rationel eksponent

Plot af magtfunktioner med rationel eksponent
Semikubiske parabler $y=ax^{3/2}$

At hæve til en rationel magt bestemmes af formlen: $p/q$

x^{p/q}={\sqrt[{q}]{x^{p))}.

Hvis , så er funktionen den aritmetiske rod af graden : $p=1$ $q$

y=x^{1/q}={\sqrt[{q}]{x)).

Eksempel : af Keplers tredje lov følger det direkte, at en planets omdrejningsperiode omkring Solen er relateret til dens banes halv-hovedakse med forholdet: ( halvkubisk parabel ). $T$ $EN$ $T=kA^{{3/2}}$

Egenskaber

Monotoni

I intervallet stiger funktionen monotont ved og monotont falder ved Funktionens værdier i dette interval er positive [3] . $(0,\infty )$ $a>0$ $a<0.$

Analytiske egenskaber

Funktionen er kontinuerlig og uendeligt differentierbar på alle punkter, omkring hvilke den er defineret [4] .

Funktionsafledt : . ${\displaystyle \left(x^{a}\right)^{\prime }=ax^{a-1))$

Nul er generelt set et enkelt punkt. Således, hvis , så er den -th afledte ved nul ikke defineret. For eksempel er en funktion defineret ved nul og i dens højre naboskab, men dens afledede ved nul er ikke defineret. $a<n$ $n$ $y={\sqrt {x}}=x^{1/2}$ $y={\frac {1}{2{\sqrt {x))))$

Ubestemt integral [4] :

Hvis , så $a\neq -1$ $\int x^{a}dx={\frac {x^{{a+1}}}{a+1}}+C$
Når vi får: $a=-1$ $\int {\frac {1}{x}}dx=\ln |x|+C$

Tabel over værdier for små magter

n	n 2	n 3	n4 _	n 5	n6 _	n 7	n 8	n9 _	n 10
2	fire	otte	16	32	64	128	256	512	1024
3	9	27	81	243	729	2187	6561	19 683	59 049
fire	16	64	256	1024	4096	16 384	65 536	262 144	1 048 576
5	25	125	625	3125	15 625	78 125	390 625	1 953 125	9 765 625
6	36	216	1296	7776	46 656	279 936	1 679 616	10 077 696	60 466 176
7	49	343	2401	16 807	117 649	823 543	5 764 801	40 353 607	282 475 249
otte	64	512	4096	32 768	262 144	2 097 152	16 777 216	134 217 728	1 073 741 824
9	81	729	6561	59 049	531 441	4 782 969	43 046 721	387 420 489	3 486 784 401
ti	100	1000	10.000	100.000	1.000.000	10.000.000	100.000.000	1.000.000.000	10.000.000.000

Kompleks funktion

Potensfunktionen af en kompleks variabel i generelle termer er defineret af formlen [7] : $z$

y=z^{c}=e^{{c\cdot \operatørnavn {Ln}(z)}}

Her er eksponenten et komplekst tal. Værdien af den funktion, der svarer til logaritmens hovedværdi, kaldes gradens hovedværdi. For eksempel er værdien hvor er et vilkårligt heltal, og dets hovedværdi er $c$ $i^{i}$ $e^{-(4k+1){\frac {\pi }{2))},$ $k$ $e^{i\ln(i)}=e^{-{\frac {\pi }{2))}.$

Den komplekse magtfunktion har betydelige forskelle fra dens reelle modstykke. På grund af flerværdien af den komplekse logaritme har den generelt set også uendeligt mange værdier. To praktisk vigtige sager behandles dog hver for sig.

Med en naturlig eksponent er funktionen enkeltværdi og n - ark [8] . $y=z^{n}$
Hvis eksponenten er et positivt rationelt tal , det vil sige en (irreducerbar) brøk , så vil funktionen have forskellige værdier [7] . ${\frac {p}{q))$ $q$

Se også

Noter

↑ Fikhtengolts G. M. Forløb af differential- og integralregning, 1966 , bind I, §48: De vigtigste klasser af funktioner ..
↑ Vygodsky M. Ya. Håndbog i elementær matematik. Moskva: Nauka, 1978. Side 312.
↑ 1 2 3 4 Encyclopedia of Mathematics, 1985 .
↑ 1 2 3 4 BDT .
↑ 1 2 3 Mathematical Encyclopedic Dictionary, 1988 .
↑ Bronstein I. N. , Semendyaev K. A. Matematikhåndbog for ingeniører og studerende ved højere uddannelsesinstitutioner . - udg. 13. - M . : Nauka, 1985. - S. 171-172. — 544 s.
↑ 1 2 Fikhtengolts G. M. Forløb af differential- og integralregning, 1966 , bind II, s. 526-527 ..
↑ Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Teori om funktioner af en kompleks variabel. - M. : Nauka, 1967. - S. 88. - 304 s.

Litteratur

Bityutskov V.I. Power funktion // Matematisk encyklopædi (i 5 bind). - M .: Soviet Encyclopedia , 1985. - T. 5. - S. 208-209. — 1248 s.
Power funktion // Mathematical Encyclopedic Dictionary . - M . : Soviet Encyclopedia, 1988. - S. 564 -565. — 847 s.
Fikhtengol'ts G. M. Forløb af differential- og integralregning, i tre bind. - udg. 6. — M .: Nauka, 1966.

Links

Power funktion // Great Russian Encyclopedia : [i 35 bind] / kap. udg. Yu. S. Osipov . - M . : Great Russian Encyclopedia, 2004-2017.

Ordbøger og encyklopædier	Stor russer