Decimal

En decimal er en type brøk, der er en måde at repræsentere reelle tal på i formen

\pm d_m \ldots d_1 d_0{,} d_{-1} d_{-2} \ldots

hvor

\om eftermiddagen

- brøktegn : enten , eller ,

+

-

,

- decimalkomma , der tjener som en adskillelse mellem heltal og brøkdele af tallet ( standard for SNG-landene ) [1] ,

d_{k}

- decimaltal . Desuden er rækkefølgen af cifre før kommaet (til venstre for det) endelig (mindst et ciffer), og efter kommaet (til højre for det) kan det være enten endeligt (især cifrene efter kommaet) kan være helt fraværende) eller uendelig.

Eksempler:

$123{,}45$ (slut decimal)
Repræsentation af et tal $\pi$ som en uendelig decimal: $3{,}1415926535897...$

Værdien af decimalen er et reelt tal $\pm d_{m}\ldots d_{1}d_{0},d_{{-1}}d_{{-2}}\ldots$

\pm \left(d_{m}\cdot 10^{m}+\ldots +d_{1}\cdot 10^{1}+d_{0}\cdot 10^{0}+d_{{-1} }\cdot 10^{{-1}}+d_{{-2}}\cdot 10^{{-2}}+\ldots \right),

lig med summen af et endeligt eller uendeligt antal led.

At repræsentere reelle tal ved hjælp af decimaler er en generalisering af at skrive heltal i decimalnotation . Decimalrepræsentationen af et heltal mangler cifre efter decimalkommaet, og derfor er repræsentationen

\pm d_{m}\ldots d_{1}d_{0},

som falder sammen med notationen af dette tal i decimaltalsystemet.

Endelige og uendelige decimaler

Endelige brøker

En decimal kaldes endelig , hvis den indeholder et begrænset antal cifre efter decimalkommaet (især ingen), dvs. den har formen

\pm a_0{,}a_1 a_2 \ldots a_n

Per definition repræsenterer denne brøk et tal

\pm \sum _{{k=0}}^{{n}}a_{k}\cdot 10^{{-k}}

Det er let at se, at dette tal kan repræsenteres som en almindelig brøkdel af formen , hvis nævner er en potens af ti. Omvendt kan et hvilket som helst tal af formen , hvor er et heltal og er et ikke-negativt heltal, skrives som en endelig decimalbrøk. $s/10^{{s}}$ $s/10^{{s}}$ $s$ $s$

Hvis en almindelig brøk reduceres til en irreducerbar form, vil dens nævner se ud . Følgende sætning om reelle tals reelle tal som endelige decimalbrøker gælder således. $s/10^{{s}}$ $2^{{m}}5^{{n}}$

Sætning. Et reelt tal kan repræsenteres som en endelig decimalbrøk, hvis og kun hvis det er rationelt, og når det skrives som en irreducerbar brøk , har nævneren ikke andre primdivisorer end og . $p/q$ $q$ $2$ $5$

Uendelige brøker

Uendelig decimal

\pm a_0{,}a_1 a_2 \ldots

repræsenterer per definition et reelt tal

\pm \sum _{{k=0}}^{{\infty }}a_{k}\cdot 10^{{-k}}

Denne serie konvergerer , uanset de ikke-negative heltal og decimaltal . Denne påstand følger af det faktum, at sekvensen af dens partielle summer (hvis brøkens fortegn er droppet) er afgrænset ovenfor af et tal (se kriteriet for konvergens af serier med positive fortegn ). $a_{0}$ $a_{1},a_{2},\ldots$ $a_{0}+1$

Repræsentation af reelle tal som decimaler

Således repræsenterer enhver endelig eller uendelig decimalbrøk et veldefineret reelt tal. Følgende spørgsmål står tilbage:

Kan et hvilket som helst reelt tal repræsenteres som en decimal?
Er dette den eneste repræsentation?
Hvad er algoritmen til at dekomponere et tal til en decimal?

Disse spørgsmål er fremhævet nedenfor.

Algoritme til at udvide et tal til en decimalbrøk

Algoritmen til at konstruere en decimalbrøk, som er dens repræsentation, er beskrevet nedenfor. $\alfa$

Lad os overveje sagen først . Opdel hele tallinjen med heltalspunkter i segmenter af enhedslængde. Overvej det segment , der indeholder punktet ; i det specielle tilfælde, hvor punktet er slutningen af to tilstødende segmenter, vælger vi det rigtige segment som . $\alpha \geqslant 0$ $I_0$ $\alfa$ $\alfa$ $I_0$

Hvis vi betegner et ikke-negativt heltal, som er den venstre ende af segmentet , gennem , så kan vi skrive: $I_0$ $a_{0}$

I_{0}=[a_{0}\,;\,a_{0}+1]

På næste trin opdeler vi segmentet i ti lige store dele med punkter $I_0$

a_{0}+b/10,\;b=1,\ldots ,9

og overvej det af længdesegmenterne, hvorpå punktet ligger ; i det tilfælde, hvor dette punkt er slutningen af to tilstødende segmenter, vælger vi igen det rigtige fra disse to segmenter . $1/10$ $\alfa$

Lad os kalde dette segment . Det ser ud som om: $I_1$

I_{1}=\venstre[a_{0}+{\frac {a_{1}}{10}}\,;\,a_{0}+{\frac {a_{1}+1}{10} }\ret]

Vi vil fortsætte på lignende måde processen med at finpudse tallinjen og successivt finpudse punktets position . $\alfa$

På det næste trin, hvor vi har et segment, der indeholder punktet , deler vi det i ti lige store segmenter og vælger blandt dem det segment , som punktet ligger på ; i det tilfælde, hvor dette punkt er slutningen af to tilstødende segmenter, vælger vi det rigtige fra disse to segmenter . $I_{{n-1}}$ $\alfa$ $I}}$ $\alfa$

Fortsætter denne proces, får vi en sekvens af segmenter af formularen $I_{0},I_{1},\ldots$

I_{n}=\left[a_{0}+{\frac {a_{1}}{10^{1}}}+\ldots +{\frac {a_{n}}{10^{n}} }\,;\,a_{0}+{\frac {a_{1}}{10^{1}}}+\ldots +{\frac {a_{n}}{10^{n}}}+ {\frac {1}{10^{n}}}\right]

hvor er et ikke-negativt heltal og er heltal, der opfylder uligheden . $a_{0}$ $a_{1},a_{2},\ldots$ $0\leqslant a_{k}\leqslant 9$

Den konstruerede sekvens af segmenter har følgende egenskaber: $I_{0},I_{1},\ldots$

Segmenterne er sekventielt indlejret i hinanden: $I_{0}\supset I_{1}\supset I_{2}\supset \ldots$
Længde af segmenter $|I_{n}|=10^{{-n}},\;n=0,1,2,\ldots$
Punktet hører til alle segmenter af sekvensen $\alfa$

Af disse betingelser følger det, at der er et system af indlejrede segmenter , hvis længder har tendens til nul som , og punktet er et fælles punkt for alle segmenter af systemet. Dette indebærer, at sekvensen af venstre ender af segmenterne konvergerer til et punkt (et analogt udsagn gælder også for sekvensen af højre ender), dvs. $I_{0},I_{1},\ldots$ $n\til\infty$ $\alfa$ $\alfa$

a_{0}+{\frac {a_{1}}{10^{1}}}+\ldots +{\frac {a_{n}}{10^{n}}}\til \alpha

på

n\til\infty

Det betyder, at rækken

\sum _{{k=0}}^{{\infty }}a_{k}\cdot 10^{{-k}}

konvergerer til , og dermed decimalen $\alfa$

a_0{,}a_{1} a_{2} \ldots

er en repræsentation af et tal . Således findes udvidelsen af et ikke-negativt tal til en decimalbrøk. $\alfa$ $\alfa$

Den resulterende decimalbrøk er uendelig ved konstruktion. I dette tilfælde kan det vise sig, at startende fra et bestemt tal er alle decimaler efter decimalkommaet nuller, dvs. brøken har formen

a_0{,}a_1 \ldots a_n 000 \ldots

Det er let at se, at denne mulighed finder sted i det tilfælde, hvor punktet på et eller andet trin falder sammen med et af delepunkterne på den reelle linje. I dette tilfælde kassering i alt $\alfa$

\sum _{{k=0}}^{{\infty }}a_{k}\cdot 10^{{-k}}

nulled, får vi, at tallet også kan repræsenteres af en endelig decimalbrøk $\alfa$

a_0{,} a_1 \ldots a_n

Generelt er det klart, at hvis vi tilføjer et hvilket som helst antal nuller (inklusive uendeligt) til slutningen af decimalbrøken efter decimalkommaet, ændrer vi ikke værdien af brøken. Således kan tallet i dette tilfælde repræsenteres af både en endelig og en uendelig decimalbrøk (opnået fra den første ved at tildele et uendeligt antal nuller). $\alfa$

Således er tilfældet med ikke-negative . I tilfælde af negativ , som en decimalrepræsentation af dette tal, kan du tage repræsentationen af dets modsatte positive tal, taget med et minustegn. $\alfa$ $\alfa$

Ovenstående algoritme giver en måde at udvide et vilkårligt reelt tal til en decimalbrøk. Dette beviser følgende

Sætning. Ethvert reelt tal kan repræsenteres som en decimal.

Om rollen som Arkimedes' aksiom

Den givne algoritme til at dekomponere et reelt tal til en decimalbrøk er i det væsentlige afhængig af en egenskab ved systemet af reelle tal kaldet Archimedes' aksiom .

Denne egenskab blev brugt to gange i algoritmen. Allerede i begyndelsen af konstruktionen blev et heltal valgt , således at det reelle tal er mellem og det næste heltal : $a_{0}$ $\alfa$ $a_{0}$ $a_{0}+1$

a_{0}\leqslant \alpha <a_{0}+1,\;a_{0}\i {\mathbb {Z))

Eksistensen af et sådant heltal skal dog stadig bevises: man kan for eksempel ikke udelukke muligheden for , at uligheden altid finder sted uanset heltal . Hvis denne sag havde fundet sted, ville det krævede antal naturligvis ikke være fundet. $a_{0}$ $n$ $n\leqslant \alpha$ $a_{0}$

Denne mulighed er netop udelukket af Arkimedes' aksiom, ifølge hvilket, uanset tallet , er der altid et heltal , således at . Nu blandt tallene tager vi den mindste, der har ejendommen . Derefter $\alfa$ $n$ $n>\alfa$ $k=1,\ldots,n$ $k>\alfa$

k-1\leqslant \alpha<k

Det ønskede nummer findes: . $a_{0}=k-1$

Anden gang blev Arkimedes' aksiom implicit brugt i beviset for tendensen til nul af længderne af sekvensens segmenter : $I_{0},I_{1},I_{2},\ldots$

\lim _{{n\to \infty }}10^{{-n}}=0

Et strengt bevis for denne påstand er baseret på Archimedes' aksiom. Lad os bevise det tilsvarende forhold

\lim _{{n\to \infty }}10^{{n}}=\infty

I overensstemmelse med Arkimedes' aksiom, uanset hvad det reelle tal er, vil sekvensen af naturlige tal overgå det, begyndende fra et eller andet tal. Og da der for alle er en ulighed $E>0$ $1,2,\ldots$ $n$

10^{n}>n

så vil sekvensen også overgå , startende fra det samme tal. I overensstemmelse med definitionen af grænsen for en numerisk sekvens betyder det, at . $10^{n}$ $E$ $\lim _{{n\to \infty }}10^{{n}}=\infty$

Tvetydighed af decimalrepræsentation

Ved hjælp af ovenstående algoritme kan vi for ethvert reelt tal konstruere en decimalbrøk, der repræsenterer dette tal. Det kan dog ske, at det samme tal kan repræsenteres som en decimal på en anden måde. $\alfa$ $\alfa$

Det uenestående ved repræsentationen af tal i form af decimalbrøker følger allerede af den trivielle kendsgerning, at ved at tildele nuller til højre efter decimaltegnet til den sidste brøk, vil vi formelt få forskellige decimalbrøker, der repræsenterer det samme tal.

Men selvom vi betragter brøkerne opnået ved at tildele et endeligt eller uendeligt antal nuller til hinanden som identiske, forbliver repræsentationen af nogle reelle tal stadig ikke-unik.

Overvej for eksempel decimalen

0{,}99\ldots

Per definition er denne brøk en repræsentation af et tal . Dette tal kan dog også repræsenteres som en decimal . Faktisk er reelle tal forskellige, hvis og kun hvis der kan indsættes et reelt tal mere mellem dem, som ikke falder sammen med dem selv, men intet tredje tal kan indsættes mellem og . $0+9/10+9/100+\ldots=1$ $1{,}00\ldots$ $a,b$ $a,b.$ $0{,}99\ldots$ $1{,}00\ldots$

Dette eksempel kan generaliseres. Det kan påvises, at brøkerne

\pm a_0{,}a_1 \ldots a_{n-1} a_n 999 \ldots

\pm a_0{,}a_1 \ldots a_{n-1} (a_n+1) 000

hvor , repræsenterer det samme reelle tal. $a_{n}\neq 9$

Det viser sig, at dette generelle eksempel udtømmer alle tilfælde af tvetydighed i repræsentationen af reelle tal som decimalbrøker. Samtidig betragter vi naturligvis ikke de trivielle tilfælde af brøker opnået ved at tildele nuller til hinanden i slutningen, samt et brøkpar og . $+ 0{,}00 \ldots$ $- 0{,}00 \ldots$

Disse resultater kan opsummeres i følgende teorem.

Sætning. Ethvert reelt tal , der ikke kan repræsenteres i formen , hvor er et heltal, er et ikke-negativt heltal, tillader en unik repræsentation i form af en decimalbrøk; denne brøkdel er uendelig. $\alfa$ $s/10^{s}$ $s$ $s$

Ethvert reelt tal i formen kan repræsenteres som en decimal på mere end én måde. Hvis , så kan det repræsenteres både som en endelig decimalbrøk såvel som en uendelig brøk opnået ved at tildele nuller til slutningen efter kommaet, og som en uendelig brøk, der slutter på . Et tal kan repræsenteres af brøkdele af formen såvel som brøkdele af formen . $\alpha =p/10^{s}$ $\alpha \neq 0$ $999\ldots$ $\alfa = 0$ $+0{,}00 \ldots$ $-0{,}00 \ldots$

Kommentar. Uendelige brøker, der ender på , opnås ved altid at vælge det venstre segment i stedet for det højre i ovenstående algoritme. $999\ldots$

Ekstra nuller og fejl

Det skal bemærkes, at med hensyn til omtrentlige beregninger er det ikke helt identisk at skrive en decimalbrøk med nuller i slutningen med at skrive uden disse nuller.

Det er almindeligt accepteret , at hvis fejlen ikke er angivet, så er den absolutte fejl af decimalbrøken lig med halvdelen af enheden af det sidst udladede ciffer, dvs. tallet opnås i henhold til afrundingsreglerne [2] . For eksempel betyder indtastningen "3,7", at den absolutte fejl er 0,05. Og i indtastningen "3.700" er den absolutte fejl 0.0005. Andre eksempler:

"25" - den absolutte fejl er 0,5 (også en sådan post kan betyde den nøjagtige værdi på 25: for eksempel 25 stykker);
"2.50∙10⁴" - den absolutte fejl er 50;
"25.00" - den absolutte fejl er 0.005.

Periodiske decimaler

Definition og egenskaber

En uendelig decimalbrøk kaldes periodisk , hvis dens sekvens af cifre efter decimaltegnet, startende fra et sted, er en periodisk gentaget gruppe af cifre. Med andre ord er en periodisk brøk en decimalbrøk, der ligner

\pm a_{0},a_{1}\ldots a_{m}\underbrace {b_{1}\ldots b_{l}}\underbrace {b_{1}\ldots b_{l}}\ldots

En sådan brøk er normalt skrevet i formen

\pm a_{0},a_{1}\ldots a_{m}(b_{1}\ldots b_{l})

Den gentagende gruppe af cifre kaldes perioden for brøken, antallet af cifre i denne gruppe er længden af perioden. $b_{1}\ldots b_{l}$

Hvis punktum i en periodisk brøk umiddelbart følger decimaltegnet, så kaldes brøken ren periodisk . Hvis der er tal mellem decimalkommaet og første punktum, kaldes brøken blandet periodisk , og gruppen af tal efter decimaltegnet til punktums første fortegn kaldes brøkens førperiode . For eksempel er en fraktion ren periodisk, mens en fraktion er blandet periodisk. $1{,}(23) = 1{,}2323 \ldots$ $0{,}1(23)=0{,}12323 \ldots$

Den vigtigste egenskab ved periodiske brøker, på grund af hvilken de adskiller sig fra hele sættet af decimalbrøker, er, at periodiske brøker, og kun de repræsenterer rationelle tal . Mere præcist gælder følgende forslag.

Sætning. Enhver uendelig periodisk decimalbrøk repræsenterer et rationelt tal. Omvendt, hvis et rationelt tal udvides til en uendelig decimalbrøk, så er denne brøk periodisk.

Det kan påvises, at rent periodiske brøker svarer til rationelle tal, hvor nævneren ikke har nogen primdivisorer og , samt rationelle tal , hvori nævneren kun har primdivisorer og . Følgelig svarer blandede periodiske brøker til irreducerbare brøker , hvis nævner har både simple divisorer eller , og forskellig fra dem. $p/q$ $q$ $2$ $5$ $p/q$ $q$ $2$ $5$ $p/q$ $q$ $2$ $5$

Konvertering af en periodisk decimal til en almindelig brøk

Lad os antage, at der gives en periodisk decimalbrøk med et punktum på 4. Bemærk, at gange den med , får vi en stor brøk med de samme cifre efter decimalkommaet. Hvis vi trækker heltalsdelen ( ), som brøken steg med efter dens multiplikation, får vi den oprindelige brøk ( ) [3] : $x=0{,}(1998)$ $10^{4}=10.000$ $10000x=1998{,}(1998)$ $1998$ $x$
$10000x-1998=x$
$\Højre pil$
$10000x-x=1998$
$\Højre pil$
$x={\frac {1998}{9999}}={\frac {222}{1111}}$

Udtale af decimaler

På russisk læses decimalbrøker sådan: først udtales hele delen, derefter ordet "hel" (eller "hel"), derefter brøkdelen, som om hele tallet kun bestod af denne del, det vil sige tælleren af brøken er et kvantitativt feminint tal (en, to, otte osv.), og nævneren er et ordenstal (tiende, hundrede, tusinde, ti tusinde osv.).

For eksempel: 5,45 - fem hele, femogfyrre hundrededele.

For længere tal er decimaldelen nogle gange opdelt i potenser af tusind . For eksempel: 0,123 456 - nulpunkt, et hundrede treogtyve tusindedele, fire hundrede og seksoghalvtreds milliontedele.

Men i praksis, ofte mere rationelt, er en sådan udtale fremherskende: hele delen, foreningen "og" (ofte udeladt), brøkdelen.

For eksempel: 5,45 - fem og femogfyrre; (fem - femogfyrre).

For tilbagevendende decimaler, sig delen af tallet før perioden (udtrykt som et heltal i tilfælde af en ren tilbagevendende brøk, eller som en sidste decimal i tilfælde af en blandet tilbagevendende brøk), og tilføj derefter tallet i perioden . For eksempel: 0,1(23) - nul heltal, en tiendedel og treogtyve i perioden; 2,(6) er to heltal og seks i perioden.

Historie

Decimalbrøker stødes først på i Kina fra omkring det 3. århundrede e.Kr. e. når man regner på tællebrættet ( suanpan ). I skriftlige kilder blev decimalbrøker afbildet i det traditionelle (ikke-positionelle) format i nogen tid, men efterhånden afløste positionssystemet det traditionelle [4] .

Den timuridiske matematiker og astronom Jamshid Ghiyas-ad-din al-Kashi (1380-1429) erklærede i sin afhandling "The Key of Arithmetic" sig selv opfinderen af decimalbrøker, selvom de blev fundet i værker af Al-Uklidisi , der levede 5 århundreder tidligere [5] .

I Europa blev decimalbrøker oprindelig skrevet som hele tal på en eller anden aftalt skala; for eksempel indeholdt de trigonometriske tabeller i Regiomontanus (1467) værdier øget med en faktor på 100.000 og derefter afrundet til nærmeste heltal. De første decimalbrøker i Europa blev introduceret af Immanuel Bonfils omkring 1350, i 1579 forsøgte Viet at fremme deres brug . Men de blev først udbredt efter fremkomsten af Simon Stevins værk "Den tiende" (1585) [6] .

Se også

Noter

↑ Kommategnet " " - decimalkomma - som adskillelse af heltals- og brøkdelene af en decimalbrøk er brugt i Rusland, europæiske lande (undtagen Storbritannien og Irland) og mange andre lande, som de havde en kulturel indflydelse på. I engelsktalende lande og lande, som de havde indflydelse på, bruges prikketegnet " " til dette - et decimaltegn ( engelsk decimaltegn ), og kommategnet bruges til at gruppere cifrene i tallets heltal efter tre decimaler (den såkaldte adskiller af grupper af cifre , i Rusland, det ikke -brydende mellemrum "") bruges til dette. For eksempel vil en brøkdel i decimalnotation i den russiske standard se sådan ud: , og i den engelske standard sådan her: . Se Decimalseparator for detaljer . $,$ $.$ ${\frac {1~000~000}{3))$ ${333~333{,}333333}(3)$ ${~333.333.333333(3)}$
↑ Vygodsky M. Ya. Håndbog i elementær matematik. - M . : Statens forlag for teknisk og teoretisk litteratur, 1954. - 412 s.
↑ Encyklopædi for børn . - M . : Avanta +, 2001. - T. 11. Matematik. — ISBN 5-8483-0015-1 . , side 179
↑ Jean-Claude Martzloff . En historie om kinesisk matematik. Springer. 1997. ISBN 3-540-33782-2 .
↑ Berggren J. Lennart. Matematik i middelalderlig islam // Matematik i Egypten, Mesopotamien, Kina, Indien og Islam: En kildebog . - Princeton: Princeton University Press, 2007. - s . 518 . - ISBN 978-0-691-11485-9 .
↑ Guter R. S., Polunov Yu. L. John Napier, 1550-1617. - M . : Nauka, 1980. - S. 197-204. — 226 s. — (Videnskabelig og biografisk litteratur).