Funktionsafledt

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 18. august 2022; checks kræver 3 redigeringer . Denne artikel beskriver afledte af reelle funktioner. For den afledte af komplekse funktioner, se Kompleks analyse .

Den afledede af en funktion er et begreb i differentialregning , der karakteriserer ændringshastigheden af en funktion på et givet punkt. Det er defineret som grænsen for forholdet mellem stigningen af en funktion og stigningen af dens argument , når stigningen af argumentet har en tendens til nul , hvis en sådan grænse findes. En funktion, der har en endelig afledet (på et tidspunkt) kaldes differentierbar (på et givet punkt).

Processen med at beregne den afledte kaldes differentiering . Den omvendte proces - at finde antiderivatet - integration .

Historie

I klassisk differentialregning er den afledede oftest defineret gennem begrebet grænse , men historisk set dukkede teorien om grænser op senere end differentialregning. Historisk set blev derivatet introduceret kinematisk (som hastighed) eller geometrisk (bestemt i det væsentlige af tangentens hældning, i forskellige specifikke formuleringer). Newton kaldte den afledte en flux , der betegner en prik over funktionssymbolet, Leibniz-skolen foretrak differentialet som et grundlæggende begreb [1] .

Det russiske udtryk i formen "afledt funktion" blev først brugt af V. I. Viskovatov , som til russisk oversatte det tilsvarende franske udtryk dérivée , brugt af den franske matematiker Lagrange [2] .

Definition

Lad en funktion defineres i et eller andet område af et punkt . Den afledede af en funktion er et sådant tal , at funktionen i naboskabet kan repræsenteres som $x_{0}\in \mathbb{R}$ $f\colon U(x_{0})\subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} .$ $EN$ $U(x_{0})$

f(x_{0}+h)=f(x_{0})+Ah+o(h)

hvis findes. $EN$

Definition af den afledede af en funktion i form af grænsen

Lad en funktion defineres i et eller andet område af punktet . Den afledte funktion i punktet kaldes grænsen , hvis den findes, $x_{0}\in \mathbb{R}$ $f\colon U(x_{0})\subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} .$ $f$ $x_{0}$

f'(x_{0})=\lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0} }}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}=\lim \limits _ {{\Delta x}\to 0}{\frac {\Delta {f(x)))}{\Delta x)).

Konventionel notation for den afledede af en funktion i et punkt $y=f(x)$ $x_{0}$

f'(x_{0})=f'_{x}(x_{0})={\mathrm {D}}\!f(x_{0})={\frac {df}{dx}}( x_{0})=\venstre.{\frac {dy}{dx}}\right\vert _{{x=x_{0}}}={\dot {y}}(x_{0}).

Bemærk, at sidstnævnte normalt betegner den afledede med hensyn til tid (i teoretisk mekanik og fysik, historisk også ofte).

Tabel over derivater

Afledte af magtfunktioner	Afledte trigonometriske funktioner	Afledte af inverse trigonometriske funktioner	Derivater af hyperbolske funktioner
$\left(c\right)^{(n)}=0$	$\left(\sin x\right)^{(n)}=\sin(x+{\dfrac {\pi n}{2)))$	$\left(\arcsin x\right)'={\dfrac {1}({\sqrt {1-x^{{2))))}}$	$(\sinh x)'=\cosh x$
$\left(x^{a}\right)^{(n)}={\dfrac {a!}{(an)!}}x^{an}$	$\left(\cos x\right)^{(n)}=\cos(x+{\dfrac {\pi n}{2)))$	$\left(\arccos x\right)'=-{\dfrac {1}({\sqrt {1-x^{{2))))}}$	${\textstyle (\cosh x)'=\sinh x}$
$\left(a^{x}\right)^{(n)}=a^{x}\ln ^{n}a$	$\left(\operatørnavn {tg} x\right)'=\sek ^{2}x$	${\displaystyle \left(\operatørnavn {arctg} x\right)'={\dfrac {1}{1+x^{2))))$	$(\tanh x)'=\operatørnavn {sch} x$
$\left(\log _{a}x\right)^{(n)}={\dfrac {(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^{n} \ln a}}$	$\left(\operatørnavn {ctg} x\right)'=-\csc ^{2}x$	${\displaystyle \left(\operatørnavn {arcctg} x\right)'=-{\dfrac {1}{1+x^{2))))$	$(\coth x)'=-\operatørnavn {csch} x$
	$\left(\operatørnavn {sek} x\right)'=\sek x\cdot \mathrm {tg} \ x$	$\left(\operatørnavn {arcsec} x\right)'={\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1))))$	$(\mathrm {sch} \ x)'=-{\frac {\sinh x}{\cosh ^{2}x))$
	$\left(\operatørnavn {cosec} x\right)'=-\mathrm {cosec} \ x\cdot \mathrm {ctg} \ x$	$\left(\operatørnavn {arccosec} x\right)'=-{\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1))))$	$(\mathrm {csch} \ x)'=-{\frac {\cosh x}{\sinh ^{2}x))$

$\left(c\right)=\left(\mathrm {const} \right)$
$\left(e^{{x}}\right)^{{\left(n\right)}}=e^{{x}}$
${\displaystyle (\ln {x})^{(n)}={\dfrac {(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^{n))))$

Differentierbarhed

Afledten af en funktion i et punkt , der er en grænse, eksisterer muligvis ikke, eller den kan eksistere og være endelig eller uendelig. En funktion er differentierbar i et punkt, hvis og kun hvis dens afledte på det punkt eksisterer og er endelig: $f'(x_{0})$ $f$ $x_{0}$ $f$ $x_{0}$

f\in {\mathcal {D}}(x_{0})\Leftrightarrow \exists f'(x_{0})\in (-\infty ;\infty ).

For en funktion, der kan differentieres i et nabolag , gælder følgende repræsentation: $x_{0}$ $f$ $U(x_{0})$

f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+o(x-x_{0})

på

x\til x_{0}.

Noter

Lad os kalde stigningen af funktionens argument, og eller stigningen af funktionens værdi ved punktet derefter $\Delta x=x-x_{0}$ $\Delta y=f(x)-f(x_{0})$ $\Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})$ $x_{0}.$ $f'(x_{0})=\lim \limits _({\Delta x\to 0)){\frac {\Delta y}{\Delta x)).$
Lad funktionen have en endelig afledet i hvert punkt. Så er den afledede funktion defineret $f\kolon (a,b)\til \mathbb{R}$ $x_{0}\in(a,b).$ $f'\kolon (a,b)\til \mathbb{R} .$
En funktion, der har en afledt i et punkt, er kontinuert på det punkt. Det omvendte er ikke altid sandt.
Hvis den afledte funktion i sig selv er kontinuert, kaldes funktionen kontinuerligt differentierbar og skrives: $f$ $f\in C^{{(1)}}{\bigl (}(a,b){\bigr )}.$

Geometrisk og fysisk betydning af derivatet

Tangensen af hældningen af en tangentlinje

Hvis en funktion har en endelig afledt i et punkt, så kan den i et naboskab tilnærmes ved en lineær funktion $f\kolon U(x_{0})\til \mathbb{R}$ $x_0,$ $U(x_{0})$

f_{l}(x)\equiv f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}).

Funktionen kaldes tangenten til i punktet Tallet er hældningen ( hældningen af tangenten) eller tangenten til hældningen af tangentlinjen. $f_{l}$ $f$ $x_{0}.$ $f'(x_{0})$

Ændringshastigheden for funktionen

Lad være loven om retlinet bevægelse . Udtrykker derefter den øjeblikkelige bevægelseshastighed på tidspunktet . Den nye funktion har også en afledt. Denne såkaldte. den anden afledede, betegnet som , og funktionen udtrykker den øjeblikkelige acceleration til tiden $s=s(t)$ $v(t_{0})=s'(t_{0})$ $t_0$ $s'(t)$ $s''(t)$ $a(t_{0})=s''(t_{0})$ $t_{0}.$

Generelt udtrykker den afledede af en funktion i et punkt ændringshastigheden af funktionen i et punkt , det vil sige hastigheden af processen beskrevet af afhængigheden $y=f(x)$ $x_{0}$ $x_{0}$ $y=f(x).$

Afledte af højere orden

Begrebet en afledt af en vilkårlig rækkefølge er givet rekursivt . Vi tror

f^{{(0)}}(x_{0})\equiv f(x_{0}).

Hvis funktionen er differentierbar i , så er den førsteordens afledte defineret af relationen $f$ $x_{0}$

f^{{(1)}}(x_{0})\equiv f'(x_{0}).

Lad nu den afledede th-orden defineres i et eller andet område af punktet og være differentierbar. Derefter $n$ $f^{{(n)}}$ $x_{0}$

f^{{(n+1)}}(x_{0})=\venstre(f^{{(n)}}\right)'(x_{0}).

Især den anden afledte er den afledte afledte:

f''(x_{0})=(f'(x))'|_{x=x_{0}}

Hvis en funktion har en partiel afledt med hensyn til en af variablerne i et eller andet domæne D , så kan den navngivne afledte, som i sig selv er en funktion af , have partielle afledte med hensyn til den samme eller enhver anden variabel på et tidspunkt . For den oprindelige funktion vil disse afledte være andenordens partielle afledte (eller anden partielle afledte). $u=f(x,y,z)$ $x,y,z,$ $(x_{0},y_{0},z_{0})$ $u=f(x,y,z)$

u''_{x^{2}}=f''_{x^{2}}(x_{0},y_{0},z_{0})

eller

{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2))}={\frac {\partial ^{2}f(x_{0},y_{0},z_{ 0})}{\partial x^{2))))

u''_{xy}=f''_{xy}(x_{0},y_{0},z_{0})

eller

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y))={\frac {\partial ^{2}f(x_{0},y_{0},z_{0 })}{\partial x\partial y}}

Den anden eller højere ordens partielle afledte taget med hensyn til forskellige variabler kaldes den blandede partielle afledte . For eksempel,

u''_{xy}=f''_{xy}(x_{0},y_{0},z_{0})

Klassen af funktioner, hvis -ordens afledte er kontinuert, betegnes som . $n$ $C^{(n)}$

Måder at skrive afledte på

Afhængig af målene, anvendelsesområdet og det anvendte matematiske apparat anvendes forskellige metoder til at skrive afledte. Så den afledte af n'te orden kan skrives i notationerne:

Lagrange , mens for små n streger og romertal ofte bruges : $f^{{(n)}}(x_{0})$

f^{{(1)}}(x_{0})=f'(x_{0})=f^{I}(x_{0}),

f^{{(2)}}(x_{0})=f''(x_{0})=f^{{II}}(x_{0}),

f^{{(3)}}(x_{0})=f'''(x_{0})=f^{{III}}(x_{0}),

f^{{(4)}}(x_{0})=f^{{IV}}(x_{0}),

etc.

En sådan notation er bekvem i sin korthed og vidt udbredt; dog må streger ikke angive højere end den tredje afledte.

Leibniz , en praktisk visuel repræsentation af forholdet mellem infinitesimals (kun hvis er en uafhængig variabel; ellers er notationen kun gyldig for den førsteordens afledte): $x$

{\frac {d^{n}\!f}{dx^{n}}}(x_{0})

Newton , som ofte bruges i mekanikken til den tidsafledede af koordinatfunktionen (til den rumlige afledede bruges oftere Lagrange-notationen). Rækkefølgen af den afledede er angivet med antallet af prikker over funktionen, for eksempel:

{\dot {x}}(t_{0})

er den første ordens afledte med hensyn til at , eller er den anden afledte med hensyn til ved et punkt , osv.

x

t

t=t_{0}

{\ddot {f}}(x_{0})

f

x

x_{0}

Euler , som bruger en differentialoperator (strengt taget et differentielt udtryk, indtil det tilsvarende funktionsrum er introduceret), og derfor praktisk i spørgsmål relateret til funktionel analyse :

{\mathrm {D}}^{n}\!f(x_{0})

eller nogle gange .

\partial ^{n}\!f(x_{0})

I variationsregningen og matematisk fysik bruges notationen ofte ; for værdien af derivatet i punktet - . For partielle afledte er notationen den samme, så betydningen af notationen bestemmes ud fra konteksten. $f_{x}$ $f_{{xx}}$ $f_{x}\vert _{{x=x_{0}}}$

Selvfølgelig må man ikke glemme, at de alle tjener til at betegne de samme objekter:

f^{(n)}(x_{0})={\frac {d^{n}\!f}{dx^{n))}(x_{0})={\overset {\ overbrace {\cdot \cdot \ldots \cdot } ^{n\ {\text{gange}}}}{f}}(x_{0})=\mathrm {D} ^{n}\!f(x_{ 0})=f{\underbrace {_{xx\ldots x}} _{n\ {\text{time}}}}\vert _{x=x_{0}}.

Eksempler

Lad . Derefter $f(x) = x^2$

f'(x_{0})=\lim \limits _{{x\to x_{0))}{\frac {x^{2}-x_{0}^{2}}{x-x_{0 }}}=\lim \limits _{{x\til x_{0}}}{\frac {(x-x_{0})(x+x_{0})}{x-x_{0}}} =\lim \limits _{{x\til x_{0}}}(x+x_{0})=2x_{0}.

Lad . Så hvis da $f(x)=|x|$ $x_{0}\neq 0,$

f'(x_{0})=\operatørnavn{sgn} x_{0},

hvor betegner tegnfunktionen af . Og hvis så a derfor ikke eksisterer. $\operatørnavn{sgn}$ $x_{0}=0,$ $f'_{+}(x_{0})=1,\;f'_{-}(x_{0})=-1,$ $f'(x_{0})$

Sætninger relateret til differentiering

For kontinuerlige funktioner på intervallet , der kan differentieres på intervallet , er følgende gyldige: $f,g$ $[a,b]$ $(a,b)$

Lemma Fermat . Hvistager maksimum- eller minimumværdien på punktetog eksisterer, så. $f$ $c$ $f'(c)$ $f'(c)=0$

Nulafledt sætning . Hvis samme værdieri enderne af segmentet der mindst et punkt i intervallet, hvor den afledede af funktionen er lig med nul. $f$ $[a,b]$ $(a,b)$

Finite Increment Formel . Forder er en pointesådan, at. $f$ $c\in(a,b)$ ${\frac {f(b)-f(a)}{ba}}=f'(c)$

Cauchys middelværdisætning . Hvisdet ikke er lig med nul på intervallet, så er der et punktsådan, at. $g'$ $(a,b)$ $c\in(a,b)$ ${\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)))$

L'Hopitals regel . Hviseller, ogfor nogenaf nogle punkteret kvarterog eksisterer, så. $\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0$ $\infty$ $g'(x)\neq 0$ $x$ $c$ $\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)))$ $\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g '(x)}}$

Differentieringsregler

Operationen med at finde den afledede kaldes differentiering. Når du udfører denne operation, skal du ofte arbejde med kvotienter, summer, produkter af funktioner, samt med "funktioner af funktioner", det vil sige komplekse funktioner. Ud fra definitionen af derivatet kan vi udlede differentieringsregler, der letter dette arbejde. Hvis er et konstant tal og er nogle differentierbare funktioner, gælder følgende differentieringsregler: $C$ $f=f(x),g=g(x)$

$C'=0$
$x'=1$
$\left(f+g\right)'=f'+g'$ [3]

Bevis

$y(x)=f(x)+g(x)$

$y'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {y(x+\Delta {x})-y(x)}{\Delta x}}=$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(f(x+\Delta {x})+g(x+\Delta {x}))-(f(x)+g(x ))}{\Delta x}}=$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{({\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x))+{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x)))}=$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x))+\lim _{\Delta x\to 0} {\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x))=$

$=f'(x)+g'(x)$ ■

$\left(fg\right)'=f'g+fg'$ [fire]

Bevis

$y(x)=f(x)g(x)$

$\Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x)$

$\Delta g(x)=g(x+\Delta x)-g(x)$

$y'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {y(x+\Delta x)-y(x)}{\Delta x))=$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x))=$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(f(x)+\Delta f(x))(g(x)+\Delta g(x))-f(x) g(x)}{\Delta x}}=$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x)g(x)+f(x)\Delta g(x)+\Delta f(x)g(x)+ \Delta f(x)\Delta g(x)-f(x)g(x)}{\Delta x}}=$

$=\lim _{\Delta x\to 0}(f(x){\frac {\Delta g(x)}{\Delta x))+g(x){\frac {\Delta f( x)}{\Delta x))+\Delta g(x){\frac {\Delta f(x)}{\Delta x))))=$

$=f(x)g'(x)+g(x)f'(x)+0f'(x)=$

$=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$ ■

$\left(Cf\right)'=Cf'$
$\left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}$ …(g ≠ 0)

Bevis

$y(x)={\frac {f(x)}{g(x)))$

$\Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x)$

$\Delta g(x)=g(x+\Delta x)-g(x)$

$y'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {y(x+\Delta x)-y(x)}{\Delta x))=$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {{\frac {f(x+\Delta x)}{g(x+\Delta x)))-{\frac {f(x) }{g(x)}}}{\Delta x}}=$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)g(x)-f(x)g(x+\Delta x)}{g(x+\Delta x) )g(x)\Delta x}}=$

$={\frac {1}{g^{2}(x)))\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(f(x)+\Delta f(x))g (x)-f(x)(g(x)+\Delta g(x))}{\Delta x}}=$

$={\frac {1}{g^{2}(x)}}\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x)g(x)+\Delta f(x) )g(x)-f(x)g(x)-f(x)\Delta g(x)}{\Delta x))=$

$={\frac {1}{g^{2}(x)))\lim _{\Delta x\to 0}{(g(x){\frac {\Delta f(x)}{ \Delta x))-f(x){\frac {\Delta g(x)}{\Delta x)))}=$

$={\frac {1}{g^{2}(x)))(g(x)f'(x)-f(x)g'(x))=$

$={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^{2}(x)))$ ■

$\left({\frac {C}{g}}\right)'=-{\frac {Cg'}{g^{2}}}$ (g ≠ 0)
Hvis funktionen er indstillet parametrisk:

$\venstre\{{\begin{matrix}x=x(t),\\y=y(t),\end{matrix}}\;\;t\i \venstre[T_{1};T_{2 }\right]\right.$ , derefter $y'_{x}={\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dt}}\cdot {\frac {dt}{dx}}=y'_{t}\cdot t '_{x}={\frac {y'_{t}}{x'_{t}}}$

${\frac {d}{dx}}f(g(x))={\frac {df(g)}{dg}}\cdot {\frac {dg(x)}{dx}}=f'_ {g}g'_{x}$
Formlerne for afledt produkt og forhold er generaliseret til tilfældet med n-fold differentiering ( Leibniz formel ):

(fg)^{{(n)}}=\sum \limits _{{k=0}}^{{n}}{C_{n}^{k}f^{{(nk)}}g^ {{(k)}}},

hvor er binomiale koefficienter .

C_{n}^{k}

Følgende egenskaber af derivatet tjener som en tilføjelse til reglerne for differentiering:

hvis en funktion er differentierbar på intervallet , så er den kontinuerlig på intervallet . Det modsatte er generelt ikke sandt (f.eks. en funktion på ); $(a,b)$ $(a,b)$ $y(x)=|x|$ $[-1,1]$
hvis funktionen har et lokalt maksimum/minimum , når værdien af argumentet er lig med , så (dette er det såkaldte Fermats lemma ); $x$ $f'(x)=0$
derivatet af denne funktion er unikt, men forskellige funktioner kan have de samme derivater.
$(f(x)^{{g(x)}})'=f(x)^{{g(x)}}\venstre(g'(x)\ln f(x)+{\frac {g (x)f'(x)}{f(x)}}\right)(\forall x\in D_{f}:f(x)>0)$

Bevis

$y=f(x)^{{g(x)}}$

$\ln y=g(x)\ln f(x)$

${\frac {y'}{y}}=g'(x)\ln f(x)+{\frac {g(x)f'(x)}{f(x)))$

$y'=y\venstre(g'(x)\ln f(x)+{\frac {g(x)f'(x)}{f(x)))\højre)$

$y'=f(x)^{{g(x)}}(g'(x)\ln f(x)+{\frac {g(x)f'(x)}{f(x))) )$ ■

Tabel over afledte funktioner af nogle funktioner

Fungere $f(x)$	Afledte $f'(x)$	Bemærk
${\displaystyle x^{\alpha ))$	${\displaystyle \alpha \cdot x^{\alpha -1))$	Bevis Vi fikser og øger argumentet . Lad os beregne stigningen af funktionen: , så Se $x\in {\mathbb {D}}(f)$ $\Delta x$ $\Delta y=(x+\Delta x)^{\alpha }-x^{\alpha }=x^{\alpha }((1+{\frac {\Delta x}{x)))^{\alpha }-en)$ $(x^{\alpha })'=\lim _({\Delta x\to 0))({\frac {\Delta y}{\Delta x))}=\lim _({\Delta x\to 0)){{\frac {x^{\alpha }((1+{\frac {\Delta x}{x)))^{\alpha }-1)}{\Delta x))}=$ $=\lim _({\Delta x\to 0)){\frac {\alpha \cdot x^{\alpha }\cdot {\frac {\Delta x}{x))}{\Delta x))= \alpha \cdot x^{{\alpha -1}}$
$a^{x}$	$a^{x}\cdot \ln {a}$	Bevis Vi fikser og øger argumentet . Lad os beregne stigningen af funktionen: , så Se $x\in {\mathbb {D}}(f)$ $\Delta x$ $\Delta y=a^{x+\Delta x}-a^{x}=a^{x}(a^{\Delta x}-1)$ $(a^{x})'=\lim _({\Delta x\to 0))({\frac {\Delta y}{\Delta x))}=\lim _({\Delta x\to 0 }}{{\frac {a^{x}(a^{{\Delta x}}-1)}{\Delta x}}}=$ $=\lim _{{\Delta x\to 0}}{\frac {a^{x}\cdot \Delta x\cdot \ln {a}}{\Delta x}}=a^{x}\cdot \ln {a}$
$\log _{a}{x}$	${\displaystyle {\frac {1}{x\cdot \ln {a))))$	Bevis $(\log _{a}x)'={\frac {1}{\ln {a))}\cdot (\ln {x})'$ Vi lærer den afledede gennem den afledede af den inverse funktion : ${\displaystyle \ln {x))$ $y_{x}=\ln {x}\Rightarrow x_{y}=e^{y},$ $y_{x}'=(\ln {x})'={\frac {1}{(e^{y})'}}={\frac {1}{e^{y}}} ={\frac {1}{x}}$ Vi får: ${\displaystyle (\log _{a}{x})'={\frac {1}{x\cdot \ln {a))))$
$\sin x$	$\cos x$	Bevis Vi fikser og øger argumentet . Lad os beregne tilvæksten af funktionen: , så ( Se ) $x\in {\mathbb {D}}(f)$ $\Delta x$ $\Delta y=sin(x+\Delta x)-sin(x)=2sin({\frac {x+\Delta xx}{2)))\cdot cos({\frac {x+\Delta +x} {2)))=2sin({\frac {\Delta x}{2)))\cdot cos(x+{\frac {\Delta x}{2)))$ ${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x))=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {2sin({\frac { \Delta x}{2)))\cdot cos(x+{\frac {\Delta x}{2)))}{\Delta x))=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac { sin({\frac {\Delta x}{2)))\cdot cos(x+{\frac {\Delta x}{2)))}{\frac {\Delta x}{2))}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {sin({\frac {\Delta x}{2)))}{\frac {\Delta x}{2))))$ $\cdot \lim _{\Delta x\to 0}{cos(x+{\frac {\Delta x}{2)))}=cos(x)$
$\cos x$	$-\sin x$	Bevis Vi fikser og øger argumentet . Lad os beregne tilvæksten af funktionen: , så ( Se ) $x\in {\mathbb {D}}(f)$ $\Delta x$ $\Delta y=cos(x+\Delta x)-cos(x)=-2sin({\frac {x+\Delta x+x}{2)))\cdot sin({\frac {x+\Delta -x}{2)))=-2sin(x+{\frac {\Delta x}{2)))\cdot sin({\frac {\Delta x}{2))))$ ${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x))=\lim _{\Delta \to 0}{\frac {-2sin(x+{\frac {\Delta x}{2)))\cdot sin({\frac {\Delta x}{2)))}{\Delta x))=\lim _{\Delta \to 0}{\frac {- sin(x+{\frac {\Delta x}{2)))\cdot sin({\frac {\Delta x}{2)))}{\frac {\Delta x}{2))}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {sin({\frac {\Delta x}{2)))}{\frac {\Delta x}{2))))$ $\cdot \lim _{\Delta x\to 0}{-sin(x+{\frac {\Delta x}{2)))}=-sin(x)$
$\mathrm {tg} \ x$	${\displaystyle {\frac {1}{\cos ^{2}{x))))$	Bevis 1 Vi fikser og øger argumentet . Lad os beregne tilvæksten af funktionen: , så ( Se ) $x\in {\mathbb {D}}(f)$ $\Delta x$ $\Delta y=tg(x+\Delta x)-tg(x)={\frac {sin(x+\Delta xx)}{cos(x+\Delta x)\cdot cos(x)))={ \frac {sin(\Delta x)}{cos(x+\Delta x)\cdot cos(x)}}$ $\lim _{x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x))=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\frac {sin(\Delta x )}{cos(x+\Delta x)\cdot cos(x)}}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {sin(\Delta x)}{\Delta x}}\cdot$ $\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {1}{cos(x+\Delta x)\cdot cos(x)))={\frac {1}{cos^{2}( x)}}$ Bevis 2 $(tgx)'=({\frac {sin(x)}{cos(x))))'={\frac {(sin(x))'\cdot cos(x)-sin(x) \cdot (cos(x))'}{cos^{2}(x)}}={\frac {cos(x)\cdot cos(x)-sin(x)\cdot (-sin(x)) }{cos^{2}(x)}}={\frac {cos^{2}(x)+sin^{2}(x)}{cos^{2}(x)))={\frac {1}{cos^{2}(x)}}$
$\mathrm {ctg} \x$	${\displaystyle -{\frac {1}{\sin ^{2}{x))))$	Bevis $(ctgx)'=({\frac {cos(x)}{sin(x))))'={\frac {(cos(x))'\cdot sin(x)-cos(x) \cdot (sin(x))'}{sin^{2}(x)}}={\frac {-sin(x)\cdot sin(x)+cos(x)\cdot cos(x)}{ sin^{2}(x)}}=-{\frac {sin^{2}(x)+cos^{2}(x)}{sin^{2}(x)))=-{\frac {1}{sin^{2}(x)}}$
$\mathrm {sek} \ x$	$\mathrm {sek} \ x\cdot \mathrm {tg} \ x$	Bevis $(sec(x))'=({\frac {1}{cos(x))))'={\frac {(1)'\cdot cos(x)-1\cdot (cos(x) ))'}{cos^{2}(x)}}={\frac {sin(x)}{cos^{2}(x)}}=sek(x)\cdot tg(x)$
$\mathrm {cosec} \x$	$-\mathrm {cosec} \ x\cdot \mathrm {ctg} \ x$	Bevis $(cosec(x))'=({\frac {1}{sin(x)))'={\frac {(1)'\cdot sin(x)-1\cdot (sin(x) ))'}{sin^{2}(x)}}=-{\frac {cos(x)}{sin^{2}(x)}}=-coses(x)\cdot ctg(x)$
$\arcsin {x}$	${\frac {1}{{\sqrt {1-x^{2))))}$	Bevis Du kan finde derivatet af arcsine ved hjælp af gensidigt inverse funktioner. Hvorefter vi skal tage den afledede af disse to funktioner. Nu skal vi udtrykke den afledte af arcsinus. Ud fra den trigonometriske identitet ( ) - får vi. For at forstå plus eller minus skal du se på rækken af cosinusværdier. Da cosinus er i 2. og 4. kvadrant, viser det sig, at cosinus er positiv. Det viser sig. $sin(arcsin((x))=x$ $[sin(arcsin((x))]'=x'$ $cos(arcsin(x))\cdot (arcsin(x))'=1$ $(arcsin(x))'={\frac {1}{cos(arcsin(x))))$ $sin^{2}x+cos^{2}x=1$ $(arcsin(x))'={\frac {1}{\pm {\sqrt {1-sin^{2}(arcsin(x))))))}$ $D(cos(x))=[{\frac {\pi }{2);-{\frac {\pi }{2))]$ ${\displaystyle (arcsin(x))'={\frac {1}{\sqrt {1-sin^{2}(arcsin(x)))))))$ $(arcsin(x))'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2))))$
$\arccos {x}$	$-{\frac {1}{{\sqrt {1-x^{2))))}$	Bevis Du kan finde derivatet af arccosin ved hjælp af denne identitet: Nu finder vi derivatet af begge dele af denne identitet. Nu udtrykker vi derivatet af arccosinus. Det viser sig. $arcsin(x)+arccos(x)={\frac {\pi }{2))$ $[arcsin(x)+arccos(x)]'=({\frac {\pi }{2)))'$ $(arcsin(x))'+(arccos(x))'=0$ $(arccos(x))'=-(arcsin(x))'$ $(arccos(x))'=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2))))$
$\mathrm {arctg} \x$	${\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2))))$	Bevis Du kan finde den afledede af buetangensen ved hjælp af den reciproke funktion: Nu finder vi den afledede af begge dele af denne identitet. Nu skal vi udtrykke den afledte af buetangensen: Nu vil identiteten ( ) komme os til hjælp : Det viser sig. $tg(arctg(x))=x$ $[tg(arctg(x))]'=1$ ${\frac {1}{cos^{2}(arctg(x))))\cdot (arctg(x))'=1$ $(arctg(x))'=cos^{2}(arctg(x))$ ${\displaystyle cos(x)={\frac {1}{\sqrt {1+tg^{2}(x)))))$ ${\displaystyle (arctg(x))'=({\frac {1}{\sqrt {1+tg^{2}(arctg(x)))))^{2))$ ${\displaystyle (arctg(x))'={\frac {1}{1+x^{2))))$
$\mathrm {arcctg} \x$	${\displaystyle -{\frac {1}{1+x^{2))))$	Bevis Du kan finde den afledede af den inverse tangent ved hjælp af denne identitet: Nu finder vi den afledede af begge dele af denne identitet. Nu udtrykker vi den afledede af den inverse tangent. Det viser sig. $arctg(x)+arcctg(x)={\frac {\pi }{2))$ $[arctg(x)+arcctg(x)]'=({\frac {\pi }{2)))'$ $(arctg(x))'+(arctg(x))'=0$ $(arctg(x))'=-(arctg(x))'$ ${\displaystyle (arcctg(x))'=-{\frac {1}{1+x^{2))))$
$\mathrm {arcsec} \ x$	${\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1))))$	Bevis Du kan finde arcsekantens afledte ved hjælp af identiteten: $arcsec(x)=arccos({\frac {1}{x)))$ Nu finder vi derivatet af begge dele af denne identitet. $(arcsec(x))'=(arccos({\frac {1}{x))))'$ $(arcsec(x))'=-{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2))))))\cdot (-{\frac {1 }{x^{2}}})$ $(arcsec(x))'={\frac {1}{x^{2}{\sqrt {\frac {x^{2}-1}{x^{2))))))))$ $(arcsec(x))'={\frac {1}{x^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{\|x\|}}}}$ Det viser sig. $(arcsec(x))'={\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1))))$
$\mathrm {arccosec} \ x$	$-{\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1))))$	Bevis Du kan finde den afledte af bue-cosecanten ved hjælp af denne identitet: Nu finder vi den afledte af begge dele af denne identitet. Nu udtrykker vi derivatet af arccosinus. Det viser sig. $arccosec(x)+arcsec(x)={\frac {\pi }{2))$ $[arccosec(x)+arcsec(x)]'=({\frac {\pi }{2)))'$ $(arccosec(x))'+(arcsec(x))'=0$ $(arccosec(x))'=-(arcsec(x))'$ $(arccosec(x))'=-{\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1))))$
$\mathrm {sh} \ x$	$\mathrm {ch} \x$	Bevis $(\operatørnavn {sh} {x})'=\left({\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}\right)'={\frac {1} {2}}\cdot (e^{x}-e^{-x})'={\frac {1}{2}}\cdot (e^{x}-(-1)\cdot e^{ -x})={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}=\operatørnavn {ch} {x}$
$\mathrm {ch} \x$	$\mathrm {sh} \ x$	Bevis $(\operatorname {ch} {x})'=\left({\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}\right)'={\frac {1} {2}}\cdot (e^{x}+e^{-x})'={\frac {1}{2}}\cdot (e^{x}+(-1)\cdot e^{ -x})=\venstre({\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}\right)=\operatørnavn {sh} {x}$
$\mathrm {th} \x$	${\frac {1}{\mathrm {ch} ^{2}\ x))$	Bevis $(th(x))'=({\frac {sh(x)}{ch(x))))'={\frac {(sh(x))'\cdot ch(x)-sh (x)\cdot (ch(x))'}{ch^{2}(x)}}={\frac {ch(x)\cdot ch(x)-sh(x)\cdot sh(x) }{ch^{2}(x)}}={\frac {ch^{2}(x)-sh^{2}(x)}{ch^{2}(x)))={\frac {1}{ch^{2}(x)}}$
$\mathrm {cth} \x$	$-{\frac {1}{\mathrm {sh} ^{2}\ x))$	Bevis $(cthx)'=({\frac {ch(x)}{sh(x)))'={\frac {(ch(x))'\cdot sh(x)-ch(x) \cdot (sh(x))'}{sh^{2}(x)}}={\frac {sh(x)\cdot sh(x)-ch(x)\cdot ch(x)}{sh ^{2}(x)}}={\frac {sh^{2}(x)-ch^{2}(x)}{sh^{2}(x)))=-{\frac {1 }{sh^{2}(x)}}$
$\mathrm {sch} \x$	$-{\frac {\operatørnavn {sh} (x)}{\operatørnavn {ch} ^{2}(x)))$	Bevis $(sch(x))'=({\frac {1}{ch(x)))'={\frac {(1)'\cdot ch(x)-1\cdot (ch(x) ))'}{ch^{2}(x)}}=-{\frac {sh(x)}{ch^{2}(x)}}$
$\mathrm {csch} \x$	$-{\frac {\operatørnavn {ch} (x)}{\operatørnavn {sh} ^{2}(x)))$	Bevis $(csch(x))'=({\frac {1}{sh(x))))'={\frac {(1)'\cdot sh(x)-1\cdot (sh(x) ))'}{sh^{2}(x)}}=-{\frac {ch(x)}{sh^{2}(x)}}$
$\mathrm {arsh} \x$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1))))$	Bevis ${\displaystyle (arsh(x))'=(\ln {(x+{\sqrt {x^{2}+1)))})'={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{ 2}+1))))\cdot (x+{\sqrt {x^{2}+1)))'={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1))} }\cdot ((x)'+({\sqrt {x^{2}+1)))')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1)))) \cdot (1+({\sqrt {x^{2}+1}})')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1}}}}\cdot (1 +{\frac {1}{2{\sqrt {x^{2}+1))))\cdot (x^{2}+1)')={\frac {1}{x+{\sqrt { x^{2}+1))))\cdot (1+{\frac {2x}{2{\sqrt {x^{2}+1)))))={\frac {1}{x+{ \sqrt {x^{2}+1))))\cdot ({\frac {x+{\sqrt {x^{2}+1}}}{\sqrt {x^{2}+1}}} )={\frac {x+{\sqrt {x^{2}+1}}}{(x+{\sqrt {x^{2}+1}})\cdot ({\sqrt {x^{2} +1)))))={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1))))$
$\mathrm {arch} \x$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1))))$	Bevis ${\displaystyle (arch(x))'=(\ln {(x+{\sqrt {x^{2}-1)))})'={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{ 2}-1))))\cdot (x+{\sqrt {x^{2}-1)))'={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1))} }\cdot ((x)'+({\sqrt {x^{2}-1)))')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1)))) \cdot (1+({\sqrt {x^{2}-1}})')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1}}}}\cdot (1 +{\frac {1}{2{\sqrt {x^{2}-1))))\cdot (x^{2}-1)')={\frac {1}{x+{\sqrt { x^{2}-1))))\cdot (1+{\frac {2x}{2{\sqrt {x^{2}-1)))))={\frac {1}{x+{ \sqrt {x^{2}-1))))\cdot ({\frac {x+{\sqrt {x^{2}-1}}}{\sqrt {x^{2}-1}}} )={\frac {x+{\sqrt {x^{2}-1}}}{(x+{\sqrt {x^{2}-1}})\cdot ({\sqrt {x^{2} -1)))))={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1))))$
$\mathrm {arth} \x$	${\displaystyle {\frac {1}{1-x^{2))))$	Bevis $({\displaystyle \mathrm {arth} \ x})'={\biggl (}{\frac {1}{2))\cdot \ln {\biggl (}{\frac {1+x} {1-x}}{\biggl )}{\biggl )}'={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1-x}{1+x}}\cdot {\biggl ( }{\frac {1+x}{1-x}}{\biggl )}'={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1-x}{1+x}}\cdot {\frac {(1+x)'(1-x)-(1+x)(1-x)'}{(1-x)^{2))}={\frac {1}{2} }\cdot {\frac {1-x}{1+x}}\cdot {\frac {2}{(1-x)^{2}}}={\frac {1}{1-x^{ 2}}}$
$\mathrm {arcth} \x$	${\displaystyle {\frac {1}{1-x^{2))))$	Bevis $({\displaystyle \mathrm {arcth} \ x})'={\biggl (}{\frac {1}{2))\cdot \ln {\biggl (}{\frac {x+1} {x-1}}{\biggl )}{\biggl )}'={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {x-1}{x+1}}\cdot {\biggl ( }{\frac {x+1}{x-1}}{\biggl )}'={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {x-1}{x+1}}\cdot {\frac {(x+1)'(x-1)-(x+1)(x-1)'}{(x-1)^{2))}={\frac {1}{2} }\cdot {\frac {x-1}{x+1}}\cdot {\frac {-2}{(x-1)^{2}}}={\frac {1}{1-x^ {2}}}$
$\mathrm {arsech} \x$	${\displaystyle -{\frac {1}{x(x+1){\sqrt {\frac {1-x}{1+x))))))))$
$\mathrm {arcsch} \x$	${\displaystyle -{\frac {1}{x(x+1){\sqrt {1+{\frac {1}{x^{2))))))))))$

Afledt af en vektorfunktion i forhold til en parameter

Lad os definere den afledede af vektorfunktionen med hensyn til parameteren: ${\mathbf {r}}(t)$

{\frac {d}{dt}}{\mathbf {r}}(t)=\lim _{{h\to 0}}{\frac {{\mathbf {r}}(t+h)-{ \mathbf {r}}(t)}{h}}

Hvis der findes en afledt i et punkt, siges vektorfunktionen at være differentierbar på det punkt. Koordinatfunktionerne for den afledede vil være . $t$ $x'(t),\ y'(t),\ z'(t)$

Egenskaber for den afledte af en vektorfunktion (overalt antages det, at der findes afledte):

${\frac {d}{dt))({\mathbf {r_{1))}(t)+{\mathbf {r_{2))}(t))={\frac {d{\mathbf {r_ {1}}}(t)}{dt}}+{\frac {d{\mathbf {r_{2}}}(t)}{dt}}$ Den afledte sum er summen af afledte.
${\frac {d}{dt}}(f(t){\mathbf {r}}(t))={\frac {df(t)}{dt}}{\mathbf {r}}(t) +f(t){\frac {d{\mathbf {r}}(t)}{dt}}$ — her er en differentierbar skalarfunktion . $f(t)$
${\frac {d}{dt))({\mathbf {r_{1))}(t){\mathbf {r_{2))}(t))={\frac {d{\mathbf {r_{ 1}}}(t)}{dt}}{\mathbf {r_{2}}}(t)+{\mathbf {r_{1}}}(t){\frac {d{\mathbf {r_{ 2}}}(t)}{dt}}$ - differentiering af det skalære produkt .
${\frac {d}{dt}}[\mathbf {r_{1}} (t),\mathbf {r_{2}} (t)]=\venstre[{\frac {d\mathbf { r_{1}} (t)}{dt}},\mathbf {r_{2}} (t)\right]+\venstre[\mathbf {r_{1}} (t),{\frac {d\ mathbf {r_{2}} (t)}{dt}}\right]$ — differentiering af vektorproduktet .
${\frac {d}{dt}}({\mathbf {a}}(t),{\mathbf {b}}(t),{\mathbf {c}}(t))=\venstre({\ frac {d{\mathbf {a}}(t)}{dt}},{\mathbf {b}}(t),{\mathbf {c}}(t)\right)+\left({\mathbf {a}}(t),{\frac {d{\mathbf {b}}(t)}{dt}},{\mathbf {c}}(t)\right)+\left({\mathbf { a}}(t),{\mathbf {b}}(t),{\frac {d{\mathbf {c}}(t)}{dt}}\right)$ er differentieringen af det blandede produkt .

Måder at sætte derivater på

Jackson-derivat [5] :

D_{{x}}^{{q}}f(x)={\frac {f(qx)-f(x)}{(q-1)x}}.

Variationer og generaliseringer

Generaliseringer af derivater

Se også

Noter

↑ Kolmogorov A. N. , Abramov A. M. , Dudnitsyn Yu. P. Algebra og begyndelsen af analysen. Lærebog for 10-11 klassetrin i gymnasiet. - M., Uddannelse, 1994. - ISBN 5-09-006088-6 . - C. 155-156
↑ Komkov G. D. , Levshin B. V., Semenov L. K. Videnskabsakademiet i USSR. Kort historisk essay (i to bind). - 2. udg. - M . : Videnskab , 1977. - T. 1. 1724-1917. - S. 173.
↑ Den afledte sum er lig med summen af de afledte
↑ Heraf følger det især, at den afledede af produktet af en funktion og en konstant er lig med produktet af den afledede af denne funktion og konstanten
↑ AI Olemskoi, SS Borysov,a og IA Shuda. Statistiske feltteorier deformeret inden for forskellige beregninger . Hentet 21. april 2014. Arkiveret fra originalen 21. september 2017. (ubestemt)

Litteratur

Vilenkin N., Mordkovich A. Hvad er et derivat //Kvant. - 1975. - Nr. 12 .
V. G. Boltyansky , Hvad er differentiering?, " Populære forelæsninger i matematik ", Issue 17, Gostekhizdat 1955, 64 s.
V. A. Gusev , A. G. Mordkovich "Matematik"
G. M. Fikhtengolts "Kurs for differential- og integralregning ", bind 1
V. M. Borodikhin , Højere matematik , lærebog. manual, ISBN 5-7782-0422-1

Links

Ordbøger og encyklopædier	Flot dansk Fantastisk norsk Stor russer jorden rundt Britannica (online) Treccani
I bibliografiske kataloger	GND : 4233840-2 J9U : 987007574837105171 LCCN : sh2011005437 NDL : 00560650 NKC : ph137564

Funktionsafledt

Historie

Definition

Definition af den afledede af en funktion i form af grænsen

Konventionel notation for den afledede af en funktion i et punkt

Tabel over derivater

Differentierbarhed

Noter

Geometrisk og fysisk betydning af derivatet

Tangensen af ​​hældningen af ​​en tangentlinje

Ændringshastigheden for funktionen

Afledte af højere orden

Måder at skrive afledte på

Eksempler

Sætninger relateret til differentiering

Differentieringsregler

Tabel over afledte funktioner af nogle funktioner

Afledt af en vektorfunktion i forhold til en parameter

Måder at sætte derivater på

Variationer og generaliseringer

Se også

Noter

Litteratur

Links

Konventionel notation for den afledede af en funktion i et punkt $y=f(x)$ $x_{0}$

Tangensen af hældningen af en tangentlinje