Geometri

Geometri (fra andet græsk γεωμετρία ← γῆ earth + μετρέω "måle; vurdere") er en gren af ​​matematikken , der studerer rumlige strukturer og sammenhænge, ​​samt deres generaliseringer [1] .

Geometri som en systematisk videnskab dukkede op i det antikke Grækenland , dens aksiomatiske konstruktioner er beskrevet i Euklids elementer . Euklidisk geometri var engageret i studiet af de enkleste figurer i planet og i rummet, beregningen af ​​deres areal og volumen . Koordinatmetoden foreslået af Descartes i 1637 dannede grundlaget for analytisk og differentiel geometri , og problemerne forbundet med tegning førte til skabelsen af ​​beskrivende og projektiv geometri . Samtidig forblev alle konstruktionerne inden for rammerne af Euklids aksiomatiske tilgang . Grundlæggende ændringer er forbundet med Lobachevskys arbejde i 1829, som opgav parallelismens aksiom og skabte en ny ikke-euklidisk geometri , og dermed bestemme vejen for den videre udvikling af videnskaben og skabelsen af ​​nye teorier.

Klassificeringen af ​​geometri foreslået af Klein i " Erlangen-programmet " i 1872 og som i sin basis indeholder invariansen af ​​geometriske objekter med hensyn til forskellige grupper af transformationer er blevet bevaret til i dag.

Emnet geometri

Geometri beskæftiger sig med den indbyrdes indretning af kroppe, som kommer til udtryk i berøring eller vedhæftning til hinanden, placeringen "mellem", "inde" og så videre; størrelsen af ​​kroppe, det vil sige begreberne om kroppernes lighed, "mere" eller "mindre"; samt kropsforvandlinger. Det geometriske legeme har været en abstraktion siden Euklids tid, som mente, at "en linje er en længde uden bredde", "en overflade er den, der har længde og bredde". Pointen er en abstraktion forbundet med en ubegrænset reduktion i alle kroppens dimensioner, eller grænsen for uendelig opdeling. Placeringen, størrelsen og transformationen af ​​geometriske former bestemmes af rumlige forhold [2] .

Ved at udforske virkelige objekter tager geometrien kun hensyn til deres form og relative position og abstraherer fra andre egenskaber ved objekter, såsom tæthed, vægt, farve. Dette gør det muligt at gå fra rumlige relationer mellem virkelige objekter til alle relationer og former, der opstår, når man betragter homogene objekter og ligner rumlige. Især giver geometri os mulighed for at overveje afstande mellem funktioner [1] .

Klassifikation

Klassificeringen af ​​de forskellige grene af geometri blev foreslået af Felix Klein i hans " Erlangen Program " ( 1872 ). Ifølge Klein studerer hvert afsnit de egenskaber ved geometriske objekter, der er bevaret ( invariant ) under påvirkning af en gruppe af transformationer , der er specifikke for hver sektion. I overensstemmelse med denne klassifikation kan følgende hovedafsnit skelnes i klassisk geometri.

Moderne geometri omfatter følgende yderligere sektioner.

Ifølge de anvendte metoder skelnes der også mellem sådanne instrumentelle underafsnit.

Axiomatics

Aksiomerne for euklidisk geometri, formuleret i III-IV århundrede f.Kr. dannede grundlaget for geometri indtil anden halvdel af det 19. århundrede, da de godt beskrev det fysiske rum og blev identificeret med det [1] . Euklids fem postulater var ikke nok til fuldt ud at beskrive geometri, og i 1899 foreslog Hilbert sit system af aksiomer . Hilbert opdelte aksiomerne i flere grupper: aksiomerne for medlemskab, kongruens , kontinuitet (inklusive Arkimedes aksiom), fuldstændighed og parallelisme. Schur erstattede senere kongruensaksiomerne med bevægelsesaksiomerne, og Cantors aksiom blev brugt i stedet for fuldstændighedsaksiomet . Systemet af aksiomer i euklidisk geometri giver os mulighed for at bevise alle kendte skolesætninger [3] .

Der er andre systemer af aksiomer, som ud over punktet, linjen og planen ikke er baseret på bevægelse, men på kongruens, som i Hilbert, eller afstand, som i Kagan . Et andet system af aksiomer er forbundet med konceptet om en vektor. De er alle afledt af hinanden, det vil sige, at aksiomer i et system kan bevises som sætninger i et andet [3] .

For at bevise konsistensen og fuldstændigheden af ​​den euklidiske geometris aksiomer bygger de dens aritmetiske model og viser, at enhver model er isomorfe til aritmetiske, hvilket betyder, at de er isomorfe for hinanden [4] . Uafhængigheden af ​​den euklidiske geometris aksiomer er sværere at vise på grund af det store antal aksiomer. Parallelismens aksiom afhænger ikke af de andre, da Lobachevskys geometri er bygget på det modsatte udsagn. Tilsvarende er uafhængigheden af ​​Arkimedes' aksiom (det tredobbelte af komplekse tal bruges som koordinater i stedet for det tredobbelte af reelle tal), Cantors aksiom (reelle tal konstrueret på en bestemt måde bruges som koordinater i stedet for det tredobbelte af reelle tal ), samt et af medlemskabsaksiomerne, som faktisk bestemmer rummets dimension (i stedet for tredimensionelt rum kan du konstruere et firedimensionalt og et hvilket som helst flerdimensionelt rum med et endeligt antal dimensioner) [5] .

Euklids postulater

Euklids postulater er reglerne for konstruktion ved hjælp af et ideelt kompas og en ideel lineal [6] :

  1. Alle to punkter kan forbindes med en ret linje;
  2. En begrænset lige linje kan forlænges i det uendelige;
  3. Fra ethvert centrum kan enhver radius beskrive en cirkel;
  4. Alle rette vinkler er lig med hinanden;
  5. Hvis en linje falder på to linjer og danner indre ensidede vinkler med en sum mindre end to linjer, så hvis disse to linjer fortsættes i det uendelige, vil de skære hinanden på den side, hvor vinklerne er mindre end to linjer.

En anden formulering af det femte postulat ( parallelismens aksiom ) lyder [7] : Gennem et punkt uden for en ret linje i deres plan kan der højst tegnes én ret linje, der ikke skærer den givne rette linje.

Aksiomer for euklidisk geometri

Encyclopedia of Elementary Mathematics foreslår følgende system af aksiomer [3] :

  1. Gennem hvert to særskilte punkter går der en ret linje, og desuden en;
  2. Der er mindst to punkter på hver linje;
  3. Der er tre punkter, der ikke ligger på samme linje;
  4. Gennem hvert tredje punkt, der ikke ligger på den samme rette linie, går der et plan, og desuden kun et;
  5. Der er mindst ét ​​punkt på hvert plan;
  6. Hvis to punkter ligger på et plan, så ligger linjen, der går igennem dem, også på dette plan;
  7. Hvis to planer har et fælles punkt, har de mindst et fælles punkt mere;
  8. Der er fire punkter, der ikke ligger på samme plan.
    • Ordensaksiomer:
  9. Af hvilke som helst tre forskellige punkter på en linje, ligger en og kun en mellem de to andre;
  10. For to punkter på en linje eksisterer der et tredje punkt på denne linje, således at det andet punkt ligger mellem det første og det tredje;
  11. Hvis linjen l , der ligger i planen ABC , ikke går gennem nogen af ​​punkterne A, B, C og indeholder et punkt af segmentet AB , så har den et fælles punkt med mindst et af segmenterne AC, BC ;
    • Aksiomer for bevægelse:
  12. Enhver bevægelse er en en-til-en kortlægning af rummet på sig selv;
  13. Lad f  være en vilkårlig bevægelse. Så, hvis punkterne A, B, C er placeret på samme linje, og C ligger mellem A og B , så er punkterne f(A), f(B), f(C) også placeret på samme linje, og f(C) ligger mellem f(A) og f(B) ;
  14. To bevægelser lavet efter hinanden svarer til en bevægelse;
  15. For alle to billeder taget i en bestemt rækkefølge, er der én og kun én bevægelse, der overfører den første ramme til den anden;
    • Kontinuitetsaksiomer:
  16. Arkimedes aksiom . Lad A 0 , A 1 , B  være tre punkter, der ligger på den samme rette linje, og punktet A 1 er mellem A 0 og B . Lad endvidere f være  en bevægelse, der tager punktet A 0 til A 1 og strålen A 0 B til A 1 B. Lad f(A1 ) =A2 , f(A2 ) =A3 , … . Så er der et naturligt tal n sådan, at punktet B er på segmentet A n-1 A n .
  17. Kantors aksiom . Lad A 1 , A 2 , … og B 1 , B 2 , …  være to sekvenser af punkter placeret på den samme rette linie l , således at punkterne A n og B n for enhver n er forskellige og ligger på segmentet A n- 1Bn - 1 . Så er der et punkt C på linjen l , der er på segmentet A n B n for alle værdier af n .
    • Axiom for parallelisme:
  18. Gennem et punkt A , der ikke ligger på linjen l , kan man i deres plan højst tegne en linje, der ikke skærer linjen l .

Fjerner vi fra systemet aksiomer 4-8 relateret til rumlig geometri, så får vi et system af aksiomer for det euklidiske plan [3] .

Geometriske transformationer

En transformation af et sæt er dets en-til-en-kortlægning på sig selv. I denne forstand bruges udtrykket i geometri, selvom det nogle gange bruges som et synonym for at kortlægge eller kortlægge et sæt i sig selv.

Når vi taler om "geometriske transformationer", betyder de normalt nogle specifikke typer transformationer, der spiller en grundlæggende rolle i geometri - bevægelser, lighedstransformationer, affine, projektive, cirkulære transformationer (i de sidste to tilfælde er planet eller rummet suppleret med punkter ved kl. uendelighed). Denne grundlæggende rolle blev afsløret af den tyske matematiker Felix Klein i hans forelæsning ved universitetet i Erlangen i 1872, kendt som Erlangen-programmet. Ifølge Kleins koncept studerer geometri egenskaberne af figurer, der er bevaret under alle transformationer af en bestemt gruppe af transformationer. I betragtning af grupperne af transformationer af ovennævnte typer opnås forskellige geometrier - euklidisk (til lighedstransformationer), affin osv.

Historie

Det antages traditionelt, at grundlæggerne af geometri som en systematisk videnskab er de gamle grækere , som adopterede håndværket med landmåling og måling af mængder af kroppe fra egypterne og gjorde det til en streng videnskabelig disciplin [2] . Samtidig flyttede de gamle geometre fra et sæt opskrifter til etableringen af ​​generelle love og kompilerede de første systematiske og demonstrative værker om geometri. Den centrale plads blandt dem er optaget af dem skrevet i det 3. århundrede f.Kr. e. " Begyndelser " af Euclid . I mere end to årtusinder blev dette værk betragtet som en eksemplarisk fremstilling i den aksiomatiske metodes ånd: alle bestemmelser er logisk afledt af et lille antal eksplicit angivne og ubeviselige antagelser - aksiomer [2] . De allerførste beviser for geometriske udsagn dukkede op i Thales' værker og brugte tilsyneladende superpositionsprincippet, da figurerne, hvis lighed skal bevises, blev overlejret på hinanden [8] .

Grækernes geometri, som i dag kaldes euklidisk eller elementær , beskæftigede sig med studiet af de enkleste former: lige linjer , planer , segmenter , regelmæssige polygoner og polyedre , keglesnit , såvel som kugler , cylindre , prismer , pyramider og kegler . Deres arealer og volumener blev beregnet . Transformationerne var for det meste begrænset til lighed . I Grækenland optrådte også trigonometri og geometri på en kugle i Hipparchus og Menelaos ' værker [2] .

Middelalderen gav meget lidt til geometri [1] , og den næste store begivenhed i dens historie var Descartes opdagelse i det 17. århundrede af koordinatmetoden (afhandling Geometry , 1637 ). Sæt af tal er forbundet med punkter i rummet, dette giver dig mulighed for at studere forholdet mellem geometriske former ved hjælp af algebrametoder. Sådan opstod analytisk geometri , som studerer figurer og transformationer, der er givet i koordinater ved algebraiske ligninger. En systematisk udlægning af analytisk geometri blev foreslået af Euler i 1748. I begyndelsen af ​​det 17. århundrede begyndte Pascal og Desargues at studere egenskaberne ved flyvefigurer, der ikke ændrer sig, når de projicerer fra et plan til et andet. Dette afsnit kaldes projektiv geometri og blev først generaliseret af Poncelet i 1822. Endnu tidligere, i 1799, udviklede Monge beskrivende geometri , direkte relateret til tegneopgaverne . Koordinatmetoden ligger til grund for differentialgeometrien , der dukkede op lidt senere , hvor figurer og transformationer stadig er angivet i koordinater, men allerede ved vilkårlige tilstrækkeligt glatte funktioner. Differentialgeometri blev systematiseret af Monge i 1795 [2] , dens udvikling, især teorien om kurver og teorien om overflader , blev udført af Gauss . I skæringspunktet mellem geometri, algebra og analyse, vektorregning , tensorregning , opstod differentialformernes metode [1] .

I 1826 konstruerede Lobachevsky , der opgav Euklids aksiom om parallelisme, en ikke-euklidisk geometri opkaldt efter ham . Lobachevskys aksiom siger, at gennem et punkt, der ikke ligger på en linje, kan der trækkes mere end én linje parallel med den givne. Lobachevsky, ved at bruge dette aksiom sammen med andre bestemmelser, byggede en ny geometri, som på grund af den manglende klarhed forblev hypotetisk indtil 1868, hvor dens fulde begrundelse blev givet. Lobachevsky opdagede således principperne for at konstruere nye geometriske teorier og bidrog til udviklingen af ​​den aksiomatiske metode [2] .

Det næste trin var definitionen af ​​et abstrakt matematisk rum . Projektive, affine og konforme transformationer, mens figurernes egenskaber bevares, førte til skabelsen af ​​projektive, affine og konforme geometrier. Overgangen fra tredimensionelt rum til n - dimensionelt rum blev først udført i Grassmann og Cayleys værker i 1844 og førte til skabelsen af ​​multidimensionel geometri. En anden generalisering af rummet var Riemannsk geometri foreslået af Riemann i 1854 [2] . F. Klein systematiserede alle typer homogene geometrier i " Erlangen-programmet " ; ifølge ham studerer geometri alle de egenskaber ved figurer, der er invariante under transformationer fra en bestemt gruppe. Derudover sætter hver gruppe sin egen geometri. Så isometrier (bevægelser) definerer euklidisk geometri, gruppen  af ​​affine transformationer definerer affin geometri .

I 70'erne af det 19. århundrede opstod mængdeteori , ud fra hvilket synspunkt en figur defineres som et sæt punkter. Denne tilgang tillod os at tage et nyt kig på den euklidiske geometri og analysere dens grundlag, som blev udsat for nogle justeringer i Hilberts værker [2] .

Geometri i filosofi og kunst

Siden det antikke Grækenland har geometri været baseret på filosofiske begreber. Ved at definere et punkt som "det, der ikke har nogen dele", adskiller tilgangen til det i Pythagoras, der identificerer punktet med en numerisk enhed, og hvor punktet kun har en position i rummet og ikke har nogen størrelse, og i Demokrit, der, at opbygge en atomistisk teori, giver punktet "overfølsomt lille" størrelse. Definitionerne af linje og overflade går også tilbage til atomistiske ideer, hvor henholdsvis "bredde" og "dybde" er udelelige [6] .

Geometri er den femte af de syv liberale kunster med hensyn til læringsniveau. Det er forudgået af et trivium bestående af grammatik , retorik og dialektik og aritmetik, den ledende videnskab i quadrivium , som også omfatter musik og astronomi [9] . Marcianus Capella skabte i sin afhandling The Marriage of Philosophy and Mercury visuelle billeder af alle syv kunstarter, inklusive geometri. Kunsten blev personificeret af kvinder med passende attributter, som blev ledsaget af velkendte repræsentanter for sfæren. Geometri har i sine hænder en globus og et kompas, som den kan måle med, sjældnere en firkant, lineal eller kompasser. Hun er ledsaget af Euklid [10] [11] .

Asteroiden (376) Geometry , opdaget i 1893, er opkaldt efter Geometry .

Noter

  1. ↑ 1 2 3 4 5 Geometri // Matematisk encyklopædi: i 5 bind . - M  .: Soviet Encyclopedia , 1982. - T. 1 .
  2. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 TSB, 1971 .
  3. ↑ 1 2 3 4 Geometry, 1963 , s. 32-41.
  4. ↑ Geometry, 1963 , s. 41-44.
  5. ↑ Geometry, 1963 , s. 44-48.
  6. ↑ 1 2 Geometry, 1963 , s. 12-17.
  7. ↑ Geometry, 1963 , s. 18-21.
  8. ↑ Geometry, 1963 , s. 12.
  9. ↑ Liberal Arts  . Encyclopædia Britannica. Hentet 20. marts 2012. Arkiveret fra originalen 27. maj 2012.
  10. ↑ Seven Liberal Arts (utilgængeligt link) . Simbolarium. Hentet 20. marts 2012. Arkiveret fra originalen 27. maj 2012. 
  11. ↑ De syv liberale kunster . Katolsk Encyklopædi. Hentet 20. marts 2013. Arkiveret fra originalen 3. april 2013.

Litteratur

  Gå til Wikidata-elementet  Ordbøger og encyklopædier
 Grene af matematik
Portal "Science"
Grundlaget for matematik mængdeteori matematisk logik logikkens algebra
Talteori ( aritmetik )
  • Portal "Matematik"
  • Kategori "Matematik"
 Syv liberale kunster
Trivium Grammatik Retorik Dialektik ( logik ) quadrivium Aritmetik Geometri Astronomi musik