Historien om trigonometri

Historien om trigonometri som en videnskab om forholdet mellem vinkler og sider af en trekant og andre geometriske figurer dækker mere end to årtusinder. De fleste af disse relationer kan ikke udtrykkes ved hjælp af almindelige algebraiske operationer , og derfor var det nødvendigt at indføre specielle trigonometriske funktioner , som oprindeligt blev præsenteret i form af numeriske tabeller.

Historikere mener, at gamle astronomer skabte trigonometri ; lidt senere begyndte den at blive brugt i geodæsi og arkitektur . Med tiden er omfanget af trigonometri konstant blevet udvidet, og det omfatter i dag næsten al naturvidenskab, teknologi og en række andre aktivitetsområder [1] . Trigonometriske funktioner viste sig at være særligt nyttige i studiet af oscillerende processer ; harmonisk analyse af funktioner og andre analyseværktøjer er også baseret på dem . Thomas Paine kaldte i sin Age of Reason (1794) trigonometri for "videnskabens sjæl" [2] .

Tidlig periode

Begyndelsen af trigonometri kan findes i de matematiske manuskripter fra det gamle Egypten , Babylon og det gamle Kina . Det 56. problem fra papyrusen Rinda (II årtusinde f.Kr.) foreslår at finde pyramidens hældning, hvis højde er 250 alen, og længden af siden af basen er 360 alen [3] .

Fra babylonsk matematik er vi vant til at måle vinkler i grader, minutter og sekunder (introduktionen af disse enheder i oldgræsk matematik tilskrives sædvanligvis Hypsikler , 2. århundrede f.Kr.). Blandt de sætninger, som babylonierne kendte, var for eksempel følgende: en indskrevet vinkel baseret på diameteren af en cirkel er en ret linje [4] . Den vigtigste bedrift i denne periode var forholdet, som senere fik navnet Pythagoras sætning ; Van der Waerden mener, at babylonierne opdagede det mellem 2000 og 1786 f.Kr. e. [5] Det er muligt, at kineserne opdagede det uafhængigt (se " Matematik i ni bøger "); det er uklart, om de gamle egyptere kendte den generelle formulering af sætningen, men den retvinklede " ægyptiske trekant " med siderne 3, 4 og 5 var velkendt og meget brugt der [6] [7] .

Det antikke Grækenland

En generel og logisk sammenhængende præsentation af trigonometriske relationer dukkede op i oldgræsk geometri [8] . Græske matematikere har endnu ikke udpeget trigonometri som en separat videnskab - for dem var det en del af astronomi [9] .

Plan trigonometri

Adskillige sætninger af trigonometrisk karakter indeholder Euklids elementer (4. århundrede f.Kr.). I den første bog af grundstofferne fastslår sætning 18 og 19, at den større side af en trekant svarer til den større modsatte vinkel - og omvendt, den større vinkel svarer til den større side. Sætning 20 og 22 formulerer " trekantuligheden ": tre segmenter kan danne en trekant, hvis og kun hvis længden af hver er mindre end summen af længderne af de to andre. Sætning 32 beviser, at summen af vinklerne i en trekant er 180°.

I den anden bog af "Begyndelser" er sætning 12 en verbal analog til cosinussætningen [10] :

I stumpe trekanter er firkanten på den side, der underbygger den stumpe vinkel, større end [summen] af kvadraterne på siderne, der indeholder den stumpe vinkel af det dobbeltoptagne rektangel indesluttet mellem en af siderne i en stump vinkel, hvorpå vinkelret falder, og segmentet afskåret af denne vinkelret udefra ved et stumpt hjørne.

Sætning 13 efter den er en variant af cosinussætningen for spidse trekanter. Grækerne havde ikke en analog til sinussætningen , denne vigtigste opdagelse blev gjort meget senere [11] .

Den videre udvikling af trigonometri er forbundet med navnet på astronomen Aristarchus fra Samos (3. århundrede f.Kr.). I hans afhandling "Om Solens og Månens størrelser og afstande" var problemet sat med at bestemme afstandene til himmellegemer; denne opgave krævede at beregne forholdet mellem siderne i en retvinklet trekant givet værdien af en af vinklerne. Aristarchos betragtede som en retvinklet trekant dannet af Solen, Månen og Jorden under kvadraturen . Han skulle beregne værdien af hypotenusen (afstanden fra Jorden til Solen) gennem benet (afstanden fra Jorden til Månen) med en kendt værdi af den inkluderede vinkel (87°), hvilket svarer til at beregne værdien af . Ifølge Aristarchus ligger denne værdi i området fra 1/20 til 1/18, det vil sige, at afstanden til Solen er 20 gange større end til Månen [12] ; faktisk er Solen næsten 400 gange længere væk end Månen, en fejl på grund af en unøjagtighed i vinkelmålingen. Undervejs beviste Aristarchus uligheden, som i moderne termer formidles af formlen: $\sin 3^{\circ }$

{\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}<{\frac {\alpha }{\beta }}<{\frac {\operatørnavn {tg} \alpha }{\operatørnavn {tg} \beta }}.

Den samme ulighed er indeholdt i "Beregning af sandkorn" af Archimedes [13] . I Arkimedes' skrifter (3. århundrede f.Kr.) er der en vigtig akkorddelingssætning, som i det væsentlige svarer til formlen for sinus af en halv vinkel [14] [15] :

\sin {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{2}}}.

I hele perioden med udviklingen af antikkens videnskab forblev astronomi hovedfeltet for anvendelse af resultaterne af plan trigonometri blandt grækerne. Ud over opgaven med at beregne afstande krævede inddragelsen af trigonometri bestemmelse af parametrene for systemet af epicykler og/eller ekcentre, der repræsenterer stjernens bevægelse i rummet. Ifølge den udbredte opfattelse blev dette problem først formuleret og løst af Hipparchus (midten af det 2. århundrede f.Kr.) ved bestemmelse af elementerne i Solens og Månens kredsløb; det er muligt, at astronomer fra en tidligere tid også var engageret i lignende opgaver. Han tilskrives også ofte forfatterskabet til de første trigonometriske tabeller, der ikke er kommet ned til os [16] . Men ifølge nogle rekonstruktioner blev de første trigonometriske tabeller samlet så tidligt som i det 3. århundrede f.Kr. e. muligvis af Apollonius af Perga [17] .

I stedet for den moderne sinusfunktion betragtede Hipparchus og andre oldgræske matematikere normalt afhængigheden af akkordlængden af en cirkel af en given midtervinkel (eller tilsvarende af en given cirkelbue udtrykt i vinkelmål). I moderne terminologi er længden af akkorden, der undertrykker buen θ af enhedscirklen , lig med to gange sinus af den centrale vinkel θ/2. Denne overensstemmelse er gyldig for alle vinkler: 0° < θ < 360°. De første trigonometriske relationer opdaget af grækerne blev formuleret i akkordsproget [1] . For eksempel den moderne formel:

\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1

teoremet [18] svarede blandt grækerne :

(akkord_{\alpha })^{2}+(akkord_{180^{\circ }-\alpha })^{2}=d^{2},

hvor er korden for den centrale vinkel , er diameteren af cirklen. $akkord_{\alpha }$ $\alfa$ $d$

Samtidig blev cirklens radius ikke betragtet som lig med én, som den er nu. For eksempel, i Hipparchus, blev radius af en cirkel angiveligt betragtet som lig med R = 3438 enheder - med denne definition var længden af en cirkelbue lig med vinkelmålet for denne bue, udtrykt i minutter: , og dette lette beregninger. Ptolemæus har R = 60 enheder. Ifølge moderne rekonstruktioner [16] [19] blev Hipparchus' akkorder tabuleret med intervaller på 7°30'. Det er muligt, at beregningen af Hipparchus-tabellen var baseret på metoden udviklet af Archimedes og går tilbage til Aristarchus [20] . ${\frac {360\cdot 60}{2\pi }}\ca. 3438$

Senere supplerede det 2. århundredes astronom Claudius Ptolemaios i Almagest resultaterne af Hipparchus. De tretten bøger af Almagest er det mest betydningsfulde trigonometriske værk i hele antikken. Almagest indeholder især omfattende femcifrede akkordtabeller for spidse og stumpe vinkler med et trin på 30 bueminutter [1] . Til at beregne akkorder brugte Ptolemæus (i kapitel X) Ptolemæus' sætning (men kendt af Arkimedes), som siger: summen af produkterne af længderne af modstående sider af en konveks indskrevet i en cirkelfirkant er lig med produktet af længden af dens diagonaler. Ud fra denne sætning er det let at udlede to formler for sinus og cosinus af vinklernes sum og to mere for sinus og cosinus for vinkelforskellen, men grækerne har ikke en generel formulering af disse teoremer [21] .

Den vigtigste præstation af den antikke trigonometriske teori var løsningen i en generel form af problemet med at "løse trekanter" , det vil sige at finde de ukendte elementer i en trekant, baseret på dens tre givne elementer (hvoraf mindst en er en side ) [8] . Efterfølgende blev dette problem og dets generaliseringer trigonometriens hovedproblem [1] : givet flere (normalt tre) kendte elementer i en trekant, er det nødvendigt at finde de resterende mængder forbundet med den. Oprindeligt omfattede elementerne i en trekant (kendt eller ukendt) sider og vinkler ved toppunkterne, senere medianer , højder , halveringslinjer , radius af den indskrevne eller omskrevne cirkel, tyngdepunktets position osv. blev tilføjet til dem Anvendte trigonometriske problemer er meget forskellige - for eksempel kan målbare resultater af handlinger på de anførte mængder (for eksempel summen af vinkler eller forholdet mellem længderne af siderne) specificeres.

Sfærisk trigonometri

Parallelt med udviklingen af plan trigonometri udviklede grækerne, under indflydelse af astronomi, sfærisk trigonometri langt . I Euclids "Principles" om dette emne er der kun en sætning om forholdet mellem rumfanget af kugler med forskellige diametre, men behovene for astronomi og kartografi forårsagede den hurtige udvikling af sfærisk trigonometri og relaterede områder - himmelske koordinatsystemer , teorien af kartografiske projektioner , teknologien til astronomiske instrumenter (især var det astrolabiet blev [22] ).

Historikere er ikke nået til enighed om graden af udvikling af himmelsfærens geometri blandt de gamle grækere . Nogle forskere hævder, at det ekliptiske eller ækvatoriale koordinatsystem blev brugt til at registrere resultaterne af astronomiske observationer mindst så tidligt som på Hipparchos tid [23] . Måske, så var nogle sætninger af sfærisk trigonometri kendt, som kunne bruges til at kompilere stjernekataloger [24] og i geodæsi .

De første værker, vi kendte til om "sfæren" (det vil sige sfærisk geometri, med en klar astronomisk skævhed) skrev [25] :

(4. århundrede f.Kr.) Autolycus af Pitana og Euklid ("Fænomener"). (2. århundrede f.Kr.) Theodosius og Hypsikler .

Nogle af de problemer, der er analyseret i disse værker, er af trigonometrisk karakter, men på grund af teoriens dårlige udvikling bruger forfatterne stadig løsninger. For eksempel, opgaven "at finde tidspunktet for fuld solopgang (nedgang) af stjernebilledet stjernetegn " Hypsikel løser tilnærmelsesvis ved hjælp af polygonale tal [25] .

Det afgørende stadie i udviklingen af teorien var monografien "Sfære" i tre bøger, som blev skrevet af Menelaos af Alexandria (ca. 100 e.Kr.). I den første bog skitserede han sætninger om sfæriske trekanter , svarende til Euklids sætninger om plane trekanter (se Bog I i begyndelsen). Historikere mener, at Menelaos' tilgang trækker i høj grad på Theodosius ' skrifter , som Menelaos i høj grad udvider og kodificerer. Ifølge Pappus var Menelaos den første til at introducere begrebet en sfærisk trekant som en figur dannet af segmenter af storcirkler [26] . Menelaos beviste en sætning, som Euklid ikke har nogen flad analog til: to sfæriske trekanter er kongruente (kompatible), hvis de tilsvarende vinkler er lige store. En anden af hans sætning siger, at summen af vinklerne i en sfærisk trekant altid er større end 180° [26] .

Den anden bog af Sfærerne beskriver anvendelsen af sfærisk geometri til astronomi. Den tredje bog indeholder Menelaos' sætning , vigtig for praktisk astronomi , kendt som "reglen om seks størrelser" [27] . To andre grundlæggende sætninger opdaget af Menelaos fik efterfølgende navnene "reglen for fire størrelser" og "tangensreglen" [26] .

Et par årtier senere giver Claudius Ptolemaios i sin Geography, Analemma og Planisferium en detaljeret fremstilling af trigonometriske anvendelser til kartografi, astronomi og mekanik. Blandt andet beskrives en stereografisk projektion , flere praktiske problemer undersøges, for eksempel: at bestemme højden og azimut af et himmellegeme ud fra dets deklination og timevinkel . Fra et trigonometrisk synspunkt betyder det, at du skal finde siden af en sfærisk trekant givet de to andre sider og den modsatte vinkel [28] .

Ptolemæus viede også kapitel XIII til sfærisk geometri i Almagests første bog; i modsætning til Menelaos fremlagde Ptolemæus ikke beviser for mange af udsagnene, men han var meget opmærksom på algoritmer, der egner sig til praktiske beregninger i astronomi. Den understøttende struktur, i stedet for flade akkorder, i Almagest er den "firsidede Menelaos". For at "løse" en retvinklet sfærisk trekant, det vil sige for at beregne dens karakteristika, citerede Ptolemæus 4 sætninger i verbal notation; i moderne notation har de formen ( ret vinkel ) [29] : $C$

\sin a=\sin c\cdot \sin A

(et specialtilfælde af den sfæriske sinussætning )

\operatørnavn {tg} a=\sin b\cdot \operatørnavn {tg} A

\cos c=\cos a\cdot \cos b

(et specialtilfælde af den sfæriske cosinussætning )

\operatørnavn {tg} b=\operatørnavn {tg} c\cdot \cos A

Lad os forklare, at i sfærisk geometri er det sædvanligt at måle siderne af en trekant ikke i lineære enheder, men med værdien af de centrale vinkler baseret på dem . I moderne sfærisk trigonometri er der givet yderligere to forhold:

\cos A=\cos a\cdot \sin B

(følger også af den sfæriske cosinussætning)

\cos c=\operatørnavn {ctg} A\cdot \operatørnavn {ctg} B

Ptolemæus har dem ikke, da de ikke kan udledes af Menelaos' teorem [29] .

Middelalder

Indien

I det IV århundrede, efter tilbagegangen af den antikke videnskab, flyttede centrum for udvikling af matematik til Indien. Indiske matematikeres ( siddhantas ) skrifter viser, at deres forfattere var godt bekendt med græske astronomers og geometres værker [30] . Indianerne var lidt interesserede i ren geometri, men deres bidrag til anvendt astronomi og de beregningsmæssige aspekter af trigonometri er meget betydningsfuldt.

Først og fremmest ændrede indianerne nogle af begreberne trigonometri og bragte dem tættere på moderne. De erstattede gamle akkorder med sinus (navnet "sinus" går tilbage til ordet "streng" på sanskrit [31] ) i en retvinklet trekant . Trigonometri blev således lagt i Indien som en generel doktrin om relationer i en trekant, selvom den indiske tilgang, i modsætning til de græske akkorder, kun var begrænset til funktionerne i en spids vinkel [32] .

Indianerne definerede sinus noget anderledes end i moderne matematik (se figuren til højre): sinus blev forstået som længden af segmentet AD, baseret på buen AC af en cirkel med radius R = 3438 enheder (som i Hipparchus ). Vinklens "indiske sinus" er således 3438 gange større end den moderne sinus og havde dimensionen længde [31] . Der var undtagelser fra denne regel; for eksempel antog Brahmagupta af uklare årsager en radius på 3270 enheder [33] .

Indianerne var de første til at introducere brugen af cosinus . Den såkaldte inverterede sinus, eller sinus-versus , blev også brugt, svarende til længden af segmentet DC i figuren til højre [34] .

Ligesom grækerne udviklede indisk trigonometri sig hovedsageligt i forbindelse med dens astronomiske anvendelser, hovedsageligt til brug i teorien om planetarisk bevægelse og til studiet af himmelsfæren. Dette indikerer et godt kendskab til den sfæriske trigonometri af "Almagest" og "Analemma", men der blev ikke fundet et eneste værk, der udviklede teorien om denne sektion af trigonometri [35] . Ikke desto mindre har indianerne opnået stor succes i udviklingen af anvendte algoritmer til løsning af astronomiske problemer [30] . For eksempel er der i "Pancha-siddhantika" af Varahamihira (7. århundrede) givet en original løsning på det astronomiske problem beskrevet af Ptolemæus: at finde Solens højde over horisonten, hvis områdets breddegrad , deklinationen af Solen og dens timevinkel er kendt . Forfatteren bruger en analog af cosinussætningen [36] til løsningen , han var den første til at give en formel for sinus af en halv vinkel [37] .

En række trigonometriske tabeller blev udarbejdet til astronomiske beregninger. De første (fire-cifrede) tabeller over sines er givet i den gamle "Surya-siddhanta" og i Aryabhata ("Aryabhatiya", V århundrede). Tabellerne i Aryabhata indeholder 24 værdier af sinus og sinus-versus med et interval på 3 ° 45' (halvt trin af tabellerne af Hipparchus).

Et vigtigt bidrag til udviklingen af trigonometri blev ydet af Brahmagupta (VII århundrede), som opdagede interpolationsformlen , som gjorde det muligt for ham at opnå værdierne af sinus baseret på et lille antal kendte værdier af denne funktion [38 ] . Derudover kendte indianerne formlerne for flere vinkler , for . I Surya-siddhanta og i Brahmaguptas værker, når man løser problemer, bruges den sfæriske version af sinussætningen faktisk , men den generelle formulering af denne sætning er ikke optrådt i Indien [39] . Historikere har i indiske skrifter fundet en implicit brug af tangenter , men vigtigheden af dette koncept blev først indset senere, af matematikere i islamiske lande [30] . $\sin n\varphi$ $\cos n\varphi$ $n=2,3,4,5$

I værker af en anden fremtrædende videnskabsmand, Bhaskara II (XII århundrede), er der givet formler for sinus og cosinus af summen og forskellen af vinkler:

\sin(\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta ,

samt formlen for en lille stigning af sinus:

\sin \alpha -\sin \beta \ca. (\alpha -\beta )\cos \beta

(at ), svarende til det moderne udtryk for sinusdifferensen. Baseret på formlen for summens sinus publicerede Bhaskara mere nøjagtige og detaljerede trigonometriske tabeller med et trin på 1° end dem for Aryabhata [40] . $\alfa \ca. \beta$

I det 11. århundrede tog muslimerne ( Mahmud af Ghaznevi ) over og hærgede det nordlige Indien. Kulturcentre flyttede til Sydindien, hvor den såkaldte " Kerala School of Astronomy and Mathematics " (efter navnet på den moderne stat Kerala i det sydlige Indien) blev dannet [41] . I XV-XVI århundreder opnåede matematikere i Kerala i løbet af astronomisk forskning stor succes inden for summering af uendelige talserier, herunder for trigonometriske funktioner [39] . Den anonyme afhandling "Karanapaddhati" ("Beregningsteknik") giver reglerne for at udvide sinus og cosinus til uendelige potensrækker [42] , der sandsynligvis går tilbage til grundlæggeren af denne skole, astronomen Madhava fra Sangamagrama (1. halvdel af det 15. århundrede) [43] . Madhava og hans tilhænger Nilakanta (i afhandlingen " Tantpasanrpaha ") giver også reglerne for at udvide buetangensen til en uendelig potensrække. I Europa blev lignende resultater kun nået i det 17.-18. århundrede. Serien for sinus og cosinus blev således udledt af Isaac Newton omkring 1666, og buetangensrækken blev fundet af J. Gregory i 1671 og G. W. Leibniz i 1673 [44] .

Islamiske lande

I det 8. århundrede stiftede videnskabsmænd fra landene i Nær- og Mellemøsten bekendtskab med værker af antikke græske og indiske matematikere og astronomer. De blev oversat til arabisk af så fremtrædende videnskabsmænd fra det 8. århundrede som Ibrahim Al-Fazari og Yakub ibn Tariq . Så begyndte de og deres tilhængere aktivt at kommentere og udvikle disse teorier. Den understøttende struktur for islamiske videnskabsmænd, såvel som indianere, var en sinus i en trekant, eller hvad der er det samme, en halv-akkord i en cirkel [35] .

Deres astronomiske afhandlinger, der ligner de indiske Siddhantas, blev kaldt " zijis "; en typisk zij var en samling af astronomiske og trigonometriske tabeller, forsynet med en guide til deres brug og (ikke altid) et resumé af den generelle teori [45] . Sammenligning af zijs fra perioden i det 8.-13. århundrede viser den hurtige udvikling af trigonometrisk viden. Sfærisk trigonometri, hvis metoder blev brugt til at løse problemer med astronomi og geodæsi [46] , var genstand for særlig opmærksomhed fra videnskabsmænd fra islams lande . Blandt de vigtigste problemer, der skulle løses, var følgende [47] [45] .

- Præcis bestemmelse af tidspunktet på dagen. - Beregning af den fremtidige placering af himmellegemerne, øjeblikke af deres solopgang og solnedgang, sol- og måneformørkelser . — Find de geografiske koordinater for den aktuelle placering. - Beregning af afstanden mellem byer med kendte geografiske koordinater . - Bestemmelse af retningen til Mekka ( qibla ) fra et givet sted.

De tidligste overlevende værker tilhører al-Khwarizmi og al-Marvazi (IX århundrede), som sammen med sinus og cosinus kendt af indianerne overvejede nye trigonometriske funktioner: tangent , cotangens , secant og cosecant [34] . I starten blev disse funktioner defineret anderledes end i moderne matematik. Således blev cotangensen forstået som længden af skyggen fra en lodret gnomon med en højde på 12 (nogle gange 7) enheder; oprindeligt blev disse begreber brugt til at beregne solur . Tangenten var skyggen fra den vandrette gnomon. Kosekanten og sekanten var hypotenuserne af de tilsvarende retvinklede trekanter (segmenter AO i figuren til højre) [48] . Først i det 10. århundrede introducerede filosoffen og matematikeren al-Farabi i sine kommentarer til Almagest definitioner af disse fire funktioner uafhængigt af gnomonics, idet han definerede dem gennem sinus og cosinus i den trigonometriske cirkel af den ptolemæiske radius (60 enheder) . De grundlæggende sammenhænge mellem alle seks funktioner blev bragt af al-Battani i samme århundrede. Den endelige forening blev opnået af Abu-l-Vafa i anden halvdel af det 10. århundrede, som for første gang brugte en cirkel med enhedsradius til at bestemme trigonometriske funktioner, som man gør i moderne matematik.

Thabit ibn Qurra (9. århundrede) og al-Battani (10. århundrede) var de første til at opdage den grundlæggende sinussætning for det særlige tilfælde af en retvinklet sfærisk trekant . For en vilkårlig sfærisk trekant blev beviset fundet (på forskellige måder og sandsynligvis uafhængigt af hinanden) af Abu-l-Vafa, al-Khujandi og ibn Irak i slutningen af det 10. århundrede [11] . I en anden afhandling formulerede og beviste ibn Irak sinussætningen for en flad trekant [49] .

Den sfæriske cosinussætning blev ikke generelt formuleret i islams lande, men i værker af Sabit ibn Kurra, al-Battani og andre astronomer er der udsagn svarende til det. Det er sandsynligvis grunden til , at Regiomontanus , som først gav en generel formulering af dette vigtige forhold (XV århundrede), kaldte det "Albategnius-sætningen" (som al-Battani dengang blev kaldt i Europa) [50] .

Ibn Yunis (X århundrede) opdagede transformationen af produktet af trigonometriske funktioner til en sum [51] , for eksempel:

\sin \alpha \sin \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{2)),

Transformationsformler gjorde det muligt at erstatte tidskrævende multiplikation med enklere addition eller subtraktion. Efterfølgende, i Europa, blev de samme formler brugt til det modsatte formål - at erstatte addition og subtraktion med multiplikation, for derefter at anvende logaritmiske tabeller til at beregne resultatet [52] .

En af videnskabens vigtigste opgaver på det tidspunkt var udarbejdelsen af trigonometriske tabeller med det mindst mulige trin. I det 9. århundrede kompilerede al-Khwarizmi tabeller over sines med et trin på 1°, hans samtidige Khabbash al-Khasib (al-Marwazi) tilføjede de første tabeller med tangenter, cotangenter og cosecanter (med samme trin) [34 ] . I begyndelsen af det 10. århundrede udgav al-Battani tabeller med et trin på 30'; i slutningen af samme århundrede kompilerede Ibn Yunis tabeller med et trin på 1' [53] . Ved kompilering af tabellerne var nøglen beregningen af værdien . Dygtige metoder til at beregne denne værdi blev opfundet af Ibn Yunis, Abu-l-Wafa , al-Biruni . Den største succes blev opnået i det 15. århundrede af al-Kashi ; i en af sine papirer beregnede han det (alle tegn er korrekte). I de "astronomiske tabeller" fra Ulugbeks Samarkand-observatorium , der blev udarbejdet med hans deltagelse, blev tabellerne over sinus beregnet med seks seksagesimale cifre [54] , med et trin på 1'. Sultan Ulugbek deltog personligt i dette arbejde: han skrev en særlig afhandling om beregning af sinus af en vinkel på 1°. $\sin 1^{\cirkel }$ $\sin 1^{\circ}\approx 0{,}017452406437283571$

Den første specialiserede afhandling om trigonometri var arbejdet af den centralasiatiske videnskabsmand al-Biruni (X-XI århundrede) "The Book of the Keys of the Science of Astronomy" (995-996). Et helt forløb med trigonometri indeholdt al-Birunis hovedværk, The Canon of Mas'ud (Bog III). Ud over sinustabellerne (med et trin på 15') gav Al-Biruni tabeller med tangenter (med et trin på 1°). Ideologisk ligger Birunis værker tæt på Ptolemæus - i akkordsproget formulerer han sætninger om sinus for en dobbelt og en halv vinkel, sinus for summen og vinkelforskellen [55] . Blandt applikationerne viser Al-Birunis bog konstruktionen af en regulær indskrevet nonagon og en omtrentlig beregning af længden af dens side; han bruger denne algoritme til at finde . I et andet værk, Geodesy, rapporterede Biruni resultaterne af sine egne målinger af længden af jordens meridian , hvorfra et estimat af Jordens radius tæt på den sande følger (i forhold til det metriske system modtog Biruni 6340 km) [56 ] . $\sin 1^{\cirkel }$

Den grundlæggende præsentation af trigonometri som en uafhængig videnskab (både flad og sfærisk) blev givet af den persiske matematiker og astronom Nasir ad-Din at-Tusi i 1260 [57] . Hans "Afhandling om den komplette firkant" indeholder praktiske metoder til at løse typiske problemer, inklusive de sværeste, løst af at-Tusi selv - for eksempel at bygge siderne af en sfærisk trekant i givne tre vinkler [58] . Tangentsætningen for sfæriske trekanter er givet, det vigtige begreb om den polære trekant (først brugt i det 11. århundrede af Ibn Irak og al-Jayani ) er beskrevet. At-Tusis arbejde blev almindeligt kendt i Europa og påvirkede i høj grad udviklingen af trigonometri.

I slutningen af det 13. århundrede blev de grundlæggende teoremer, der udgør indholdet af trigonometri, opdaget:

- Udtryk af enhver trigonometrisk funktion gennem enhver anden. — Formler for sinus og cosinus af multiple og halve vinkler, samt for summen og forskellen af vinkler. — Sætninger om sinus og cosinus. — Løsning af flade og sfæriske trekanter

På grund af manglen på algebraisk symbolik blev alle ovenstående sætninger udtrykt i besværlig verbal form, men i det væsentlige svarede de fuldstændig til deres moderne forståelse.

Europa

Efter at de arabiske afhandlinger blev oversat til latin i det tolvte og trettende århundrede, blev mange ideer fra indiske og persiske matematikere europæisk videnskabs ejendom. Tilsyneladende fandt europæernes første bekendtskab med trigonometri sted takket være zij al-Khwarizmi , hvoraf to oversættelser blev lavet i det 12. århundrede. Oprindeligt blev oplysninger om trigonometri (regler for dens brug, tabeller over nogle trigonometriske funktioner) givet i skrifter om astronomi, men i Fibonaccis værk "The Practice of Geometry", skrevet omkring 1220, beskrives trigonometri som en del af geometrien. Det første europæiske værk, der udelukkende er helliget trigonometri, kaldes ofte Four Treatises on Direct and Reversed Chords af den engelske astronom Richard of Wallingford (ca. 1320). Bogen indeholder et bevis på en række trigonometriske identiteter og en original metode til beregning af sinus. Omkring de samme år blev den jødiske matematiker Levi ben Gershoms (Gersonides) afhandling "Om sinus, akkorder og buer" skrevet, oversat til latin i 1342 [59] . Bogen indeholder et bevis på sinussætningen og femcifrede tabeller over sinus [60] . Trigonometri er berørt i The Theoretical Geometry af den engelske matematiker Thomas Bradwardine (skrevet i første halvdel af det 14. århundrede, udgivet i 1495). Trigonometriske tabeller, ofte oversat fra arabisk, men nogle gange originale, er indeholdt i værker af en række andre forfattere fra det 14.-15. århundrede. Derefter indtog trigonometri sin plads blandt universitetets kurser.

En stor bedrift var Regiomontanus 'monografi Five Books on Triangles of All Kinds (udgivet 1462-1464), som opsummerede al den viden, der var kendt på det tidspunkt om plan og sfærisk trigonometri og vedhæftede syvcifrede tabeller over sinus (i trin på 1 ') og tangenter (med et trin på 1°). Det er også vigtigt, at i Regiomontanus tabeller, i strid med den astronomiske tradition, blev decimalsystemet brugt for første gang (og ikke det arkaiske sexagesimal ). Regiomontanus tog radius af den trigonometriske cirkel lig med , således at tabelværdierne blev repræsenteret ved heltal (decimalbrøker kom i brug noget senere, og det var trigonometriske beregninger, der blev et stærkt incitament til deres brug [61] ). $10^{7}$

Sammenlignet med afhandlingen om at-Tusi er Regiomontanus' arbejde meget mere komplet, det indeholder en række nye problemer løst ved originale metoder. For eksempel viser den, hvordan man konstruerer en trekant, hvis en af dens sider, længden af højden sænket til den og den modsatte vinkel er kendt [62] .

Ny tid

16.-17. århundrede

Udviklingen af trigonometri i moderne tid blev ekstremt vigtig, ikke kun for astronomi og astrologi, men også for andre anvendelser, især artilleri , optik og langdistance-søfartsnavigation . Derfor, efter det 16. århundrede, beskæftigede mange fremtrædende videnskabsmænd dette emne, herunder Nicolaus Copernicus , Johannes Kepler , Francois Viet [63] . Copernicus viede to kapitler til trigonometri i sin afhandling om himmelsfærernes omdrejninger (1543). Snart (1551) dukkede 15-cifrede trigonometriske tabeller af Rheticus , en elev af Copernicus, med et trin på 10 " [64] . Kepler udgav værket "The Optical Part of Astronomy" (1604).

Behovet for komplekse trigonometriske beregninger forårsagede opdagelsen af logaritmer i begyndelsen af det 17. århundrede , og John Napiers første logaritmiske tabeller indeholdt kun logaritmerne af trigonometriske funktioner. Blandt Napiers andre opdagelser er en effektiv algoritme til løsning af sfæriske trekanter , kaldet " Napers analogiformler " [65] .

Udtrykket "trigonometri" som navnet på en matematisk disciplin blev introduceret af den tyske matematiker B. Pitiscus , som i 1595 udgav bogen "Trigonometri, eller en kort og klar afhandling om at løse trekanter " ( lat. Trigonometria: sive de solutione triangulorum tractatus brevis et perspicuus ). I slutningen af det 17. århundrede dukkede moderne navne for trigonometriske funktioner op. Udtrykket "sinus" blev første gang brugt omkring 1145 af den engelske matematiker og arabist Robert af Chester [31] . Regiomontanus kaldte i sin bog cosinus for "komplementets sinus" ( lat. sinus complementi ), da ; hans tilhængere i det 17. århundrede forkortede denne betegnelse til co-sinus (Edmund Gunther) [63] og senere til cos ( William Oughtred ). Navnene på tangent og sekant blev foreslået i 1583 af den danske matematiker Thomas Fincke [63] , og Edmund Gunter, nævnt ovenfor, introducerede navnene cotangens og cosecant . Udtrykket "trigonometriske funktioner" blev først brugt i hans Analytical Trigonometry (1770) af Georg Simon Klugel [66] . $\cos x=\sin(90^{\circ }-x)$

Thomas Fincke foreslog en original løsning på det geodætiske problem: find vinklerne på en trekant, hvis deres sum og forholdet mellem modstående sider er kendt . For at løse Fincke brugte Regiomontan-formlen (se figur) [67] : $\alfa +\beta$ $a:b$

{\frac {a+b}{ab))={\frac {\operatørnavn {tg} {\frac {\alpha +\beta}{2))}{\operatørnavn {tg} {\frac {\alpha - \beta }{2}}}}

Vieta anbragte i første del af sin "Matematisk kanon" (1579) forskellige tabeller, herunder trigonometriske, og i anden del gav han en detaljeret og systematisk, dog uden bevis, præsentation af plan og sfærisk trigonometri. I 1593 udarbejdede Vieta en udvidet udgave af dette hovedværk. "Der er ingen tvivl om, at hans interesse for algebra oprindeligt skyldtes muligheden for anvendelser til trigonometri og astronomi" [68] . En anden vigtig fordel ved Vieta var brugen i trigonometri af den generelle algebraiske symbolik udviklet af ham; hvis løsningen af problemet tidligere blev forstået som en geometrisk konstruktion, så begyndende fra Vietas værker, begynder prioritet at skifte til algebraiske beregninger [69] . Symbolismens udseende gjorde det muligt at skrive trigonometriske identiteter i en kompakt og generel form, for eksempel formler for flere vinkler [70] :

\cos m\alpha =\cos ^{m}\alpha -{\frac {m(m-1)}{1\cdot 2}}\cos ^{m-2}\alpha \cdot \sin ^{2 }\alpha +\prikker

\sin m\alpha =m\cos ^{m-1}\alpha \cdot \sin \alpha -{\frac {m(m-1)(m-2)}{1\cdot 2\cdot 3)) \cos ^{m-3}\alpha \cdot \sin ^{3}\alpha +\dots

Det skal bemærkes, at Viet selv har givet disse formler delvist i en verbal beskrivelse, men samtidig påpegede han tydeligt sammenhængen mellem koefficienterne for formlerne og de binomiale koefficienter og gav en tabel over deres værdier for små værdier [68] . $m$

Blandt andre resultater af Vieta [71] : i værket "Supplement to Geometry" angav Vieta en trigonometrisk metode til at løse en kubisk ligning for det sværeste tilfælde på det tidspunkt - irreducible - case (standardformlen kræver evnen til at arbejde med rødder fra komplekse tal ). Viet gav det første uendelige værk nogensinde:

{\frac {2}{\pi }}=\cos {\frac {90^{\circ }}{2}}\cdot \cos {\frac {90^{\circ }}{4}}\cdot \cos {\frac {90^{\circ }}{8}}\dots

Ud over artilleri og navigation udviklede trigonometri sig også hurtigt i sådanne klassiske områder af dens anvendelse som geodæsi . Den udbredte brug af tangenter blev især forklaret med enkelheden ved at måle højden af et bjerg eller en bygning med deres hjælp (se figur):

h={\frac {\operatørnavn {tg} \alpha \ \operatørnavn {tg} \beta }{\operatørnavn {tg} \beta -\operatørnavn {tg} \alpha }}\,l

I 1615 fandt Snellius en løsning på "Snellius-Potenot-problemet" : find et punkt, hvorfra siderne af en given (flad) trekant er synlige i givne vinkler. Han opdagede loven om lysets brydning : For et givet begyndelses- og brydningsmedium er forholdet mellem sinus for indfaldsvinklen og brydningsvinklen konstant. Snell åbnede således vejen for nye anvendelser af trigonometriske funktioner i optik, og opfindelsen af de første teleskoper i samme år gjorde denne opdagelse af særlig betydning.

Den første graf af en sinusform optrådte i Albrecht Dürers bog "Guide to måling med kompas og lineal" ( tysk: Underweysung der Messung mit dem Zirkel und Richtscheyt , 1525) [72] . I 1630'erne tegnede Gilles Roberval , i løbet af sine studier af cykloiden , selvstændigt en sinusoide [73] , han udgav også formlen for tangenten af en dobbelt vinkel [52] . John Wallis var i sin Mechanics (1670) forud for sin tid ved korrekt at angive fortegnene for sinus i alle kvadranter og indikere, at en sinusoid har uendeligt mange "drejninger". Tangentplottet for den første kvadrant blev først tegnet af James Gregory (1668) [74] .

I anden halvdel af det 17. århundrede begyndte den hurtige udvikling af den generelle teori om kvadraturer (det vil sige beregningen af området) og kulminerede med udseendet af matematisk analyse i slutningen af århundredet . For trigonometriske funktioner blev vigtige resultater i begyndelsen af denne periode opnået af Blaise Pascal (publiceret i hans bog Letters from A. Dettonville om nogle af hans geometriske opdagelser, 1659). I moderne terminologi beregnede Pascal integraler af de naturlige styrker af sinus og cosinus og nogle relaterede [75] og bemærkede også, at . Arbejde inden for trigonometri blev udført af sådanne store matematikere i det 17. århundrede som Otred , Huygens , Ozanam , Wallis . En mærkbar proces i anden halvdel af det 17. århundrede var den gradvise algebraisering af trigonometri, forbedring og forenkling af dens symbolik (selvom symbolikken før Euler stadig var meget mere besværlig end moderne) [76] . $d(\sin x)=\cos x\ dx$

1700-tallet

Efter opdagelsen af matematisk analyse opnåede først James Gregory og derefter Isaac Newton udvidelsen af trigonometriske funktioner (såvel som deres invers ) til uendelige rækker . Newton viet 10 problemer til problemerne med geometri og trigonometri i sin bog " Universal Arithmetic " [77] . For eksempel, i opgave X, er det nødvendigt at "løse en trekant" , hvis en af dens sider, den modsatte vinkel og summen af de to andre sider er kendt. Løsningsmetoden foreslået af Newton er en af Mollweides formler [78] .

Leibniz beviste strengt, at det generelt ikke kan udtrykkes algebraisk i form af , det vil sige i moderne terminologi er trigonometriske funktioner transcendentale [79] . $\sin x$ $x$

Vigtige opdagelser i begyndelsen af det 18. århundrede var:

— Opdagelse og udbredt brug af radianmålet for vinkler [80] ( Roger Cotes , 1714). Selve udtrykket "radian" dukkede op senere, det blev foreslået i 1873 af den engelske ingeniør James Thomson [81] . — Trigonometrisk repræsentation af et komplekst tal og De Moivres formel .

(\cos \varphi +i\sin \varphi )^{n}=\cos n\varphi +i\sin n\varphi \

- Begyndelsen af brugen ( Newton og Gregory ) af det polære koordinatsystem forbundet med kartesiske trigonometriske relationer; Euler (1748) [82] introducerede disse koordinater til almindelig brug .

I 1706 offentliggjorde den schweiziske matematiker Jakob Hermann formler for tangens af en sum og tangens af flere vinkler, og Johann Lambert fandt i 1765 yderst brugbare formler, der udtrykker forskellige trigonometriske funktioner i form af tangens af en halv vinkel [83] . Ved at undersøge hyperbolske funktioner (1761) viste Lambert, at deres egenskaber ligner dem for trigonometriske; årsagen til dette blev opdaget tilbage i 1707 af De Moivre : når det virkelige argument erstattes af en imaginær cirkel, går det over i en hyperbel , og trigonometriske funktioner til de tilsvarende hyperbolske [84] .

Den tyske matematiker Friedrich Wilhelm von Oppeli sin bog Analysis of Triangles (1746) udgav begge Mollweides formler i moderne notation [85] .

I bogen "Polygonometry" (1789) generaliserede Simon Lhuillier trigonometriske relationer for trekanter og gav deres analoger til vilkårlige polygoner, herunder rumlige. I værker om dette emne citerede Luillier polygonometriens grundlæggende sætning : arealet af strandfladen af et polyhedron er lig med summen af produkterne af områderne af de resterende flader og cosinus af vinklerne, de danner med det første ansigt . Han overvejede metoder til at "løse polygoner" med sider til forskellige problemdefinitioner: givet en side og en vinkel, eller alle vinkler og sider, eller alle sider og en vinkel [86] . $n$ $n-1$ $n-2$ $n-2$ $n-3$

I 1798 beviste Legendre , at hvis dimensionerne af en sfærisk trekant er små sammenlignet med kuglens radius, så kan formlerne for plan trigonometri anvendes, når man løser trigonometriske problemer, ved at trække en tredjedel af det sfæriske overskud fra hver vinkel [87 ] .

Måden at betegne omvendte trigonometriske funktioner med præfikset bue (fra latin arcus - bue) dukkede op hos den østrigske matematiker Karl Scherfer ( Karl Scherffer , 1716-1783) og blev fikset takket være Lagrange . Det var meningen, at den sædvanlige sinus for eksempel giver dig mulighed for at finde akkorden ved at spænde den langs en cirkelbue, og den omvendte funktion løser det modsatte problem. Indtil slutningen af det 19. århundrede tilbød de engelske og tyske matematiske skoler andre notationer: , men de slog ikke rod [88] . $\sin ^{-1},{\frac {1}{\sin ))$

Leonhard Eulers reformer

Den moderne form for trigonometri blev givet af Leonhard Euler . I sin afhandling Introduction to the Analysis of Infinites (1748) gav Euler en definition af trigonometriske funktioner svarende til den moderne [77] og definerede inverse funktioner i overensstemmelse hermed . Hvis hans forgængere forstod sinus og andre begreber geometrisk, det vil sige som linjer i en cirkel eller trekant, begyndte de efter Eulers arbejde osv. at blive betragtet som dimensionsløse analytiske funktioner af en reel og kompleks variabel. For det komplekse tilfælde etablerede han en forbindelse mellem trigonometriske funktioner og eksponentialfunktionen ( Eulers formel ). Eulers tilgang er siden blevet almindeligt accepteret og kom ind i lærebøgerne. $\sin x,~\cos x,~\operatørnavn {tg} x$

Euler betragtede negative vinkler og vinkler større end 360° som tilladte, hvilket gjorde det muligt at bestemme trigonometriske funktioner på hele den reelle tallinje , og derefter udvide dem til det komplekse plan . Når spørgsmålet opstod om at udvide trigonometriske funktioner til stumpe vinkler, blev fortegnene for disse funktioner før Euler ofte valgt forkert; mange matematikere anså for eksempel cosinus og tangens for en stump vinkel for at være positive [73] . Euler bestemte disse tegn for vinkler i forskellige koordinatkvadranter baseret på reduktionsformler [89] .

Euler introducerede først udvidelsen af trigonometriske funktioner til uendelige produkter (1734), hvorfra han udledte serier for deres logaritmer [90] .

I andre værker, især The Foundations of Spherical Trigonometry Deduced from the Method of Maxima and Minima (1753) og General Spherical Trigonometry Concisely and Clearly Deduced from First Foundations (1779), gav Euler den første komplette systematiske udlægning af sfærisk trigonometri på en analytisk på grundlag af [91] , og mange større resultater skyldes Euler selv.

I midten af 1700-tallet blussede "striden om snoren" [92] , som var den vigtigste i sine konsekvenser, op . Euler foreslog i en polemik med d'Alembert en mere generel definition af en funktion end tidligere accepteret; især kan funktionen gives af en trigonometrisk række . I sine skrifter brugte Euler adskillige repræsentationer af algebraiske funktioner som en række multiple argumenter for trigonometriske funktioner, for eksempel [93] :

{\frac {\pi -x}{2}}=\sin x+{\frac {\sin 2x}{2}}+{\frac {\sin 3x}{3}}\dots

Euler studerede ikke den generelle teori om trigonometriske serier og undersøgte ikke konvergensen af de opnåede serier, men han opnåede flere vigtige resultater. Især udledte han udvidelser af heltalspotenser af sinus og cosinus [93] .

Trigonometri i Rusland

I Rusland blev den første information om trigonometri offentliggjort i samlingen "Tabeller over logaritmer, sinus og tangenter til studiet af kloge ildsjæle", udgivet med deltagelse af L. F. Magnitsky i 1703 [94] . I 1714 udkom den informative manual "Geometry of Practice", den første russiske lærebog om trigonometri, der fokuserede på anvendte problemer med artilleri, navigation og geodæsi [95] . Den grundlæggende lærebog af akademiker M. E. Golovin (en elev af Euler) "Plan og sfærisk trigonometri med algebraiske beviser" (1789) kan betragtes som afslutningen af perioden med at mestre trigonometrisk viden i Rusland .

I slutningen af det 18. århundrede opstod en autoritativ trigonometrisk skole i Sankt Petersborg ( A. I. Leksel , N. I. Fuss , F. I. Schubert ), som ydede et stort bidrag til plan og sfærisk trigonometri [66] .

XIX-XXI århundreder

I begyndelsen af det 19. århundrede tilføjede N. I. Lobachevsky et tredje afsnit til plan og sfærisk trigonometri - hyperbolsk (for Lobachevsky-geometri blev det første værk på dette område udgivet af F. A. Taurinus i 1826). Lobachevsky viste, at formlerne for sfærisk trigonometri bliver til formler for hyperbolsk trigonometri, når længderne af siderne i en trekant a, b, c erstattes af imaginære størrelser: ai, bi, ci - eller tilsvarende, når de trigonometriske funktioner erstattes ved de tilsvarende hyperbolske [96] .

I det 19.-20. århundrede udviklede teorien om trigonometriske serier og relaterede områder af matematik sig hurtigt : harmonisk analyse , teorien om tilfældige processer , kodning af lyd- og videoinformation og andre. Selv Daniel Bernoulli udtrykte troen på, at enhver (kontinuerlig) funktion på et givet interval kan repræsenteres af en trigonometrisk række [97] . Diskussionerne fortsatte indtil 1807, hvor Fourier udgav en teori om repræsentation af vilkårlige stykkevise analytiske funktioner ved hjælp af trigonometriske serier (den endelige version er indeholdt i hans Analytical Theory of Heat, 1822) [92] . Sådan udvider du en funktion til en serie: $f(x)$

f(x)=a_{0}+\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos {nx}+b_{n}\sin {nx}).

Fourier gav integralformler til beregning af koefficienterne [92] :

a_{n}={\frac {1}{\pi }}\displaystyle \int \limits _{0}^{2\pi }\!f(x)\cos {nx}\,dx\quad (n =0,1,2,\dots );\quad b_{n}={\frac {1}{\pi }}\displaystyle \int \limits _{0}^{2\pi }\!f(x )\sin {nx}\,dx\quad (n=1,2,3,\dots)

Fouriers fremstilling var ikke streng i moderne forstand, men indeholdt allerede en undersøgelse af konvergensen af de fleste af de serier, han opnåede. For funktioner givet på hele tallinjen og ikke er periodiske, foreslog Fourier en udvidelse til et Fourier-integral .

Fourier-analysemetodernes alsidighed og effektivitet har gjort et stort indtryk på den videnskabelige verden. Hvis tidligere trigonometriske serier blev brugt i matematisk fysik hovedsageligt til at studere periodiske processer (strengsvingninger, himmelmekanik , pendulbevægelse osv.), så blev i Fouriers arbejdsprocesser af en helt anden art (varmeoverførsel) studeret, og trigonometriske serier hjalp med at opnå værdifulde praktiske resultater. Siden da er trigonometriske serier og integraler blevet et stærkt værktøj til at analysere forskellige funktioner. Fouriers resultater blev videreført og uddybet af Poisson og Cauchy , spørgsmålet om seriekonvergens blev undersøgt i detaljer af Dirichlet og andre matematikere [98] . Riemann undersøgte i sin afhandling vilkårlige trigonometriske serier, der ikke nødvendigvis var forbundet med udvidelsen af nogen funktion (1853), formulerede "lokaliseringsprincippet" for dem. Spørgsmålet om repræsentativiteten af en vilkårlig målbar og finit næsten overalt funktion af en trigonometrisk række (som ikke nødvendigvis falder sammen med dens Fourier-række) blev løst i 1941 af Men'shovs sætning .

Ved at udforske sætene af entalspunkter for trigonometriske serier udviklede Georg Cantor den grundlæggende mængdeteori for al matematik [99] . Teorien om trigonometriske serier havde en enorm indflydelse på udviklingen af kompleks analyse , matematisk fysik , elektronik og mange andre grene af videnskaben [92] . Funktionsteorien for en reel variabel , måleteorien og Lebesgue-integralet dukkede op og videreudviklet i tæt forbindelse med teorien om trigonometriske serier [92] [100] . Tilnærmelsen af funktioner ved finite trigonometriske polynomier [101] (også brugt til interpolation ) har vigtige praktiske anvendelser .

Historikere af trigonometri

I det 18.-19. århundrede var der i værker om matematikkens og astronomiens historie stor opmærksomhed på trigonometriens historie ( J. E. Montucla , J.B.J. Delambre , G. Hankel , P. Tannery og andre). I 1900, den tyske matematikhistoriker Anton von Braunmühludgav den første monografi i to bind, specifikt viet til trigonometriens historie [102] . I det 20. århundrede blev større værker om dette emne udgivet af I. G. Zeiten , M. B. Kantor , O. Neugebauer , B. A. Rosenfeld , G. P. Matvievskaya og andre.

Se også

Noter

↑ 1 2 3 4 Vygodsky M. Ya. Håndbog i elementær matematik. - M . : Nauka, 1978. - S. 266-268.
↑ Paine, Thomas. Fornuftens tidsalder . - Dover Publications, 2004. - S. 52.
↑ Eli Major. Trigonometriske lækkerier . - Princeton University Press, 1998. - S. 20 . — ISBN 0-691-09541-8 .
↑ Glazer G.I., 1982 , s. 95.
↑ van der Waerden, Bartel Leendert. Geometri og algebra i antikke civilisationer . - Springer, 1983. - ISBN 3-540-12159-5 .
↑ Van der Waerden, 1959 , s. 13, fodnote.
↑ Zverkina G. A. Matematikkens historie: Lærebog. - M. : MIIT, 2005. - 108 s. : “Når vi taler om egyptisk geometri, er det naturligt at nævne de “ægyptiske trekanter” - retvinklede trekanter med heltalsider, også kendt i Mesopotamien. I landmålingspraksis gjorde kendskabet til sådanne trekanter det muligt at markere rette vinkler af jordlodder ved hjælp af en snor med knuder bundet på den i lige stor afstand.
↑ 1 2 Glazer G.I., 1982 , s. 77.
↑ Zeiten G. G., 1938 , s. 124-125.
↑ Glazer G.I., 1982 , s. 94-95.
↑ 1 2 Matvievskaya G.P., 2012 , s. 92-96.
↑ Zeiten G. G., 1932 , s. 153-154.
↑ Veselovsky, 1961 , s. 38.
↑ Matvievskaya G.P., 2012 , s. femten.
↑ Boyer, Carl B. A History of Mathematics . — Anden udg. — John Wiley & Sons, Inc., 1991. — S. 158–159 . — ISBN 0-471-54397-7 .
↑ 12 Toomer , 1973 .
↑ Van der Waerden, 1988 .
↑ Sirazhdinov S. Kh., Matvievskaya G. P., 1978 , s. 77.
↑ Thurston, 1994 .
↑ Duke, 2011 .
↑ Læser om matematikkens historie, 1976 , s. 195-197.
↑ Matvievskaya G.P., 2012 , s. 25-27.
↑ Duke, 2002 .
↑ Sidoli, 2004 .
↑ 1 2 Matvievskaya G.P., 2012 , s. 27-33.
↑ 1 2 3 Matvievskaya G.P., 2012 , s. 33-36.
↑ History of Mathematics, bind I, 1970 , s. 141-142.
↑ Zeiten G. G., 1932 , s. 158-162.
↑ 1 2 Matvievskaya G.P., 2012 , s. 36-39.
↑ 1 2 3 Matvievskaya G.P., 2012 , s. 40-44.
↑ 1 2 3 Matematikkens historie i middelalderen, 1961 , s. 156-158.
↑ Glazer G.I., 1982 , s. 81-82.
↑ Scott JF, 1958 , s. halvtreds.
↑ 1 2 3 Sirazhdinov S. Kh., Matvievskaya G. P., 1978 , s. 79.
↑ 1 2 Scott JF, 1958 , s. 52.
↑ History of Mathematics, bind I, 1970 , s. 199-201.
↑ Matematikkens historie i middelalderen, 1961 , s. 157.
↑ Gupta, RC Andenordens interpolation i indisk matematik op til det femtende århundrede // Indian Journal of History of Science: tidsskrift. — Bd. 4 , nr. 1 & 2 . - S. 86-98 .
↑ 1 2 Matematikkens historie i middelalderen, 1961 , s. 160.
↑ Matematikkens historie i middelalderen, 1961 , s. 159.
↑ Bakhmutskaya E. Ya. Power-serie for sint og omkostninger i værker af indiske matematikere fra det 15.-18. århundrede // Historisk og matematisk forskning . - M. : Fizmatgiz, 1960. - Nr. 13 . - S. 325-335 .
↑ Roy, Ranjan. Discovery of the Series Formula for π af Leibniz, Gregory og Nilakantha // Math. Assoc. amer. Matematik Magasinet. - 1990. - Udgave. 63(5) . - S. 291-306 .
↑ Plofker, 2009 .
↑ History of Mathematics, bind I, 1970 , s. 203.
↑ 1 2 Matvievskaya G.P., 2012 , s. 51-55.
↑ Læser om matematikkens historie, 1976 , s. 204-205.
↑ History of Mathematics, bind I, 1970 , s. 236-238.
↑ History of Mathematics, bind I, 1970 , s. 234-235.
↑ Matvievskaya G.P., 2012 , s. 111.
↑ Matvievskaya G.P., 2012 , s. 96-98.
↑ Matvievskaya G.P., 2012 , s. 69.
↑ 1 2 Glazer G.I., 1983 , s. 60.
↑ Matvievskaya G.P., 2012 , s. 71-78.
↑ Læser om matematikkens historie, 1976 , s. 195-198,.
↑ Sirazhdinov S. Kh., Matvievskaya G. P., 1978 , s. 82.
↑ Sirazhdinov S. Kh., Matvievskaya G. P., 1978 , s. 88.
↑ Tusi Nasiruddin . En afhandling om den komplette firkant. Baku, red. AN AzSSR, 1952.
↑ Rybnikov K. A., 1960 , s. 105.
↑ Denne afhandling blev inkluderet i "Astronomien", en af de seks dele af den grundlæggende teologisk-filosofisk-videnskabelige afhandling "Herrens krige", som Gersonides arbejdede på gennem hele sit liv.
↑ Rabinovich, Nachum L. Rabbi Levi ben Gershom og oprindelsen af metoden til matematisk induktion. = Rabbi Levi ben Gershom og oprindelsen til matematisk induktion // Arkiv for nøjagtige videnskabers historie . - 1970. - V. 6. - S. 237-248.
↑ Vileitner G., 1960 , s. 14, 30-31.
↑ Zeiten G. G., 1932 , s. 223-224.
↑ 1 2 3 Glazer G.I., 1982 , s. 79, 84.
↑ History of Mathematics, bind I, 1970 , s. 320.
↑ Stepanov N. N. §42. Napiers analogiformler // Sfærisk trigonometri. - M. - L .: OGIZ , 1948. - S. 87-90. — 154 s.
↑ 1 2 Vileitner G., 1960 , s. 341-343.
↑ Zeiten G. G., 1938 , s. 126-127.
↑ 1 2 Zeiten G. G., 1938 , s. 129.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , s. 189.
↑ Rybnikov K. A., 1960 , s. 125.
↑ Zeiten G. G., 1938 , s. 130-132.
↑ Hairer E., Wanner G. Calculus i lyset af dens historie . - M . : Scientific world, 2008. - S. 42 . — 396 s. - ISBN 978-5-89176-485-9 .
↑ 1 2 Glazer G.I., 1982 , s. 86.
↑ Vileitner G., 1960 , s. 324-325.
↑ Zeiten G. G., 1938 , s. 283-288.
↑ Vileitner G., 1960 , s. 327-335.
↑ 1 2 History of Mathematics, bind III, 1972 , s. 205-209.
↑ Vileitner G., 1960 , s. 331.
↑ Zeiten G. G., 1938 , s. 419.
↑ O'Connor, JJ; Robertson, E. F. Biografi om Roger Cotes . The MacTutor History of Mathematics (februar 2005). Arkiveret fra originalen den 24. september 2012. (ubestemt)
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , s. 152.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , s. 80-81.
↑ Vileitner G., 1960 , s. 322, 329.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , s. 207.
↑ Vileitner G., 1960 , s. 334.
↑ Vileitner G., 1960 , s. 345.
↑ Stepanov N. N. Sfærisk trigonometri. - Ed. 2. - M. - L. : GITTL, 1948. - S. 139-143. — 154 s.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , s. 211.
↑ History of Mathematics, bind III, 1972 , s. 323.
↑ Vileitner G., 1960 , s. 148, 336.
↑ History of Mathematics, bind III, 1972 , s. 209-215.
↑ 1 2 3 4 5 Trigonometrisk serie // Mathematical Encyclopedia (i 5 bind) . - M . : Soviet Encyclopedia , 1982. - T. 5.
↑ 1 2 Paplauskas A. B., 1966 , s. 7, 15.
↑ Glazer G.I. Matematikkens historie i skolen. - M . : Uddannelse, 1964. - S. 287. - 376 s.
↑ Se: Yushkevich A.P. Kapitler om matematikkens historie i middelalderen. - I bogen: Naturvidenskabens historie i Rusland. M.: 1957, bind I, s. 45-48.
↑ Se artiklen af B. A. Rosenfeld i bogen: Kagan V. F. Foundations of Geometry. Bind II, s. 313-321.
↑ Paplauskas A. B., 1966 , s. 26-27.
↑ Paplauskas A. B., 1966 , kapitel IV.
↑ Dauben, Joseph W. Georg Cantor and the Birth of Transfinite Set Theory // Scientific American, russisk udgave. - 1983. - Udgave. 8 (august) . - S. 76-86 .
↑ Trigonometriske serier . Dato for adgang: 28. oktober 2012. Arkiveret fra originalen 23. november 2012. (ubestemt)
↑ Trigonometrisk polynomium // Mathematical Encyclopedia (i 5 bind) . - M . : Soviet Encyclopedia , 1982. - T. 5.
↑ Braunmühl A. Vorlesungen über die Geschichte der Trigonometrie. - Leipzig, 1900-1903.

Litteratur

Bøger

Aleksandrova N. V. Historie om matematiske termer, begreber, betegnelser: Ordbogsopslagsbog, red. 3. - Sankt Petersborg. : LKI, 2008. - 248 s. - ISBN 978-5-382-00839-4 .
Van der Waerden B.L. Awakening Science. Matematik i det gamle Egypten, Babylon og Grækenland . — M .: GIFML, 1959.
Vileitner G. Matematikkens historie fra Descartes til midten af det 19. århundrede . - M. : GIFML, 1960. - 468 s.
Glazer G.I. Matematikkens historie i skolen. VII-VIII klasser. En guide til lærere. - M . : Uddannelse, 1982. - S. 76-95. - 240 sek.
Glazer G.I. Matematikkens historie i skolen. IX-X klasser. En guide til lærere. - M . : Uddannelse, 1983. - 352 s.
Matematikkens historie, redigeret af A. P. Yushkevich i tre bind, M .: Nauka.
- Matematikkens historie. Fra oldtiden til begyndelsen af den nye tidsalder // Mathematics History / Redigeret af A.P. Yushkevich , i tre bind. - M. : Nauka, 1970. - T. I. - 351 s.
- Matematik i det 17. århundrede // Matematikkens historie / Redigeret af A.P. Yushkevich , i tre bind. - M . : Nauka, 1970. - T. II. - 300 sek.
- Matematik i det 18. århundrede // Matematikkens historie / Redigeret af A.P. Yushkevich , i tre bind. - M . : Nauka, 1972. - T. III. — 495 s.
Matvievskaya G.P. Essays om trigonometriens historie: Det antikke Grækenland. middelalderlige øst. Senmiddelalder. - Ed. 2. - M. : Librokom, 2012. - 160 s. - (Fysisk-matematisk arv: matematik (matematikkens historie)). — ISBN 978-5-397-02777-9 .
Paplauskas A. B. Trigonometrisk serie. Fra Euler til Lebesgue. — M .: Nauka, 1966. — 277 s.
Rozhanskaya M. M. Mekanik i det middelalderlige øst. - Moskva: Nauka, 1976.
Rybnikov K. A. Matematik historie i to bind. - M. : Red. Moscow State University, 1960. - T. I.
Sirazhdinov S. Kh., Matvievskaya G. P. Abu Raykhan Beruni og hans matematiske værker. Studiehjælp. - M . : Uddannelse, 1978. - 95 s. — (videnskabsfolk).
Stroik D. Ya. Kort essay om matematikkens historie, red. 3. — M .: Nauka, 1978. — 336 s.
- Stroyk D. Ya (Dirk J. Struik). En kort oversigt over matematikkens historie, red. 5. - M . : Nauka, Ch. udg. Fysisk.-Matematik. Litteratur, 1990. - 256 s. — ISBN 5-02014329-4 .
Læser om matematikkens historie. Aritmetik og algebra. Talteori. Geometri / Udg. A. P. Yushkevich . - M . : Uddannelse, 1976. - 318 s.
Zeiten GG Matematikkens historie i antikken og i middelalderen. - M. - L. : GTTI, 1932. - 230 s.
Zeiten G. G. Matematikkens historie i det 16. og 17. århundrede. - M. - L. : ONTI, 1938. - 456 s.
Yushkevich A.P. Historie om matematik i middelalderen. - M. : GIFML, 1961. - 448 s.
Plofker K. Matematik i Indien. — Princeton: Princeton University Press, 2009.
Scott JF En historie om matematik fra antikken til begyndelsen af det nittende århundrede. - London: Tailor & Francis Ltd, 1958. - 266 s.
Thurston H. Tidlig astronomi. — New York: Springer-Verlag, 1994.
Van Brummelen G. The Mathematics of the Heavens and the Earth: The Early History of Trigonometry. — Princeton University Press, 2009.

Artikler

Veselovsky I. N. Aristarchus fra Samos - Copernicus fra den antikke verden // Historiske og astronomiske studier, vol. VII. - M. , 1961. - S. 17-70 .
Matvievskaya G.P. Sfærisk og sfærisk trigonometri i antikken og i det middelalderlige øst // Udvikling af metoder til astronomisk forskning, Vol. 8. - M. - L. , 1979.
Bond JD Udviklingen af trigonometriske metoder ned til slutningen af det 15. århundrede // Isis. - 1921. - Bd. 4, nr. 2 . - S. 295-323.
Hertug D. Hipparchus' koordinatsystem // Arch. Hist. Præcis Sci. - 2002. - Bd. 56. - S. 427-433.
Duke D. The Very Early History of Trigonometry // DIO: The International Journal of Scientific History. - 2011. - Bd. 17. - S. 34-42. Arkiveret fra originalen den 26. marts 2012.
Kennedy ES Trigonometriens historie // Historiske emner for matematikklasseværelset: Enogtredive årbog. — Washington, DC: National Council of Teachers of Mathematics, 1969.
Moussa A. De trigonometriske funktioner, som de var i den arabisk-islamiske civilisation // Arabic Sciences and Philosophy. - 2010. - Bd. 20. - S. 93-104.
Sidoli N. Hipparchus og de gamle metriske metoder på sfæren // Journal of the History of Astronomy. - 2004. - Bd. 35. - S. 71-84.
Toomer G. J. Hipparchus' akkordtabel og græsk trigonometris tidlige historie // Centaurus. - 1973. - Bd. 18. - S. 6-28.
Van der Waerden BL Rekonstruktion af en græsk akkordtabel // Arch. Hist. Præcis Sci. - 1988. - Bd. 38. - S. 23-38.

Links

Fedosova M. Trigonometri . Encyclopedia Around the World. Hentet 5. juni 2012. Arkiveret fra originalen 24. september 2012. (ubestemt)
O'Connor, JJ; Robertson EF Trigonometriske funktioner . MacTutor History of Mathematics Archive (1996). Hentet 5. juni 2012. Arkiveret fra originalen 24. september 2012.
Leo Rogers. Trigonometriens historie . Hentet 19. oktober 2012. Arkiveret fra originalen 28. oktober 2012.

Matematikkens historie
Lande og epoker	forhistorisk periode Det gamle Egypten Babylon Det gamle Kina Det gamle Grækenland Indien Armenien Inkariget islamiske lande Rusland
Tematiske afsnit	Algebra Analytisk geometri Aritmetik Variationsberegning Geometri Differentialgeometri og topologi Kombinatorik Kryptografi Lineær algebra Logaritmer Matematisk analyse Ikke-euklidisk geometri Sandsynlighedsteori mængdeteori Topologi Trigonometri funktionel analyse
se også	uendelig lille Reelle tal Irrationelle tal Komplekse tal Matematisk notation Fortsat brøker Negative tal Funktioner

Trigonometri
Generel	Trigonometri oversigt Historie Brug Funktioner Baglæns Sjældent brugt Generaliseret trigonometri
Vejviser	Identiteter Præcise konstanter borde enhedscirkel
Love og teoremer	Sinus-sætning Pythagoras sætning Cosinus-sætning Tangentsætning Cotangenssætning Løsning af trekanter
Matematisk analyse	Trigonometrisk substitution Integraler ( omvendte funktioner ) Derivater