Numerisk funktion

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 17. april 2020; checks kræver 3 redigeringer .

En numerisk funktion (i matematik ) er en funktion , der virker fra et talrum (mængde) til et andet talrum (mængde) [1] . Numeriske mængder er sæt af naturlige ( ), heltal ( ), rationelle ( ), reelle ( ) og komplekse tal ( ) sammen med algebraiske operationer defineret for de tilsvarende mængder . For alle anførte numeriske sæt, undtagen komplekse tal, er den lineære ordensrelation også defineret $\mathbb {N}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ , som giver dig mulighed for at sammenligne tal efter størrelse. Numeriske mellemrum er numeriske mængder sammen med en afstandsfunktion defineret på det tilsvarende sæt.

I det mest generelle tilfælde er en numerisk funktion en funktion, der tager værdier i feltet af reelle tal og er defineret på et vilkårligt (oftest) metrisk rum . Sådan er for eksempel sættets indikator eller karakteristiske funktion . Et andet eksempel på en numerisk funktion er afstandsfunktionen (eller tilsvarende metrikken).

Numeriske funktioner givet på et sæt af reelle eller komplekse tal kaldes funktioner af henholdsvis en reel eller kompleks variabel og er genstand for overvejelser i analyse :

reelle værdier af en reel variabel tages med i beregningen ,
komplekst værdisatte funktioner af en kompleks variabel tages i betragtning i kompleks analyse .

Det vigtigste emne for overvejelser i analyse er repræsentationen af numeriske funktioner i form af et system af tilnærmelser (numeriske og funktionelle serier).

Numeriske funktioner har både generelle egenskaber, som kortlægninger af vilkårlige metriske rum kan have (for eksempel kontinuitet) og en række egenskaber, der er direkte relateret til arten af numeriske rum. Det er egenskaberne

differentiabilitet , integrerbarhed , summerbarhed , målbarhed (til vilkårlige numeriske funktioner);

og også ejendommene

paritet ( mærkelighed ), monotoni (for reelle værdier af funktioner af en reel variabel);
analyticitet , multiplicitet (for komplekst værdisatte funktioner af en kompleks variabel).

Numeriske funktioner er meget udbredt i praksis til løsning af anvendte problemer.

Egenskaber

Egenskaber knyttet til ordrerelationen

Lad derefter en funktion gives $f\colon M\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} .$

en funktion kaldes stigende med if $f$ $M$

\foral x,y\in M,\;x>y\Højrepil f(x)\geq f(y);

en funktion kaldes strengt stigende på if $f$ $M$

\foral x,y\in M,\;x>y\Højrepil f(x)>f(y);

en funktion kaldes aftagende med if $f$ $M$

\foral x,y\in M,\;x>y\Højrepil f(x)\leq f(y);

en funktion kaldes strengt faldende på if $f$ $M$

\foral x,y\in M,\;x>y\Højrepil f(x)<f(y).

En (strengt) stigende eller faldende funktion siges at være (strengt) monotonisk.

Periodicitet

En funktion kaldes periodisk med en periode, hvis den er sand $f\kolon M\til N$ $T\ikke=0$

f(x+T)=f(x),\quad \foral x\in M

Hvis denne lighed ikke er opfyldt for nogen , kaldes funktionen aperiodisk . $T\i M,\,T\ikke =0$ $f$

Paritet

En funktion kaldes ulige hvis ligheden $f\kolon X\til \mathbb {R}$

f(-x)=-f(x),\quad \foralt x\i X.

En funktion kaldes, selvom ligheden $f$

f(-x)=f(x),\quad \foralt x\i X.

Funktion ekstrema

Lad en funktion og være et indre punkt i definitionsdomænet $f\colon M\subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} ,$ $x_{0}\in M^{0}$ $f.$

$x_{0}$ kaldes et absolut (globalt) maksimumpunkt if $\foral x\in M\quad f(x)\leq f(x_{0});$
$x_{0}$ kaldes et absolut minimumspunkt if $\forall x\in M\quad f(x)\geq f(x_{0}).$

Funktionsgraf

Lad en kortlægning gives . Så er dens graf mængden , hvor betegner det kartesiske produkt af mængder og . $F:X\til Y$ $\Gamma$
$\Gamma =\{(x,F(x))\midt x\i X\}\undersæt X\ gange Y$
$X \ gange Y$ $x$ $Y$
- Grafen for en kontinuerlig funktion er en kurve på et todimensionalt plan. $F:{\mathbb {R}}\to {\mathbb {R}}$
- Grafen for en kontinuerlig funktion er en overflade i tredimensionelt rum. $F:{\mathbb {R}}^{2}\to {\mathbb {R}}$

Eksempler

Dirichlet funktion
- Returnerer én, hvis argumentet er et rationelt tal , hvis det er irrationelt , returnerer det nul . $D(x)={\begin{cases}1,&x\in {\mathbb {Q}}\\0,&x\ikke \i {\mathbb {Q}}\end{cases}}$
- Definitionsdomæne: (hele numeriske akse ). $\mathbb {R}$
- Værdiområde: . $\venstre\{0,1\højre\}$

sgn(x) funktion
- Returnerer argumentets fortegn. $\operatorname{sgn} x={\begin{cases}+1,&x>0\\0,&x=0\\-1,&x<0\end{cases}}$
- Definitionsdomæne: . $\mathbb {R}$
- Værdiområde: . $\venstre\{-1,0,+1\højre\}$

$y={\sqrt {1-x^{2}}}$
- Definitionsdomæne: . $\venstre[-1,+1\højre]$
- Værdiområde: . $\venstre[0,+1\højre]$

Faktoriel
- Returnerer produktet af alle naturlige tal, der ikke er større end det givne. Derudover . $0!=1$ $n!={\begin{cases}1,&n=0\\n\cdot \left(n-1\right)!,&n\neq 0\end{cases}}$
- Definitionsdomæne: (sæt af naturlige tal med nul). $\mathbb{N} _{0}$
- Værdiinterval: $\venstre\{1,2,6,24,120,\ldots\right\}$

Antje (køn)
- Returnerer heltalsdelen af et tal. $\lgulv x\rgulv =\max \venstre\{q\in \mathbb{Z } \midt q\leqslant x\right\}$
- Definitionsdomæne: . $\mathbb {R}$
- Værdiområde: . $\mathbb {Z}$

Måder at definere en funktion

Verbal

Brug af naturligt sprog

Y er lig med heltalsdelen af x.

Analytisk

Brug af formlen og standardnotation

f(x)=x!

Grafisk

Ved hjælp af et diagram

Tabel

Brug af en værditabel

x	0	en	2	3	fire	5	6	7	otte	9
y	en	en	2	3	5	otte	13	21	34	55

Analytisk metode

analytisk måde. Oftest er den lov, der etablerer en sammenhæng mellem et argument og en funktion, specificeret ved hjælp af formler. Denne måde at definere en funktion på kaldes analytisk. Denne metode gør det muligt for hver numerisk værdi af argumentet x at finde den tilsvarende numeriske værdi af funktionen y nøjagtigt eller med en vis nøjagtighed. Hvis forholdet mellem x og y er givet ved en formel, der er løst med hensyn til y, dvs. har formen y = f(x), så siger vi, at funktionen af x er givet eksplicit. Hvis værdierne x og y er forbundet med en ligning på formen F(x,y) = 0, dvs. formlen er ikke tilladt med hensyn til y, hvilket betyder, at funktionen y = f(x) er implicit defineret. En funktion kan defineres af forskellige formler i forskellige dele af opgaveområdet. Den analytiske metode er den mest almindelige måde at definere funktioner på. Kompakthed, kortfattethed, evnen til at beregne værdien af en funktion for en vilkårlig værdi af argumentet fra definitionsdomænet, evnen til at anvende matematisk analyseapparat til en given funktion er de vigtigste fordele ved den analytiske metode til at definere en fungere. Ulemperne omfatter manglen på synlighed, som kompenseres af evnen til at bygge en graf og behovet for at udføre nogle gange meget besværlige beregninger.

Eksempler:

$f\venstre(x\højre)=x^{2}$ ;
$f\venstre(x,y\højre)=x\eller y$ ;
$f\venstre(A\højre)=\venstre|A\højre|$ ;
$f\left(x\right)={\begin{cases}x^{2},&x\leqslant 0;\\-x^{3},&x>0.\end{cases}}$

Tabelform

En funktion kan defineres ved at angive alle dens mulige argumenter og deres værdier. Herefter kan funktionen om nødvendigt udvides for argumenter, der ikke er i tabellen, ved interpolation eller ekstrapolation . Eksempler er en programguide, en togplan eller en tabel med booleske funktionsværdier :

$x$	$y$	$x\land y$
$0$	$0$	$0$
$0$	$en$	$0$
$en$	$0$	$0$
$en$	$en$	$en$

Grafisk måde

En funktion kan specificeres grafisk ved at vise et sæt punkter af dens graf på et plan. Dette kan være en grov skitse af, hvordan funktionen skal se ud, eller aflæsninger taget fra et instrument såsom et oscilloskop . Denne specifikation kan lide under mangel på præcision , men i nogle tilfælde kan andre specifikationsmetoder slet ikke anvendes. Derudover er denne måde at indstille en af de mest repræsentative, letforståelige og højkvalitets heuristiske analyser af funktionen.

Rekursiv måde

En funktion kan defineres rekursivt , det vil sige gennem sig selv. I dette tilfælde bestemmes nogle værdier af funktionen gennem dens andre værdier.

Eksempler:

Verbal måde

En funktion kan beskrives i naturlige sprogord på en entydig måde, for eksempel ved at beskrive dens input- og outputværdier eller den algoritme , hvormed funktionen tildeler overensstemmelser mellem disse værdier. Sammen med en grafisk måde er dette nogle gange den eneste måde at beskrive en funktion på, selvom naturlige sprog ikke er så deterministiske som formelle.

Eksempler:

en funktion, der returnerer et ciffer i notationen af pi ved dets tal;
en funktion, der returnerer antallet af atomer i universet på et bestemt tidspunkt ;
en funktion, der tager en person som et argument og returnerer antallet af mennesker, der vil blive født til verden efter hans fødsel.

Klasser af numeriske funktioner

Historisk disposition

Fremkomsten af konceptet

Matematisk modellering af fænomener og naturlove fører til begrebet en funktion, som i første omgang er begrænset til algebraiske funktioner ( polynomier ) og trigonometri . Ligesom andre begreber inden for matematik udviklede det generelle begreb om en funktion sig ikke umiddelbart, men gik en lang vej i udviklingen. Selvfølgelig brugte folk i oldtiden, når de beregnede, ubevidst forskellige funktioner (for eksempel kvadratrod ) og endda ligninger , men som et separat matematisk objekt, hvilket muliggjorde en generel analytisk undersøgelse, kunne funktionen kun vises efter skabelsen af symbolske algebra af Vieta (XVI århundrede) [2] . Selv i det 17. århundrede brugte Napier , der introducerede den logaritmiske funktion i brug, en løsning - han bestemte det kinematisk.

Oprindeligt blev forskellige algebraiske formler genstand for undersøgelse . Descartes betragtede kun ikke-algebraiske afhængigheder som den sjældneste undtagelse. For ham og Fermat forstås formlen ikke blot som en beregningsalgoritme, men betragtes som en (geometrisk repræsentabel) transformation af en kontinuerligt skiftende størrelse til en anden [3] . I Barrow 's Lectures on Geometry, 1670 , etableres den gensidige gensidighed af differentierings- og integrationshandlingerne i geometrisk form (selvfølgelig uden at bruge disse udtryk selv). Dette vidner allerede om en helt udpræget besiddelse af begrebet en funktion som et integreret objekt. I en geometrisk og mekanisk form finder vi også begrebet en funktion i Newton .

Det matematiske udtryk "funktion" dukkede første gang op i 1673 af Leibniz , og i øvrigt ikke helt i sin moderne betydning: Leibniz kaldte først forskellige segmenter forbundet med en kurve (for eksempel abscissen af dens punkter) som en funktion. Senere, i en korrespondance med Johann Bernoulli ( 1694 ), udvides begrebets indhold og bliver til sidst synonymt med "analytisk givet afhængighed".

I det første trykte kursus "Analysis of Infinitely Small for the Knowledge of Curved Lines" af Lopital ( 1696 ) bruges udtrykket "funktion" ikke.

Første forsøg på at definere

I begyndelsen af 1700-tallet fik man udvidelser af alle standardfunktioner og mange andre. Hovedsagelig takket være Euler ( 1748 ) blev deres definitioner forfinet. Euler var den første til klart at definere den eksponentielle funktion såvel som den logaritmiske funktion som dens inverse, og gav deres serieudvidelser. Før Euler anså mange matematikere f.eks. tangenten af en stump vinkel for at være positiv; Euler gav moderne definitioner af alle trigonometriske funktioner (udtrykket "trigonometrisk funktion" blev foreslået af Klugel i 1770 ).

Mange nye transcendentale funktioner dukker op i analyseapplikationer. Da Goldbach og Bernoulli forsøgte at finde en kontinuerlig analog til fakultetet, rapporterede den unge Euler i et brev til Goldbach om gammafunktionens egenskaber (1729, titel på grund af Legendre ). Et år senere opdagede Euler beta-funktionen og vendte derefter gentagne gange tilbage til dette emne. Gammafunktionen og relaterede funktioner (beta, zeta, cylindrisk (Bessel)) har talrige anvendelser i såvel analyse som i talteori, og Riemann zeta-funktionen har vist sig at være et uundværligt værktøj til at studere fordelingen af primtal i det naturlige serie.

I 1757 introducerede Vincenzo Riccati , mens han undersøgte en hyperbels sektorer, de hyperbolske funktioner ch, sh (med sådan notation) og lister deres hovedegenskaber. Mange nye funktioner er opstået i forbindelse med uintegrerbarheden af forskellige udtryk. Euler definerede (1768) integrallogaritmen (navnet blev foreslået af I. Zoldner , 1809), L. Mascheroni - integralet sinus og cosinus ( 1790 ). Snart dukker også en ny gren af matematikken op: specialfunktioner .

Noget måtte gøres med denne brogede samling, og matematikere tog en radikal beslutning: alle funktioner, uanset deres oprindelse, blev erklæret lige. Det eneste krav til en funktion er sikkerhed, og det betyder ikke det unikke ved selve funktionen (den kan være flerværdi ), men entydigheden af metoden til at beregne dens værdier.

Den første generelle definition af en funktion findes i Johann Bernoulli ( 1718 ): "En funktion er en størrelse sammensat af en variabel og en konstant." Denne ikke helt distinkte definition er baseret på ideen om at specificere en funktion ved hjælp af en analytisk formel. Den samme idé optræder i Eulers definition , givet af ham i "Introduction to the Analysis of Infinites" ( 1748 ): "En funktion af en variabel størrelse er et analytisk udtryk, der på en eller anden måde er sammensat af denne variable mængde og tal eller konstante mængder. "

Alligevel var der i det attende århundrede ingen tilstrækkelig klar forståelse af forskellen mellem en funktion og dens analytiske udtryk. Dette kom til udtryk i den kritik , som Euler udsatte for Bernoullis (1753) løsning på strengvibrationsproblemet . Bernoullis løsning var baseret på påstanden om, at det er muligt at udvide enhver funktion til en trigonometrisk række. Med indsigelse mod dette påpegede Euler, at en sådan nedbrydelighed ville give et analytisk udtryk for enhver funktion, mens funktionen muligvis ikke har en (det kan gives ved en graf "tegnet ved en fri bevægelse af hånden").

Denne kritik er også overbevisende fra et moderne synspunkt, fordi ikke alle funktioner tillader en analytisk repræsentation (selv om Bernoulli taler om en kontinuerlig funktion, som, som Weierstrass etablerede i 1885 , altid er analytisk repræsentabel, men den kan ikke udvides til en trigonometriske serier). Men Eulers andre argumenter er allerede forkerte [4] . For eksempel mente han, at udvidelsen af en funktion til en trigonometrisk række giver et enkelt analytisk udtryk for det, mens det kan være en "blandet" funktion, der kan repræsenteres på forskellige segmenter med forskellige formler. Faktisk modsiger det ene ikke det andet, men i den æra syntes det umuligt, at to analytiske udtryk, der falder sammen på en del af et segment, ikke ville falde sammen i hele dets længde. Senere, da han studerede funktioner af mange variable, indså han begrænsningerne af den tidligere definition og anerkendte diskontinuerlige funktioner, og derefter, efter at have studeret den komplekse logaritme, endda flerværdifunktioner.

Under indflydelse af teorien om uendelige rækker, som gav en algebraisk repræsentation af næsten enhver glat afhængighed, ophørte tilstedeværelsen af en eksplicit formel gradvist med at være obligatorisk for en funktion. Logaritmen eller eksponentialfunktionen, for eksempel, beregnes som grænserne for uendelige rækker; denne tilgang er udvidet til andre ikke-standardfunktioner. De begyndte at behandle serier som endelige udtryk, i begyndelsen uden at underbygge rigtigheden af operationer på nogen måde og uden selv at garantere konvergensen af rækken.

Startende med "The Calculus of Differentials" ( 1755 ) accepterer Euler faktisk den moderne definition af en numerisk funktion som en vilkårlig korrespondance af tal [4] :

Når visse mængder afhænger af andre på en sådan måde, at når sidstnævnte ændrer sig, undergår de selv en forandring, så kaldes førstnævnte funktioner af sidstnævnte.

Generel definition

Siden begyndelsen af det 19. århundrede er begrebet en funktion blevet defineret oftere og oftere uden at nævne dens analytiske repræsentation. I "Treatise on differential and integral calculus" ( 1797 - 1802 ) siger Lacroix : "Enhver størrelse, hvis værdi afhænger af en eller mange andre størrelser, kaldes en funktion af disse sidstnævnte" uanset om metoden til at beregne dens værdier er kendt eller ukendt [5] .

I Fouriers "Analytical Theory of Heat" ( 1822 ) er der en sætning: "En funktion betegner en fuldstændig vilkårlig funktion, det vil sige en sekvens af givne værdier, uanset om de er underlagt en generel lov og svarer til alle værdier indeholdt mellem og enhver mængde ". $fx$ $x$ $0$ $x$

Tæt på moderne og definitionen af Lobachevsky :

... Det generelle begreb for en funktion kræver, at et tal kaldes en funktion fra, som er givet for hver og sammen med det gradvist ændres. Værdien af en funktion kan gives enten ved et analytisk udtryk eller ved en betingelse, der giver et middel til at teste alle tal og vælge et af dem, eller endelig kan en afhængighed eksistere og forblive ukendt ... Det brede syn på teorien indrømmer eksistensen af en afhængighed kun i den forstand, at tallene er de samme med andre i forbindelse med at forstå, som om data sammen. $x$ $x$ $x$

Således er den moderne definition af en funktion, fri for referencer til den analytiske opgave, normalt tilskrevet Dirichlet , gentagne gange blevet foreslået for ham. Her er Dirichlets definition ( 1837 ):

y er en funktion af variablen x (på segmentet ), hvis hver værdi af x (på dette segment) svarer til en helt bestemt værdi y , og det er lige meget hvordan denne korrespondance etableres - ved en analytisk formel, graf , tabel eller endda bare ord. $a\leqslant x\leqslant b$

Ved slutningen af det 19. århundrede voksede begrebet en funktion ud af rammerne for numeriske systemer. Vektorfunktioner var de første til at gøre dette , Frege introducerede hurtigt logiske funktioner ( 1879 ), og efter fremkomsten af mængdeteori formulerede Dedekind ( 1887 ) og Peano ( 1911 ) den moderne universelle definition.

Eksempler

Implicitte funktioner

Funktioner kan defineres ved hjælp af andre funktioner og ligninger.

Antag, at der gives en funktion af to variable, der opfylder særlige betingelser (betingelserne for den implicitte funktionssætning), derefter en formligning. $F$

F(x,y)=0

definerer en implicit funktion af formen . $y=f(x)$

Generiske funktioner

Se også

Noter

↑ Definitionsdomænet og værdidomænet for en numerisk funktion er en delmængde af det numeriske rum.
↑ Yushkevich A.P., 1966 , s. 134-135.
↑ Yushkevich A.P., 1966 , s. 137-138.
↑ 1 2 Yushkevich A.P., 1966 , s. 144-148.
↑ Læser om matematikkens historie. Matematisk analyse. Sandsynlighedsteori / Udg. A. P. Yushkevich . - M . : Uddannelse, 1977. - S. 84. - 224 s.

Litteratur

Matematikkens historie, redigeret af A. P. Yushkevich i tre bind, M .: Nauka.

Bind 1 Fra oldtiden til begyndelsen af moderne tid. (1970)
Bind 2 Matematik i det 17. århundrede. (1970)
Bind 3 Matematik i det 18. århundrede. (1972)

Ilyin V. A., Poznyak E. G. Fundamentals of matematisk analyse, del 1, 3. udgave, M., 1971;. Del 2, 2. udgave, M., 1980;
Kudryavtsev L. D. Matematisk analyse, 2. udgave, bind 1-2, 1973,
Nikolsky S. M. Kursus for matematisk analyse, 2. udgave, bind 1-2, M., 1975;
Yushkevich A.P. Om udviklingen af begrebet en funktion // Historisk og matematisk forskning . - M . : Nauka , 1966. - Nr. 17 . - S. 123-150 .

Numerisk funktion

Egenskaber

Egenskaber knyttet til ordrerelationen

Periodicitet

Paritet

Funktion ekstrema

Funktionsgraf

Eksempler

Måder at definere en funktion

Analytisk metode

Tabelform

Grafisk måde

Rekursiv måde

Verbal måde

Klasser af numeriske funktioner

Historisk disposition

Fremkomsten af ​​konceptet

Første forsøg på at definere

Generel definition

Eksempler

Implicitte funktioner

Generiske funktioner

Se også

Noter

Litteratur

Fremkomsten af konceptet