BH og kat

⟨	∣	⟩
bh		ket
sconce		ket
snart		bka

Bra og ket ( engelsk bra-ket < bracket bracket ) er en algebraisk formalisme (notationssystem) designet til at beskrive kvantetilstande . Kaldes også Dirac- notation . I matrixmekanik er denne notation generelt accepteret. Denne notation er intet mere end anden tekstnotation for vektorer, covektorer, bilineære former og indre produkter, og er derfor anvendelig (men ikke så almindeligt anvendt) i lineær algebra generelt. Når denne notation bruges i lineær algebra, handler det som regel om uendeligt dimensionelle rum og/eller om lineær allegbra over komplekse tal.

Definition og brug

I kvantemekanikken beskrives et systems tilstand af en stråle i et adskilleligt Hilbert-rum, eller tilsvarende ved et element i et projektivt Hilbert-rum, hvis elementer kaldes " tilstandsvektorer " ( "ket-vektorer" ) og betegnes med symbolet . ${\mathcal {H}),$ $|\psi\rangle$

Hver ket-vektor er tildelt en bra-vektor fra rumkonjugatet til, altså fra $|\psi\rangle$ ${\mathcal {H}),$ ${\mathcal {H}}^{*}.$

Bra-vektoren fra rummet er defineret af relationen: $\langle \psi |$ ${\mathcal {H}}^{*}$

$\langle \psi |\colon {\mathcal {H}}\to \mathbb {C} \colon \langle \psi |\left(|\rho \rangle \right)\rangle =\left(|\ psi \rangle ,\;|\rho \rangle \right)$ , for enhver ket vektor $|\rho \rangle .$

Med nogle ytringsfriheder siges det nogle gange, at bh-vektorer "sammenfalder" med deres tilsvarende komplekse konjugerede ket-vektorer. I dette tilfælde identificeres vektorer og funktionaler over vektorer normalt med kolonner eller rækker af koordinater for deres ekspansion i den tilsvarende basis eller ${\mathcal {H}}^{*}$ ${\mathcal {H}).$

Det skalære produkt af en bh-vektor med en ket-vektor (mere præcist, virkningen af en bh-vektor på en ket-vektor) skrives som to lodrette streger "smelter sammen", og parenteserne udelades. Kvadratet af en vektor, ifølge definitionen af et Hilbert-rum, er ikke-negativ: Når det er muligt, pålægges normaliseringsbetingelsen de vektorer, der beskriver systemets tilstande $\langle \varphi |\psi \rangle ;$ $\langle \psi |\psi \rangle \geqslant 0.$ $\langle \psi |\psi \rangle =1.$

Lineære operatorer

Hvis er en lineær operator fra til , så skrives operatorens handling på ket-vektoren som $A\colon H\to H$ $H$ $H$ $EN$ $|\psi\rangle$ $A|\psi \rangle .$

For hver operator og bra-vektor introduceres en funktionel fra rummet , det vil sige en bra-vektor multipliceret med operatoren , som er defineret af ligheden: $EN$ $\langle \varphi |$ $(\langle \varphi |A)$ ${\mathcal {H}}^{*},$ $EN$

{\bigg (}\langle \varphi |A{\bigg )}\;|\psi \rangle =\langle \varphi |\;{\bigg (}A|\psi \rangle {\bigg )} ,

for enhver vektor

|\psi\rangle .

Da placeringen af parenteserne ikke betyder noget, er de normalt udeladt og skrevet enkelt $\langle \varphi |A|\psi \rangle .$

Dette udtryk kaldes en operatorfoldning med en bra-vektor og en ket-vektor. Værdien af dette udtryk er en skalar ( komplekst tal ). $EN$ $\langle \varphi |$ $|\psi\rangle .$

Især er matrixelementet af en operator på et bestemt grundlag (i tensor-notation - ) skrevet i Dirac-notation som og gennemsnitsværdien af den observerbare (bilineære form) på tilstanden - som $EN$ ${\displaystyle A_{kl))$ $\langle k|A|l\rangle ,$ $\psi$ $\langle \psi |A|\psi \rangle .$

Multiplicering af vektorer med en operator (ket vektorer til venstre, bra vektorer til højre) giver vektorer af samme type og skrives på samme måde som i lineær algebra (det vil sige, hvis bra og ket vektorerne er identificeret med vektorer - rækker og kolonner og operatorer - med kvadratiske matricer):

|{\tilde {\psi }}\rangle =A|\psi \rangle ,

\langle {\tilde {\varphi }}|=\langle \varphi |A.

Schrodinger-ligningen (for en stationær tilstand) vil have formen:

H|\psi \rangle =E|\psi \rangle ,

hvor er Hamilton og er en skalar ( energiniveau ).

H

E

Forskelle mellem bra-ket notation og traditionel notation

I matematik bruges notationen " Hermitian " skalarprodukt i Hilbert-rummet, hvilket har samme betydning som at gange bh med ket. Men matematikere betragter normalt vinkelparenteser som et tegn på en operation og ikke en del af en vektorbetegnelse. Den traditionelle matematiske notation, i modsætning til den Dirac, er ikke symmetrisk - begge vektorer antages at være værdier af samme type, og operationen er antilineær i det første argument af de to. $\langle \varphi ,\;\psi \rangle$

På den anden side er produktet af bh og ket bilineært , men med to argumenter af forskellige typer. Konjugatet til ket-vektoren vil være bh-vektoren (hvor er den imaginære enhed ). I kvantemekanikken kan denne notationsmærkelighed imidlertid ignoreres, da kvantetilstanden repræsenteret af en vektor ikke afhænger af dens multiplikation med et komplekst tal modulo en . $i|\psi\rangle$ $-i\langle \psi |$ $jeg$

Derudover gør brugen af bh og ket det muligt at understrege forskellen mellem tilstanden (skrevet uden parentes og pinde) og de specifikke vektorer, der repræsenterer den. $\psi$

I modsætning til algebraisk notation, hvor elementer af basis er angivet som i bra-ket notation, kan kun indekset for grundelementet angives: I dette ligner de tensor notation , men i modsætning til sidstnævnte tillader de at skrive produkter af operatorer med vektorer uden brug af yderligere (sænket eller hævet) bogstaver. $e_{k},$ $\langle k|\;,\;|l\rangle .$

Matematiske egenskaber

BH og ket kan også bruges i ren matematik til at udpege elementer af lineære rum konjugeret til hinanden. Hvis for eksempel så ket-vektorer betragtes som "kolonnevektorer", og bra-vektorer - "rækkevektorer". ${\mathcal {H}}=R^{n},$

Multiplikationen af bra- og ket-vektorer med hinanden og med operatorer kan betragtes som et særligt tilfælde af "række-for-kolonne" matrixformalismen . Det er nemlig nødvendigt at sætte ket-vektorer som matricer af størrelse , bra-vektorer - af størrelse , operatorer - af størrelse , hvor er antallet af tilstande i kvantesystemet ( rummets dimension ). 1 × 1 matricer har et enkelt element og identificeres med skalarer. I tilfælde af et uendeligt dimensionelt rum af tilstande , skal yderligere konvergensbetingelser pålægges "matricerne" (faktisk serier ). $N\ gange 1$ $1\gange N$ $N\ gange N$ $N$ ${\mathcal {H}}$

Formlen for den konjugerede vektor ser sådan ud:

\langle \psi |={\begin{pmatrix}{\overline {c}}_{1},{\overline {c}}_{2},\ldots,{\overline {c}}_ {N}\end{pmatrix}},

hvor

|\psi \rangle ={\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\\\vdots \\c_{N}\end{pmatrix}}

Typeindtastningen betyder altid en skalar. En bra-vektor har altid en parentes til venstre ket-vektor - en parentes til højre Et produkt i en "unaturlig" rækkefølge introduceres også - (svarende til matrixmultiplikationen af en kolonnevektor med en rækkevektor), hvilket giver den såkaldte ket-bra-operatør . Operatøren har rang 1 og er et tensorprodukt, og sådanne operatorer betragtes ofte i operatorteori og kvanteberegning . Især er operatøren (når den er normaliseret ) en projektion på tilstanden , mere præcist, på det tilsvarende endimensionelle lineære underrum i $\langle \ldots \rangle$ $\langle,$ $\rangle .$ $|\varphi \rangle \langle \psi |$ $|\psi \rangle \langle \varphi |$ $|\psi\rangle$ $\langle \varphi |.$ $|\psi \rangle \langle \psi |$ $\langle \psi |\psi \rangle =1$ $\psi$ ${\mathcal {H}).$

Associativitet finder sted :

\langle \varphi |\cdot A|\psi \rangle \ =\ \langle \varphi |A|\psi \rangle \ =\ \langle \varphi |A\cdot |\psi \rangle ,

|\psi \rangle \cdot \langle \varphi |{\tilde {\psi }}\rangle \ =\ (|\psi \rangle \langle \varphi |)\cdot |{\tilde {\psi } }\rangle

etc.

Litteratur

Belousov Yu. M. Kursus i kvantemekanik. nonrelativistisk teori. - M. : MIPT, 2006. - 408 s.
Davydov A. S. Kvantemekanik. — M .: Nauka, 1973. — 704 s.
Dirac P. A. M. Kvantemekaniks principper. — M .: Nauka, 1979. — 440 s.
Messias A. Kvantemekanik. - M. : Nauka, 1978. - T. 1. - 478 s.
Shpolsky E.V. Atomfysik. - M. : Nauka, 1974. - T. 2. - 448 s.
Yariv A. Introduktion til kvantemekanikkens teori og anvendelser. — M .: Mir, 1984. — 360 s.