Weierstrass elliptiske funktioner

Weierstrass elliptiske funktioner er en af de enkleste elliptiske funktioner . Denne klasse af funktioner (afhængigt af den elliptiske kurve) er opkaldt efter Karl Weierstrass . De kaldes også Weierstrass -funktioner, og et symbol (stiliseret P ) bruges til at betegne dem. $\wp$ $\wp$

Definition

Lad en elliptisk kurve gives , hvor er et gitter i . Så er Weierstrass -funktionen på den en meromorf funktion defineret som summen af rækken $E={\mathbb {C}}/\Gamma$ $\Gamma$ $\mathbb {C}$ $\wp$

\wp _{E}(z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{{w\in \Gamma \setminus \{0\}}}\venstre({\frac {1}{(zw)^{2}}}-{\frac {1}{w^{2}}}\right).

Det kan ses, at den således definerede funktion vil være -periodisk den , og derfor er en meromorf funktion på . $\Gamma$ $\mathbb {C}$ $E$

Serien, der definerer Weierstrass-funktionen, er i en vis forstand en "regulariseret version" af den divergerende serie - et "naivt" forsøg på at definere en -periodisk funktion. Sidstnævnte divergerer absolut (og i mangel af en naturlig rækkefølge på det giver det mening kun at tale om absolut konvergens) for alle z, da for en fast z og for stor w opfører modulerne af dens vilkår sig som , og summen over en todimensionelle gitter divergerer. $\sum _{{w\in \Gamma }}{\frac {1}{(zw)^{2}}}$ $\Gamma$ $\Gamma$ ${\frac {1}{|w|^{2}}}$ $\sum _{{w\in \Gamma }}{\frac {1}{|w|^{2}}}$ $\Gamma$

Varianter af definition

Indstilling af gitteret som dets grundlag, , kan vi skrive $\Gamma$ $\Gamma =\{m\omega _{1}+n\omega _{2}\mid m,n\in {\mathbb {Z}}\}$

\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{{(m,n)\i {\mathbb {Z}}^{2}\setminus \{(0,0)\}}}\venstre({\frac {1}{(zm\omega _{1}-n\omega _{2})^{ 2))}-{\frac {1}{(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{2}}}\right).

Også, da Weierstrass-funktionen som en funktion af tre variable er homogen , hvilket betyder , at vi har ligheden $\wp (az;a\omega _{1},a\omega _{2})=a^{{-2}}\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})$ $\tau =\omega _{2}/\omega _{1}$

\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})=\omega _{1}^{{-2}}\wp (z/\omega _{1};1,\tau) .

Overvej derfor

\wp (z;\tau )=\wp (z;1,\tau )={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{{(m,n)\i {\mathbb {Z}}^{2}\setminus \{(0,0)\}}}\venstre({\frac {1}{(zmn\tau )^{2}}}-{\frac {1}{ (m+n\tau )^{2}}}\højre).

Egenskaber

Weierstrass-funktionen er en jævn meromorf funktion på en elliptisk kurve E med en enkelt andenordens pol på 0. $\wp _{E}:E\mapsto \widehat {{\mathbb {C}}}$
Som en meromorf kortlægning af grad 2 definerer den en to-arks forgrenet dækning af Riemann-sfæren af torus E. Denne dækning har fire forgreningspunkter : uendelig og tre kritiske værdier . Disse fire værdier er billederne af de fire punkter, der efterlades på plads af automorfien af kurven E - punktet 0 og de tre halve perioder . Weierstrass-funktionen implementerer således en isomorfisme (eller mere præcist, falder ned til en isomorfisme) mellem den topologiske sfære (som arver en kompleks struktur med E) og Riemann-sfæren . $e_{1},e_{2},e_{3}$ $z\mapsto -z$ $\omega _{1}/2,\omega _{2}/2,(\omega _{1}+\omega _{2})/2$ $E/(z\mapsto -z)$ $\widehat {{\mathbb {C}}}$
Ved at bruge udvidelsen og summeringen over kan vi opnå udvidelsen ved punktet af Weierstrass-funktionen til en Laurent-serie: ${\frac {1}{(wz)^{2}}}={\frac {1}{w^{2}}}+\sum \nolimits _{{j=1}}^{{\infty } }{\frac {j+1}{w^{{j+2))))z^{j}$ $w\in \Gamma \setminus \{0\}$ $z=0$

$\wp _{E}(z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{{k=2}}^{{\infty }}(2k+1)G_{{ 2k}}(\Gamma )z^{{2k-2}},$ hvor er Eisenstein-rækken for gitteret (de tilsvarende ulige summer er lig nul). $G_{{2k}}(\Gamma )=\sum _{{w\in \Gamma \setminus \{0\}}}w^{{-2k}}$ $\Gamma$

Imidlertid er koefficienterne ved og ofte skrevet i en anden, traditionel normalisering relateret (se nedenfor) til indlejringen af en elliptisk kurve i : $z^{2}$ $z^{4}$ ${\mathbb {C}}P^{2}$

\wp _{E}(z)={\frac {1}{z^{2}}}+{\frac {1}{20}}g_{2}(\Gamma )z^{2}+{ \frac {1}{28}}g_{3}(\Gamma )z^{4}+\dots ,

hvor og er de modulære invarianter af gitteret : $g_{2}$ $g_{3}$ $\Gamma$

g_{2}(\Gamma )=60G_{4}(\Gamma ),\quad g_{3}(\Gamma )=140G_{6}(\Gamma ).

Indlejring af elliptiske kurver i ${\mathbb {C}}P^{2}$

Weierstrass-funktionerne giver dig mulighed for at konstruere en indlejring af en elliptisk kurve i , ved at præsentere en ligning, der definerer billedet. Dette etablerer en overensstemmelse mellem de "algebraiske" og "topologiske" visninger af den elliptiske kurve - så du kan indlejre den elliptiske kurve i og eksplicit skrive ligningen, der definerer billedet. ${\mathbb {C}}P^{2}$ $E={\mathbb {C}}/\Gamma$ ${\mathbb {C}}P^{2}$

Betragt nemlig mappingen givet uden for punktet som Da funktionen er meromorf, strækker denne mapping sig til en holomorf mapping fra til . $F:E\to {\mathbb {C}}P^{2}$ $z=0$ $F(z)=(\wp (z),\wp '(z))\i {\mathbb {C}}^{2}.$ $\wp$ $E$ ${\mathbb {C}}P^{2}$

Billedet af denne kortlægning kan specificeres eksplicit. Den eneste pol for både funktionen og funktionen er nemlig punktet . Da den er en lige funktion, er den desuden ulige og følgelig lige. Funktionen har en andenordens pol på nul - så polerne kan fjernes ved at trække en lineær kombination af potenser fra . Eksplicit at vælge koefficienterne fra udvidelserne $\wp (z)$ $\wp '(z)$ $z=0$ $\wp (z)$ $\wp '(z)$ $(\wp '(z))^{2}$ $\wp (z)$ $(\wp')^{2}$ $\wp$

\wp _{E}(z)={\frac {1}{z^{2}}}+{\frac {1}{20}}g_{2}(\Gamma )z^{2}+{ \frac {1}{28}}g_{3}(\Gamma )z^{4}+\dots ,

(\wp '_{E}(z))^{2}=\venstre(-{\frac {2}{z^{3}}}+{\frac {1}{10}}g_{2} (\Gamma )z+{\frac {1}{7}}g_{3}(\Gamma )z^{3}+\dots \right)^{2}={\frac {4}{z^{6 ))}-{\frac {2}{5}}g_{2}(\Gamma ){\frac {1}{z^{2}}}-{\frac {4}{7}}g_{3 }(\Gamma )+\dots,

vi ser, at forskellen

\varphi (z)=(\wp _{E}'(z))^{2}-4\wp _{E}^{3}(z)+g_{2}(E)\wp (z)

er ikke-ental i et punkt . Men den er også holomorf udenfor (fordi og er holomorf ), så det er en holomorf funktion på hele den kompakte Riemann-overflade . I kraft af maksimumsprincippet er det en konstant. Endelig, fra den samme udvidelse ved nul, finder vi dens værdi - den viser sig at være lig med . Til sidst drejer funktionen til det identiske nul. Billedet af kortlægningen er således en elliptisk kurve givet af ligningen $z=0$ $\varphi (z)$ $z=0$ $\wp$ $\wp'$ $\varphi (z)$ $E$ $\varphi (z)$ $-g_{3}(E)$ $(\wp '(z))^{2}-4\wp ^{3}(z)+g_{2}(E)\wp (z)+g_{3}(E)$ $E$ $F$ ${\mathbb {C}}P^{2}$

y^{2}=4x^{3}-g_{2}(E)x-g_{3}(E).

Strengt taget er de "historiske" koefficienter 60 og 140, som forbinder de modulære invarianter og med de tilsvarende summer af inverse potenser og , forbundet netop med dette : på grund af et så traditionelt valg af normalisering, i ligningen for kurven og er nøjagtigt koefficienten af og er den frie term. $g_{2}$ $g_{3}$ $G_{2}(E)$ $G_{3}(E)$ $g_{2}$ $g_{3}$ $x$

Holomorfe former, periodegitter og omvendt kortlægning

For en elliptisk kurve er gitteret, der definerer den , ikke entydigt defineret: det er defineret op til proportionalitet. Gitteret svarer dog en-til-en til parret , hvor er en ikke-nul holomorf 1-form på : man kan tage projektionen på formerne på , så gendannes den som et sæt af alle mulige integraler over sløjfer på torusen : $E$ $\Gamma$ $(E,\omega)$ $\omega$ $E$ $\omega$ $E$ $dz$ $\mathbb {C}$ $\Gamma$ $\omega$ $E$

\Gamma =\venstre\{\int _{{\gamma }}\omega \mid \gamma \in H_{1}(E)\right\}

Der er en holomorf form på den elliptiske kurve , som er billedet af kortlægningen . Det er let at se, at det er præcis billedet af formularen på , når den vises . Dette giver os mulighed for at komme til flere konklusioner på én gang: $y^{2}=4x^{3}+g_{2}(E)x+g_{3}(E)$ $F=(\wp _{E},\wp '_{E})$ $\omega ={\frac {dx}{y}}$ $dz$ $E$ $F$

Den inverse mapping til mappingen søges som et integral af formen : $F$ $\omega$

z(x,y)=\int _{{\infty }}^{{(x,y))){\frac {dx}{y}},

hvor integration udføres langs en bane, der ligger på en elliptisk kurve . Punktet ved uendeligheden på kurven er valgt som begyndelsen af integrationsstien, da det er F-billedet af punktet , og ændring af valget af stien til en anden fører til en ændring i resultatet til et element af periode gitter . $F(E)$ $F(E)$ $z=0$ $\Gamma$

Den omvendte afbildning til Weierstrass-funktionen er givet af

\wp _{E}^{{-1}}(x)=\int _({\infty }}^{x}{\frac {dx}{\pm {\sqrt {4x^{3}+g_ {2}(E)x+g_{3}(E)}}}}.

(valget af tegnet svarer til valget af et af de to forbilleder på den elliptiske kurve, og en ændring i integrationsvejen fører til en forskydning af det beregnede forbillede af elementet ). $\Gamma$

Gitteret er rekonstrueret som et sæt formintegraler over alle mulige lukkede baner på en elliptisk kurve . $\Gamma$ ${\frac {dx}{y))$ $y^{2}=4x^{3}+g_{2}(E)x+g_{3}(E)$

Tilføjelse af punkter på en elliptisk kurve

En elliptisk kurve er (eller mere præcist, kan gøres til at være) en abelsk gruppe ved addition. For en "algebraisk" repræsentation er dette blot punktaddition . For "geometrisk" - som indlejret i en kurve - er denne tilføjelse givet ved at vælge et uendeligt fjernt punkt som nul, og reglen "tre punkter, der ligger på en lige linje, summerer til nul." $E={\mathbb {C}}/\Gamma$ $\mathbb {C}$ ${\mathbb {C}}P^{2}$ $y^{2}=4x^{3}+px+q$

Det er naturligt at forvente, at kortlægningen konstrueret ud fra Weierstrass-funktionen transformerer den algebraisk givne addition til den geometrisk givne, hvilket er tilfældet. Dette (da kolineariteten af tre punkter er givet ved at dreje determinanten til nul) svarer til følgende relation: $F=(\wp(z),\wp '(z))$

\det {\begin{bmatrix}\wp (u)&\wp '(u)&1\\\wp (v)&\wp '(v)&1\\\wp (w)&\wp '(w) &1\end{bmatrix}}=0

for enhver . Også i lyset af den lige og ulige paritet kan det skrives som $u+v+w=0$ $\wp$ $\wp'$

\det {\begin{bmatrix}\wp (z)&\wp '(z)&1\\\wp (w)&\wp '(w)&1\\\wp (z+w)&-\wp ' (z+w)&1\end{bmatrix}}=0

Anvendelser i holomorf dynamik

Ved hjælp af Weierstrass-funktionen konstruerer vi et eksempel på Latte - et eksempel på en rationel kortlægning af Riemann-sfæren i sig selv, hvis Fatou-sæt er tomt (og derfor, hvis dynamik er kaotisk overalt). Nemlig ved at tage , kan vi overveje fordoblingskortet på torusen : $\wp$ $\Gamma ={\mathbb {Z}}[i]=\{a+bi\mid a,b\in {\mathbb {Z}}\}$ $D$ $E={\mathbb {C}}/\Gamma$

D(z)=2z\,\mod {\mathbb {Z}}[i].

Denne kortlægning er kaotisk overalt - et vilkårligt lille kvarter dækker hele torusen efter et begrænset antal iterationer.

På den anden side falder kortlægningen korrekt til faktoren . Derfor er kortlægningen D ved kortlægningen semi-adjoint til nogle rationelle kortlægninger : $D$ $S^{2}=E/(z\sim -z)$ $\wp$ $R:{\mathbb {C}}P^{1}\to {\mathbb {C}}P^{1}$

\wp \circ D=R\circ \wp .

Med andre ord,

R(z)=\wp (2\wp ^{{-1}}(z)).

Til en sådan kortlægning dækker billederne af små kvarterer også hele Riemann-sfæren efter et begrænset antal iterationer. Derfor er henholdsvis Julia -sættet og Fatou-sættet tomme. $R$ $J(R)={\mathbb {C}}P^{1}$

Endelig er det let at se, at graden af kortlægningen er fire (da mappingen på torusen har grad 4), og dens koefficienter kan findes eksplicit ved at beregne et tilstrækkeligt antal koefficienter af Taylor-rækken ved nul mht. Laurent-serien for (og følgelig for ). $R$ $z\mapsto 2z$ $R$ $R$ $\wp$ $\wp ^{{-1}}$

Noter

Litteratur

J. Hubbard, I. Pourezza, The space of closed subgroups of , Topology 18 (1979), nr. 2, s. 143-146. $\mathbb {R} ^{2}$
Lavrentiev M. A., Shabat B. V., Metoder til teorien om funktioner af en kompleks variabel.
A. F. Beardon, Iteration of Rational Functions: Complex Analytic Dynamical Systems, Springer-Verlag, Berlin, New York, Heidelberg, 2009, ISBN 0-387-95151-2