Pi (tal)

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 19. august 2022; verifikation kræver 1 redigering .

Irrationelle tal ζ (3) - ρ - √ 2 - √ 3 - √ 5 - ln 2 - φ,Φ - ψ - α,δ - e - e π og π
Notation	Antal score $\pi$
Decimal	3.1415926535897932384626433832795…
Binær	11.00100100001111110110…
Hexadecimal	3.243F6A8885A308D31319…
Sexagesimal	3; 08 29 44 00 47 25 53 07 …
Rationelle Approksimationer	22 ⁄ 7 , 179 ⁄ 57 , 223 ⁄ 71 , 333 ⁄ 106 , 355 ⁄ 113 , 103 993 ⁄ 33 102 (opført i rækkefølge efter stigende nøjagtighed)
Fortsat brøkdel	[3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, …] (Denne fortsatte brøk er ikke periodisk . Skrevet i lineær notation)
Trigonometri	$\pi$ radian = 180°

3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4 999999 837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 598253 4904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 1984
…

Tal med de første tusinde højere cifre i decimalen [1]

\pi

${\fed symbol {\pi ))$ (udtales " pi ") er en matematisk konstant lig med forholdet mellem en cirkels omkreds og dens diameter [K 1] . Betegnes med bogstavet i det græske alfabet " π ". Fra juni 2022 kendes de første 100 billioner decimaler af pi [2] .

Ejendomme

Transcendens og irrationalitet

Tallet er irrationelt , det vil sige, dets værdi kan ikke udtrykkes nøjagtigt som en brøk , hvor er et heltal og er et naturligt tal. Derfor slutter dens decimalrepræsentation aldrig og er ikke periodisk . Et tals irrationalitet blev først bevist af Johann Lambert i 1761 [3] ved at udvide tangenten til en fortsat brøk . I 1794 gav Legendre et mere stringent bevis på irrationaliteten af tallene og . Flere beviser er detaljeret beskrevet i artiklen Beviser for, at π er irrationel . $\pi$ ${\frac {m}{n}}$ $m$ $n$ $\pi$ $\pi$ $\pi ^{2}$

$\pi$ - transcendentalt tal , det vil sige, det kan ikke være roden til noget polynomium med heltalskoefficienter. Overskridelsen af et tal blev bevist i 1882 af Lindemann , professor ved Königsberg og senere ved universitetet i München . Beviset blev forenklet af Felix Klein i 1894 [4] . Da arealet af en cirkel og omkredsen i euklidisk geometri er funktioner af et tal , satte beviset for transcendens en stopper for forsøg på at kvadrere cirklen , som varede mere end 2,5 tusind år. $\pi$ $\pi$ $\pi$

I 1934 beviste Gelfond [5] at tallet er transcendent . I 1996 beviste Yuri Nesterenko , at for ethvert naturligt tal og er algebraisk uafhængige , hvoraf det især følger [6] [7] at tallene og er transcendente . $e^{\pi}$ $n$ $\pi$ $e^{\pi {\sqrt {n))}$ $\pi +e^{\pi },\pi e^{\pi }$ $e^{\pi {\sqrt {n))}$

$\pi$ er et element i perioderingen (og dermed et beregneligt og aritmetisk tal ). Men det vides ikke, om den hører til menstruationsringen. $1/\pi$

Forhold

Der er mange formler til at beregne tallet : $\pi$

Vietas formel til at tilnærme tallet π :

{\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}} \cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2)))))){2}}\cdot \ldots

Dette er den første kendte eksplicitte repræsentation med et uendeligt antal operationer. Det kan bevises som følger. Anvender identiteten rekursivt og passerer til grænsen, får vi

\pi

\sin 2\varphi =2\sin \varphi \cos \varphi

\varphi \cos {\dfrac {\varphi }{2}}\cos {\frac {\varphi }{4}}\cdots =\sin \varphi .

Det er tilbage at erstatte og bruge dobbeltvinkel cosinusformlen :

\varphi ={\frac {\pi }{2))

\cos 2\varphi =\cos ^{2}\varphi -\sin ^{2}\varphi .

Wallis formel :

{\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\ frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}

Leibniz serie :

{\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1} {9}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}

Serier med dobbelt faktor:

2+{1 \over 3}\left(2+{2 \over 5}\left(2+{3 \over 7}\left(2+{4 \over 9}(\dots)\right )\right)\right)=2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(2k+1)!!))=\pi

1+{2 \over 2}\left(1+{1 \over 3}\left(1+{4 \over 4}\left(1+{2 \over 5}\left(1+{ 6 \over 6}(\dots )\right)\right)\right)\right)=\pi

Formel fundet af Srinivasa Ramanujan :

$1-5\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}+9\left({\frac {1\times 3}{2\times 4}}\right) ^{3}-13\venstre({\frac {1\ gange 3\ gange 5}{2\ gange 4\ gange 6}}\ højre)^{3}+\ldots ={\frac {2}{\ pi}}$

Andre rækker:

{\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\ frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+\dots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}

( omvendt kvadratisk serie )

{\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}-{\ frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-\dots ={\pi ^{2} \over 12}

{\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\ frac {1}{4^{4}}}+{\frac {1}{5^{4}}}+\dots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}

{\frac {1}{1^{6}}}+{\frac {1}{2^{6}}}+{\frac {1}{3^{6}}}+{\ frac {1}{4^{6}}}+{\frac {1}{5^{6}}}+\dots ={\frac {\pi ^{6}}{945}}

\pi =2{\sqrt {3}}\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{\,3^{k}\,( 2k+1)}}

\pi =\;\;\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k)){4^{k))}\left({\frac {2}{4k+1}}+{\frac {2}{4k+2}}+{\frac {1}{4k+3}}\right)

Følgende rækker giver dig mulighed for at beregne fortegnene i den hexadecimale notation af pi uden at beregne de foregående fortegn:

{\begin{aligned}\pi &={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}} \left({\frac {8}{8k+2}}+{\frac {4}{8k+3}}+{\frac {4}{8k+4}}-{\frac {1}{8k +7}}\right)=\\&={\frac {1}{4}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\ venstre({\frac {8}{8k+1}}+{\frac {8}{8k+2}}+{\frac {4}{8k+3}}-{\frac {2}{8k+ 5 }}-{\frac {2}{8k+6}}-{\frac {1}{8k+7}}\right)\end{aligned}}

Flere rækker:

\pi =8\sum \limits _{k=1}^{\infty }\sum \limits _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{(4m-2)^{2k} }}=4\sum \limits _{k=1}^{\infty }\sum \limits _{m=1}^{\infty }{\frac {m^{2}-k^{2}} {(m^{2}+k^{2})^{2))}={\sqrt[{4\,\,}]{360\sum \limits _{k=1}^{\infty } \sum \limits _{m=1}^{k}{\frac {1}{m(k+1)^{3))))}

Grænser :

\pi =\lim \limits _{m\rightarrow \infty }{\frac {(m!)^{4}\,{2}^{4m)){\left[(2m)!\right]^{ 2}\,m}}

\pi ={\sqrt {\frac {6}{\lim \limits _{n\to \infty }\prod \limits _{k=1 \atop p_{k}\in \mathbf {P} }^{n}\,\left(1-{\frac {1}{p_{k}^{2}}}\right)}}}\quad \to

her er primtal

{\displaystyle p_{k))

\pi =\lim _{n\to \infty}2^{n}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\dots +{\ sqrt {2}}}}}}}}}},

hvor er lig med antallet af rødder i udtrykket [8] .

n

Eulers identitet :

e^{i\pi}+1=0\;

Andre forbindelser mellem konstanter :

{\frac {\pi }{e}}=2\prod \limits _{k=1}^{\infty }\left({\frac {2k+1}{2k-1}}\right)^{ 2k-1}\venstre({\frac {k}{k+1}}\højre)^{2k}

\pi \cdot e=6\prod \limits _{k=1}^{\infty }\left({\frac {2k+3}{2k+1}}\right)^{2k+1}\left ({\frac {k}{k+1}}\right)^{2k}

Formel fundet af Srinivasa Ramanujan :

{\displaystyle 1+{\frac {1}{1\cdot 3}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 5}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 5 \cdot 7))+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9))+\ldots +{\frac {1}{1+\displaystyle {\frac {1}{ 1+\displaystyle {\frac {2}{1+\displaystyle {\frac {3}{1+\displaystyle {\frac {4}{1+\displaystyle {\frac {5}{1+\ldots }} )))))))))))={\sqrt {\frac {e\cdot \pi }{2))))

T.n. Poisson- integral eller Gauss- integral :

\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\ e^{-x^{2}}{dx}={\sqrt {\pi }}

\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {Br(x)}{\displaystyle e^{Br^{4}(x)))}dx={\sqrt {\pi }},

hvor er Bring-roden .

B(x)

Integral sinus :

\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{{\frac {\sin x}{x}}dx}=\pi

Udtryk via dilogaritme [9] :

\pi ={\sqrt {6\ln ^{2}2+12\ \operatørnavn {Li} _{2}\left({\frac {1}{2}}\right)))

Gennem det ukorrekte integral :

\int \limits _{0}^{+\infty }{\frac {dx}{(x+1){\sqrt {x))))=\pi

;

\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\frac {dx}{(x^{2}+1)))=\pi

Historie

For første gang brugte den britiske matematiker William Jones i 1706 [10] betegnelsen for dette tal med et græsk bogstav , og det blev almindeligt accepteret efter Leonard Eulers arbejde i 1737. Denne betegnelse kommer fra begyndelsesbogstavet i de græske ord περιφέρεια - cirkel, periferi og περίμετρος - omkreds [11] . $\pi$

Studiet af tallet og forfinelsen af dets betydning gik parallelt med udviklingen af al matematik og tog flere årtusinder. Først studeret ud fra et geometris synspunkt , derefter viste udviklingen af matematisk analyse i det 17. århundrede universaliteten af dette tal. $\pi$ $\pi$

geometrisk periode

Det faktum, at forholdet mellem omkreds og diameter er det samme for enhver cirkel, og at dette forhold er lidt mere end 3, var kendt af de gamle egyptiske , babyloniske , antikke indiske og oldgræske geometre, de ældste tilnærmelser går tilbage til det tredje årtusinde f.Kr. e.

I det gamle Babylon blev det taget lig med tre, hvilket svarede til udskiftningen af omkredsen med omkredsen af den sekskant indskrevet i den . Arealet af en cirkel blev defineret [12] som kvadratet af omkredsen divideret med 12, hvilket også er i overensstemmelse med antagelsen . De tidligste kendte mere nøjagtige tilnærmelser går tilbage til omkring 1900 f.Kr. e.: dette er 25/8 = 3.125 (lertavle fra Susa fra perioden med det gamle babyloniske rige ) [13] og 256/81 ≈ 3.16 (egyptisk papyrus Ahmes fra perioden i Mellemriget ); begge værdier afviger ikke mere end 1 % fra den sande værdi. Den vediske tekst " Shatapatha Brahmana " giver som en tilnærmelse brøken 339/108 ≈ 3.139 . $\pi$ $\pi =3.$ $\pi$

Den kinesiske filosof og videnskabsmand Zhang Heng foreslog i det 2. århundrede to ækvivalenter til tallet: 92/29 ≈ 3.1724 og ≈ 3.1622. I jainismens hellige bøger , skrevet i det 5.-6. århundrede f.Kr. e., det blev fundet, at dengang i Indien blev det taget lige [14] $\pi$ ${\sqrt {10}}$ $\pi$ ${\sqrt {10}}$

Arkimedes kan have været den første til at foreslå en matematisk måde at regne på . For at gøre dette indskrev han i en cirkel og beskrev regulære polygoner omkring den . Ved at tage diameteren af en cirkel som enhed, betragtede Arkimedes omkredsen af den indskrevne polygon som den nedre grænse for cirklens omkreds, og omkredsen af den omskrevne polygon som den øvre grænse. I betragtning af en almindelig 96-gon modtog Archimedes et skøn og foreslog til en omtrentlig beregning den øverste af grænserne, han fandt: - 22/7 ≈ 3,142857142857143. $\pi$ $3{\frac {10}{71}}<\pi <3{\frac {1}{7}}$ $\pi$

Den næste tilnærmelse i europæisk kultur er forbundet med astronomen Claudius Ptolemæus (ca. 100 - ca. 170), som lavede en tabel med akkorder i trin på en halv grad, hvilket gjorde det muligt for ham at opnå en tilnærmelse på 377 / 120 , hvilket er omtrent lig med halvdelen af omkredsen af 720-gonen indskrevet i enhedscirklen [15] . Leonardo af Pisa ( Fibonacci ) i bogen " Practica Geometriae " (ca. 1220), der tilsyneladende tager Ptolemæus' tilnærmelse som den nedre grænse for , giver hans tilnærmelse [16 ] - 864/275 . Men det viste sig at være værre end Ptolemæus, da sidstnævnte begik en fejl ved at bestemme akkordens længde på en halv grad opad, hvilket resulterede i, at tilnærmelsen 377/120 viste sig at være den øvre grænse for . $\pi$ $\pi$ $\pi$

I Indien, Aryabhata og Bhaskara brugte jeg tilnærmelsen 3.1416. Varahamihira i det 6. århundrede bruger tilnærmelsen i Pancha Siddhantika . ${\sqrt {10}}$

Omkring 265 e.Kr. e. Wei - matematikeren Liu Hui leverede en enkel og præcis iterativ algoritme til beregning af enhver grad af præcision. Han udførte uafhængigt beregningen for 3072-gon og opnåede en omtrentlig værdi for i henhold til følgende princip: $\pi$ $\pi$

\pi \approx A_{3072}={3\cdot 2^{8}\cdot {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+ {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+1))))))))))))))))))))))}\ca. 3,14159.

Senere kom Liu Hui med en hurtig beregningsmetode og kom frem til en omtrentlig værdi på 3,1416 med kun en 96-gon, idet han udnyttede det faktum, at forskellen i arealet af på hinanden følgende polygoner danner en geometrisk progression med en nævner på 4. $\pi$

I 480'erne demonstrerede den kinesiske matematiker Zu Chongzhi , at ≈ 355/113 og viste, at 3,1415926 < < 3,1415927 ved hjælp af Liu Huis algoritme anvendt på en 12288-gon. Denne værdi forblev den mest nøjagtige tilnærmelse af tallet i de næste 900 år. $\pi$ $\pi$ $\pi$

klassisk periode

Indtil det 2. årtusinde kendte man ikke mere end 10 cifre . Yderligere store resultater i undersøgelsen er forbundet med udviklingen af matematisk analyse , især med opdagelsen af serier , som gør det muligt at beregne med enhver nøjagtighed, opsummere et passende antal udtryk i serien. $\pi$ $\pi$ $\pi$

Madhava-rækken - Leibniz

I 1400 -tallet fandt Madhava fra Sangamagrama den første af disse rækker:

{\pi }={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+\ cdots

Dette resultat er kendt som Madhava-Leibniz- serien eller Gregory-Leibniz-serien (efter at den blev genopdaget af James Gregory og Gottfried Leibniz i det 17. århundrede). Denne serie konvergerer dog meget langsomt, hvilket fører til vanskeligheden ved at beregne mange cifre af et tal i praksis - det er nødvendigt at tilføje omkring 4000 led af serien for at forbedre Archimedes' estimat. Dog ved at konvertere denne serie til $\pi$

\pi ={\sqrt {12}}\,\left(1-{\frac {1}{3\cdot 3}}+{\frac {1}{5\cdot 3^{2}}}-{ \frac {1}{7\cdot 3^{3}}}+\cdots \right)

Madhava var i stand til at beregne som 3.14159265359 ved korrekt at identificere 11 cifre i nummerindtastningen. Denne rekord blev slået i 1424 af den persiske matematiker Jamshid al-Kashi , som i sit arbejde med titlen "Treatise on the Circle" gav 17 cifre af tallet , hvoraf 16 er korrekte. $\pi$ $\pi$

Ludolf nummer

Det første store europæiske bidrag siden Arkimedes var det fra den hollandske matematiker Ludolf van Zeulen , som brugte ti år på at beregne et tal med 20 decimaltal (dette resultat blev offentliggjort i 1596). Ved at anvende Arkimedes' metode bragte han fordobling til n - gon, hvor n = 60 2 29 . Efter at have skitseret sine resultater i essayet "Om omkredsen" (“Van den Circkel”), sluttede Ludolf det med ordene: "Den, der har lyst, lad ham gå videre." Efter hans død blev der fundet 15 mere nøjagtige cifre af nummeret i hans manuskripter . Ludolph testamenterede, at de tegn, han fandt, var skåret på hans gravsten. Til ære for ham blev nummeret undertiden kaldt "Ludolf-nummeret" eller "Ludolf-konstanten". $\pi$ $\pi$ $\pi$

Ludolf-tallet er en omtrentlig værdi for et tal med 35 gyldige decimaler [17] . $\pi$

Vietas formel til at tilnærme π

Omkring dette tidspunkt begyndte metoder til at analysere og definere uendelige serier at udvikle sig i Europa. Den første sådan repræsentation var Vietas formel til at tilnærme tallet π :

{\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}} \cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2)))))){2}}\cdot \cdots

fundet af François Viet i 1593.

Wallis formel

Et andet berømt resultat var Wallis-formlen :

{\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\ frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac { 8}{9}}\cdots

opdrættet af John Wallis i 1655.

Lignende værker:

$\pi =3\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2 }-\venstre({\frac {1}{3}}\right)^{2}}}$

$\pi ={\frac {3}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^ {2}}{k^{2}-\left({\frac {2}{3}}\right)^{2}}}$

$\pi =4\cdot {\frac {\sqrt {2}}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2 }-\venstre({\frac {1}{4}}\right)^{2}}}$

$\pi ={\frac {4}{3}}\cdot {\frac {\sqrt {2}}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^ {2}}{k^{2}-\venstre({\frac {3}{4}}\right)^{2}}}$

$\pi =6\cdot {\frac {1}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2}-\venstre ({\frac {1}{6}}\right)^{2}}}$

$\pi ={\frac {6}{5}}\cdot {\frac {1}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}} {k^{2}-\venstre({\frac {5}{6}}\right)^{2}}}$

$\pi =4\cdot \prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}+k}{k^{2}+k+{\frac {1}{4} }}}$

$\pi ={\frac {9}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^ {2}+k}{k^{2}+k+{\frac {2}{9))))$

$\pi ={\frac {16}{3}}\cdot {\frac {\sqrt {2}}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^ {2}+k}{k^{2}+k+{\frac {3}{16))))$

$\pi ={\frac {36}{5}}\cdot {\frac {1}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}+ k}{k^{2}+k+{\frac {5}{36))))$

Et produkt, der beviser en sammenhæng med tallet e

$\pi =2{\sqrt {3}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(2k+3\right)^{k+{\frac {1 }{2}}}\left(2k-1\right)^{{\frac {1}{2}}-k}}{2k+1}}\left({\frac {k}{k+1 }}\right)^{2k}$

Metoder baseret på identiteter

I moderne tid anvendes analysemetoder baseret på identiteter til beregning . Formlerne anført ovenfor er af ringe nytte til beregningsformål, da de enten bruger langsomt konvergerende serier eller kræver en kompleks operation med at udtrække en kvadratrod. $\pi$

Maskinformler

Den første effektive og moderne måde at finde et tal på (såvel som naturlige logaritmer og andre funktioner), baseret på teorien om serier og matematisk analyse udviklet af ham, blev givet i 1676 af Isaac Newton i sit andet brev til Oldenburg [18] , udvides i en serie . Baseret på denne metode blev den mest effektive formel fundet i 1706 af John Machin $\pi$ $\mathrm {arctg} {\frac {1}{2))$

{\frac {\pi }{4}}=4\,\mathrm {arctg} {\frac {1}{5}}-\mathrm {arctg} {\frac {1}{239}}

Udvidelse af buetangensen til en Taylor-serie

\mathrm {arctg} \ x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}} {7}}+\cdots

du kan få en hurtigt konvergerende serie, velegnet til at beregne et tal med stor nøjagtighed. $\pi$

Formler af denne type, nu kendt som Machins formler , er blevet brugt til at sætte flere på hinanden følgende rekorder og er forblevet de bedst kendte metoder til hurtig databehandling af computere. En enestående rekord blev sat af den fænomenale tæller Johann Daze , som i 1844, efter ordre fra Gauss, anvendte Machins formel til at beregne 200 cifre . Det bedste resultat i slutningen af det 19. århundrede blev opnået af englænderen William Shanks , som tog 15 år at beregne 707 cifre. Han lavede dog en fejl i det 528. ciffer, hvilket resulterede i, at alle efterfølgende cifre viste sig at være forkerte [19] . For at undgå sådanne fejl udføres moderne beregninger af denne art to gange. Hvis resultaterne stemmer overens, er de sandsynligvis korrekte. Shanks' fejl blev opdaget af en af de første computere i 1948; han talte også 808 tegn på få timer . $\pi$ $\pi$ $\pi$

Pi er et transcendentalt tal

Teoretiske fremskridt i det 18. århundrede førte til indsigt i antallets karakter , som ikke kunne opnås ved numerisk beregning alene. Johann Lambert beviste irrationalitet i 1761 og Adrien Legendre beviste irrationalitet i 1774 . I 1735 blev der etableret en forbindelse mellem primtal, og da Leonhard Euler løste det berømte Basel-problem - problemet med at finde den nøjagtige værdi $\pi$ $\pi$ $\pi ^{2}$ $\pi$

{\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1 }{4^{2}}}+\cdots

hvilket viste sig at være lige . Både Legendre og Euler foreslog, at det kunne være transcendentalt , hvilket til sidst blev bevist i 1882 af Ferdinand von Lindemann . ${\frac {\pi ^{2}}{6}}$ $\pi$

I 1945 forenklede Cartwright Charles Hermites elementære bevis på, at et tal er irrationelt . $\pi$

Symbol " "

\pi

William Jones 's Synopsis Palmoriorum Mathesios , 1706, menes at være den første, der introducerede brugen af et græsk bogstav for denne konstant, men denne notation blev generelt accepteret, efter at Leonhard Euler adopterede den (eller nåede frem til den selvstændigt) i 1737 [11 ] . Euler skrev: “ Der er mange andre måder at finde længderne eller arealer af den tilsvarende kurve eller plan figur, hvilket i høj grad kan lette øvelsen; for eksempel i en cirkel er diameteren relateret til omkredsen som 1 til ". $\pi$ $\left({\frac {16}{5}}-{\frac {4}{239}}\right)-{\frac {1}{3}}\cdot \left({\frac {16}{ 5^{3}}}-{\frac {4}{239^{3}}}\right)+\cdots =3{,}14159\cdots =\pi$

Computerens æra

Den digitale teknologis æra i det 20. århundrede førte til en stigning i hastigheden af fremkomsten af computeroptegnelser. John von Neumann og andre brugte ENIAC i 1949 til at beregne 2037 cifre , hvilket tog 70 timer. I 1961 beregnede Daniel Shanks 100.000 tegn på en IBM 7090 , og millionmærket blev passeret i 1973 [K 2] . Dette fremskridt skyldtes ikke kun hurtigere hardware, men også på grund af nye algoritmer. $\pi$

Den hollandske matematiker Leutzen Brouwer nævnte i første halvdel af det 20. århundrede som et eksempel på en meningsløs opgave søgningen i decimaludvidelsen af en sekvens - efter hans mening vil den nøjagtighed, der er nødvendig for dette, aldrig blive opnået. I slutningen af det 20. århundrede blev denne sekvens opdaget; den starter ved 17.387.594.880 decimaler [20] . $\pi$ $0123456789$

I begyndelsen af det 20. århundrede opdagede den indiske matematiker Srinivasa Ramanujan mange nye formler for , hvoraf nogle blev berømte for deres elegance og matematiske dybde. En af disse formler er en serie: $\pi$

{\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)! (1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}

Brødre Chudnovsky fandt i 1987 lignende til det:

{\frac {1}{\pi }}={\frac {1}{426880{\sqrt {10005}}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)! (13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}(-640320)^{3k}}}

hvilket giver cirka 14 cifre for hvert medlem af serien. Chudnovskys brugte denne formel til at sætte flere computerrekorder i slutningen af 1980'erne, inklusive en, der resulterede i 1.011.196.691 decimalcifre i 1989. $\pi$

Denne formel bruges i programmer, der beregner på personlige computere, i modsætning til supercomputere , som sætter moderne rekorder. $\pi$

Mens sekvensen normalt forbedrer nøjagtigheden med et fast beløb med hvert efterfølgende led, er der iterative algoritmer, der "multiplicerer" antallet af korrekte cifre ved hvert trin, men kræver høje beregningsomkostninger ved hvert af disse trin.

Et gennembrud i denne henseende blev gjort i 1975, da Richard Brent og Eugene Salamis uafhængigt opdagede Brent-Salamin-algoritmen , som kun ved hjælp af aritmetik fordobler antallet af kendte tegn ved hvert trin [21] . Algoritmen består i at indstille startværdier

a_{0}=1\quad \quad \quad b_{0}={\frac {1}{\sqrt {2))}\quad \quad \quad t_{0}={\frac {1}{4 }}\quad \quad \quad p_{0}=1

og iterationer:

a_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}\quad \quad \quad b_{n+1}={\sqrt {a_{n}b_{n} }}

t_{n+1}=t_{n}-p_{n}(a_{n}-a_{n+1})^{2}\quad \quad \quad p_{n+1}=2p_{n}

indtil a n og b n er tæt nok på. Så er estimatet givet af formlen $\pi$

\pi \ca. {\frac {(a_{n}+b_{n})^{2}}{4t_{n}}}.

Ved at bruge denne ordning er 25 iterationer nok til at få 45 millioner decimaler. En lignende algoritme, der firdobler præcisionen ved hvert trin, blev fundet af Jonathan Borwain Peter Borwain [22] . Med disse metoder satte Yasumasa Canada og hans gruppe, startende i 1980, flest computerrekorder op til 206.158.430.000 tegn i 1999. I 2002 satte Canada og hans gruppe en ny rekord på 1.241.100.000.000 decimaler. Mens de fleste af Canadas tidligere rekorder blev sat ved hjælp af Brent-Salamin-algoritmen, brugte 2002-beregningen to formler af Machin-typen, der var langsommere, men drastisk reducerede hukommelsesforbruget. Beregningen blev udført på en 64-node Hitachi supercomputer med 1 terabyte RAM, der er i stand til at udføre 2 billioner operationer i sekundet. $\pi$

En vigtig nyere udvikling er Bailey-Borwain-Pluff-formlen , opdaget i 1997 af Simon Pluff og opkaldt efter forfatterne til artiklen, hvori den først blev offentliggjort [23] . Denne formel

\pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k))}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac { 2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right),

bemærkelsesværdig ved, at den giver dig mulighed for at udtrække et hvilket som helst specifikt hexadecimalt eller binært ciffer i et tal uden at beregne de foregående [23] . Fra 1998 til 2000 brugte PiHex distribueret computerprojekt en modificeret Bellard-formel til at beregne den kvadrilliontedel af tallet , som viste sig at være nul [24] . $\pi$ $\pi$

I 2006 fandt Simon Pluff ved hjælp af PSLQ-algoritmen en række smukke formler [25] . Lad da q = e π

{\frac {\pi }{24}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\left({\frac {3}{q^{n} -1}}-{\frac {4}{q^{2n}-1}}+{\frac {1}{q^{4n}-1}}\right)

{\frac {\pi ^{3}}{180}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}\left({\frac { 4}{q^{n}-1}}-{\frac {5}{q^{2n}-1}}+{\frac {1}{q^{4n}-1}}\right)

og andre typer

\pi ^{k}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{k))}\left({\frac {a}{q^{n}- 1))+{\frac {b}{q^{2n}-1}}+{\frac {c}{q^{4n}-1}}\right)

hvor q \ u003d e π , k er et ulige tal , og a , b , c er rationelle tal . Hvis k har formen 4 m + 3, har denne formel en særlig enkel form:

p\pi ^{k}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{k}}}\left({\frac {2^{k-1}} {q^{n}-1}}-{\frac {2^{k-1}+1}{q^{2n}-1}}+{\frac {1}{q^{4n}-1 }}\ret)

for et rationelt p , hvis nævner er et tal, der kan faktoriseres, selvom der endnu ikke er givet et strengt bevis.

I august 2009 beregnede forskere fra det japanske universitet i Tsukuba en sekvens på 2.576.980.377.524 decimaler [26] .

Den 19. oktober 2011 beregnede Alexander Yi og Shigeru Kondo sekvensen til inden for 10 billioner decimaler [27] [28] . Den 28. december 2013 beregnede de også rækkefølgen med en nøjagtighed på 12,1 billioner cifre efter decimaltegnet [29] .

Den 14. marts 2019, da den uofficielle helligdag for tallet pi blev fejret, introducerede Google dette tal med 31,4 billioner decimaler. Emma Haruka-Iwao, en Google-medarbejder i Japan, formåede at beregne det med en sådan nøjagtighed [30] .

I august 2021 var schweiziske videnskabsmænd ved Graubünden University of Applied Sciences i stand til at beregne et tal med en nøjagtighed på 62,8 billioner decimaler og opdatere tidligere rekorder. Beregningerne blev foretaget på en supercomputer i 108 dage og ni timer. Beregningshastigheden var dobbelt så høj som rekorden fra Google i 2019 og 3,5 gange rekorden i 2020, hvor der blev udregnet mere end 50 billioner decimaler i et tal [31] [32] . $\pi$ $\pi$

Den 9. juni 2022 beregnede et Google-team ledet af Emma Haruka-Iwao de første 100 billioner decimaler af pi på næsten 158 dage [2] [33] .

Programmet " Super Pi ", som fastsætter den tid, det tager at beregne et givet antal cifre (op til 32 millioner) af Pi, kan bruges til at teste computernes ydeevne.

Rationelle Approksimationer

${\frac {22}{7))$ - Archimedes (III århundrede f.Kr.) - oldgræsk matematiker, fysiker og ingeniør;
${\frac {377}{120}}$ - Claudius Ptolemæus (2. århundrede e.Kr.) - oldgræsk astronom og geograf, og Ariabhata (5. århundrede e.Kr.) - indisk astronom og matematiker;
${\frac {355}{113}}$ - Zu Chongzhi (5. århundrede e.Kr.) - Kinesisk astronom og matematiker.

Sammenligning af tilnærmelsesnøjagtighed

Nummer	Afrundet værdi	Nøjagtighed (sammenfald af cifre )
$\pi$	3.14159265…
${\frac {22}{7))$	3,14 285714…	2 decimaler
${\frac {377}{120}}$	3.141 66667…	3 decimaler
${\frac {355}{113}}$	3.141592 92…	6 decimaler

Åbne numre

Det nøjagtige mål for irrationalitet for tallene og er ukendt (men det er kendt, at det ikke overstiger 7,103205334137) [34] [35] . $\pi$ $\pi ^{2}$ $\pi$
Målingen af irrationalitet er ikke kendt for nogen af følgende tal: Det vides ikke engang for nogen af dem, om det er et rationelt tal, et algebraisk irrationelt tal eller et transcendentalt tal. Derfor vides det ikke, om tallene og er algebraisk uafhængige [6] [36] [37] [38] [39] . $\pi +e,\pi -e,\pi \cdot e,{\frac {\pi }{e)),\pi ^{e},\pi ^{\sqrt {2)),\ln \pi ,\pi ^{\pi},e^{\pi ^{2)).$ $\pi$ $e$
Det vides ikke, om det er et heltal ved et positivt heltal (se tetration ). ${^{n}\pi }$ $n$
Indtil videre vides intet om tallets normalitet ; det vides ikke engang, hvilket af cifrene 0-9 der forekommer i decimalrepræsentationen af tallet et uendeligt antal gange. Et computertjek på 200 milliarder decimaler viste, at alle 10 cifre forekommer næsten lige så ofte i denne post [40] : $\pi$ $\pi$ $\pi$

Nummer	Hvor mange gange vises det
0	20 000 030 841
en	19 999 914 711
2	20 000 013 697
3	20 000 069 393
fire	19 999 921 691
5	19 999 917 053
6	19 999 881 515
7	19 999 967 594
otte	20 000 291 044
9	19 999 869 180

Der er dog ingen strenge beviser.

Det vides ikke, om den tilhører perioderingen . ${\frac {1}{\pi ))$

Buffon nåle metode

På et plan beklædt med ækvidistante linjer kastes tilfældigt en nål, hvis længde er lig med afstanden mellem tilstødende linjer, således at nålen i hvert kast enten ikke krydser linjerne, eller krydser nøjagtig en. Det kan bevises, at forholdet mellem antallet af skæringer af nålen med en eller anden linje og det samlede antal kast har en tendens til , når antallet af kast stiger til uendeligt [41] . Denne nålemetode er baseret på sandsynlighedsteori og ligger til grund for Monte Carlo-metoden [42] . ${\frac {2}{\pi }}$

Mnemoniske regler og huskeregistreringer

Digte til at huske 8-11 cifre af tallet π:

For ikke at lave fejl,
skal vi læse rigtigt:
Tre, fjorten, femten,
92 og seks.

Du skal bare prøve
og huske alt, som det er:
Tre, fjorten, femten,
92 og seks.

Tre, fjorten, femten,
ni, to, seks, fem, tre, fem.
For at engagere sig i videnskab bør
alle vide dette.

Du kan bare prøve at
gentage oftere:
"Tre, fjorten, femten,
ni, seksogtyve og fem."

Memorisering kan hjælpes ved at observere den poetiske størrelse:

Tre, fjorten, femten, ni to, seks fem, tre fem
Otte ni, syv og ni, tre to, tre otte, seksogfyrre
To seks fire, tre tre otte, tre to syv ni, fem nul to
Otte otte og fire, nitten syv en

Der er vers, hvor de første cifre i tallet π er krypteret som antallet af bogstaver i ord:

Dette ved og husker jeg udmærket: Og
mange tegn er mig overflødige, forgæves.
Lad os stole på den store viden
De, der talte, antallet af armadaen.

Lær og kend i tallet kendt
Bag tallet er tallet, hvordan man mærker held og lykke.

Siden Kolya og Arina
Vi rev fjer senge.
Hvidt fnug fløj, kredsede,
modigt, frøs,
tilfreds,
men han gav os
gamle kvinders hovedpine.
Wow, farlig fnugånd!

- Georgy Alexandrov

Lignende vers fandtes også i ortografi før reformen . For eksempel følgende digt, komponeret af læreren fra Nizhny Novgorod gymnasium Shenrok [43] :

Den, der i spøg og snart ønsker
at kende Pi, kender allerede nummeret.

Verdensrekorden i at huske decimaler tilhører den 21-årige indiske studerende Rajveer Meena, som i marts 2015 gengav 70.000 decimaler på 9 timer og 27 minutter [44] . Forinden var rekorden i næsten 10 år holdt af kineseren Liu Chao, som i 2006 gengav 67.890 decimaler uden fejl inden for 24 timer og 4 minutter [45] [46] . I samme 2006 udtalte japaneren Akira Haraguchi, at han huskede tallet op til 100.000. decimal [47] , men det var ikke officielt bekræftet [48] . $\pi$ $\pi$

I Rusland blev memoreringsrekorden sat i 2019 af Denis Babushkin (13.202 tegn) [49] .

I kulturen

I staten Indiana (USA) blev Pi-lovforslaget i 1897 vedtaget, som lovmæssigt fastsatte dens værdi lig med 3,2 [50] . Dette lovforslag blev ikke lov på grund af rettidig indgriben fra en professor ved Purdue University , som var til stede i statens lovgiver under behandlingen af denne lov;
Der er en spillefilm opkaldt efter Pi;
Den uofficielle helligdag " Pi Day " fejres årligt den 14. marts , som i amerikansk datoformat (måned/dag) skrives som 3.14, hvilket svarer til den omtrentlige værdi af tallet . Det menes [51] at helligdagen blev opfundet i 1987 af San Francisco -fysikeren Larry Shaw , som gjorde opmærksom på, at den 14. marts kl. 01:59 falder datoen og klokkeslættet sammen med de første cifre i Pi = 3,14159; $\pi$
- En anden dato forbundet med tallet er
22. juli , som kaldes " Pi Approximation Day ", da denne dag i det europæiske datoformat er skrevet som 22/7, og værdien af denne brøk er en rationel, tilnærmet værdi tal . $\pi$ $\pi$

Det amerikanske progressive metalband After The Burial indspillede sangen Pi - The Mercury God of Infinity, hvor rytmeguitar- og bastrommedelene er baseret på de højeste cifre i decimalbrøken af tallet .

\pi

François Arago skrev i "Commonly intelligible Astronomy" [52] :

Lad os se med hvilken nøjagtighed det er muligt ved hjælp af tallene Pi (Pi-tal) til at beregne omkredsen, hvis radius er lig med Jordens gennemsnitlige afstand fra Solen (150.000.000 km). Hvis vi tager 18 cifre for Pi, så vil en fejl på en enhed i det sidste ciffer medføre en fejl på 0,0003 millimeter i længden af den beregnede cirkel; det er meget mindre end hårets tykkelse.

Vi tog 18 cifre af Pi. Det er let at forestille sig, hvilken ufattelig lille fejl der ville være begået, givet den beregnede cirkels enorme størrelse, hvis alle de kendte tal blev brugt til Pi. Ud fra det, der er blevet sagt, er det klart, hvor fejlagtigt de tager, som tror, at videnskaberne ville ændre deres form, og deres applikationer ville have stor gavn af at finde en nøjagtig Pi, hvis den eksisterede.

Så selv for astronomi‚ - videnskaben, der tyer til de mest nøjagtige beregninger‚ - er en fuldstændig nøjagtig løsning ikke påkrævet ...

se også

Noter

Kommentarer

↑ Denne definition er kun gyldig for euklidisk geometri . I andre geometrier kan forholdet mellem en cirkels omkreds og længden af dens diameter være vilkårligt. For eksempel i Lobachevsky geometri er dette forhold mindre end . $\pi$
↑ I dag beregnes tallet ved hjælp af en computer med en nøjagtighed på billioner af cifre, hvilket er af mere teknisk end videnskabelig interesse, fordi en sådan nøjagtighed ikke er til nogen praktisk nytte. Nøjagtigheden af beregningen er normalt begrænset af de tilgængelige ressourcer på computeren, oftest af tid, noget sjældnere af mængden af hukommelse. $\pi$

Kilder

↑ P.I. _ Hentet 13. september 2010. Arkiveret fra originalen 3. september 2010. (ubestemt)
↑ 1 2 Pavel Kotov. En Google Cloud-medarbejder har beregnet antallet af pi til 100 billioner decimaler - det er en ny rekord . 3DNews Daily Digital Digest (06/09/2022). Hentet 10. juni 2022. Arkiveret fra originalen 10. juni 2022. (ubestemt)
↑ Lambert, Johann Heinrich . Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendentes circulaires et logaritmiques, s. 265-322.
↑ Kleins bevis er knyttet til værket "Spørgsmål om elementær og højere matematik", del 1, udgivet i Göttingen i 1908.
↑ Weisstein, Eric W. Gelfonds konstant på Wolfram MathWorld -webstedet .
↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Irrational Number (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .
↑ Modulære funktioner og spørgsmål om transcendens
↑ Romer P. Nyt udtryk for π // V.O.F.E.M. . - 1890. - nr. 97 . - S. 2-4 . (Russisk)
↑ Weisstein, Eric W. Pi Squared på Wolfram MathWorld- webstedet .
↑ Gnezdovsky Yu. Yu . Introduktion // Håndbog i trigonometri. - Økoperspektiv, 2006. - S. 3. - ISBN 985-469-141-1 .
↑ 1 2 Det allestedsnærværende tal "pi", 2007 , s. 10-11.
↑ Kympan, 1971 .
↑ E. M. Bruins . Quelques textes mathématiques de la Mission de Suse Arkiveret 3. marts 2016 på Wayback Machine , 1950.
↑ Stroik D. Ya. Kort essay om matematikkens historie = Abriss der Geschichte der Mathematik / Per. med det.; Ch. udg. Fysisk.-Matematik. litteratur. - 4. udg., Rev. - M . : Science , 1984. - S. 47-48. — 285 s. — ISBN 5-02-014329-4 . (Russisk)
↑ Det allestedsnærværende tal "pi", 2007 , s. 29.
↑ Kympan, 1971 , s. 81.
↑ Pi: En kildebog . Hentet 19. november 2021. Arkiveret fra originalen 19. november 2021. (ubestemt)
↑ Isaac Newton. Matematiske værker (oversat og revideret af Morduchai-Boltovsky) / Morduchai-Boltovsky (også oversættelse og kommentarer). - Moskva, Leningrad: Hovedforlaget for teknisk og teoretisk litteratur, 1937.
↑ Arndt, George; Haenel, Christoph. Pi sluppet løs . — Springer-Verlag , 2006. — S. 194–196. - 270 sider. - ISBN 978-3-540-66572-4 .
↑ Joaquin Navarro, 2014 , s. elleve..
↑ Brent, Richard (1975), Traub, JF, red., Multiple-precision zero-finding methods and the complexity of elementary function evaluation , Analytic Computational Complexity (New York: Academic Press): 151–176 , < http:// wwwmaths.anu.edu.au/~brent/pub/pub028.html > Arkiveret 23. juli 2008 på Wayback Machine
↑ Jonathan M Borwein. Pi: En kildebog. - Springer, 2004. - ISBN 0387205713 . (Engelsk)
↑ 1 2 David H. Bailey, Peter B. Borwein, Simon Plouffe. Om den hurtige beregning af forskellige polylogaritmiske konstanter // Beregningsmatematik. - 1997. - T. 66 , no. 218 . - S. 903-913 . (Engelsk)
↑ Fabrice Bellard . En ny formel til at beregne det n'te binære ciffer i pi . Hentet 11. januar 2010. Arkiveret fra originalen 21. august 2011.
↑ Simon Plouffe. Indentiteter inspireret af Ramanujans notesbøger (del 2) (eng.) (utilgængeligt link) . Hentet 11. januar 2010. Arkiveret fra originalen 21. august 2011.
↑ En ny rekord for nøjagtigheden af at beregne tallet π er sat (utilgængeligt link) . Hentet 20. august 2009. Arkiveret fra originalen 22. august 2009. (ubestemt)
↑ 10 billioner decimalcifre bestemt for π (downlink) . Hentet 4. oktober 2019. Arkiveret fra originalen 25. juli 2018. (ubestemt)
↑ Runde 2...10 billioner cifre af Pi . Dato for adgang: 22. oktober 2011. Arkiveret fra originalen 1. oktober 2018. (ubestemt)
↑ Pi - 12,1 billioner cifre . www.numberworld.org. Hentet 29. oktober 2019. Arkiveret fra originalen 1. oktober 2018. (ubestemt)
↑ Værdien af tallet "pi" blev beregnet til 31,4 billioner decimaler . www.mk.ru Hentet 14. marts 2019. Arkiveret fra originalen 14. marts 2019. (Russisk)
↑ Schweiziske forskere erklærer ny rekord for nøjagtig pi- tal . phys.org (17. august 2021). Hentet 17. august 2021. Arkiveret fra originalen 17. august 2021.
↑ Verdensrekordforsøg af UAS Grisons . fhgr.ch (17. august 2021). Hentet 17. august 2021. Arkiveret fra originalen 17. august 2021.
↑ Roman Kildyushkin. Google sætter verdensrekord i Pi-beregning Google har beregnet Pi til 100 billioner decimaler . Gazeta.ru (9.06.2022). Hentet 10. juni 2022. Arkiveret fra originalen 10. juni 2022. (ubestemt)
↑ Weisstein, Eric W. Mål for irrationalitet hos Wolfram MathWorld .
↑ Doron Zeilberger, Wadim Zudilin. Irrationalitetsmålet for Pi er højst 7,103205334137 . archive.org (2019). Arkiveret 17. oktober 2020. (ubestemt)
↑ Weisstein, Eric W. Pi på Wolfram MathWorld- webstedet .
↑ Nogle uløste problemer i talteorien . Hentet 27. september 2010. Arkiveret fra originalen 19. juli 2010. (ubestemt)
↑ Weisstein, Eric W. Transcendental nummer (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .
↑ En introduktion til irrationalitet og transcendensmetoder . Dato for adgang: 27. september 2010. Arkiveret fra originalen 17. maj 2013. (ubestemt)
↑ Det allestedsnærværende tal "pi", 2007 , s. 67-69.
↑ Bedrag eller vildfarelse? Arkiveret 30. januar 2012 på Wayback Machine // Kvant. - 1983. - Nr. 5.
↑ Galperin G.A. Dynamisk billardsystem til pi Arkivkopi af 13. juni 2014 på Wayback Machine .
↑ "Elementær geometri" Kiselyov s. 225
↑ 21-årig husker 70.000 pi-cifre, sætter Guinness-rekord . Hentet 3. april 2016. Arkiveret fra originalen 18. april 2016. (ubestemt)
↑ Kinesisk studerende slår Guiness rekord ved at recitere 67.890 pi-cifre . Hentet 26. september 2010. Arkiveret fra originalen 7. maj 2011. (ubestemt)
↑ Interview med Mr. Chao Lu . Hentet 26. september 2010. Arkiveret fra originalen 24. september 2010. (ubestemt)
↑ Hvordan kan nogen huske 100.000 numre? — The Japan Times, 17/12/2006.
↑ Pi verdensrangliste . Hentet 26. september 2010. Arkiveret fra originalen 30. september 2010. (ubestemt)
↑ Julia Stalin. "Tanker om Johnny Depp hjalp": en skoledreng fra Jekaterinburg lærte 13202 cifre af Pi udenad . KP.RU (28.10.2019). Hentet 10. juni 2022. Arkiveret fra originalen 15. maj 2022. (ubestemt)
↑ The Indiana Pi Bill, 1897 Arkiveret 17. juni 2016 på Wayback Machine
↑ Los Angeles Times artikel "Would You Like a Piece "? (navnet spiller på ligheden i stavningen af nummeret og ordet pie (eng. pie)) $\pi$ $\pi$ Arkivkopi dateret 19. februar 2009 på Wayback Machine (utilgængeligt link fra 22-05-2013 [3451 dage] - historie , kopi ) (eng.) .
↑ Citeret fra side 16-17 i bogen: Perelman Ya. I. Squaring the circle. - L . : House of entertaining science, 1941.

Litteratur

Zhukov A. V. På tallet π . - M. : MTsMNO, 2002. - 32 s. - ISBN 5-94057-030-5 .
Zhukov A. V. Det allestedsnærværende tal "pi". - 2. udg. - M . : Forlaget LKI, 2007. - 216 s. - ISBN 978-5-382-00174-6 .
Quimpan, Florida. Historien om pi. — M .: Nauka , 1971. — 217 s.
Navarro, Joaquin. Tallets hemmeligheder Hvorfor problemet med at kvadrere cirklen er uløseligt. — M .: De Agostini, 2014. — 143 s. — (Matematikkens verden: i 45 bind, bind 7). - ISBN 978-5-9774-0629-1 . $\pi.$
Perelman Ya. I. Kvadring af cirklen. - L . : House of entertaining science, 1941.Genudgivelse: YOYO Media,ISBN 978-5-458-62773-3.
Shumikhin S., Shumikhina A. Pi-nummer. En historie på 4000 år. - M . : Eksmo, 2011. - 192 s. - (universets hemmeligheder). - ISBN 978-5-699-51331-4 . — ISBN 5-4574041-9-6 . - ISBN 978-5-4574041-9-9 .
David H. Bailey, Jonathan M. Borwein. Pi: The Next Generation En kildebog om Pi's seneste historie og dens beregninger. - Springer, 2016. - 507 s. — ISBN 978-3-319-32375-6 .
Arndt, George; Haenel, Christoph. Pi sluppet løs . — Springer-Verlag , 2006. — S. 194–196. - 270 sider. - ISBN 978-3-540-66572-4 .

Links

pi.delivery Arkiveret 10. november 2020 på Wayback Machine 50 billioner cifre pi (verdensrekord).
Weisstein, Eric W. Pi Formulas (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .
Forskellige repræsentationer af Pi arkiveret 12. august 2011 på Wayback Machine på WolframAlpha
https://functions.wolfram.com/Constants/Pi/ Arkiveret 12. januar 2021 på Wayback Machine
sekvens A000796 i OEIS
22,4 billioner cifre af pi Arkiveret 10. november 2020 på Wayback Machine

Ordbøger og encyklopædier

I bibliografiske kataloger
BNE : XX536170 GND : 4174646-6 J9U : 987007546007205171 LCCN : sh85101712 NDL : 00562015 NKC : ph117728

Tal med egennavne

Matematiske konstanter

Algebraisk

Transcendental ,
sandsynligvis transcendental

Tusind grader

Gamle russiske tal

Andre tipotenser

12 magter

Andet hele

Andre numre

imaginær enhed

Irrationelle tal
Apéry konstant ( ζ(3) ) Erdős-Borwein konstant ( E ) Feigenbaum konstanter Sofomorisk drøm Primtalskonstant (ρ) Plastnummer (ρ) Logaritme af to (ln 2) 12. rod af 2 ( 12 √ 2 ) Kvadratroden af 2 ( √ 2 ) Kvadratroden af 3 ( √ 3 ) Kvadratroden af 5 ( √5 ) Gyldne forhold (φ) Super gyldne snit (ψ) Sølvsektion ( δS ) e π Gelfond konstant ( e π ) Gelfond-Schneider konstant ( 2 √ 2 ) Invers Fibonacci konstant (ψ)
transcendental Trigonometrisk