Vektorregning

Vektorregning  er en gren af ​​matematikken , der studerer egenskaberne ved operationer på vektorer [1] . På grund af de mange forskellige træk ved vektorer, afhængigt af det rum, hvor de studeres, er vektorregning opdelt i:

• vektoralgebra;
• vektoranalyse;
• funktionel analyse.

En udvidelse af vektorregning er tensorregning , som studerer tensorer og tensorfelter . Tensorregning er til gengæld opdelt i tensoralgebra (inkluderet som hoveddelen i multilineær algebra ) og tensoranalyse , som studerer differentialoperatorer på tensorfelternes algebra.

Tensorregning er en integreret del af differentialgeometri , der blandt andet bruges i moderne teoretisk fysik [2] .

Sektioner af vektorregning

Vektoralgebra

I dette afsnit af vektorregning studeres egenskaberne ved lineære operationer med vektorer: addition, multiplikation af vektorer med et tal, forskellige produkter af vektorer - skalar, pseudoskalær, vektor, blandet, dobbeltvektor osv. [3] . Som en applikation til analytisk geometri studeres de geometriske egenskaber af vektorer og deres samlinger. Især kollinearitet, komplanaritet af vektorer, egenskaber af en vektorbasis. I analytisk og teoretisk mekanik, baseret på lovene i vektoralgebra, studeres bevægelse og interaktion mellem materielle legemer [4]

En udvidelse af vektoralgebra er tensoralgebra , som udforsker algebraiske operationer på tensorer [5] .

Vektoranalyse

En gren af ​​vektorregning, der studerer statiske, stationære og dynamiske vektor- og skalarfelter . Vektoranalyse opererer med begreberne vektorflow , vektorcirkulation , [6] . Ved hjælp af disse begreber studerer vi forholdet mellem skalarerne og vektorerne, der definerer felterne og beviser de grundlæggende sætninger for vektoranalyse:

• Gradient
• Vektor divergenssætning ;
• Vektorcirkulationssætning ;
• Laplaces ligning ;
• Poissons ligning ;
• Helmholtz nedbrydningssætning ;
• Umovs sætning [7] .

En udvidelse af vektoranalyse er tensoranalyse , som studerer differentialoperatorer, der virker på en algebra . Mere generelle operatorer overvejes også: tensortætheder, differentialformer med værdier i et vektorbundt [8] .

Funktionsanalyse

Funktionsanalyse er en del af moderne matematisk analyse, hvis hovedformål er at studere funktioner , hvor mindst en af ​​variablerne varierer over et uendeligt rum [9] .

Metoder baseret på vektorrepræsentationen af ​​funktioner har fundet bred anvendelse i teorien om lineære integralligninger [10] , i teorien om signalbehandling [11] , i teorien om almindelige differentialligninger [12] , algebraisk geometri [13] , etc.

Noter

1. ↑ Ivanov A. B. Vektorregning. Matematisk encyklopædi, red. Vinogradova I. M., M., Soviet Encyclopedia, bind 1, s. 640
2. ↑ Onischuk A. L. Tensorregning. Matematisk encyklopædi. Ed. Vinogradova I. M., M., Soviet Encyclopedia, bind 5, s. 330
3. ↑ Pytiev Yu. P. Vektoralgebra  . Matematisk encyklopædi, red. Vinogradova I. M., M., Soviet Encyclopedia, bind 1, s. 632-636
4. ↑ Olkhovsky I. I. Kursus i teoretisk mekanik for fysikere. M., Videnskab, 1970
5. ↑ Onischuk A. L. Tensor algebra. Matematisk encyklopædi. Ed. Vinogradova I. M., M., Soviet Encyclopedia, bind 5, s. 329
6. ↑ Ivanov A. B. Vektoranalyse. Matematisk encyklopædi, red. Vinogradova I. M., M., Soviet Encyclopedia, bind 1, s. 648
7. ↑ bevægelse af energi i kroppen (Umov) / I
8. ↑ Onischuk A. L. Tensoranalyse. Matematisk encyklopædi. Ed. Vinogradova I. M., M., Soviet Encyclopedia, bind 5, s. 333
9. ↑ Berezansky Yu. M., Levitan B. M. Funktionel analyse. Matematisk encyklopædi. Ed. Vinogradova I. M., M., Soviet Encyclopedia, bind 5, s. 705-712
10. ↑ Korn G., Korn T. Håndbog i matematik for videnskabsmænd og ingeniører. M., Nauka, 1968, s. 399
11. ↑ Samoilo K. A. Radiokredsløb og signaler. M., Radio og kommunikation, 1982, s. 39
12. ↑ Pontryagin L. S.  Almindelige differentialligninger. M., Nauka, 1970, s. 103
13. ↑ Chebotarev N. G. Teori om algebraiske funktioner. M., OGIZ, 1948, s. 385

Ordbøger og encyklopædier	Stor russer