Tomt sæt

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 16. april 2022; verifikation kræver 1 redigering .

En tom mængde (i matematik ) er en mængde , der ikke indeholder et enkelt element . Det følger af volumenaksiomet , at der kun er et sæt, der har denne egenskab. Det tomme sæt er dets (trivielle) delmængde , men er ikke dets element.

Den tomme mængde er en finit mængde og har den mindste kardinalitet blandt alle sæt. Det tomme sæt er det eneste sæt, hvor klassen af ​​mængder, der svarer til det, består af et enkelt element (selve det tomme sæt). Det tomme sæt er også det eneste sæt, der har præcis 1 undersæt (af sig selv), og det eneste sæt, der svarer til nogen af ​​dets undersæt.

Den tomme mængde er trivielt afgørbar (og dermed optællig og aritmetisk ), transitiv og velordnet (for enhver rækkefølge). Det tomme sæt er det mindste ordenstal og det mindste kardinaltal . I topologi er det tomme sæt både lukket og åbent .

-kæde, startende fra et vilkårligt sæt, hvor hvert efterfølgende medlem er et element af det foregående, ender altid med et tomt sæt efter et begrænset antal trin (se regularitetsaksiom ). Det tomme sæt er således byggestenen, som alle andre sæt er bygget af.

I nogle formuleringer af mængdeteori postuleres eksistensen af ​​en tom mængde (se det tomme mængde aksiom ), i andre bevises det.

Det tomme sæt spiller en ekstremt vigtig rolle i matematik. [en]

Tom sæt notation

Det tomme sæt betegnes normalt som , eller . Mindre almindeligt er det tomme sæt angivet med et af følgende symboler: og [2] .

Symbolerne og blev introduceret i brug af Bourbaki-gruppen (navnlig André Weil ) i 1939. Prototypen var bogstavet Ø fra det dansk-norske alfabet [3] .

Tegnet "tomt sæt" er repræsenteret i Unicode ( U+ 2205 ∅ tomt sæt ) [4] , og selvom det ikke er tilgængeligt på almindelige tastaturer, kan det indtastes fra tastaturet:

• i HTML som ∅ eller ∅
• i LaTeX er dens kode \varnothing (tegnet er kodet af \emptyset )
• i Microsoft Word kan et tegn tilgås ved at skrive 2205og trykke på Alt+X
• på Windows med Alt-kode Alt +8709
• på systemer, der bruger X Window System ( Unix / Linux / ChromeOS osv.), ved at bruge kombinationen ++ Ctrleller bruge Compose- tasten ved at trykke på [5] efter tur .⇧ Shiftu 2205ПробелCompose{}

I tekster på sprog som dansk eller norsk, hvor det tomme sæt-tegn kan forveksles med alfabetets bogstav Ø (når det bruges i lingvistik), kan Unicode-tegnet U+ 29B0 ⦰ omvendt tomt sæt (HTML  ⦰) [6] bruges i stedet for .

Egenskaber for det tomme sæt

• Intet sæt er et element i det tomme sæt. Med andre ord, og i særdeleshed .
• Det tomme sæt er en delmængde af ethvert sæt. Med andre ord, og i særdeleshed .
• Foreningen af ​​det tomme sæt med ethvert sæt er lig med det sidste [specificerede sæt]. Med andre ord, og i særdeleshed .
• Skæringspunktet mellem det tomme sæt og ethvert sæt er lig med det tomme sæt. Med andre ord, og i særdeleshed .
• Skæringspunktet mellem ethvert sæt og dets komplement er lig med det tomme sæt. Med andre ord .
• Elimineringen af ​​det tomme sæt fra ethvert sæt er lig med det sidste [specificerede sæt]. Med andre ord, og i særdeleshed .
• Elimineringen af ​​ethvert sæt fra det tomme sæt er lig med det tomme sæt. Med andre ord, og i særdeleshed .
• Den symmetriske forskel mellem det tomme sæt og ethvert sæt er lig med det sidste [specificerede sæt]. Med andre ord, og i særdeleshed
• Det kartesiske produkt af det tomme sæt og ethvert sæt er lig med det tomme sæt. Med andre ord, og i særdeleshed .
• Det tomme sæt er transitivt. Med andre ord , hvor .
• Det tomme sæt er ikke reflekterende, symmetrisk, antisymmetrisk.
• Det tomme sæt er en ordinal . Med andre ord , hvor .
• Kardinalitet af det tomme sæt er nul . Med andre ord .
• Målet for det tomme sæt er nul. Med andre ord,

Se også

• Tomt sæt aksiom
• Axiomatik af mængdelære

Noter

1. ↑

   Hvis medlemmerne af ethvert sæt, som det antages i vores system, også er mængder (inklusive det tomme sæt) og ikke individer, så siger det sig selv, at den eneste primære bestanddel af ... enhver mængde er den tomme mængde.

   Frenkel A. A. , Bar-Hillel I. Fundamenter for mængdeteori. - M .: Mir, 1966. - S. 117.
2. ↑ Rudin, Walter. Principper for matematisk analyse . — 3. - McGraw-Hill, 1976. - S. 300. - ISBN 007054235X .
3. ↑ Tidligste brug af symboler i mængdeteori og  logik . - Historien om fremkomsten af ​​symboler for mængdeteori og logik. Dato for adgang: 28. september 2010. Arkiveret fra originalen 21. august 2011.
4. ↑ Unicode-standarden, version 13.0 . Matematiske operatører, rækkevidde: 2200–22FF  (engelsk) (PDF) . Unicode Inc (2020) . Hentet 6. august 2020. Arkiveret fra originalen 12. juni 2018.
5. ↑ Monniaux, David UTF-8 (Unicode) komponer  sekvens . — Konfigurationsfil med tegn indtastet ved hjælp af Compose-tasten. Hentet 25. juni 2020. Arkiveret fra originalen 3. august 2020.
6. ↑ For eksempel Grønnum, Nina. Fonetik og Fonologi: Almen og dansk: [ Danish. ] . — København: Akademisk forlag, 2013. — ISBN 978-87-500-4045-3 , 87-500-4045-6.

Litteratur

• Stoll R. Sæt, logik, aksiomatiske teorier. — M .: Mir, 1968. — 231 s.
• Nefedov V.N. , Osipova V.A. Diskret matematikkursus. - M. : MAI, 1992. - 264 s. — ISBN 5-7035-0157-X .
• Halmos, Paul , Naiv sætteori . Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Genoptrykt af Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag-udgaven). Genoptrykt af Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (paperback-udgave).
• Jech, Thomas (2002), Set Theory (3rd millennium ed.), Springer Monographs in Mathematics, Springer, ISBN 3-540-44085-2 
• Graham, Malcolm (1975), Modern Elementary Mathematics (2. udgave), Harcourt Brace Jovanovich , ISBN 0155610392