Euklids aksiom for parallelisme

Euklids aksiom for parallelisme , eller det femte postulat , er et af de aksiomer , der ligger til grund for klassisk planimetri . Først givet i " Principles " af Euclid [1] :

Og hvis en linje, der falder på to linjer, danner indre og på den ene side vinkler mindre end to linjer , så vil disse linjer forlænget i det uendelige mødes på den side, hvor vinklerne er mindre end to linjer.

Originaltekst  (gammelgræsk)[ Visskjule] Καὶ ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη γωνίας δύο ὀρθῶν ἐλάσσονας ποιῇ, ἐκβαλλομένας τὰς δύο εὐθείας ἐπ' ἄπειρον συμπίπτειν, ἐφ' ἃ μέρη εἰσὶν αἱ τῶν δύο ὀρθῶν ἐλάσσονες. — ΣTOIXEIA EΥKΛEI∆OΥ

Euklid bruger begreberne postulat og aksiom uden at forklare deres forskelle; i forskellige manuskripter af "Begyndelsen" af Euklid er opdelingen af ​​udsagn i aksiomer og postulater forskellig, ligesom deres rækkefølge ikke er sammenfaldende. I Geibergs klassiske udgave af Principia er det anførte udsagn det femte postulat.

I moderne sprog kan Euklids tekst omformuleres som følger [2] :

Hvis [på planet] i skæringspunktet mellem to linjer i den tredje, summen af ​​de indre ensidede vinkler er mindre end 180 °, så skærer disse linjer med tilstrækkelig fortsættelse, og desuden på den side, hvorfra denne sum er mindre end 180°.

Afklaringen på hvilken side linjerne skærer, tilføjede Euklid, sandsynligvis for klarhedens skyld - det er let at bevise, at det følger af selve det faktum, at krydsets eksistens [2] .

Det femte postulat er ekstremt forskelligt fra Euklids andre postulater, som er enklere og mere indlysende (se Elements of Euclid ). Derfor stoppede forsøgene i to årtusinder ikke på at udelukke det fra listen over aksiomer og udlede det som et teorem . Alle disse forsøg endte i fiasko. "Det er nok umuligt at finde en mere spændende og dramatisk historie i videnskaben end historien om Euklids femte postulat" [3] . På trods af det negative resultat var disse søgninger ikke forgæves, da de i sidste ende førte til en revision af videnskabelige ideer om universets geometri [4] .

Ækvivalente formuleringer af parallelpostulatet

I moderne kilder er der sædvanligvis givet en anden formulering af parallelpostulatet, svarende til V-postulatet og tilhører Proclus [5] (det kaldes undertiden Playfairs aksiom ):

I et plan , gennem et punkt, der ikke er på en given linje , kan kun én linje trækkes parallelt med den givne linje.

I denne formulering erstattes ordene "en og kun én" ofte med "kun én" eller "ikke mere end én", da eksistensen af ​​mindst én sådan parallel følger umiddelbart af sætning 27 og 28 i Euklids elementer.

Generelt har det femte postulat et stort antal ækvivalente formuleringer, hvoraf mange i sig selv virker ret indlysende. Her er nogle af dem [6] [7] [8] .

Deres ækvivalens betyder, at alle af dem kan bevises, hvis vi accepterer V-postulatet, og omvendt, erstatter V-postulatet med nogen af ​​disse udsagn, kan vi bevise det oprindelige V-postulat som en sætning.

Hvis vi i stedet for V-postulatet antager, at for et par punkter - en ret linje, er V-postulatet forkert, så vil det resulterende system af aksiomer beskrive Lobachevskys geometri . Det er klart, at i Lobachevskys geometri er alle de ovennævnte ækvivalente udsagn falske.

Det femte postulat skiller sig skarpt ud fra andre, ganske indlysende, det ligner mere en kompleks, ikke-indlysende teorem. Euklid var sandsynligvis klar over dette, og derfor er de første 28 sætninger i Elementerne bevist uden hans hjælp.

"Euklid må bestemt have kendt de forskellige former for parallelpostulatet" [5] . Hvorfor valgte han reduceret, komplekst og besværligt? Historikere har spekuleret i årsagerne til dette valg. V.P. Smilga mente, at Euklid ved en sådan formulering indikerede, at denne del af teorien var ufuldstændig [10] . M. Kline gør opmærksom på, at Euklids femte postulat har en lokal karakter, det vil sige, at det beskriver en hændelse på et begrænset område af flyet, mens for eksempel Procluss formulering hævder faktum om parallelisme, som kræver overvejelse af hele den uendelige linje [11] . Det må gøres klart, at gamle matematikere undgik at bruge den faktiske uendelighed ; for eksempel hævder Euklids andet postulat ikke linjens uendelighed, men kun at "linien kan forlænges kontinuerligt." Fra oldtidens matematikeres synspunkt kunne ovenstående ækvivalenter til parallelpostulatet virke uacceptable: De refererer enten til den faktiske uendelighed eller det (endnu ikke indførte) målebegreb, eller de er heller ikke særlig indlysende. En anden version blev fremsat af historikeren Imre Toth [12] : Den euklidiske formulering kan have været en (fejlagtigt bevist) sætning fra en af ​​Euklids forgængere, og da de var overbevist om, at den ikke kunne bevises, blev status for sætningen blev hævet til et postulat uden at ændre ordlyden.

Absolut geometri

Hvis V-postulatet er udelukket fra listen over aksiomer, vil det resulterende system af aksiomer beskrive den såkaldte absolutte geometri . Især de første 28 sætninger i Euklids "Principler" bevises uden brug af V-postulatet og refererer derfor til absolut geometri. Til det følgende bemærker vi to sætninger om absolut geometri:

Forsøg på at bevise

Matematikere har længe forsøgt at "forbedre Euklid" - enten at udelukke det femte postulat fra antallet af begyndelsesudsagn, det vil sige at bevise det ved at stole på resten af ​​postulater og aksiomer, eller at erstatte det med et andet, som indlysende som andre postulater. Håbet om opnåeligheden af ​​dette resultat blev understøttet af det faktum, at Euklids IV-postulat ( alle rette vinkler er lige ) virkelig viste sig at være overflødigt - det blev strengt bevist som en teorem og udelukket fra listen over aksiomer [6] .

I løbet af to årtusinder blev der foreslået mange beviser på det femte postulat, men før eller siden blev der opdaget en logisk fejl i hver af dem ("en ond cirkel i bevis "): det viste sig, at blandt de eksplicitte eller implicitte præmisser var et udsagn, der ikke kunne bevises uden at bruge det samme femte postulat.

Proclus ( 5. århundrede e.Kr.) rapporterer i sin "Commentary on Book I of Euclid's Elements" at Claudius Ptolemæus fremlagde et sådant bevis , kritiserer hans bevis og tilbyder sit eget [13] . I en noget forenklet form kan det beskrives således: lad linjen passere gennem et givet punkt parallelt med linjen ; vi vil bevise, at enhver anden linje gennem det samme punkt skærer linjen . Som nævnt ovenfor øges afstanden mellem linjerne fra punktet for deres skæringspunkt uendeligt (vi understreger endnu en gang, at beviset for denne sætning ikke er baseret på V-postulatet). Men så vil afstanden mellem og i sidste ende overstige afstanden mellem de parallelle linjer, det vil sige linjerne og vil skære hinanden.

Ovenstående bevis er baseret på den antagelse, at afstanden mellem to parallelle linjer er konstant (eller i det mindste begrænset). Efterfølgende viste det sig, at denne antagelse svarer til det femte postulat.

Posidonius (I århundrede f.Kr.) foreslog at definere parallelle som rette linjer, lige langt fra hinanden i hele deres længde. Ud fra denne definition kan det femte postulat let udledes. Definitionen af ​​Posidonius er imidlertid forkert: det følger ikke noget sted, at en linje med lige stor afstand fra en given linje er en linje [14] .

Efter den antikke kulturs tilbagegang blev postulat V taget op af matematikerne i islams lande. Beviset for al-Jawhari , en elev af al-Khwarizmi ( IX århundrede ) [15] , implicit underforstået: hvis de tværliggende vinkler er ens ved skæringspunktet mellem to linjer i en tredjedel, så finder det samme sted, når de samme to linjer skærer enhver anden. Og denne antagelse svarer til det femte postulat.

Thabit ibn Qurra ( 9. århundrede ) gav to beviser; i den første støtter han sig på den antagelse, at hvis to linjer bevæger sig væk fra hinanden på den ene side, så nærmer de sig nødvendigvis på den anden side. I den anden, ligesom Posidonius, går han ud fra eksistensen af ​​lige linjer, og Ibn Kurra forsøger at udlede denne kendsgerning fra begrebet "simpel bevægelse", dvs. ensartet bevægelse i en fast afstand fra den rette linje (det synes indlysende for ham, at en sådan bevægelses bane også er en ret linje) [16] . Hver af de to nævnte udtalelser fra Ibn Qurra svarer til det femte postulat.

Ibn al-Haytham lavede en lignende fejl , men han overvejede først figuren, som senere blev kendt som " Lambert-firkanten " - en firkant med tre indre vinkler, der er rette. Han formulerede tre mulige muligheder for den fjerde vinkel: spids, lige, stump. Diskussionen af ​​disse tre hypoteser, i forskellige versioner, er gentagne gange opstået i senere undersøgelser.

Digteren og matematikeren Omar Khayyam kritiserede forsøg på at indføre mekanisk bevægelse i geometrien. Han foreslog at erstatte V-postulatet med et andet, enklere: to konvergerende linjer skærer hinanden, og det er umuligt for to konvergerende linjer at divergere i konvergensretningen. Hver af de to dele af denne erklæring svarer til Euklids postulat [17] .

Al-Abhari fremlagde et bevis svarende til det fra al-Jawhari . Al-Samarkandi citerer dette bevis i sin bog , og en række forskere anså det for at være forfatteren til al-Samarkandi selv. Beviset bygger på den påstand, som er sand i absolut geometri, at for enhver linje, der skærer siderne af en given vinkel, kan der konstrueres en linje mere, der skærer siderne af den samme vinkel og er længere fra dens toppunkt end den første. Men ud fra dette udsagn drager forfatteren den logisk ubegrundede konklusion, at det gennem ethvert punkt inde i en given vinkel er muligt at tegne en linje, der skærer begge sider af denne vinkel - og tager udgangspunkt i dette sidste udsagn, som svarer til V-postulatet, alt videre bevis.

Nasir ad-Din at-Tusi foreslog en konstruktion svarende til den af ​​Omar Khayyam [18] . Bemærk, at at-Tusis værker blev kendt af John Vallis og dermed spillede en rolle i udviklingen af ​​forskning i ikke-euklidisk geometri i Europa.

Det første forsøg i Europa, vi kender til, for at bevise aksiomet for Euklids parallelisme, blev foreslået af Gersonides (alias Levi ben Gershom, XIV århundrede ), som boede i Provence (Frankrig ). Hans bevis var baseret på påstanden om eksistensen af ​​et rektangel [19] .

Beviserne fra jesuitforskeren Christopher Clavius ​​dateres tilbage til det 16. århundrede . Hans bevis, ligesom ibn Qurra, var baseret på påstanden om, at en linje, der er lige langt fra en ret linje, også er en ret linje [20] .

Wallis i 1693 gengiver i et af sine værker oversættelsen af ​​al-Tusis værk og tilbyder en tilsvarende, men enklere formulering: der er ens, men ikke lige figurer [21] . Claude Clairaut tog i hans " Principles of Geometry " ( 1741 ), ligesom Gersonides, i stedet for V-postulatet sin ækvivalent "der er et rektangel".

Generelt kan det siges, at alle de ovennævnte forsøg har medført betydelige fordele: der blev etableret en sammenhæng mellem V-postulatet og andre udsagn, to alternativer til V-postulatet var klart formuleret - den spidse og stumpe vinkelhypotes.

Første skitser af ikke-euklidisk geometri

En dyb undersøgelse af det femte postulat, baseret på et helt originalt princip, blev udført i 1733 af en italiensk jesuitermunk, matematiklærer Girolamo Saccheri . Han udgav et værk med titlen " Euklid, renset for alle pletter, eller et geometrisk forsøg på at etablere de allerførste principper for al geometri ." Saccheris idé var at erstatte V-postulatet med det modsatte udsagn, at udlede så mange konsekvenser som muligt af det nye system af aksiomer og derved konstruere en "falsk geometri", og at finde modsigelser eller åbenlyst uacceptable bestemmelser i denne geometri. Så vil gyldigheden af ​​V-postulatet blive bevist ved modsigelse [22] .

Saccheri betragter alle de samme tre hypoteser om den 4. vinkel på Lambert-firkanten. Han afviste straks den stumpe vinkelhypotese af formelle årsager. Det er let at vise, at i dette tilfælde generelt skærer alle linjer, og så kan vi konkludere, at Euklids postulat V er sandt – han siger jo bare, at linjerne under visse forhold skærer hinanden. Herfra konkluderes det, at "den stumpe vinkelhypotese altid er fuldstændig falsk, da den ødelægger sig selv " [23] .

Derefter fortsætter Saccheri med at tilbagevise "hypotesen for den akutte vinkel", og her er hans undersøgelse meget mere interessant. Han indrømmer, at det er sandt, og én efter én beviser han en hel række følger. Uden at vide det bevæger han sig ret langt i konstruktionen af ​​Lobachevskys geometri . Mange af sætningerne bevist af Saccheri virker intuitivt uacceptable, men han fortsætter kæden af ​​sætninger. Endelig beviser Saccheri, at i "falsk geometri" alle to linjer enten skærer eller har en fælles vinkelret, på begge sider af hvilken de bevæger sig væk fra hinanden, eller bevæger sig væk fra hinanden på den ene side og nærmer sig uendeligt på den anden. På dette tidspunkt drager Saccheri en uventet konklusion: " hypotesen om en spids vinkel er fuldstændig falsk, da den modsiger naturen af ​​en ret linje " [24] .

Tilsyneladende følte Saccheri grundløsheden af ​​dette "bevis", fordi undersøgelsen er i gang. Han betragter ækvidistanten  - stedet for punkter i planet, ækvidistant fra den lige linje; i modsætning til sine forgængere forstår Saccheri, at det i dette tilfælde slet ikke er en lige linje. Men når Saccheri beregner længden af ​​dens bue, begår han en fejl og kommer til en reel modsigelse, hvorefter han afslutter undersøgelsen og erklærer med lettelse, at han "har revet denne ondsindede hypotese op med roden ." Desværre tiltrak Saccheris banebrydende arbejde, udgivet posthumt, ikke matematikernes opmærksomhed, som det fortjente, og først 150 år senere ( 1889 ) opdagede hans landsmand Beltrami dette glemte værk og satte pris på dets historiske betydning.

I anden halvdel af det 18. århundrede udkom mere end 50 værker om teorien om paralleller. I en gennemgang af disse år ( G. S. Klugel ) undersøges mere end 30 forsøg på at bevise det femte postulat, og deres fejlslutning bevises. Den berømte tyske matematiker og fysiker J. G. Lambert , som Klugel korresponderede med, blev også interesseret i problemet; hans "Theory of Parallel Lines" blev udgivet (ligesom Saccheris værk, posthumt) i 1786 .

Lambert var den første til at opdage, at "stump vinkelgeometri" er realiseret på en kugle , hvis vi med rette linjer mener storcirkler . Han udledte ligesom Saccheri mange konsekvenser af "spidsvinkelhypotesen", og han gik meget længere frem end Saccheri; især fandt han, at tilføjelsen af ​​summen af ​​vinklerne i en trekant til 180° er proportional med trekantens areal.

I sin bog bemærkede Lambert klogt [25] :

Det forekommer mig meget bemærkelsesværdigt, at den anden hypotese [om en stump vinkel] er berettiget, hvis vi i stedet for flade trekanter tager sfæriske trekanter. Jeg burde næsten være nødt til at drage en konklusion heraf - den konklusion, at den tredje hypotese gælder for en imaginær sfære . Under alle omstændigheder må der være en grund til, at det langt fra er så let at tilbagevise på flyet, som det kunne lade sig gøre med hensyn til den anden hypotese.

Lambert fandt ikke en modsigelse i spidsvinkelhypotesen og kom til den konklusion, at alle forsøg på at bevise V-postulatet var håbløse. Han udtrykte ikke tvivl om falskheden af ​​"geometrien af ​​en spids vinkel", men at dømme efter hans anden indsigtsfulde bemærkning tænkte Lambert på den mulige fysiske virkelighed af ikke-euklidisk geometri og på konsekvenserne af dette for videnskaben [ 26] :

Der er noget beundringsværdigt ved dette, der får en til at ønske, at den tredje hypotese ville være sand. Og alligevel ville jeg gerne have <…> at det ikke var tilfældet, fordi det ville være forbundet med en række <…> gener. Trigonometriske tabeller ville blive uendeligt omfangsrige, figurernes lighed og proportionalitet ville slet ikke eksistere <...>, astronomi ville have været dårlig.

Lamberts bemærkelsesværdige arbejde var ligesom Saccheris bog langt forud for sin tid og vakte ikke de daværende matematikeres interesse. Samme skæbne overgik " astralgeometrien " hos de tyske matematikere F.K.

I mellemtiden fortsatte forsøgene på at "vaske pletterne væk" fra Euclid (Louis Bertrand, Legendre , Semyon Guryev og andre). Legendre gav så mange som tre beviser på det femte postulat, hvis fejlslutning hurtigt blev vist af hans samtidige [27] . Han udgav sit sidste "bevis" i 1823, tre år før Lobachevskys første rapport om den nye geometri.

Opdagelse af ikke-euklidisk geometri

I første halvdel af det 19. århundrede fulgte K. F. Gauss , J. Bolyai , N. I. Lobachevsky og F. K. Schweikart den sti , som Saccheri havde lagt . Men deres mål var allerede anderledes - ikke at afsløre ikke-euklidisk geometri som umulig, men tværtimod at bygge en alternativ geometri og finde ud af dens mulige rolle i den virkelige verden. Dengang var det en fuldstændig kættersk idé; ingen af ​​videnskabsmændene var tidligere i tvivl om, at det fysiske rum er euklidisk. Det er interessant, at Gauss og Lobachevsky i deres ungdom blev undervist af den samme lærer - Martin Bartels , som dog ikke selv studerede ikke-euklidisk geometri.

Den første var Schweikart. I 1818 sendte han et brev til Gauss med en seriøs analyse af grundlaget for ikke-euklidisk geometri, men afstod fra at bringe sine synspunkter til offentlig diskussion. Gauss turde heller ikke udgive et værk om dette emne, men hans udkast til noter og flere breve bekræfter klart en dyb forståelse af ikke-euklidisk geometri. Her er nogle karakteristiske uddrag fra Gauss' breve, hvor udtrykket " ikke-euklidisk geometri " optræder for første gang i videnskaben [28] :

Antagelsen om, at summen af ​​de tre vinkler i en trekant er mindre end 180°, fører til en ejendommelig, ganske forskellig fra vores [euklidiske] geometri; denne geometri er fuldkommen konsistent, og jeg har udviklet den for mig selv ganske tilfredsstillende; Jeg har mulighed for at løse ethvert problem i denne geometri, bortset fra bestemmelsen af ​​en bestemt konstant [29] , hvis værdi ikke kan fastslås på forhånd.

Jo mere værdi vi giver denne konstant, jo tættere kommer vi på den euklidiske geometri, og dens uendeligt store værdi får begge systemer til at falde sammen. Forslagene i denne geometri forekommer til dels paradoksale og endda absurde for en uvant person; men med streng og rolig eftertanke viser det sig, at de ikke indeholder noget umuligt. Så for eksempel kan alle tre vinkler i en trekant gøres vilkårligt små, hvis der kun tages tilstrækkeligt store sider; arealet af en trekant kan ikke overskride, kan ikke engang nå en vis grænse, hvor store siderne end måtte være. Alle mine bestræbelser på at finde en modsigelse eller inkonsekvens i denne ikke-euklidiske geometri har været frugtesløse, og det eneste, der modsætter sig vores fornuft i dette system, er, at der i rummet, hvis dette system var gyldigt, skulle der være noget selvbestemt (selvom ukendt for os) er en lineær størrelse. Men det forekommer mig, at bortset fra metafysikernes verbale visdom, der intet udtrykker, ved vi meget lidt eller endda intet om rummets væsen. (Fra et brev til Taurinus , 1824 )

I 1818 udtrykte Gauss i et brev til den østrigske astronom Gerling sine bekymringer [30] :

Jeg glæder mig over, at du har modet til at udtale dig, som om du indrømmede falskheden i vores teori om paralleller, og på samme tid af al vores geometri. Men de hvepse, hvis bo du forstyrrer, vil flyve på dit hoved.

Efter at have gjort sig bekendt med Lobachevskys arbejde "Geometriske undersøgelser i teorien om paralleller", anmoder Gauss energisk om valget af den russiske matematiker som et udenlandsk korresponderende medlem af Royal Society of Göttingen (hvilket skete i 1842 ).

Lobachevsky og Bolyai udviste mere mod end Gauss, og næsten samtidigt (Lobachevsky - i rapporten fra 1826 og udgivelsen af ​​1829 ; Bolyai - i brevet af 1831 og udgivelsen af ​​1832 ) offentliggjorde de uafhængigt af hinanden en præsentation af, hvad kaldes nu geometri Lobachevsky . Lobachevsky nåede længst i studiet af ny geometri, og det bærer i øjeblikket hans navn. Men hans største fortjeneste ligger ikke i dette, men i det faktum, at han troede på den nye geometri og havde modet til at forsvare sin overbevisning (han foreslog endda eksperimentelt at verificere V-postulatet ved at måle summen af ​​vinklerne i en trekant) [31 ] .

I introduktionen til sin bog New Principles of Geometry udtaler Lobachevsky afgørende [32] :

Alle ved, at i geometrien er teorien om paralleller indtil videre forblevet ufuldkommen. Forgæves anstrengelser siden Euklids tid fik mig i løbet af to tusinde år til at mistænke, at selve begreberne endnu ikke indeholder den sandhed, som de ønskede at bevise, og som ligesom andre fysiske love kun kan verificeres ved eksperimenter, som f.eks. som for eksempel astronomiske observationer.< …> Hovedkonklusionen <…> indrømmer eksistensen af ​​geometri i en bredere forstand, end den blev præsenteret for os af den første Euklid. I denne udvidede form gav jeg videnskaben navnet Imaginary Geometry, hvor Usable Geometry kommer ind som et specialtilfælde.

Lobachevskys tragiske skæbne, som blev udstødt i den videnskabelige verden og i det officielle miljø på grund af for dristige tanker, viste, at Gauss' frygt ikke var forgæves. Men hans kamp var ikke forgæves. Ironisk nok blev Lobachevskys modige ideers sejr sikret (posthumt) af den forsigtige Gauss. I 1860'erne blev Gauss' korrespondance, herunder adskillige rosende anmeldelser af Lobachevskys geometri, offentliggjort, og dette henledte opmærksomheden på den russiske matematikers værker. I 1868 blev der publiceret en artikel af E. Beltrami , som viste, at Lobachevsky-planet har en konstant negativ krumning (det euklidiske plan har nul krumning, kuglen har  positiv); meget hurtigt fik ikke-euklidisk geometri en juridisk videnskabelig status, selvom den stadig blev betragtet som rent spekulativ [33] .

I slutningen af ​​det 19.-begyndelsen af ​​det 20. århundrede satte først matematikere ( Bernhard Riemann , William Kingdon Clifford ) og derefter fysikere ( Generel relativitetsteori , Einstein ) endelig en stopper for dogmet om den euklidiske geometri i det fysiske rum [4 ] .

Om beviset for uafhængighed

Uafhængigheden af ​​det femte postulat betyder, at dets negation ikke er i modstrid med resten af ​​geometriens aksiomer (forudsat at Euklids geometri er konsistent). Samtidig betyder det konsistensen af ​​Lobachevskys geometri . Faktisk er følgende sætning sand [34] .

Sætning. Lobachevsky-geometrien er konsistent, hvis og kun hvis den euklidiske geometri er konsistent.

For at bevise dette teorem i moderne matematik bruges modeller af en geometri i en anden. I modellen for punkter, linjer og andre objekter af den første geometri er objekter konstrueret inden for rammerne af den anden geometri, således at aksiomer af den første er opfyldt for de konstruerede objekter. Således, hvis en modsigelse blev fundet i det første system af aksiomer, så ville det blive fundet i det andet.

Det er svært at præcisere, hvem og hvornår, der beviste denne sætning.

På en måde kan vi antage, at dette allerede blev gjort af Lobachevsky. Lobachevsky bemærkede faktisk, at geometrien af ​​orosfæren i Lobachevsky-rummet ikke er andet end det euklidiske plan; eksistensen af ​​en modsigelse i den euklidiske geometri ville således medføre en modsigelse i Lobachevskys geometri [35] . I moderne sprog byggede Lobachevsky en model af det euklidiske fly i Lobachevsky-rummet. I den modsatte retning foregik dens konstruktion analytisk, og konsistensen af ​​Lobachevskys geometri fulgte af konsistensen af ​​reel analyse.

På trods af at have disse værktøjer, sagde Lobachevsky ikke selve konsistenssætningen . For dens strenge formulering var der behov for en logisk analyse af grundlaget for geometri , som senere blev lavet af Pash , Hilbert og andre [34] .

Udseendet af konceptet for modellen skylder vi Beltrami . I 1868 byggede han en projektiv model , en konformt euklidisk model , og også en lokal model på den såkaldte pseudosfære . Beltrami var også den første til at se sammenhængen mellem Lobachevsky-geometri og differentialgeometri.

Modellerne konstrueret af Beltrami blev senere udviklet af Klein og Poincaré , takket være dem blev konstruktionen meget forenklet, og forbindelser og anvendelser af den nye geometri til projektiv geometri og kompleks analyse blev også opdaget . Disse modeller beviser overbevisende, at benægtelsen af ​​det femte postulat ikke modsiger resten af ​​geometriens aksiomer; deraf følger, at V-postulatet er uafhængigt af de andre aksiomer, og det er umuligt at bevise det [33] .

Femte postulat og andre geometrier

Som vist ovenfor danner det at tilføje det femte postulat eller dets negation til resten af ​​Euklids aksiomer, henholdsvis Euklids geometri eller Lobachevskys geometri . For andre almindelige homogene geometrier er det femte postulats rolle ikke så stor.

Systemet af aksiomer for sfærisk geometri kræver en mere væsentlig omarbejdning af Euklids aksiomer, da der ikke er parallelle linjer i det [36] . I projektiv geometri kan man definere parallelle linjer som linjer, der kun skærer hinanden i et punkt i det uendelige; så bliver det femte postulat en simpel konsekvens af aksiomet: " gennem to punkter kan der tegnes en og kun en ret linje ." Faktisk, hvis vi specificerer en linje og et punkt uden for den og derefter anvender ovenstående aksiom for og et punkt ved uendelig, så vil den resulterende linje være parallel og naturligvis entydigt bestemt [37] .

Noter

  1. ↑ Beginnings of Euclid / Oversættelse fra græsk og kommentarer af D. D. Mordukhai-Boltovsky med redaktionel deltagelse af M. Ya. Vygodsky og I. N. Veselovsky. - M. - L .: GTTI, 1948. - T. I. - S. 15. Arkiveret kopi (utilgængeligt link) . Hentet 25. april 2008. Arkiveret fra originalen 6. april 2008. 
  2. ↑ 1 2 Kagan. Lobachevsky, 1948 , s. 164-165.
  3. ↑ Smilga, 1988 , s. fire.
  4. ↑ 1 2 Zakharov V. D. Tyngdekraft: fra Aristoteles til Einstein . Hentet: 28. maj 2020.
  5. ↑ 1 2 Matematikkens historie / Redigeret af A. P. Yushkevich , i tre bind. - M. : Nauka, 1970. - T. I. - S. 110.
  6. ↑ 1 2 Mordukhai-Boltovskoy D. D. Kommentarer til Euklids "Begyndelser", bøger I-VI. Dekret. op. - S. 241-244.
  7. ↑ Euklids femte postulat . Hentet 17. marts 2008. Arkiveret fra originalen 13. maj 2008.
  8. ↑ Kagan. Lobachevsky, 1948 , s. 167-175.
  9. ↑ 1 2 3 Lelon-Ferrand J., 1989 , s. 255-256.
  10. ↑ Smilga, 1988 , s. 59-61.
  11. ↑ Kline M. Matematik. Tab af sikkerhed . - M . : Mir, 1984. - S. 94-95. Arkiveret kopi (ikke tilgængeligt link) . Dato for adgang: 13. marts 2010. Arkiveret fra originalen 12. februar 2007. 
  12. ↑ Tóth I. Das Parallelenproblem im Corpus Aristotelicum // Arkiv for eksakte videnskabers historie . - Berlin-Heidelberg-New York, 1967. - Vol. 3 , nr. 4.5 . - S. 249-422 .
  13. ↑ 1 2 Smilga, 1988 , s. 72.
  14. ↑ Laptev B. L. N. I. Lobachevsky og hans geometri. - M . : Uddannelse, 1976. - S. 71. - 112 s.
  15. ↑ Matematikkens historie / Redigeret af A.P. Yushkevich , i tre bind. - M. : Nauka, 1970. - T. I. - S. 231.
  16. ↑ Ibn Korra. Bogen om, at to linjer tegnet i en vinkel mindre end to lige linjer mødes / Oversættelse og noter af B. A. Rosenfeld. - M. : IMI, 1963. - T. XV. - S. 363-380.
  17. ↑ Khayyam. Afhandlinger / Oversat af B. A. Rosenfeld. Redigeret af V. S. Segal og A. P. Yushkevich. Artikel og kommentarer af B. A. Rosenfeld og A. P. Yushkevich. - M. , 1962.
  18. ↑ At-Tusi. En afhandling, der helbreder tvivl om parallelle linjer / Oversættelse af B. A. Rosenfeld, noter af B. A. Rosenfeld og A. P. Yushkevich. - M . : IMI, 1960. - T. XIII. - S. 483-532.
  19. ↑ Rosenfeld B. A. Beviser for det femte postulat af Euklid af middelalderlige matematikere Hassan ibn al-Khaytham og Leo Gersonides. - M . : IMI, 1958. - T. XI. - S. 733-742.
  20. ↑ Clavius ​​​​C. Euclidis Elementorum, libri XV. — Romae, 1574.
  21. ↑ Wallis. Opera Mathematica, v. II. - Oxoniae, 1693. - S. 665.
  22. ↑ Matematikkens historie / Redigeret af A.P. Yushkevich , i tre bind. - M . : Nauka, 1972. - T. III. - S. 215-217.
  23. ↑ G. Saccheri. Euklid von jedem Makel befreit. I: F. Engel, P. Stackel. Die Theorie der Parallellinien von Euklid bis auf Gauss, eine Urkundensammlung zur Vorgeschichte der Nicht-Euklidischen Geometrie. - Leipzig, 1895. - S. 100.
  24. ↑ G. Saccheri. Euklid von jedem Makel befreit. I: F. Engel, P. Stackel. Die Theorie der Parallellinien von Euklid bis auf Gauss, eine Urkundensammlung zur Vorgeschichte der Nicht-Euklidischen Geometrie. - Leipzig, 1895. - S. 105.
  25. ↑ Lambert J. H. Deutscher Gelehrter Briefwechsel. bd. 1-5. Herausg. af J. Bernoulli. - Berlin, 1781-1784. - S. 202-203.
  26. ↑ Smilga, 1988 , s. 121.
  27. ↑ History of Mathematics, bind III, s. 218.
  28. ↑ On the Foundations of Geometry, s. 101-120.
  29. ↑ Af et andet bogstav følger det, at konstanten er , hvor betegner krumningen .
  30. ↑ Om Geometriens Grundlag, s. 119-120.
  31. ↑ Lobachevsky N. I. Værker om geometri (komplet samling af værker, bind 1-3). - M. - L .: GITTL, 1946-1949.
  32. ↑ Om Geometriens Grundlag, s. 61-62.
  33. ↑ 1 2 Arcozzi, Nicola. Beltramis modeller af ikke-euklidisk geometri  (engelsk) . Hentet 16. juli 2016. Arkiveret fra originalen 7. januar 2017.
  34. ↑ 1 2 Pogorelov A.V. Fundamenter for geometri. - Ed. 4. - M . : Nauka, 1979. - S. 18-21. — 152 s.
  35. ↑ se punkt 34 i Lobachevsky, NI Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien  (tysk) . — Berlin: F. Fincke, 1840.
  36. ↑ Peil, Timothy. Hilberts aksiomer modificeret til plan elliptisk geometri  . // Oversigt over geometri . Hentet 18. oktober 2016. Arkiveret fra originalen 19. oktober 2016.
  37. ↑ Volberg O. A. Grundlæggende ideer om projektiv hegmetri. - Ed. 3. - M. - L . : Uchpedgiz RSFSR, 1949. - S. 7. - 188 s.

Litteratur

Links

  Gå til Wikidata-elementet  Ordbøger og encyklopædier
I bibliografiske kataloger