Et negativt tal
Et negativt tal er et element i mængden af negative tal, som (sammen med nul ) optrådte i matematikken, da mængden af naturlige tal blev udvidet [1] . Hovedformålet med udvidelsen var at gøre subtraktion til en lige så fuldgyldig operation som addition . Inden for naturlige tal kan kun det mindre tal trækkes fra det større, og den kommutative lov omfatter ikke subtraktion - for eksempel er et udtryk gyldigt, men et udtryk med permuterede operander er det ikke.
Tilføjelse af negative tal og nul til naturlige tal gør subtraktion muligt for ethvert par af naturlige tal. Resultatet af en sådan udvidelse er et sæt ( ring ) af " heltal ". Med yderligere udvidelser af sættet af heltal til rationelle og reelle tal opnås de tilsvarende negative værdier for dem på samme måde. For komplekse tal eksisterer begrebet "negativt tal" ikke.
Konstruktion af negative tal
Placering af negative tal på talaksen (fremhævet med rødt)For hvert naturligt tal er der ét og kun ét negativt tal, betegnet , som er nuls komplement :
Begge tal kaldes hinandens modsætninger . Yderligere naturlige tal vil blive kaldt "positive", i modsætning til "negative". Hvis den er positiv, så er dens modsætning negativ, og omvendt. Nul er modsat sig selv [1] . Positive og negative værdier for rationelle og reelle tal er defineret på samme måde : hvert positivt tal er forbundet med et negativt tal
For negative tal, såvel som for positive, er der defineret en rækkefølge , der giver dig mulighed for at sammenligne et tal med et andet. Alle negative tal, og kun dem, er mindre end nul, og også mindre end positive tal. På talaksen er negative tal placeret til venstre for nul.
Den absolutte værdi for et tal er dette tal med det kasserede fortegn [2] . Betegnelse:
Eksempler:
At trække tallet ' fra et andet tal svarer til at lægge til det modsatte for :
Eksempel:
For oplysninger om, hvordan man udfører aritmetiske operationer på negative tal, se Heltal#Algebraiske egenskaber .
Egenskaber for negative tal
Negative tal adlyder næsten de samme algebraiske regler som naturlige tal, men har nogle ejendommeligheder.
- Hvis et sæt positive tal er afgrænset nedenfor, så er ethvert sæt af negative tal afgrænset ovenfor.
- Når man multiplicerer heltal, gælder reglen om tegn : produktet af tal med forskellige fortegn er negativt, med det samme - positivt.
- Når begge sider af uligheden ganges med et negativt tal, vendes fortegnet for uligheden. Hvis vi for eksempel multiplicerer uligheden 3 < 5 med −2, får vi −6 > −10.
Når man dividerer med en rest, kan kvotienten have et hvilket som helst tegn, men resten er efter konvention altid ikke-negativ (ellers er den ikke entydigt defineret). For eksempel giver det to repræsentationer ved at dividere -24 med 5 med en rest:
Kun den første af dem er korrekt, hvor resten er ikke-negativ.
Variationer og generaliseringer
Begreberne positive og negative tal kan defineres i enhver ordnet ring . Oftest refererer disse begreber til et af følgende talsystemer:
Ovenstående ejendomme 1-3 gælder også i den generelle sag. Begreberne "positive" og "negative" gælder ikke for komplekse tal .
Historisk disposition
Det gamle Egypten , Babylon og det antikke Grækenland brugte ikke negative tal, og hvis negative ligningsrødder blev opnået (når de blev trukket fra), blev de afvist som umulige. Undtagelsen var Diophantus , som allerede i det 3. århundrede kendte tegnreglen og vidste, hvordan man multiplicerede negative tal. Han betragtede dem dog kun som et mellemtrin, nyttigt til at beregne det endelige, positive resultat.
For første gang blev negative tal delvist legaliseret i den klassiske kinesiske afhandling " Matematik i ni bøger " (II århundrede f.Kr.), og derefter (fra omkring det 7. århundrede) i Indien , hvor de blev tolket som gæld (mangel), eller , som i Diophantus (III århundrede e.Kr.), blev anerkendt som midlertidige værdier. Multiplikation og division for negative tal var endnu ikke defineret. Nytten og lovligheden af negative tal blev etableret gradvist. Den indiske matematiker Brahmagupta ( 7. århundrede ) betragtede dem allerede på linje med positive, han definerede alle fire operationer med negative tal.
I Europa kom anerkendelsen tusind år senere, og selv da blev negative tal i lang tid kaldt "falske", "imaginære" eller "absurde". Den første beskrivelse af dem i europæisk litteratur dukkede op i "Book of the Abacus" af Leonard af Pisa ( 1202 ), som behandlede negative tal som gæld. Bombelli og Girard anså i deres skrifter negative tal for at være ganske acceptable og nyttige, især for at indikere manglen på noget. Selv i det 17. århundrede mente Pascal , at "intet kan være mindre end ingenting" [3] . Et ekko af disse tider er det faktum, at i moderne aritmetik er subtraktionsoperationen og tegnet for negative tal angivet med det samme symbol ( minus ), selvom der algebraisk er tale om helt forskellige begreber.
I det 17. århundrede , med fremkomsten af analytisk geometri , modtog negative tal en visuel geometrisk repræsentation på talaksen , takket være introduktionen af et rektangulært koordinatsystem af Rene Descartes i 1637. Fra dette øjeblik kommer deres fuldstændige lighed. Ikke desto mindre var teorien om negative tal i sin vorden i lang tid. For eksempel blev en mærkelig andel aktivt diskuteret - i den er den første term til venstre større end den anden, og til højre - omvendt, og det viser sig, at den større er lig med den mindre (" Arnos paradoks "). Wallis mente, at negative tal er mindre end nul, men samtidig mere end uendeligt [4] . Det var heller ikke klart, hvilken betydning multiplikationen af negative tal har, og hvorfor produktet af negative tal er positivt; der var heftige diskussioner om dette emne. Gauss i 1831 anså det for nødvendigt at præcisere, at negative tal grundlæggende har samme rettigheder som positive, og det faktum, at de ikke gælder for alle ting, betyder ikke noget, fordi brøker heller ikke gælder for alle ting (f.eks. er ikke anvendelige ved optælling af personer) [5] .
En komplet og ganske streng teori om negative tal blev først skabt i det 19. århundrede ( William Hamilton og Hermann Grassmann ).
Berømte negative tal
| Nummer | Betydningen af tallet | Noter |
|---|---|---|
| -273,15°C | Absolut nul temperatur | Det er nul grader Kelvin. |
| −1,602 176 565 10 −19 C | Elektron ladning | Den elementære ladning kan også være positiv - for protoner og positroner . |
| −2,7 10 −9 | De Bruijn-Newman konstant | Den numeriske værdi er ifølge år 2000. |
Se også
Noter
- ↑ 1 2 Håndbog i elementær matematik, 1978 , s. 111-113.
- ↑ Håndbog i elementær matematik, 1978 , s. 114.
- ↑ Sukhotin A. K. De videnskabelige ideers omskiftelser. M.: Mol. vagt. 1991, side 34.
- ↑ Panov V.F., 2006 , s. 399..
- ↑ Alexandrova N.V. Matematiske termer (Opslagsbog). Moskva: Higher school, 1978, s. 164.
Litteratur
- Vygodsky M. Ya. Håndbog i elementær matematik. — M .: Nauka, 1978.
- Genudgivelse: M.: AST, 2006, ISBN 5-17-009554-6 , 509 sider.
- Glazer GI Historie om matematik i skolen . - M . : Uddannelse, 1964. - 376 s.
- Panov VF Negative tal // Matematik gammel og ung. - Ed. 2., rettet. - M . : MSTU im. Bauman , 2006. - S. 398-401. — 648 s. — ISBN 5-7038-2890-2 .
 Ordbøger og encyklopædier | |
|---|---|
| I bibliografiske kataloger |
|