Kompleks tal

Komplekse tal (af lat. complexus - forbindelse, kombination [1] ; for dobbelttryk, se note [K 1] ) - tal af formen hvor - reelle tal , - imaginær enhed [2] , altså et tal, for hvilket ligheden er sand: Mængden af komplekse tal betegnes normalt med symbolet Reelle tal kan betragtes som et specialtilfælde af komplekse tal, de har formen Hovedegenskaben er, at algebras hovedsætning er opfyldt i den , dvs. , ethvert polynomium af th grad ( ) har rødder . Gennemprøvet $a+bi,$ $a,b$ $jeg$ $i^{2}=-1.$ $\mathbb {C} .$ $a+0i.$ $\mathbb {C}$ $n$ $n\geqslant 1$ $n$ at systemet af komplekse tal er logisk konsistent [K 2] .

Såvel som for reelle tal, for komplekse tal defineres operationerne addition , subtraktion , multiplikation og division . Men mange egenskaber ved komplekse tal adskiller sig fra reelle tals; for eksempel kan man ikke angive, hvilket af to komplekse tal der er større eller mindre end . Det er praktisk at repræsentere komplekse tal ved punkter på den komplekse plan ; for eksempel, for at vise konjugerede tal , bruges operationen af refleksion om den vandrette akse . En alternativ repræsentation af et komplekst tal i trigonometrisk notation har vist sig nyttig til at beregne potenser og rødder . Komplekse argumentfunktioner studeres i kompleks analyse . $a+bi$

Oprindeligt opstod ideen om behovet for at bruge komplekse tal som et resultat af den formelle løsning af kubiske ligninger , hvor et negativt tal blev opnået i Cardano-formlen under kvadratrodstegnet [ 3] . Et stort bidrag til studiet af komplekse tal blev ydet af sådanne matematikere som Euler , der introducerede den almindeligt accepterede notation for den imaginære enhed, Descartes , Gauss . Udtrykket "komplekst tal" blev introduceret i videnskaben af Gauss i 1831 [4] . $jeg$

De unikke egenskaber ved komplekse tal og funktioner har fundet bred anvendelse til at løse mange praktiske problemer inden for forskellige områder af matematik, fysik og teknologi: i signalbehandling , kontrolteori , elektromagnetisme , oscillationsteori , elasticitetsteori og mange andre [5] . Komplekse plantransformationer har vist sig nyttige i kartografi og væskedynamik . Moderne fysik er afhængig af beskrivelsen af verden gennem kvantemekanik , som er afhængig af systemet af komplekse tal.

Der kendes også adskillige generaliseringer af komplekse tal - for eksempel quaternioner .

Kompleks aritmetik

Relaterede definitioner

Ethvert komplekst tal består af to komponenter [6] : $z=a+bi$

Værdien kaldes den reelle del af tallet , og ifølge de internationale standarder ISO 31-11 og ISO 80000-2 er angivet eller I kilder findes det gotiske symbol nogle gange [7] : $-en$ $z$ $\operatørnavn {Re} \,z$ $\operatørnavn {Re} (z).$ $\Re(z).$
- Hvis , så kaldes
et rent imaginært tal . I stedet skriver de normalt ganske enkelt . I nogle kilder kaldes sådanne tal simpelthen imaginære , men i andre kilder [8] , alle komplekse tal , som kan kaldes imaginære . Derfor er udtrykket imaginært tal tvetydigt, og det anbefales ikke at bruge det uden yderligere forklaring. $a=0$ $z$ $0+bi$ $bi.$ $z=a+bi,$ $b\neq 0.$

Værdien kaldes den imaginære del af tallet , og ifølge de internationale standarder ISO 31-11 og ISO 80000-2 betegnes eller I kilder findes det gotiske symbol nogle gange [9] :

b

z

\operatørnavn {Im} \,z

\operatørnavn {Im} (z).

\Im (z).

Hvis , så er et

reelt tal . I stedet skriver de normalt blot . For eksempel betegnes kompleks nul blot som

b=0

z

a+0i

en.

0+0i

0.

Det modsatte af et komplekst taler talletFor eksempel er detmodsatte af et tal tallet $z=a+bi$ $-z=-a-bi.$ $1-2i$ $-1+2i.$

I modsætning til reelle tal kan komplekse tal ikke sammenlignes for mere/mindre ; det er blevet bevist, at der ikke er nogen måde at udvide rækkefølgen givet for reelle tal til alle komplekse tal på en sådan måde, at rækkefølgen er i overensstemmelse med aritmetiske operationer (for eksempel, således at fra følger ). Imidlertid kan komplekse tal sammenlignes for lig med/ikke lig [6] : $a<b$ $a+c<b+c$

$a+bi=c+di$ betyder, at og (to komplekse tal er lige, hvis og kun hvis deres reelle og imaginære dele er ens). $a=c$ $b=d$

De fire aritmetiske operationer for komplekse tal (defineret nedenfor) har de samme egenskaber som dem for reelle tal .

Addition og subtraktion

Definition af addition og subtraktion af komplekse tal [6] :

\left(a+bi\right)+\left(c+di\right)=\left(a+c\right)+\left(b+d\right)i,

\left(a+bi\right)-\left(c+di\right)=\left(ac\right)+\left(bd\right)i.

Den følgende tabel [6] viser de grundlæggende egenskaber ved addition for ethvert kompleks $u,v,w.$

Ejendom	Algebraisk notation
Kommutativitet ( portabilitet )	$u+v=v+u$
Associativitet ( kompatibilitet )	$u+(v+w)=(u+v)+w$
Nul ejendom	$u+0=u$
Modsat element egenskab	$u+(-u)=0$
Udførelse af subtraktion gennem addition	$uv=u+(-v)$

Multiplikation

Lad os definere produktet [6] af komplekse tal og $a+bi$ $c+di\colon$

(a+bi)\cdot (c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac+bdi^{2})+(bc+ad)i=(ac-bd) +(bc+ad)i.

Den følgende tabel [6] viser de grundlæggende egenskaber ved multiplikation for ethvert kompleks $u,v,w.$

Ejendom	Algebraisk notation
Kommutativitet ( portabilitet )	$u\cdot v=v\cdot u$
Associativitet ( kompatibilitet )	$u\cdot (v\cdot w)=(u\cdot v)\cdot w$
enheds ejendom	$u\cdot 1=u$
Nul ejendom	$u\cdot 0=0$
Distributivitet (distributivitet) af multiplikation med hensyn til addition	$u\cdot (v+w)=u\cdot v+u\cdot w$

Regler for potenser af den imaginære enhed:

i^{2}=-1;\;i^{3}=-i;\;i^{4}=1;\;i^{5}=i

etc.

Det vil sige, at for ethvert heltal er formlen sand , hvor udtrykket betyder at få resten efter at have divideret med 4. $n$ ${\displaystyle i^{n}=i^{n{\bmod {4))))$ $n{\bmod {4}}$ $n$

Efter at have defineret operationer med komplekse tal, kan udtrykket ikke opfattes som en formel notation, men som et udtryk kompileret efter ovenstående regler for addition og multiplikation. For at vise dette, lad os udvide alle de variable, der er inkluderet i det, efter ovenstående konventioner og definitionen af addition og multiplikation: $a+bi$

(a+0i)+(b+0i)\cdot (0+1i)=(a+0i)+(0+bi)=a+bi.

Division

Et komplekst tal kaldes konjugeret til et komplekst tal (flere detaljer nedenfor ). ${\bar z}=x-iy$ $z=x+iy$

For hvert komplekst tal undtagen nul kan du finde dets inverse [10] komplekse tal For at gøre dette skal du gange brøkens tæller og nævner med det komplekse konjugat af nævneren $a+bi,$ ${\frac {1}{a+bi}}.$ $a-bi,$

{\frac {1}{a+bi}}={\frac {a-bi}{(a+bi)(a-bi)))={\frac {a-bi}{a^{ 2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2} }}jeg.

Lad os definere resultatet af division [6] af et komplekst tal med et tal, der ikke er nul $a+bi$ $c+di\colon$

{\frac {a+bi}{c+di}}={\frac {\left(a+bi\right)\left(c-di\right)}{\left(c+di\right) )\left(c-di\right)}}={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}+\left({\frac {bc-ad}{c^ {2}+d^{2}}}\right)i.

Som med reelle tal kan division erstattes ved at multiplicere udbyttet med den reciproke af divisor .

Andre operationer

For komplekse tal er rodudvinding , eksponentiering og logaritme også defineret .

De vigtigste forskelle mellem komplekse tal og reelle tal

Det er allerede blevet nævnt, at komplekse tal ikke kan sammenlignes for mere eller mindre (med andre ord er rækkefølgerelationen ikke sat på mængden af komplekse tal ). En anden forskel: ethvert polynomium af grad med komplekse (især reelle) koefficienter har, under hensyntagen til multipliciteten , nøjagtigt komplekse rødder ( Algebras grundlæggende sætning ) [11] . $n>0$ $n$

I systemet med reelle tal er det umuligt at udtrække roden af en lige grad fra et negativt tal. For komplekse tal er det muligt at udtrække roden fra et hvilket som helst tal af enhver grad, men resultatet er tvetydigt - den komplekse rod af den th grad fra et ikke-nul tal har forskellige komplekse værdier [12] . Se for eksempel enhedsrødder . $n$ $n$

Yderligere forskelle har funktioner af en kompleks variabel .

Noter

Tallet er ikke det eneste tal, hvis kvadrat er Tallet har også denne egenskab. $jeg$ $-en.$ $-jeg$

Et udtryk, der tidligere ofte blev brugt i stedet for i moderne lærebøger, betragtes som forkert, og kun ikke-negative udtryk er tilladt under det radikales tegn (se " Aritmetisk rod "). For at undgå fejl er udtrykket med kvadratrødder af negative værdier i øjeblikket skrevet som og ikke på trods af, at selv i det 19. århundrede blev den anden version af notationen anset for acceptabel [13] [14] . ${\sqrt {-1}),$ $jeg,$ $5+i{\sqrt {3)),$ $5+{\sqrt {-3)),$

Et eksempel på en mulig fejl ved skødesløs brug af en forældet post:

{\sqrt {-3}}\cdot {\sqrt {-3}}={\sqrt {\left(-3\right)\cdot \left(-3\right)))={\sqrt {\left(-3\right)^{2}}}={\sqrt {9}}=3.

Denne fejl skyldes, at kvadratroden af er defineret tvetydigt (se nedenfor #De Moivres formel og udtræk af rødder ). Med moderne notation ville denne fejl ikke være opstået [14] : $-3$

\left(i{\sqrt {3}}\right)\cdot \left(i{\sqrt {3}}\right)=\left(i\cdot {\sqrt {3}}\right) ^{2}=i^{2}\cdot \left({\sqrt {3}}\right)^{2}=-3.

Geometrisk repræsentation

Kompleks plan

Komplekse tal kan repræsenteres på en plan med et rektangulært koordinatsystem : tallet svarer til et punkt i planet med koordinater (samt en radiusvektor, der forbinder oprindelsen til dette punkt). Et sådant plan kaldes komplekst . De reelle tal på den er placeret på den vandrette akse, den imaginære enhed er repræsenteret af enheden på den lodrette akse; af denne grund kaldes den vandrette og lodrette akse for henholdsvis den reelle og den imaginære akse [15] . $z=x+iy$ $\left\{x,y\right\}$

Det kan være praktisk også at overveje et polært koordinatsystem på det komplekse plan (se figuren til højre), hvor koordinaterne for et punkt er afstanden til origo ( modul ) og vinklen på radiusvektoren af punktet med den vandrette akse ( argument ). $r$ $\varphi$

I denne repræsentation svarer summen af komplekse tal til vektorsummen af de tilsvarende radiusvektorer, og subtraktionen af tal svarer til subtraktionen af radiusvektorer. Når komplekse tal multipliceres, ganges deres moduler, og argumenterne tilføjes (sidstnævnte er let at udlede fra Eulers formel eller fra trigonometriske sumformler ). Hvis modulet for den anden faktor er lig med 1, svarer multiplikation med det til rotationen af radiusvektoren for det første tal med en vinkel lig med argumentet for det andet tal [16] . Dette faktum forklarer den udbredte brug af den komplekse repræsentation i teorien om oscillationer , hvor i stedet for udtrykkene "modulus" og "argument" bruges udtrykkene " amplitude " og " fase " [17] .

Eksempel : Multiplikation medroterer radiusvektoren for et tal med en ret vinkel i positiv retning, og efter at have ganget medradiusvektoren roterer den med en ret vinkel i negativ retning. $jeg$ $-jeg$

Modul

Modulet ( absolut værdi ) af et komplekst tal er længden af radiusvektoren for det tilsvarende punkt i det komplekse plan (eller tilsvarende afstanden fra punktet af det komplekse plan til origo). Modulet af et komplekst tal er angivet (nogle gange eller ) og bestemmes af udtrykket [16] $z=x+iy$ $\left|z\right|$ $r$ $\rho$

\left|z\right|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.

Hvis er et reelt tal , så falder det sammen med den absolutte værdi af dette tal i ordets reelle betydning. $z$ $\left|z\right|$

For ethvert kompleks gælder følgende modulegenskaber [16] [18] : $z,z_{1},z_{2}$

1) , og kun for

\left|z\right|\geqslant 0

\left|z\right|=0

z=0;

2) ( trekant ulighed );

\left|z_{1}+z_{2}\right|\leqslant \left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|

\left|z_{1}\cdot z_{2}\right|=\left|z_{1}\right|\cdot \left|z_{2}\right|;

fire)

\left|{\frac {z_{1}}{z_{2}}}\right|={\frac {|z_{1}|}{|z_{2}|}});

5) for et par komplekse tal og modulet af deres forskel er lig med afstanden mellem de tilsvarende punkter i det komplekse plan;

z_{1}

z_{2}

\left|z_{1}-z_{2}\right|

6) et tals modul er relateret til de reelle og imaginære dele af dette tal ved relationerne:

z

-|z|\leqslant \operatornavn {Re} (z)\leqslant |z|;\quad -|z|\leqslant \operatornavn {Im} (z)\leqslant |z|;\quad |z| \leqslant |\operatørnavn {Re} (z)|+|\operatørnavn {Im} (z)|.

Argument

Argumentet for et komplekst tal, der ikke er nul, er vinklen mellem radiusvektoren for det tilsvarende punkt og den positive reelle halvakse. Talargumentet måles i radianer og er angivet med . Det følger af denne definition, at [16] $\varphi$ $z$ $\operatørnavn {Arg} \left(z\right)$

\operatørnavn {tg} \ \varphi ={\frac {y}{x));\quad \cos \varphi ={\frac {x}{\left|z\right|));\quad \ sin \varphi ={\frac {y}{\left|z\right|}}.

For komplekst nul er værdien af argumentet ikke defineret; for et tal, der ikke er nul, er argumentet defineret op til , hvor er ethvert heltal. Argumentets hovedværdi er en sådan værdi , at hovedværdien kan betegnes [19] . $z$ $2\pi k$ $k$ $\varphi$ $-\pi <\varphi \leqslant \pi .$ $\operatørnavn {arg} \left(z\right)$

Nogle egenskaber ved argumentet [18] :

1) argumentet for det omvendte tal adskiller sig i fortegn fra argumentet for det oprindelige:

\operatørnavn {Arg} \left({\frac {1}{z}}\right)=-\operatørnavn {Arg} \left(z\right);

2) produktets argument er lig med summen af faktorernes argumenter:

\operatørnavn {Arg} (z_{1}z_{2})=\operatørnavn {Arg} (z_{1})+\operatørnavn {Arg} (z_{2});

3) argumentet for kvotienten fra division er lig med forskellen mellem argumenterne for dividenden og divisoren:

\operatørnavn {Arg} {\frac {z_{1}}{z_{2}}}=\operatørnavn {Arg} (z_{1})-\operatørnavn {Arg} (z_{2}).

Konjugerer tal

Hvis det komplekse tal er lig, så kaldes tallet konjugeret (eller komplekst konjugat) til (også betegnet ). På det komplekse plan opnås konjugerede tal fra hinanden ved spejlreflektion om den reelle akse. Modulet for det konjugerede tal er det samme som det oprindelige, og deres argumenter adskiller sig med fortegn [20] : $z$ $x+iy,$ ${\bar z}=x-iy$ $z$ $z^{*}$

$\left|{\bar {z}}\right|=\left|z\right|;\quad \operatørnavn {Arg} ({\bar {z)))=-\operatørnavn {Arg} (z ).$

Overgangen til et konjugat kan ses som en operation på ét sted, der bevarer alle aritmetiske og algebraiske egenskaber. Denne operation har følgende egenskaber [20] :

$z={\bar {z))$ hvis og kun hvis er et reelt tal. $z$
${\bar {{\bar {z))))=z$ (konjugatet til konjugatet er originalen; med andre ord er konjugationsoperationen en involution ).

Produktet af komplekse konjugerede tal er et ikke-negativt reelt tal, kun lig med nul for nul z [18] :

$z\cdot {\bar {z}}=\left|z\right|^{2}=x^{2}+y^{2}.$

Summen af komplekse konjugerede tal er et reelt tal [18] :

$z+{\bar {z}}=2\operatørnavn {Re} \left(z\right)=2x.$

Andre forhold [18] :

$\operatørnavn {Re} \,z={\frac {z+{\bar {z))}{2));\quad \operatørnavn {Im} \,z={\frac {z-{\bar {z}}}{2i}}.$
${\overline {z_{1}+z_{2}}}={\bar {z}}_{1}+{\bar {z}}_{2};$
${\overline {z_{1}-z_{2}}}={\bar {z}}_{1}-{\bar {z}}_{2};$
${\overline {z_{1}\cdot z_{2}}}={\bar {z}}_{1}\cdot {\bar {z}}_{2};$
${\overline {z_{1}/z_{2}}}={\bar {z}}_{1}/{\bar {z}}_{2};$

Eller i generel form: hvor er et vilkårligt polynomium med reelle koefficienter. Især hvis et komplekst tal er en rod af et polynomium med reelle koefficienter, så er det konjugerede tal også dets rod. Det følger heraf, at de i det væsentlige komplekse rødder af et sådant polynomium (det vil sige de rødder, der ikke er reelle) dekomponeres i komplekse konjugerede par [18] . ${\overline {p\left(z\right)}}=p\left({\bar {z}}\right),$ $p\left(z\right)$ $z$ $\overline{z}$

Eksempel

Det faktum, at produktet er et reelt tal, kan bruges til at udtrykke den komplekse brøk i kanonisk form, det vil sige at slippe af med den imaginære nævner. For at gøre dette skal du gange tælleren og nævneren med udtrykket konjugeret med nævneren [21] , for eksempel: $z{\bar {z))$

{\frac {2+5i}{3-4i}}={\frac {(2+5i)(3+4i)}{(3-4i)(3+4i)))={\frac {-14+23i}{25}}=-{\frac {14}{25}}+{\frac {23}{25}}i.

Former for repræsentation af et komplekst tal

Algebraisk form

Ovenfor brugte vi notationen af et komplekst tal i den form , sådan en notation kaldes den algebraiske form af et komplekst tal. De to andre hovedformer for notation er forbundet med repræsentationen af et komplekst tal i det polære koordinatsystem . $z$ $x+iy;$

Trigonometrisk form

Hvis de reelle og imaginære dele af et komplekst tal udtrykkes i form af modul og argument (det vil sige , , ), så kan ethvert komplekst tal , undtagen nul, skrives i trigonometrisk form [16] : $x$ $y$ $r=\left|z\right|$ $\varphi$ $x=r\cos \varphi$ $y=r\sin\varphi$ $z$

z=r\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)

Som nævnt ovenfor har nul intet argument; for et ikke-nul tal bestemmes op til et heltal $\varphi$ $\varphi$ $2\pi.$

Vejledende form

Eulers formel [21] er af fundamental betydning i kompleks analyse :

e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi ,

hvor er Euler nummer , , er cosinus og sinus , er den komplekse eksponent , fortsætter den reelle i tilfælde af en fælles kompleks eksponent. $e$ $\cos$ $\synd$ $e^{{i\varphi }}$

Ved at anvende denne formel på den trigonometriske form får vi den eksponentielle form af det komplekse tal [21] :

z=re^{i\varphi }.

Konsekvenser

(1) Modulet for udtrykket , hvor tallet er reelt, er 1.

e^{i\varphi },

\varphi

(2) — med et væsentligt komplekst argument kan disse ligheder tjene som definition af (kompleks) cosinus og sinus .

\cos \varphi ={\frac {e^{i\varphi }+e^{-i\varphi }}{2));\quad \sin \varphi ={\frac {e^{i\ varphi }-e^{-i\varphi }}{2i}}

\varphi

Eksempel [22] . Lad os repræsentere tallet i trigonometrisk og eksponentiel form $z=-1-{\sqrt {3}}i\colon$

|z|={\sqrt {(-1)^{2}+(-{\sqrt {3)))^{2}}}={\sqrt {1+3}}=2;

\varphi =-\pi +\operatørnavn {arctg} {\Bigl (}{\frac {-{\sqrt {3}}}{-1}}{\Bigr )}=-\pi +\operatørnavn {arctg} ({\sqrt {3}})=-{\frac {2\pi }{3}}

(fordi det er i III koordinatkvarteret).

z

Herfra:

z=2\left(\cos {\frac {-2\pi }{3}}+i\sin {\frac {-2\pi}{3}}\right)=2e^{i{ \frac {-2\pi }{3}}}.

De Moivres formel og udvinding af rødder

Denne formel hjælper med at hæve et komplekst tal, der ikke er nul, repræsenteret i trigonometrisk form til en heltalspotens. De Moivres formel har formen [12] :

z^{n}=\left[r\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)\right]^{n}=r^{n}\left(\cos n\varphi +i\sin n\varphi \right),

hvor er modulet og er argumentet for et komplekst tal. I moderne symbolisme blev det udgivet af Euler i 1722. Ovenstående formel er gyldig for ethvert heltal , ikke nødvendigvis positivt. $r$ $\varphi$ $n$

En lignende formel er også anvendelig, når man beregner rødderne af den th grad fra et komplekst tal, der ikke er nul [21] : $n$

{\begin{aligned}{2}z^{1/n}&=\left[r\left(\cos \left(\varphi +2\pi k\right)+i\sin \left( \varphi +2\pi k\right)\right)\right]^{1/n}=\\&={\sqrt[{n}]{r}}\left(\cos {\frac {\varphi +2\pi k}{n}}+i\sin {\frac {\varphi +2\pi k}{n}}\right),\\\end{aligned}}

hvor k tager alle heltalsværdier fra til . Det betyder, at de th rødder af et komplekst tal, der ikke er nul, eksisterer for ethvert naturligt tal, og deres tal er lig med . På det komplekse plan, som det kan ses af formlen, er alle disse rødder hjørnerne af en regulær -gon indskrevet i en cirkel med radius centreret ved oprindelsen (se figur). $k=0$ $k=n-1$ $n$ $n,$ $n$ $n$ ${\sqrt[{n}]{r))$

Hovedbetydningen af roden

Hvis i Moivre-formlen dens hovedværdi er valgt som et argument , så kaldes værdien af roden ved hovedværdien af roden [23] . For eksempel er hovedværdien af et tal $\varphi$ $k=0$ ${\sqrt[{3}]{2+11i))$ $2+i.$

Kvadratrod

For at udtrække kvadratroden af et komplekst tal, kan du konvertere dette tal til en trigonometrisk form og bruge Moivre-formlen for Men der er også en rent algebraisk repræsentation for to rodværdier. Når rødderne af et tal er et par tal: hvor [24] : $n=2.$ $b\neq 0$ $a+bi$ $\pm (c+di),$

c={\sqrt {\frac {a+{\sqrt {a^{2}+b^{2)))){2))},

d=\operatørnavn {sgn}(b){\sqrt {\frac {-a+{\sqrt {a^{2}+b^{2)))){2))}.

Her er "tegn"-funktionen , og radikalerne angiver den sædvanlige aritmetiske rod af et ikke-negativt reelt tal. Formlen verificeres let ved at kvadrere. Tallet er hovedværdien af kvadratroden. $\operatørnavn{sgn}$ $c+di$ $c+di$

Eksempel : for kvadratroden afformlen er der angivet to værdier: $3+4i$ $2+i;\;-2-i.$

Historie

For første gang blev tilsyneladende imaginære størrelser nævnt i Cardanos værk "Den store kunst eller om algebraiske regler" (1545), som en del af den formelle løsning af problemet med at beregne to tal, hvis sum er lig. til 10, og produktet er lig med 40. Han modtog for dette problem en andengradsligning, hvis rødder er: og I kommentaren til løsningen skrev han: "disse mest komplekse mængder er ubrugelige, selvom de er meget geniale", og "aritmetiske overvejelser bliver mere og mere uhåndgribelige, når grænsen lige så raffineret som ubrugelig" [25] . $5+{\sqrt {-15}}$ $5-{\sqrt {-15}}.$

Muligheden for at bruge imaginære størrelser til at løse en kubisk ligning blev først beskrevet af Bombelli (1572), han gav også reglerne for addition, subtraktion, multiplikation og division af komplekse tal. Ligningen har en reel rod , men ifølge Cardanos formler får vi: Bombelli opdagede, at så summen af disse mængder giver den ønskede reelle rod. Han bemærkede, at i sådanne ( ikke -reducerbare ) tilfælde er ligningens komplekse rødder altid konjugerede, så summen er en reel værdi. Bombellis forklaringer lagde grundlaget for den vellykkede anvendelse af komplekse tal i matematik [26] [25] . $x^{3}=15x+4$ $x=4,$ $x={\sqrt[{3}]{2+11i}}+{\sqrt[{3}]{2-11i}}.$ ${\sqrt[{3}]{2\pm 11i}}=2\pm i,$

Udtryk, der kan repræsenteres som opstået ved løsning af andengrads- og kubiske ligninger, hvor de begyndte at blive kaldt "imaginære" i det 16.-17. århundrede efter forslag fra Descartes , som kaldte dem det og afviste deres virkelighed. For mange andre fremtrædende videnskabsmænd i det 17. århundrede virkede imaginære størrelsers natur og ret til at eksistere også meget tvivlsom. Leibniz skrev for eksempel i 1702: "Guds Ånd fandt den mest subtile udgang i dette analysemirakel, en freak fra ideernes verden, en dobbelt essens, placeret mellem væren og ikke-væsen, som vi kalder den imaginære rod af en negativ enhed." På trods af disse tvivl anvendte matematikere trygt på "imaginære" tal de sædvanlige algebraiske regler for reelle mængder og opnåede korrekte resultater [25] . $a+b{\sqrt {-1)),$ $b\neq 0,$

I lang tid var det ikke klart, om alle operationer på komplekse tal fører til komplekse resultater, eller om for eksempel at udtrække en rod kan føre til opdagelsen af en anden ny type tal. Problemet med at udtrykke rødderne af et givet tal blev løst af Moivre (1707) og Cotes (1722) [27] . $n$

Symbolet for den imaginære enhed blev foreslået af Euler (1777, publ. 1794), som tog det første bogstav i det latinske ord imaginarius - "imaginær". Han udvidede også alle standardfunktionerne, inklusive logaritmen , til det komplekse domæne. Euler udtrykte også ideen i 1751, at i systemet af komplekse tal har ethvert polynomium en rod ( algebraens grundlæggende sætning , før Euler blev lignende antagelser lavet af Albert Girard og René Descartes ) [28] . d'Alembert (1747) kom til samme konklusion , men det første strenge bevis for dette faktum tilhører Gauss (1799) [26] . Gauss og introducerede udtrykket "komplekst tal" i bred brug i 1831 (tidligere blev udtrykket brugt i samme betydning af den franske matematiker Lazar Carnot i 1803, men derefter vandt det ikke popularitet) [29] . $jeg$

Den geometriske repræsentation af komplekse tal, som i høj grad bidrog til deres legalisering, blev foreslået i slutningen af det 18. og begyndelsen af det 19. århundrede, først af Wessel og Argan (deres værker tiltrak ikke opmærksomhed), og derefter af Gauss [30] . Den aritmetiske (standard) model af komplekse tal som par af reelle tal blev konstrueret af Hamilton (The Theory of Algebraic Pairs, 1837); dette beviste konsistensen af deres egenskaber. Udtrykkene "modulus", "argument" og "konjugeret antal" blev introduceret i begyndelsen af det 19. århundrede af Cauchy , som markant fremførte kompleks analyse . Siden det 19. århundrede begyndte en hurtig og ekstremt frugtbar udvikling af forskningen i funktionerne af en kompleks variabel. [2] [31] .

I betragtning af denne succesrige tilgang begyndte søgningen efter en måde at repræsentere vektorer i tredimensionelt rum , svarende til det komplekse plan. Som et resultat af femten års søgning foreslog Hamilton i 1843 en generalisering af komplekse tal - kvaternioner , som han blev tvunget til ikke at gøre tredimensionelle, men firedimensionelle (tredimensionelle vektorer afbildede den imaginære del af kvaternioner); Hamilton måtte også opgive multiplikationsoperationens kommutativitet [2] .

I 1893 foreslog Charles Steinmetz at bruge komplekse tal til at beregne AC elektriske kredsløb (se nedenfor ).

Komplekse funktioner

Analytiske funktioner

En kompleks funktion af en variabel er en funktion , der er defineret på et område af det komplekse plan og tildeler komplekse værdier til punkterne i dette område [32] . Eksempler: $w=f(z)$ $z$ $w$

w=z^{2}+z+1;\quad w=z+{\frac {1}{z)).

Hver kompleks funktion kan betragtes som et par reelle funktioner af to variable: definere dens reelle og imaginære dele, henholdsvis. Funktioner , kaldes komponenter af en kompleks funktion Tilsvarende defineres en funktion af flere komplekse variable [32] . $w=f(z)=f(x+iy)$ $f(z)=u(x,\;y)+iv(x,\;y),$ $u$ $v$ $f(z).$

En visuel repræsentation af en kompleks funktion ved hjælp af en graf er vanskelig, da grafen selv for en funktion af en kompleks variabel kræver fire dimensioner (to for definitionsdomænet og to mere for værdiområdet). Hvis vi i stedet for værdien af funktionen betragter dens modul, så er den resulterende relief af funktionen placeret i tre dimensioner og giver en ide om funktionens opførsel [33] . $|w|=|f(z)|,$

Alle standardanalysefunktioner - polynomium , lineær brøkfunktion , potensfunktion , eksponentiel , trigonometriske funktioner , inverse trigonometriske funktioner , logaritme - kan udvides til det komplekse plan. I dette tilfælde vil de samme algebraiske, differentielle og andre identiteter gælde for dem som for den rigtige original [32] , for eksempel:

\sin ^{2}z+\cos ^{2}z=1;\qquad e^{u}\cdot e^{v}=e^{u+v}.

For komplekse funktioner er begreberne grænse , kontinuitet og afledt defineret på samme måde som i reel analyse, hvor den absolutte værdi erstattes af et komplekst modul [32] .

Differentierbare komplekse funktioner (det vil sige funktioner, der har en afledt) har en række funktioner sammenlignet med virkelige [34] .

De reelle og imaginære dele af den differentierbare funktion er harmoniske funktioner forbundet af Cauchy-Riemann-betingelserne .
Enhver kompleks funktion, der kan differentieres i et eller andet område af et punkt , kan differentieres et ubegrænset antal gange på dette tidspunkt (det vil sige, at den er analytisk eller holomorf ). $z$

Det definitive integral for funktioner af en kompleks variabel afhænger generelt af integrationsvejen (det vil sige valget af en kurve fra startpunktet til slutpunktet i det komplekse plan). Men hvis den integrerbare funktion er analytisk i et simpelt forbundet domæne , så afhænger dens integral i dette domæne ikke af stien [35] .

Komplekse plantransformationer

Enhver kompleks funktion kan betragtes som en transformation af det komplekse plan (eller som en transformation af et komplekst plan til et andet). Eksempler:

$w=z+c$ - parallel translation , bestemt af punktets radiusvektor $c.$
$w=uz,$ hvor er et komplekst tal med et enhedsmodul, er en drejning omkring origo med en vinkel lig med argumentet $u$ $u;$
$w={\bar {z))$ er en spejlrefleksion om den virkelige akse.

Da enhver bevægelse på planet er en kombination af ovenstående tre transformationer, giver funktionerne og et generelt udtryk for bevægelse på det komplekse plan [36] . $w=uz+c$ $w=u{\bar {z}}+c$

Andre lineære transformationer [36] :

$w=rz$ , hvor er et positivt reelt tal, angiver strækning med en faktor if eller skrumpende gange if $r$ $r$ $r>1,$ ${\tfrac {1}{r))$ $r<1;$
transformationer og hvor er vilkårlige komplekse tal, definere lighedstransformationen ; $w=az+b$ $w=a{\bar {z}}+b,$ $a,b$
transformation hvor er den generelle form for en affin transformation af det komplekse plan (når transformationen ikke vil være affin, da den vil degenerere planet til en ret linje). $w=az+b{\bar {z}}+c,$ $|a|\neq |b|,$ $|a|=|b|$

En vigtig rolle i kompleks analyse spilles af lineære fraktionerede transformationer [37] :

w={\frac {az+b}{cz+d)).

I dette tilfælde (ellers degenererer funktionen til en konstant). En karakteristisk egenskab ved den lineære fraktionelle transformation: den omdanner cirkler og rette linjer til cirkler og rette linjer (det vil sige til de såkaldte generaliserede cirkler [38] [39] , som omfatter "cirkler med uendelig radius" - rette linjer ). I dette tilfælde kan billedet af cirklen vise sig at være en lige linje, og omvendt [37] . $ad\neq bc$ $w(z)$

Andre praktisk nyttige transformationsfunktioner omfatter: inversionen af Zhukovsky-funktionen . Inversion transformerer ligesom den lineære fraktionelle transformation generaliserede cirkler til generaliserede cirkler. $w=1/{\bar {z)),$

Analytisk geometri på det komplekse plan

Studiet af flyvefigurer lettes ofte, hvis de overføres til det komplekse plan. Mange planimetriske sætninger tillader en klar og kompakt notation ved hjælp af komplekse tal, for eksempel [40] :

Tre (særskilte) punkter ligger på samme linje, hvis og kun hvis følgende betingelse er opfyldt: ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3))$

{\frac {z_{1}-z_{3}}{z_{2}-z_{3}}}

er et reelt tal.

Fire (særskilte) punkter ligger på den samme generaliserede cirkel (cirkel eller linje), hvis og kun hvis følgende betingelse er opfyldt: ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},z_{4))$

forholdet er et reelt tal.

{\frac {z_{1}-z_{3}}{z_{2}-z_{3}}}:{\frac {z_{1}-z_{4}}{z_{2}- z_{4}}}

Hvis der er givet tre spidser af et parallelogram : så bestemmes det fjerde af ligheden [41] : $z_{1},z_{2},z_{3},$ $z_{4}=z_{1}-z_{2}+z_{3}.$

Den parametriske ligning for en ret linje på det komplekse plan har formen [42] :

z=ud+v,

hvor er komplekse tal, er en vilkårlig reel parameter.

u, v

u\neq 0,t

Vinklen mellem to linjer og er Især linjer er kun vinkelrette , når er et rent imaginært tal. To linjer er parallelle, hvis og kun hvis der er et reelt tal; hvis også reelle, så falder begge linjer sammen. Hver lige linje skærer det komplekse plan i to halvplaner: på den ene af dem er udtrykket positivt, på det andet er det negativt [42] . $z=ut+v$ $z=u't+v'$ $\operatørnavn {arg} (u'/u).$ $u'/u$ $u'/u$ $(v'-v)/u$ $z=ut+v$ $t=\operatørnavn {Im} {\frac {zv}{u}}$

Ligningen af en cirkel med centrum og radius har en yderst simpel form: Uligheden beskriver det indre af en cirkel ( en åben cirkel) [42] . Den parametriske form af cirkelligningen er ofte praktisk [43] : $c$ $r$ $|zc|=r.$ $|zc|<r$ $z=c+e^{i\varphi }.$

Sted generelt algebra, topologi og mængdeteori

Mættet af komplekse tal danner et felt , som er en endelig forlængelse af grad 2 af feltet af reelle tal. Den vigtigste algebraiske egenskab er, at det er algebraisk lukket , dvs. ethvert polynomium i det har (komplekse) rødder og derfor , nedbrydes i lineære faktorer. Det siges også, at der er en algebraisk lukning [44] af feltet $\mathbb {C}$ $\mathbb{R}.$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb{R}.$

Karakteristikken for det komplekse felt er nul, magten som et sæt er den samme som for feltet af reelle tal, det vil sige kontinuum . Frobenius-sætningen fastslog, at der kun er to skævhedsfelter , der er endelige forlængelser - feltet af komplekse tal og skævt felt af quaternioner [45] . $\mathbb {C}$ $\mathbb {R}$

Det er umuligt at omdanne feltet med komplekse tal til et ordnet felt , fordi i et ordnet felt er kvadratet af ethvert element ikke-negativt, og en imaginær enhed kan ikke eksistere i det.

Det følger af modulets egenskaber, at de komplekse tal danner strukturen af et todimensionelt normeret rum over feltet $\mathbb{R}.$

Feltet tillader uendeligt mange automorfier , men kun én af dem (identiteten ikke medregnet) efterlader de reelle tal på plads [46] . $\mathbb {C}$

Felterne og er de eneste forbundne lokalt kompakte topologiske felter [47] . $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$

Nogle praktiske applikationer

De træk ved komplekse tal og funktioner, der adskiller dem fra virkelige, har vist sig at være nyttige og ofte uundværlige i matematik, naturvidenskab og teknologi.

Matematik

Anvendelser af komplekse tal er i sig selv fremtrædende i matematik - især begreberne algebraiske tal , at finde rødderne til polynomier , Galois-teori , kompleks analyse osv.

Ved at overføre et geometrisk problem fra et almindeligt plan til et komplekst, får vi ofte mulighed for væsentligt at forenkle dets løsning [48] [49] .

Mange komplekse problemer inden for talteori (for eksempel teorien om biquadratiske rester ) og ægte matematisk analyse (for eksempel beregning af komplekse eller ukorrekte integraler ) kunne kun løses ved hjælp af komplekse analyseværktøjer . Et stærkt værktøj til opdagelser inden for talteori viste sig for eksempel at være gaussiske tal på formen hvor er heltal [50] . For at studere fordelingen af primtal var den komplekse Riemann zeta-funktion nødvendig [51] . $a+bi,$ $a,b$

Ofte afklares problemerne med reel analyse af deres komplekse generalisering. Det klassiske eksempel er Taylor-udvidelsen

{\frac {1}{1+x^{2}}}=1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\ldots

Denne serie konvergerer kun i intervallet , selvom punkterne ikke er specielle for den reducerede funktion. Situationen bliver klarere, når man går over til en funktion af en kompleks variabel , som har to entalspunkter: poler Følgelig kan denne funktion kun udvides til en serie i en cirkel med enhedsradius [52] . $(-1;\;1)$ $\pm 1$ $f(z)={\frac {1}{1+z^{2))},$ $\pm i.$

Når man løser lineære differentialligninger , er det vigtigt først at finde alle de komplekse rødder af det karakteristiske polynomium, og derefter forsøge at løse systemet i form af grundlæggende eksponentialer [53] . I differensligninger bruges de komplekse rødder af den karakteristiske ligning af et system af differensligninger til et lignende formål [54] . Ved hjælp af teorien om rester , som er en del af kompleks analyse, beregnes mange komplekse integraler over lukkede konturer [55] ..

Studiet af en funktion er ofte forbundet med analysen af dens frekvensspektrum ved hjælp af den komplekse Fourier- eller Laplace-transformation [56] .

Repræsentationen af komplekse tal i datalogi og computerunderstøttelse af kompleks aritmetik er beskrevet i artiklen Complex data type .

Konform kortlægning

Som nævnt ovenfor kan enhver kompleks funktion betragtes som en transformation af et komplekst plan til et andet. En glat ( analytisk ) funktion har to funktioner: hvis den afledede på et givet punkt ikke er lig med nul, så er stræk-/kompressionsforholdet i denne transformation det samme i alle retninger, rotationsvinklen er også konstant ( konform mapping ) [ 57] . Denne kendsgerning er forbundet med den brede anvendelse af komplekse funktioner i kartografi [58] [59] og hydrodynamik [60] .

Kvantemekanik

Grundlaget for kvantemekanikken er begrebet en kompleks bølgefunktion.For at beskrive dynamikken i et kvantesystem anvendes differentialligninger med komplekse koefficienter som Schrödinger-ligningen . Løsninger til disse ligninger er givet i et komplekst Hilbert-rum . De operatører, der svarer til de observerede mængder, er hermitiske . Kommutatoren for positions- og momentumoperatorerne er et imaginært tal [61] : ${\hat {x}}$ ${\hat {p}}_{x}$

\left[{\hat {x)),{\hat {p}}_{x}\right]={\hat {x}}{\hat {p}}_{x}-{\ hat {p}}_{x}{\hat {x}}=i\hbar

Her er den reducerede Plancks konstant , altså ( Diracs konstant ). $\hbar$ $h$ $h/2\pi$

En vigtig rolle i kvantemekanikken spilles af Pauli-matricer og Dirac-matricer , nogle af dem indeholder komplekse værdier [61] .

Elektroteknik

Da vekselstrøm er en oscillerende proces, er det praktisk at beskrive og studere det ved hjælp af komplekse tal. Begreberne impedans eller kompleks modstand introduceres også for de reaktive elementer i et elektrisk kredsløb, såsom kapacitans og induktans, - dette hjælper med at beregne strømmene i kredsløbet [62] . På grund af det faktum, at symbolet i elektroteknik traditionelt betegner strømmens størrelse, betegnes den imaginære enhed der med bogstavet [63] . På mange områder inden for elektroteknik (hovedsageligt radiofrekvens og optisk) er det ikke registreringen af strøm- og spændingsligningerne for kredsløbet, der bruges, men direkte Maxwell-ligningerne i deres spektrale repræsentation, hvis fysiske størrelser er givet i det komplekse plan, og under overgangen fra - til - rum (hvor - tid , er vinkelfrekvensen ) ved hjælp af Fourier-transformationen opnås simplere ligninger uden afledte [64] . $jeg$ $j\,$ $(t,x)$ $(\omega ,k)$ $t$ $\omega$

Logisk grundlag

Udvidelsen af feltet for reelle tal til komplekse tal, ligesom enhver anden udvidelse af den algebraiske struktur, rejser mange spørgsmål, hvoraf de vigtigste er spørgsmål om, hvordan man definerer operationer på en ny type tal, hvilke egenskaber de nye operationer vil have , og (hovedspørgsmålet) er det tilladt ekspansion, om det vil føre til uafvendelige modsætninger.

For at analysere sådanne spørgsmål i teorien om komplekse tal er det nødvendigt at danne et sæt aksiomer.

Aksiomatik af komplekse tal

Det er muligt at definere aksiomatikken for mængden af komplekse tal , hvis vi stoler på den aksiomatiske teori om reelle tal . Vi definerer nemlig som det minimale felt, der indeholder mængden af reelle tal og mindst ét tal, hvis anden potens er −1, den imaginære enhed . Mere strengt taget er de komplekse talaksiomer som følger [65] [66] . $\mathbb {C}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$

C1 : For alle komplekse tal er deres sum defineret

u, v

u+v.

C2 : Addition er kommutativ : Yderligere vil vi i nogle aksiomer for kortheds skyld udelade sætningen "for enhver ".

u+v=v+u.

u,v,w

C3 : Tilføjelse er associativ :

(u+v)+w=u+(v+w).

C4 : Der er et element 0 (nul), således at

u+0=u.

C5 : For hvert komplekst tal er der et modsat element, således at

u

-u

u+(-u)=0.

C6 : For alle komplekse tal er deres produkt defineret

u, v

uv.

C7 : Multiplikation er kommutativ :

uv=vu.

C8 : Multiplikation er associativ :

(uv)w=u(vw).

C9 : Multiplikation er relateret til addition af den distributive (distributive) lov:

(u+v)w=uw+vw.

C10 : Der er et element 1 (en) ikke lig med nul og sådan

u\cdot 1=u.

C11 : For hvert tal, der ikke er nul, er der en gensidig af det , således at

u

u'

u\cdot u'=1.

C12 : Sættet af komplekse tal indeholder et underfelt , der er isomorft til feltet af reelle tal For nemheds skyld er dette underfelt angivet nedenfor med samme bogstav

\mathbb {C}

\mathbb{R}.

\mathbb{R}.

C13 : Der er et element ( imaginær enhed ) sådan at

jeg

i^{2}+1=0.

C14 ( aksiom for minimalitet ): Lade være en delmængde , der: indeholder både den imaginære enhed og er lukket under addition og multiplikation. Så matcher alt

M

\mathbb {C} ,

\mathbb {R}

M

\mathbb {C} .

Alle andre egenskaber følger som følge af disse aksiomer. De første 11 aksiomer betyder det, der danner feltet , og det 12. aksiom angiver, at dette felt er en forlængelse . $\mathbb {C}$ $\mathbb{R}.$

Der er andre versioner af komplekse tals aksiomatik. For eksempel kan man i stedet for at stole på det allerede konstruerede ordnede felt af reelle tal bruge mængdelærens aksiomatik som en base [68] .

Konsistens og modeller

Standardmetoden til at bevise konsistensen af en ny struktur er at modellere ( fortolke ) dens aksiomer ved hjælp af objekter af en anden struktur, hvis konsistens er uden tvivl. I vores tilfælde skal vi implementere disse aksiomer på grundlag af reelle tal [69] .

Standardmodel

Overvej alle mulige ordnede par af reelle tal. I denne model vil hvert sådant par svare til et komplekst tal [70] $(a,b)$ $a+bi.$

Dernæst skal du definere [69] :

par og betragtes som lige, hvis og $(a,b)$ $(c,d)$ $a=c$ $b=d;$
addition : summen af par og er defineret som et par $(a,b)$ $(c,d)$ $(a+c,b+d);$
multiplikation : produkt af par og er defineret som et par $(a,b)$ $(c,d)$ $(ac-bd,ad+bc).$

Forklaring: Den tilsyneladende komplicerede definition af multiplikation er let afledt af relationen $i^{2}=-1\colon$

(a+bi)(c+di)=(a+bi)c+(a+bi)di=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+i(ad+bc ).

Det er let at verificere, at den beskrevne struktur af par danner et felt og opfylder hele listen af komplekse talaksiomer. Reelle tal modelleres i par, der danner et underfelt , og operationer med sådanne par er i overensstemmelse med den sædvanlige addition og multiplikation af reelle tal. Parrer og svarer til nul og enhed af feltet. Denne metode er et særligt tilfælde af Cayley-Dixon-proceduren . ${\displaystyle(a,0)}$ $\mathbb {R}$ $(0,0)$ $(1,0)$

Den imaginære enhed er et par. Dens kvadrat er lig , det vil sige, at ethvert komplekst tal kan skrives som ${\displaystyle(0,1),}$ $\left(-1,\;0\right),$ $-en.$ $(a,b)=(a,0)(1,0)+(b,0)(0,1)=a(1,0)+b(0,1)=a+bi.$

Den beskrevne model beviser, at den givne aksiomatik af komplekse tal er konsistent. For hvis der var en modsigelse i den, så ville dette betyde en modsigelse i den grundlæggende aritmetik af reelle tal for denne model, som vi på forhånd antog for at være konsistente [69] .

Matrix model

De komplekse tal kan også defineres som en subring af ringen af reelle 2×2 matricer af formen

{\begin{pmatrix}x&-y\\y&x\end{pmatrix}}

med den sædvanlige matrix addition og multiplikation [2] . Den reelle enhed vil svare til

{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix)),

imaginær enhed -

{\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}

Sættet af sådanne matricer er et todimensionelt vektorrum . Multiplikation med et komplekst tal er en lineær operator . I basis er den lineære operator af multiplikation med repræsenteret af ovenstående matrix, da [2] : $x+iy$ $e_{1}=1,e_{2}=i$ $x+iy$

(x+iy)\cdot 1=x\cdot 1+y\cdot i;

(x+iy)\cdot i=(-y)\cdot 1+x\cdot i.

Matrixmodellen gør det nemt at demonstrere sammenhængen mellem komplekse tal og lineære transformationer af en bestemt type plan. Der er nemlig en en-til-en overensstemmelse mellem komplekse tal og rotationshomoteter af planet ( kombinationer af forlængelse om et punkt og rotation ): hver rotationshomotetitet kan repræsenteres på den komplekse plan som en multiplikation med et komplekst tal [71 ] .

Faktorringmodellen af polynomier

Overvej en polynomialring med reelle koefficienter og konstruer dens kvotientring modulo polynomiet (eller, som er det samme, i henhold til idealet genereret af det specificerede polynomium). Det betyder, at vi vil betragte to polynomier fra som ækvivalente , hvis de, når de divideres med et polynomium , giver den samme rest. For eksempel vil et polynomium være ækvivalent med en konstant , et polynomium vil være ækvivalent , osv. [72] $\mathbb{R}[x]$ $x^{2}+1$ $\mathbb{R}[x]$ $x^{2}+1$ $x^{2}$ $-1,$ $x^{3}$ $-x$

Sættet af ækvivalensklasser danner en ring med identitet. Da polynomiet er irreducerbart , er denne faktorring et felt. Rollen som den imaginære enhed spilles af polynomiet, da dets kvadrat (se ovenfor) er ækvivalent Hver ækvivalensklasse indeholder en rest af formen (fra division med ), som i lyset af det sagte kan skrives som Derfor er dette felt isomorft til feltet af komplekse tal [72] . $x^{2}+1$ $i(x)=x,$ $-en.$ $a+bx$ $x^{2}+1$ $a+bi.$

Denne isomorfisme blev opdaget af Cauchy i 1847. Denne tilgang kan bruges til at konstruere generaliseringer af komplekse tal såsom Clifford algebraer [73] .

Algebraisk karakterisering

Som nævnt ovenfor er feltet af komplekse tal algebraisk lukket og har karakteristisk nul (det følger af den sidste egenskab, at det indeholder et underfelt af rationelle tal ). Desuden har ethvert grundlag for transcendens over kontinuumets kardinalitet [K 3] . Disse tre egenskaber er tilstrækkelige til at definere feltet af komplekse tal op til feltisomorfi - mellem to algebraisk lukkede felter med karakteristisk 0 med en kontinuum transcendens basis er der en vis identifikation i overensstemmelse med operationerne med addition og multiplikation af disse felter [74] [75] [K 4] . $\mathbb {Q}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {Q}$

Under denne identifikation kan andre strukturer, såsom normen eller topologien , muligvis ikke bevares. For eksempel opfylder den algebraiske lukning af et felt med -adiske tal også de tre angivne egenskaber. Den -adiske norm er imidlertid ikke arkimedisk og svarer derfor ikke til den sædvanlige norm for komplekse tal for ethvert valg af isomorfi [76] . Derfor definerer de en anden struktur af det topologiske vektorrum : mængden af ethvert element i vektorrummet og dets integrale multipliciteter er diskret i det komplekse tilfælde og kompakt i -adic [76] . ${\overline {\mathbb {Q} }}_{p}$ $s$ $s$ $s$

Variationer og generaliseringer

Den nærmeste generalisering af komplekse tal blev opdaget i 1843. Det viste sig at være kroppen af quaternions , som i modsætning til feltet med komplekse tal indeholder tre imaginære enheder, traditionelt betegnet Ifølge Frobenius-sætningen er komplekse tal et af tre mulige tilfælde af en endelig-dimensionel divisionsalgebra over feltet af reelle tal. I 1919 viste det sig, at både komplekse tal fra reelle tal og kvaternioner fra komplekse tal kan opnås ved en enkeltdimensionel fordoblingsprocedure , også kendt som " Cayley-Dixon-proceduren " [77] . $i,j,k.$

Ved yderligere anvendelse af denne procedure dannes numrene beskrevet af Arthur Cayley i 1845, før opdagelsen af denne procedure, og kaldet " Cayley-tal " (oktonioner, oktaver). De tal, der opnås ved den næste anvendelse af proceduren, kaldes sedenioner . På trods af at denne procedure kan gentages yderligere, har yderligere antal navne endnu ikke [77] .

Andre typer komplekse taludvidelser ( hyperkomplekse tal ):

Biquaternions
Komplekse tal af hyperbolsk type (dobbelt)
Komplekse tal af parabolsk type (dobbelt)

Noter

Kommentarer

↑
De to mulige accenter er givet i henhold til følgende kilder.
- Great Soviet Encyclopedia , 3. udg. (1973), bind 12, s. 588, artikel Komplekse tal .
- Soviet Encyclopedic Dictionary (1982), s. 613, artikel Kompleks nummer .
- Den seneste udgave af Dictionary of the Difficulties of the Russian Language (Rosenthal D. E., Telenkova M. A., Iris-press, 2005, s. 273) angiver begge muligheder: komplekse (komplekse) tal .
- The Great Russian Encyclopedia (Vol. 14, 2010) giver muligheder: Kompleks nummer (s. 691, forfatter ikke specificeret), men kompleks analyse Arkivkopi dateret 2. juli 2019 på Wayback Machine (s. 695, forfatter: tilsvarende medlem af det russiske videnskabsakademi E. M. Chirka ).
- Staveordbog for det russiske sprog (udg. 6., 2010), Grammar Dictionary of the Russian Language, Russian Spelling Dictionary of the Russian Academy of Sciences , red. V. V. Lopatina (udg. 4., 2013) og en række andre ordbøger angiver muligheder: kompleks og kompleks (mat.) .
↑ Med forbehold for konsistensen af systemet af reelle tal.
↑ Det vil sige, det adskiller sig fra (feltet af rationelle funktioner for et sæt variabler af potenskontinuum) ved en algebraisk udvidelse $\mathbb {Q} (x_{i}),i\in \mathbb {R}$ $x_{i}$
↑ Da en kortlægning til et algebraisk lukket felt altid kan udvides til en algebraisk udvidelse, er det tilstrækkeligt at etablere en isomorfi mellem deres simple underfelter og en bijektion mellem transcendensbaser for at etablere en isomorfi mellem algebraiske lukkede felter.

Referencer

↑ Kort ordbog over fremmede ord. - 7. udg. - M . : Russisk sprog , 1984. - S. 121. - 312 s.
↑ 1 2 3 4 5 Kompleks tal // Matematisk encyklopædi (i 5 bind). - M .: Soviet Encyclopedia , 1979. - T. 2. - S. 1007.
↑ Encyclopedia of Elementary Mathematics, 1951 , s. 227.
↑ Håndbog i elementær matematik, 2006 , s. 211, fodnote.
↑ Håndbog i elementær matematik, 2006 , s. 222.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 Algebra and Mathematical Analysis, 1998 , s. 180-181.
↑ Virkelig del . Hentet 16. januar 2018. Arkiveret fra originalen 31. marts 2018. (ubestemt)
↑ Imaginært nummer // Matematisk encyklopædi (i 5 bind). - M .: Soviet Encyclopedia , 1982. - T. 3. - S. 708.
↑ Imaginær del . Hentet 16. januar 2018. Arkiveret fra originalen 31. marts 2018. (ubestemt)
↑ Ahlfors Lars V., 1979 , s. 2.
↑ History of Mathematics, bind III, 1972 , s. 72.
↑ 1 2 Encyclopedia of elementary mathematics, 1951 , s. 237-239.
↑ History of Mathematics, bind III, 1972 , s. 61-66.
↑ 12 Bunch , Bryan. Matematiske fejlslutninger og paradokser. Kapitel "Eliminering af paradoks pr. definition" . - Dover Publications, 1997. - 240 s. — (Dover Bøger om Matematik). — ISBN 978-0486296647 .
↑ Encyclopedia of Elementary Mathematics, 1951 , s. 233-234.
↑ 1 2 3 4 5 Encyclopedia of elementary mathematics, 1951 , s. 234-235, 239-240.
↑ GOST R 52002-2003. Elektroteknik. Begreber og definitioner af grundlæggende begreber Arkiveret 16. marts 2018 på Wayback Machine . Afsnit 152. Den komplekse amplitude af en (sinusformet elektrisk) strøm er en kompleks størrelse, hvis modul og argument er lig med henholdsvis amplituden og startfasen af en given sinusformet elektrisk strøm.
↑ 1 2 3 4 5 6 Ahlfors Lars V., 1979 , s. 6-10.
↑ Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N., 1967 , s. 14-15.
↑ 1 2 Algebra and Mathematical Analysis, 1998 , s. 183-1851.
↑ 1 2 3 4 Ahlfors Lars V., 1979 , s. 15-16.
↑ Solomentsev E. D., 1988 , s. 7.
↑ Weisstein, Eric W. nth Root på Wolfram MathWorld- webstedet .
↑ Ahlfors Lars V., 1979 , s. 3-4.
↑ 1 2 3 Cline Morris. Matematik. Tab af sikkerhed. - M .: Mir, 1984. - S. 138-139.
↑ 1 2 Stillwell D. Matematik og dens historie. - Moskva-Izhevsk: Institut for computerforskning, 2004. - S. 258-266. — 530 s.
↑ History of Mathematics, bind III, 1972 , s. 57-61.
↑ Yushkevich A.P. Leonard Euler. Liv og arbejde // Udvikling af Leonhard Eulers ideer og moderne videnskab. Lør. artikler. — M .: Nauka, 1988. — ISBN 5-02-000002-7 . - S. 15-47.
↑ Sharp O. Teori om funktioner af en kompleks variabel . Hentet: 30. november 2017. (ubestemt)
↑ Rene Descartes. Geometri. Med et appendiks af udvalgte værker af P. Fermat og Descartes' korrespondance. - M. - L .: Gostekhizdat , 1938. - S. 233. - 297 s. - (Klassikere af naturvidenskab).
↑ Glazer G.I. Matematikkens historie i skolen. IX-X klasser. - M . : Uddannelse, 1983. - S. 193. - 351 s.
↑ 1 2 3 4 Smirnov V.I., 2010 , s. 7-15.
↑ Bronstein, Semendyaev, 1985 , s. 360.
↑ Smirnov V.I., 2010 , s. 15-22.
↑ Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N., 1967 , s. 44.
↑ 1 2 Zaslavsky A. A. Geometriske transformationer. - 2. udg. - M . : MTSNMO, 2004. - S. 58. - 86 s. — ISBN 5-94057-094-1 .
↑ 1 2 Evgrafov M. A., 1968 , s. 180-186.
↑ MAXimal :: algo :: Geometrisk inversionstransformation . e-maxx.ru . Hentet 9. maj 2021. Arkiveret fra originalen 7. maj 2021. (ubestemt)
↑ E. A. Morozov, "Det generaliserede Apollonius-problem", Matem. oplysning, ser. 3, 23, Izd. MTSNMO, M., 2019, 80-111 . www.mathnet.ru _ Hentet 9. maj 2021. Arkiveret fra originalen 9. maj 2021. (ubestemt)
↑ Privalov I.I., 1984 , s. 43.
↑ Solomentsev E. D., 1988 , s. ti.
↑ 1 2 3 Ahlfors Lars V., 1979 , s. 17-18.
↑ Solomentsev E. D., 1988 , s. 12.
↑ Numerical Systems, 1975 , s. 165.
↑ Encyclopedia of Elementary Mathematics, 1951 , s. 249-251.
↑ Numerical Systems, 1975 , s. 167.
↑ Topologisk felt // Matematisk encyklopædi (i 5 bind). - M . : Soviet Encyclopedia , 1985. - T. 5. - S. 386.
↑ Komplekse tal. 9.-11. klassetrin, 2012 , kapitel 5.
↑ Reelle anvendelser af imaginære tal, 1988 , s. 78.
↑ Reelle anvendelser af imaginære tal, 1988 , s. 114-124.
↑ Derbyshire, John. Simpel besættelse. Bernhard Riemann og det største uløste problem i matematik. - Astrel, 2010. - 464 s. — ISBN 978-5-271-25422-2 .
↑ Privalov I.I., 1984 , s. fjorten.
↑ Filippov A. F. Introduktion til teorien om differentialligninger. - Redaktionel URSS, 2004. - 240 s. — ISBN 5354004160 .
↑ Forskelsligning // Matematisk encyklopædi (i 5 bind) . - M .: Soviet Encyclopedia , 1984. - T. 4. - S. 838.
↑ Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N., 1967 , kapitel 5.
↑ Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N., 1967 , kapitel 8.
↑ Smirnov V.I., 2010 , s. 22-25.
↑ Markushevich A.I. Komplekse tal og konforme kortlægninger . - M . : Gostekhizdat, 1954. - 52 s. - (Populære forelæsninger om matematik, hæfte 13).
↑ Shao-Feng Bian, Hou-Pu Li. Matematisk analyse i kartografi ved hjælp af computeralgebrasystem . Hentet 28. januar 2018. Arkiveret fra originalen 29. januar 2018. (ubestemt)
↑ Lavrentiev M. A., Shabat B. V. Problemer med hydrodynamik og deres matematiske modeller. — M .: Nauka, 1973.
↑ 1 2 Landau, L. D., Lifshitz, E. M. Kvantemekanik (nonrelativistisk teori). - 6. udgave, revideret. — M.: Fizmatlit, 2004. — 800 s. - ("Teoretisk fysik", bind III). — ISBN 5-9221-0530-2 .
↑ Reelle anvendelser af imaginære tal, 1988 , s. 132-144.
↑ Molchanov A.P., Zanadvorov P.N. Kursus i elektro- og radioteknik, kapitel "Lineære kredsløb". - BH V. - 608 s. - ISBN 978-5-9775-0544-4 .
↑ Afonsky A. A., Dyakonov V. P. Digital Spectrum, Signal and Logic Analyzers / Ed. prof. V. P. Dyakonova. - M. : SOLON-Press, 2009. - S. 248 . - ISBN 978-5-913-59049-7 .
↑ Numerical Systems, 1975 , s. 164-165.
↑ Encyclopedia of Elementary Mathematics, 1951 , s. 227-233.
↑ Numerical Systems, 1975 , s. 166.
↑ Reelle og komplekse tal . Hentet 13. februar 2018. Arkiveret fra originalen 6. februar 2021. (ubestemt)
↑ 1 2 3 Numeriske systemer, 1975 , s. 167-168.
↑ Encyclopedia of Elementary Mathematics, 1951 , s. 230-233.
↑ John Stillwell. Geometriens fire søjler . — Springer Science & Business Media, 2005-12-30. - S. 84-86. - 240 sek. — ISBN 9780387290522 .
↑ 1 2 Faddeev D. K. Forelæsninger om Algebra. - M. : Nauka, 1984. - S. 200-201. — 416 s.
↑ F. Brackx, R. Delanghe, H. Serras. Clifford Algebras and their Applications in Mathematical Physics: Proceedings of the Third Conference afholdt i Deinze, Belgien, 1993 . — Springer Science & Business Media, 2012-12-06. - S. 33. - 405 s. — ISBN 9789401120067 .
↑ David Marker. Model Theory: An Introduction, ISBN 978-0-387-22734-4 . Forslag 2.2.5. Springer Science & Business Media, 2002. Se også nogle forklaringer Arkiveret 14. maj 2018 på Wayback Machine .
↑ William Weiss og Cherie D'Mello. Fundamentals of Model Theory Arkiveret 13. april 2018 på Wayback Machine . Lemma 7: Alle to algebraisk lukkede felter med karakteristisk 0 og kardinalitet er isomorfe $\aleph_1$ og en kommentar efter den.
↑ 1 2 p-adisk nummer // Mathematical Encyclopedia (i 5 bind). - M . : Soviet Encyclopedia , 1977. - V. 1. - S. 100. : " Denne udvidelse er færdiggørelsen af feltet med rationelle tal med hensyn til ikke-arkimedisk værdiansættelse ... Feltet er lokalt kompakt $Q_p$ ."
↑ 1 2 Dickson, L.E. (1919), On Quaternions and their Generalization and the History of the Eight Square Theorem , Annals of Mathematics , Second Series (Annals of Mathematics). — T. 20 (3): 155–171, ISSN 0003-486X , DOI 10.2307/1967865

Litteratur

Balk M. B. , Balk G. D., Polukhin A. A. Reelle anvendelser af imaginære tal. - Kiev: Radianska skole, 1988. - 255 s. — ISBN 5-330-00379-2 .
Bronshtein IN , Semendyaev KA Håndbog i matematik for ingeniører og gymnasieelever . - udg. 13. - M. : Nauka, 1985. - 544 s.
Bourbaki, N. Essays om matematikkens historie. - M. , 1963.
Vilenkin N. Ya. , Ivashov-Musatov O. S. , Shvartsburd S. I. Algebra og matematisk analyse for klasse 11. Tutorial. - Ed. 6. - M . : Uddannelse, 1998. - 288 s. — ISBN 5-09-008036-4 .
Vygodsky M. Ya. Håndbog i elementær matematik. - M. : AST, 2006. - 509 s. — ISBN 5-17-009554-6 .
Glazkov Yu. A., Varshavsky I. K., Gaiashvili M. Ya. Komplekse tal. 9-11 klassetrin. - M . : Eksamen, 2012. - 157 s. - ISBN 978-5-377-03467-4 .
Evgrafov M. A. Analytiske funktioner. - 2. udg., revideret. og yderligere — M .: Nauka , 1968. — 472 s.
Kirillov A. A. Hvad er et tal?. - M. , 1993. - 80 s. — ISBN 5-02-014942-3 .
Lavrentiev M. A. , Shabat B. V. Metoder til teorien om funktioner af en kompleks variabel. - 4. udg. — M .: Nauka , 1972 .
Matematik i det 18. århundrede // Matematikkens historie / Redigeret af A.P. Yushkevich , i tre bind. - M . : Nauka, 1972. - T. III.
Nechaev V. I. Numeriske systemer. - M . : Uddannelse, 1975. - 199 s.
Privalov II Introduktion til teorien om funktioner af en kompleks variabel. - 13. udgave - M . : Fizmatlit, 1984. - 432 s.
Sveshnikov A. G. , Tikhonov A. N. Teori om funktioner af en kompleks variabel. — M .: Nauka, 1967. — 304 s.
Smirnov V. I. Et kursus i højere matematik i tre bind. - Ed. 10. - Sankt Petersborg. : BHV-Petersburg, 2010. - V. 3, del 2. — 816 s. - ISBN 978-5-9775-0087-6 .
Solomentsev ED Funktioner af en kompleks variabel og deres anvendelser. - M . : Højere skole, 1988. - 167 s. — ISBN 5-06-003145-6 .
Encyklopædi af elementær matematik (i 5 bind). - M. : Fizmatgiz, 1951. - T. 1. - S. 160-168. — 448 s.
Ahlfors Lars V. Kompleks analyse. En introduktion til teorien om analytiske funktioner af en kompleks variabel. — Tredje Udgave. - Harvard University: McGraw-Hill Book Company, 1979. - 317 s. — ISBN 0-07-000657-1 .

Links

Glazer G. Komplekse tal (del 1 af 2) . Tidsskrift "Matematik". - nr. 10 (2001). Dato for adgang: 18. april 2017. (ubestemt)
- (del 2 af 2) , "Matematik" nr. 11 (2001).
Pontryagin L. Komplekse tal // Kvant . - 1982. - Nr. 3 .
Formelberegner for komplekse tal under Windows . Dato for adgang: 17. januar 2018. (ubestemt)
Etienne Gis , Jos Leys, Orellan Alvarez. Filmens dimensioner. Kapitel5 og6: Komplekse tal. (Russisk)

Numeriske systemer
Tællelige sæt	Naturlige tal ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ Heltal ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Rationel ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ Algebraisk ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Perioder Beregnbar Aritmetik
Reelle tal og deres forlængelser	Ægte ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Kompleks ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Kvaternioner ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayley-tal (oktaver, oktonioner) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenioner ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Skifter Dobbelt Hyperkompleks Superrealistisk Hypermateriale surrealistisk
Numeriske udvidelsesværktøjer	Cayley-Dixon procedure Frobenius sætning Hurwitz-sætning
Andre nummersystemer	kardinalnumre Ordinaltal (transfinite, ordinaler) p-adic Overnaturlige tal intervaltal
se også	dobbelte tal Irrationelle tal transcendentale tal nummerstråle Biquaternion

Algebra over ringen
Dimension - Power of 2	Komplekse tal (størrelse 2) $\mathbb {C}$ Quaternions (størrelse 4) $\mathbb {H}$ Cayley-tal/oktonioner/oktaver (størrelse 8) $\mathbb O$ Sedenioner (størrelse 16) $\mathbb S$
se også	Frobenius sætning Hyperkomplekst tal Algebra Legeme imaginær enhed

Kompleks tal

Kompleks aritmetik

Relaterede definitioner

Addition og subtraktion

Multiplikation

Division

Andre operationer

De vigtigste forskelle mellem komplekse tal og reelle tal

Noter

Geometrisk repræsentation

Kompleks plan

Modul

Argument

Konjugerer tal

Former for repræsentation af et komplekst tal

Algebraisk form

Trigonometrisk form

Vejledende form

De Moivres formel og udvinding af rødder

Hovedbetydningen af ​​roden

Kvadratrod

Historie

Komplekse funktioner

Analytiske funktioner

Komplekse plantransformationer

Analytisk geometri på det komplekse plan

Sted generelt algebra, topologi og mængdeteori

Nogle praktiske applikationer

Matematik

Konform kortlægning

Kvantemekanik

Elektroteknik

Logisk grundlag

Aksiomatik af komplekse tal

Konsistens og modeller

Algebraisk karakterisering

Variationer og generaliseringer

Noter

Litteratur

Links

Hovedbetydningen af roden