Punkt (geometri)

Et punkt er et af de fundamentale ( udefinerede ) matematiske objekter, hvis egenskaber er givet af et system af aksiomer . Det er strengt taget ikke muligt at repræsentere et punkt som et udeleligt element i det tilsvarende matematiske rum , defineret i geometri , matematisk analyse og andre grene af matematikken [1] .

Samtidig kan begrebet et punkt være forskelligt i forskellige dele af matematikken. I rum med et koordinatsystem er et punkt givet ved et sæt af dets koordinater og identificeres normalt med det. Begrebet et punkt bruges dog også i rum uden et koordinatsystem (for eksempel i topologi eller i grafteori ) [1] .

Geometriske punkter har generelt ikke nogen målbare egenskaber ( længde , areal , volumen osv.), bortset fra koordinater. På bestemte områder af matematikken kan visse typer have særlige egenskaber og navne - for eksempel entalspunkter , grænsepunkter , kritiske punkter osv. [1] I fysikken introduceres begrebet et materielt punkt , som tildeles en bestemt værdi af masse og dynamiske egenskaber (hastighed, acceleration osv.).

Punkt i euklidisk geometri

Euklids første aksiom, i hans Principia , definerede et punkt som "et objekt uden dele". I den moderne aksiomatik af euklidisk geometri er et punkt et primært begreb , kun defineret af en liste over dets egenskaber- aksiomer .

I det valgte koordinatsystem kan ethvert punkt i det todimensionelle euklidiske rum repræsenteres som et ordnet par ( x ; y ) af reelle tal . På samme måde kan et punkt i et n - dimensionelt euklidisk rum (eller en vektor eller affint rum) repræsenteres som en tupel ( a 1 , a 2 , … , an ) af n tal.

Mange objekter i euklidisk geometri består af et uendeligt sæt punkter, der svarer til visse aksiomer. For eksempel er en ret linje et uendeligt sæt punkter af formen , hvor c 1 ... c n og d er konstanter, og n er rummets dimension. Der er lignende konstruktioner, der definerer et plan , et linjestykke og andre relaterede begreber. Et linjestykke, der kun består af et punkt, kaldes et degenereret stykke. $\scriptstyle {L=\lbrace (a_{1},a_{2},...a_{n})|a_{1}c_{1}+a_{2}c_{2}+.. .a_{n}c_{n}=d\rbrace }$

Ud over at definere punkter og objekter forbundet med punkter, postulerede Euklid også den centrale idé, at alle to punkter kunne forbindes med en lige linje. Dette gjorde det muligt at konstruere næsten alle geometriske begreber kendt på det tidspunkt. Imidlertid var Euklids postulat af punkter hverken fuldstændigt eller endeligt, og indeholdt også bestemmelser, der ikke fulgte direkte af hans aksiomer, såsom rækkefølgen af punkter på en linje eller eksistensen af visse punkter. Moderne udvidelser af Euclid-systemet eliminerer disse mangler.

Punktdimension

I alle generelle definitioner af dimension er et punkt et nuldimensionelt objekt, men det beskrives forskelligt i forskellige dimensionsopfattelser.

Vektorrum

Dimensionen af et vektorrum er den maksimale størrelse af en lineært uafhængig delmængde. I et vektorrum bestående af et enkelt punkt (som skal være nulvektoren 0), er der ingen lineært uafhængig delmængde. Selve nulvektoren er ikke lineært uafhængig, da der er en ikke-triviel lineær kombination, der gør den til nul: . $1\cdot \mathbf {0} =\mathbf {0}$

Topologisk dimension

Den topologiske dimension af et topologisk rum X er defineret som minimumsværdien af n, således at hvert endeligt åbent dæksel af X tillader et endeligt åbent dæksel af X, der forfiner , hvor intet punkt er inkluderet i mere end n + 1 elementer. Hvis et sådant minimum n ikke eksisterer, siges rummet at have en uendelig dækdimension. $\mathcal{A}$ ${\mathcal {B}}$ $\mathcal{A}$

Punktet er nuldimensionalt i forhold til dækslets dimension, fordi hvert åbent dæksel af rummet har en forfining bestående af et åbent sæt.

Hausdorff dimension

Lad X være et metrisk rum . Hvis S ⊂ X og d ∈ [0, ∞), så er Hausdorff-sættet i det d-dimensionelle rum S infimum af mængden af tal δ ≥ 0, for hvilket der findes et (indekseret) sæt af metrikker, der dækker S med r i > 0 for hver i ∈ I opfylder . $\{B(x_{i},r_{i}):i\in I\}$ $\sum _{i\in I}r_{i}^{d}<\delta$

Hausdorff-dimensionen af et metrisk rum X er defineret som

\operatørnavn {dim} _{\operatørnavn {H} }(X):=\inf\{d\geq 0:C_{H}^{d}(X)=0\}.

Et punkt har Hausdorff-dimension 0, fordi det kan dækkes af en enkelt kugle med en vilkårlig lille radius.

Geometri uden punkter

Begrebet et punkt er grundlæggende inden for de fleste områder af geometri og topologi, men der er matematiske begreber, der i princippet afviser begrebet et punkt, for eksempel ikke-kommutativ geometri og meningsløs topologi . I disse tilgange defineres "rum uden punkter" ikke som et sæt , men gennem en eller anden struktur (henholdsvis algebraisk eller logisk), der ligner et velkendt funktionelt rum på et sæt: algebraen af kontinuerlige afbildninger eller algebraen af mængder hhv . Mere præcist generaliserer sådanne strukturer kendte funktionsrum på en sådan måde, at operationen "tager værdi på dette tidspunkt" muligvis ikke defineres. Undersøgelser af sådanne strukturer er indeholdt i nogle af Alfred Whiteheads skrifter .

Punktmasse og Dirac delta-funktionen

For en række teorier inden for fysik og matematik er det nyttigt at bruge et sådant abstrakt objekt som et punkt, der har en masse eller ladning , der ikke er nul (dette er især almindeligt i klassisk elektrodynamik , hvor elektroner er repræsenteret som punkter med en ikke-nul -nul opladning). Dirac delta-funktionen eller δ-funktionen er ikke en funktion af en reel variabel, men er defineret som en generaliseret funktion : en kontinuerlig lineær funktionel på rummet af differentiable funktioner. Den er ikke lig med nul kun ved det punkt, hvor den bliver uendelig på en sådan måde [2] , at dens integral over ethvert kvarter er lig med 1. Den fysiske fortolkning af deltafunktionen er en idealiseret punktmasse eller punktladning [3] . Denne funktion blev introduceret af den engelske teoretiske fysiker Paul Dirac . I signalbehandling omtales det ofte som et enkelt pulssymbol (eller funktion) [4] . Den diskrete analog af Dirac δ-funktionen er Kronecker-symbolet , som normalt er defineret i et endeligt domæne og tager værdierne 0 og 1. $x=0$ $x=0$

Se også

Noter

↑ 1 2 3 Point // Mathematical Encyclopedic Dictionary . - M . : Soviet Encyclopedia, 1988. - S. 585 . — 847 s.
↑ Weisstein, Eric W. Delta Function på Wolfram MathWorld- webstedet .
↑ Arfken & Weber, 2000 , s. 84
↑ Bracewell, 1986 , kapitel 5

Litteratur

Arfken, G. B. & Weber, H. J. (2000), Mathematical Methods for Physicists (5. udgave), Boston, Massachusetts: Academic Press , ISBN 978-0-12-059825-0 .
Bracewell, R.N. (1986), The Fourier Transform and Its Applications (2. udgave), McGraw-Hill .
Clarke, Bowman , 1985, Individuals and Points, Notre Dame Journal of Formal Logic 26 : 61-75.
Gerla, G. , 1995, Pointless Geometries in Buekenhout, F., Kantor, W. eds., Handbook of incidence geometry: buildings and foundations . Nordholland: 1015-31.
Whitehead, A.N. , 1920. Naturbegrebet . Cambridge Univ. Trykke. Paperback fra 2004, Prometheus Books. At være Tarner-forelæsningerne i 1919, der blev leveret på Trinity College .

Links

Peg (engelsk) på PlanetMath-hjemmesiden .
Weisstein, Eric W. Point (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .
Definition af punkt
Punkt definition sider

Tematiske steder	FMA
Ordbøger og encyklopædier	Fantastisk catalansk Fantastisk norsk Stor russer
I bibliografiske kataloger	GND : 4298379-4