Principia Mathematica | |
---|---|
engelsk Principia Mathematica | |
Forfatter | Bertrand Russell og Whitehead, Alfred North |
Originalsprog | engelsk |
Original udgivet | 1910 (Bind I), 1912 (Bind II), 1913 (Bind III) |
Forlægger | Cambridge University Press |
Mediefiler på Wikimedia Commons |
Principia Mathematica er et værk i tre bind om matematikkens logik og filosofi af Alfred North Whitehead og Bertrand Russell , udgivet i 1910, 1912 og 1913. Monografien er skrevet på engelsk, men titlen er på latin. Titlen blev oversat til russisk som "Matematikprincipper", "Matematikprincipper" og "Matematiks grundprincipper".
Sammen med Aristoteles' Organon ( græsk : Ὄργανον ) og Gottlob Freges Grundlæggende Regnelove ( tysk: Grundgesetze der Arithmetik ) er det et af historiens mest indflydelsesrige værker om logik [1] . Volumen af Principia Mathematica er i alt omkring 2000 sider [2] .
I deres arbejde forsøgte Russell og Whitehead at vise, at al matematik kan reduceres til logik gennem et sæt aksiomer og nogle få grundlæggende begreber, dvs. at retfærdiggøre logicisme . Til dette blev typeteori introduceret , inden for hvilken det var umuligt at formulere begrebet "sættet af alle sæt", hvilket førte til Russells paradoks . Derudover blev der introduceret to aksiomer: uendelighedsaksiomet (der er et uendeligt antal objekter) og reducerbarhedsaksiomet (for hvert sæt er der et førsteordenssæt af samme volumen) [3] .
Principia Mathematicas centrale idé om matematikkens reduktion til logik (logicisme) blev implicit udtalt af Leibniz i det 17. århundrede, senere blev det eksplicit udtrykt af Frege , der udviklede det logisk-matematiske apparat, der var nødvendigt for den tekniske retfærdiggørelse af logicisme [1] .
I 1898 udgav Whitehead sit arbejde om logicisme, A Treatise on Universal Algebra , og i 1903 skrev Russell The Principles of Mathematics . Da begge matematikere kom til lignende konklusioner, og emnerne for deres arbejde overlappede hinanden, begyndte de snart at samarbejde om et fælles arbejde, som blev kaldt Principia Mathematica . Valget af navn havde mindre at gøre med Newtons Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica , men med Moores Principia Ethica [4] [5] .
Russell stod for den filosofiske del af værket, mens de tekniske aspekter blev skrevet i fællesskab. Som Russell skrev:
Med hensyn til matematiske problemer udviklede Whitehead det meste af notationen, bortset fra hvad Peano allerede havde ; Jeg arbejdede med rækkerne, og Whitehead lavede næsten alt andet. Men dette gælder kun for første udkast. Hver del blev lavet om 3 gange. En af os lavede det første udkast til teksten og sendte det til den anden, som normalt ændrede det væsentligt og sendte det tilbage. Derefter bragte forfatteren til det originale udkast teksten til sin endelige form. Der er næppe en linje i alle tre bind, der ikke er resultatet af en fælles indsats.
Originaltekst (engelsk)[ Visskjule] Hvad angår de matematiske problemer, opfandt Whitehead det meste af notationen, undtagen for så vidt som den blev overtaget fra Peano; Jeg lavede det meste af arbejdet med serier og Whitehead gjorde det meste af resten. Men dette gælder kun for første udkast. Hver del blev udført tre gange. Når en af os havde lavet et første udkast, ville han sende det til den anden, som normalt ville ændre det betydeligt. Hvorefter den, der havde lavet det første udkast, ville sætte det i endelig form. Der er næppe en streg i alle de tre bind, som ikke er et fælles produkt. — Bertrand Russell. Min filosofiske udvikling . - London: Allen og Unwin, 1959. - S. 74 . — 279 sider. — ISBN 0041920155 .Matematikerne planlagde at afslutte arbejdet om et år, men efter næsten ti år var arbejdet endnu ikke afsluttet. Derudover besluttede Cambridge University Press, at udgivelsen af dette værk ville medføre et tab på 600 pund sterling , hvoraf 300 forlaget var klar til at påtage sig, 200 doneret af Royal Society of London og betalte 50 hver til Russell og Whitehead fra personlige midler. På nuværende tidspunkt er der ikke et eneste akademisk bibliotek, der ikke har en Principia Mathematica- udgave [1] .
Principia Mathematica består af 3 bind, som er opdelt i 6 dele.
Bind I blev udgivet i 1910 og indeholdt grundlæggende aksiomer og regler for udledning af aksiomer af højere orden, elementære operationer på mængder og binære relationer , definitionen af en og to som tal. Bind I beskæftigede sig med Zermelos sætning , valgaksiomet og Cantor-Bernstein-sætningen .
Bind II blev udgivet i 1912. Det beskæftigede sig med kardinaltal og aritmetiske operationer på dem, endelige tal, binær relationsaritmetik, lineært ordnede mængder, ordnede Dedekind- mængder , grænsepunkter og kontinuerlige funktioner .
Bind III blev udgivet i 1913. Den betragtede velordnede mængder, fuldstændigt ordnede sæt, sæt af heltal, rationelle, reelle tal og deres måling. Spørgsmålet om ækvivalensen af valgaksiomet og det velordnede princip blev også berørt.
Bind IV var planlagt til udgivelse, men blev aldrig skrevet. Det skulle være dedikeret til geometri [1] [6] .
Bogen Principia Mathematica var en stor bedrift i to henseender: den fremmede betydeligt udviklingen af matematisk logik og viste, hvordan man kan slippe af med alle de kendte paradokser i mængdelæren . Imidlertid hævdede dets forfattere mere - for at tydeliggøre essensen af matematisk viden. I denne henseende fandt deres holdning kun ringe støtte. Blandt tilhængerne af logicisme er Alonzo Church og Willard Van Orman Quine , i modstandernes lejr er så fremtrædende matematikere som A. Poincaré , D. Hilbert , G. Weyl og mange andre.
Kritikere har angrebet både logismens ideologi og dens specifikke inkarnation i bogen. De påpegede, at konsistensen af Russell-Whitehead-konstruktionen ikke var blevet bevist, og der var ingen garanti for, at nye paradokser ikke ville dukke op. To nye aksiomer foreslået af forfatterne, aksiomet om uendelighed og aksiomet om formindskelse, forårsagede særlig afvisning. Mange matematikere har hævdet, at disse aksiomer ikke er rent logiske [7] . Ifølge kritikere er uendelighedsaksiomet således empirisk , men ikke logisk. Og aksiomet om reduktionsbarhed mangler intuitiv evidens og blev introduceret ad hoc for at omgå de ubelejlige virkninger af typeteori. Spørgsmålet om logicismens videnskabelige værdi forblev således åbent [1] .
Da K. Gödel gik med i arbejdet med at bevise sammenhængen i de formelle systemer i Principia Mathematica , kom et vendepunkt. I 1931 beviste Gödel umuligheden af at retfærdiggøre konsistensen af formel aritmetik ved hjælp af sine egne midler, og antagelsen om dens konsistens betyder, at det er umuligt at bevise alle førsteordens aksiomer om naturlige tal (se Gödels ufuldstændighedssætning ). I det videnskabelige samfund blev denne Gödel-sætning opfattet som umuligheden af en fuldskalaimplementering af både logicisme og formalisme . Resultaterne af Gödels arbejde med de formelle systemer i Principia Mathematica påvirkede ikke kun logik, matematik og filosofi, men også spørgsmål, der ligger inden for områder af menneskelig viden som epistemologi , psykologi og metodologien for kunstige intelligenssystemer [3] .
På trods af kritik er Principia Mathematica fortsat et af de mest indflydelsesrige logiske værker i verden. Takket være dette arbejde opnåede en ny matematisk logik meget større popularitet. En af fordelene ved Russell og Whitehead her er, at det lykkedes dem, som ingen andre havde før, at demonstrere prædikatlogikkens magt. De viste også, hvor rig og alsidig idéen om formelle systemer kan være, og åbnede dermed op for en ny linje inden for forskning - metalogik . Principia Mathematica havde stor indflydelse på logikkens videre udvikling og markerede begyndelsen på mange metalologiske studier. Så i 1920 beviste E. Post den deduktive og funktionelle fuldstændighed af propositionel logik , og i 1930 beviste K. Gödel den deduktive fuldstændighed af prædikatlogikken [3] . Bogens begreber påvirkede også arbejdet hos sådanne logikere og matematikere som A. Turing og A. Church [1] .
Derudover viste Russell og Whitehead en klar sammenhæng mellem logicisme og de to hovedgrene af filosofien: metafysik og epistemologi . Principia Mathematica har ansporet forskning i begge retninger og fortsætter med at påvirke matematik og logik [2] .
Selvom forsøg på at genoplive Russell og Whiteheads logik fortsætter den dag i dag, mener mange forfattere, at de formelle systemer i Principia Mathematica er for svage eller forvirrede til virkelig at retfærdiggøre muligheden for logicisme [1] .
Oversættelsen af bogens første bind til russisk blev udgivet i 2004, andet bind - i 2005, tredje bind - i 2006. Oversættelsen blev lavet under redaktion af G. P. Yarovoy og Yu. N. Radaev [2] .
Ordbøger og encyklopædier | |
---|---|
I bibliografiske kataloger |