Integral eksponentiel funktion

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 1. januar 2020; checks kræver 2 redigeringer .

En integral eksponentiel funktion er en speciel funktion , angivet med symbolet . $\operatørnavn {Ei}$

Definition på mængden af reelle tal

Følgende definition er mest almindelig (se diagram): $\operatørnavn {Ei}$

$\operatorname {Ei} (x)=\mathrm {vp} \int \limits _{-\infty }^{x}{\frac {e^{t}}{t}}\,\mathrm { d} t=\gamma +\operatørnavn {ln} |x|+\sum \limits _{n\geq 1}{\frac {x^{n}}{n!\cdot n}},\;x\ i \mathbb {R} ,\;(1)$

hvor er Euler-konstanten . Integralet i betydningen af hovedværdien i (1) har forskellige serieudvidelser for positivt og negativt x, hvilket gør det vanskeligt at fortsætte det analytisk til det komplekse plan [dvs. en generalisering af (1) til tilfældet med komplekse værdier af x]. Af denne grund synes definition (1) at være mangelfuld; i stedet er det mere passende at bruge [inkompatibel med (1)] $\gamma$

Grundlæggende definition

Integral eksponentiel funktion - en speciel funktion defineret af integralet [1]

$\operatorname {Ei} (z)=\int \limits _{-\infty }^{z}{\frac {e^{t}}{t}}\,\mathrm {d} t=\ gamma +\operatørnavn {ln} (-z)+\sum \limits _{n\geq 1}{\frac {z^{n}}{n!\cdot n}},\;|\arg(-z )|<\pi ,\;(2)$

Ligesom serien for eksponentialfunktionen konvergerer den uendelige sum i (2) på ethvert punkt i det komplekse plan. Resultatet af integration i (2) afhænger ikke kun af , men også af integrationsstien, nemlig det er bestemt af antallet af gange integrationsvejen går rundt om punktet , i nærheden af hvilket integranden i (2) er omtrent lig med . Funktionen er således multi-værdi, og entalspunktet er det logaritmiske grenpunkt . Som i tilfældet med den logaritmiske funktion er forskellen i værdierne af de forskellige grene af funktionen (for en fast værdi ) et multiplum af . $z$ $t=0$ $1/t$ $\operatørnavn {Ei} (z)$ $z=0$ $\operatørnavn {ln} z$ $z$ $2\pi i$

Nedenfor vil vi kun overveje den hovedgren (værdi), der svarer til hovedgrenen i (2). Det konventionelle snit af det komplekse plan for (langs den negative reelle akse) svarer til snittet langs den positive reelle akse for funktionen . Vi fikserer også argumentets hovedgren: og yderligere vil vi antage, at det er en analytisk funktion med en enkelt værdi defineret på hele det komplekse plan, bortset fra snittet langs den positive reelle akse. $\operatørnavn {Ei}$ $\operatørnavn {ln}$ $\operatørnavn {ln} z$ $\operatørnavn {Ei} (z)$ $-\pi <\operatørnavn {arg} z\leq \pi$ $\operatørnavn {Ei}$

Forekomst i beregningen af integraler $\operatørnavn {Ei}$

Integralet af en vilkårlig rationel funktion ganget med eksponenten udtrykkes i den endelige form i form af funktionen og elementære funktioner. [en] $\operatørnavn {Ei}$

Som et simpelt eksempel på et integral, der reducerer til en integral eksponentiel funktion, kan du overveje (forudsat at ) $b>0$

$\int \limits _{0}^{+\infty }{\frac {e^{ibx}\mathrm {d} x}{x+iz))={\begin{cases}-e^{ bz}\operatørnavn {Ei} (-bz),&\operatørnavn {arg} z\ikke \i [\pi /2,\pi ],\\-e^{bz}\venstre[\operatørnavn {Ei} ( -bz)-2\pi i\right],&\operatørnavn {arg} z\in (\pi /2,\pi ).\end{cases}}\;(2)$

Af (2) følger det, at for reelle værdier og $y$ $b$

$\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {x\cos bx\,\mathrm {d} x}{x^{2}+y^{2))}=-{ \frac {1}{2}}\venstre[e^{|af|}\operatørnavn {Ei} (-|af|)+e^{-|af|}\operatørnavn {Ei} _{1}(| af|)\right],\;(3)$

hvor der er en såkaldt. modificeret integral eksponentiel funktion [1] : $\operatorname {Ei} _{1}$

$\operatorname {Ei} _{1}(y)={\frac {1}{2}}\left[\operatorname {Ei} (y+i0)+\operatørnavn {Ei} (y-i0) \right]=\gamma +\operatørnavn {ln} y+\sum \limits _{n\geq 1}{\frac {y^{n}}{n!\cdot n}},\;y>0,\ ;\operatørnavn {Ei} _{1}(y)\in \mathbb {R} .\;(4)$

Faktisk falder (4) sammen med funktionen defineret i (1), og ofte er funktionen betegnet med symbolet , hvilket kan føre til fejl. $\operatorname {Ei} _{1}$ $\operatørnavn {Ei}$

Ved opnåelse af resultatet (3) blev værdien af integralet brugt

$\int _{0}^{\infty }{\frac {x\sin bx\,\mathrm {d} x}{x^{2}+z^{2))}={\frac { \pi }{2}}\operatørnavn {exp} [-bz\operatørnavn {tegn} \Im z],\;b>0.$

Integral (3) kan betragtes som en reel funktion af reelle argumenter og . Det er logisk at kræve, at en sådan funktion kun skal udtrykkes i form af reelle værdier. Dette krav retfærdiggør indførelsen af et yderligere [ud over det, der allerede er defineret i (2) ] symbol . $b$ $y$ $\operatørnavn {Ei}$ $\operatorname {Ei} _{1}$

Resultat (3) kan let generaliseres til vilkårlige (undtagen rent imaginære) komplekse værdier af parameteren : $z$

$\int _{0}^{\infty }{\frac {x\cos bx\,\mathrm {d} x}{x^{2}+z^{2))}=-{\frac {1}{2}}\venstre\{e^{bz}\operatørnavn {Ei} (-bz)+e^{-bz}\venstre[\operatørnavn {Ei} (bz)+\pi i\operatørnavn { sign} \Im z\right]\right\},\;b>0,\;\Re z\neq 0.\;(5)$

Formel (3) for og kan fås ved at indsætte (5). $b>0$ $y>0$ $z=y\pm i0$

Integralet (5) kan findes på side 320 i Prudnikovs håndbog [2] , dog er udtrykket givet der kun sandt for reelle værdier og forudsat at definition (1) bruges til funktionen. $z$ $\operatørnavn {Ei}$

Det skal bemærkes, at det er farligt at stole på kommercielle computeralgebrasystemer til at beregne sådanne integraler (især for komplekse parameterværdier). På grund af forvirringen med notationen (brugen af symbolet i stedet for ), kan opslagsbøger heller ikke stoles fuldt ud. $\operatørnavn {Ei}$ $\operatorname {Ei} _{1}$

Se også

Noter

↑ 1 2 3 Lebedev, N. N. Specialfunktioner og deres anvendelser . - 2. - 1963. (Russisk)
↑ Prudnikov A.P. , Brychkov Yu.A. , Marichev O.I. Integraler og serier. - Ed. 2. - M. : FIZMATLIT, 2003. - T. 1. - S. 320.561.622. — ISBN 5-9221-0323-7 .

Ordbøger og encyklopædier	Stor russer