Andel (matematik)

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 14. april 2022; verifikation kræver 1 redigering .

Proportion ( latin proportio "proportionalitet, ligehed af dele; et bestemt forhold mellem dele til hinanden") er ligheden mellem forholdet mellem to [eller flere] par tal og , dvs. lighed af formen , eller i andre notationer, lighed (læses ofte som: " gælder på samme måde som det gælder "). I dette tilfælde, og kaldes ekstreme , og - gennemsnitlige medlemmer af andelen. Denne andel kaldes også geometrisk , ikke at forveksle med aritmetiske og harmoniske proportioner . $a, b$ $c, d$ $a:b=c:d$ $\ {\frac ab}={\frac cd}$ $-en$ $b$ $c$ $d$ $-en$ $d$ $b$ $c$ .

Grundlæggende egenskaber ved proportioner

Tilbageførsel af proportioner. Hvis , så $\ {\frac ab}={\frac cd}$ $\ {\frac ba}={\frac dc}$
Multiplicer de ekstreme medlemmer af proportionen med de midterste (på tværs). Hvis , så . Med andre ord er produktet af de ekstreme led lig med produktet af mellemleddet. Denne egenskab kaldes den grundlæggende egenskab af proportion. $\ {\frac ab}={\frac cd}$ $\ad=bc$
Permutation af mellem- og ekstreme termer. Hvis , så $\ {\frac ab}={\frac cd}$

\ {\frac ac}={\frac bd}

(permutation af de midterste medlemmer af andelen),

\ {\frac db}={\frac ca}

(permutation af de ekstreme medlemmer af andelen).

Stigende og faldende proportioner. Hvis , så $\ {\frac ab}={\frac cd}$

\ {\dfrac {a+b}{b}}={\dfrac {c+d}{d}}

(andelsstigning),

\ {\dfrac {ab}{b}}={\dfrac {cd}{d}}

(reducerende andel).

Lav proportioner ved at addere og trække fra. Hvis , så $\ {\frac ab}={\frac cd}$

\ {\dfrac {a+c}{b+d}}={\frac ab}={\frac cd}

(tegne en andel ved addition),

\ {\dfrac {ac}{bd))={\frac ab}={\frac cd}

(tegne en proportion ved subtraktion). Bevis (proportionering ved addition og subtraktion)

Vi vil bevise for tilføjelse. Vi udtrykker gennem de resterende vilkår for andelen: . Derefter: $c$ $c={\frac {ad}{b))$

{\frac {a+c}{b+d}}={\frac {a+ad/b}{b+d}}={\frac {(ab+ad)/b}{b+d ))={\frac {a(b+d)}{b(b+d)))={\frac {a}{b)).

For subtraktion er beviset det samme. ■

Historie

Den første kendte definition af lige proportioner blev givet som en lighed af successive subtraktioner [1] , i moderne sprog kan dette udtrykkes som en lighed af fortsatte brøker for størrelsesforhold. [2] Senere forenklede Eudoxus af Cnidus definitionen, proportionernes lighed blev defineret af ham som den samtidige opfyldelse af et af de tre par af forhold. $a:b=c:d$

$m\cdot a>n\cdot b$ og , $m\cdot c>n\cdot d$
$m\cdot a=n\cdot b$ og , $m\cdot c=n\cdot d$
$m\cdot a<n\cdot b$ og $m\cdot c<n\cdot d$

for ethvert par naturlige tal og . Denne definition er givet i Euklids elementer . $m$ $n$

Med fremkomsten af reelle tal var der ikke behov for en særlig teori om proportioner; gamle matematikere betragtede ikke længdeproportionerne som tal. Definitionen af Eudoxus, givet i en noget mere abstrakt form, blev brugt senere i Dedekinds definition af reelle tal i form af nedskæringer .

Relaterede definitioner

Aritmetisk proportion

Ligheden mellem to forskelle kaldes undertiden en aritmetisk proportion [3] . $ab=cd$

Harmonisk proportion

Hvis den geometriske proportion har de midterste elementer ens, og den sidste er forskellen mellem den første og den midterste, kaldes en sådan proportion harmonisk :. I dette tilfælde kaldes nedbrydningen til summen af to led for harmonisk division eller det gyldne snit [4] . $a:b=b:(ab)$ $-en$ $b$ $ab$

Problemer med tredobbeltreglen

Indholdet af opgaven for en simpel tredobbelt regel omfatter to størrelser relateret af en proportional afhængighed, mens to værdier af en mængde og en af de tilsvarende værdier af den anden mængde er givet, men det er kræves for at finde dens anden værdi.

Opgaver for en kompleks tredobbelt regel kaldes opgaver, hvor det for en serie af flere (mere end to) proportionale mængder er påkrævet at finde værdien af en af dem svarende til en anden serie af givne mængder værdier [5] [6] .

Se også

Proportionalitet

Noter

↑ Topeka af Aristoteles
↑ Von Fritz, Kurt . "Opdagelsen af incommensurability af Hippasus af Metapontum". Annaler af matematik. - 1945. - S. 242-264.
↑ Aritmetiske proportioner // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : i 86 bind (82 bind og 4 yderligere). - Sankt Petersborg. , 1890-1907.
↑ Harmonisk proportion // Great Soviet Encyclopedia : [i 30 bind] / kap. udg. A. M. Prokhorov . - 3. udg. - M . : Sovjetisk encyklopædi, 1969-1978.
↑ Håndbog i elementær matematik . Hentet 8. januar 2018. Arkiveret fra originalen 8. januar 2018. (ubestemt)
↑ Løsning af problemer på en simpel tredobbelt regel. Måder at løse . Hentet 8. januar 2018. Arkiveret fra originalen 8. januar 2018. (ubestemt)

Litteratur

Van der Waerden, B. L. Awakening Science. Matematik i det gamle Egypten, Babylon og Grækenland. / pr. med et mål I. N. Veselovsky. — M .: GIFML, 1959.