Eksponentiering

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 27. marts 2022; checks kræver 12 redigeringer .

Eksponentiering er en aritmetisk operation , oprindeligt defineret som resultatet af at gange et tal med sig selv. En eksponent med en base og en naturlig eksponent betegnes som $-en$ $b$

a^{b}=\underbrace {a\cdot a\cdot \ldots \cdot a} _{b},

hvor - antallet af faktorer (multiplicerede tal) [1] [K 1] . $b$

For eksempel, $3^{2}=3\cdot 3=9;\quad 2^{4}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16$

I programmeringssprog, hvor stavemåde ikke er mulig, bruges alternativ notation . $a^{b}$

Eksponentiering kan også defineres for negative , rationelle , reelle og komplekse potenser [1] .

At udtrække en rod er en af operationerne omvendt til eksponentiering; den finder en ukendt base fra kendte værdier af graden og eksponenten . Den anden inverse operation er logaritme , den finder en ukendt eksponent fra kendte værdier af graden og grundtallet . Problemet med at finde et tal ved dets kendte logaritme (potentiation, antilogaritme ) løses ved hjælp af eksponentieringsoperationen. $c=a^{b}$ $b$ $a={\sqrt[{b}]{c}}$ $c=a^{b}$ $-en$ $b=\log _{a}c$

Der er en hurtig eksponentieringsalgoritme , der udfører eksponentiering i færre multiplikationer end i definitionen.

Brug i mundtlig tale

Notationen læses normalt som " a til th potens" eller " a i n potens ". Læs for eksempel som "ti til den fjerde potens", læs som "ti til tre sekunders potens (eller: halvanden)". ${\displaystyle a^{n))$ $n$ $10^{4}$ $10^{3/2}$

Der er specielle navne for anden og tredje grad: henholdsvis kvadrat og terning . Så for eksempel læses det som "ti kvadrater", det læses som "ti terninger". Denne terminologi stammer fra oldgræsk matematik . De gamle grækere formulerede algebraiske konstruktioner i den geometriske algebras sprog . Især i stedet for at bruge ordet "multiplikation", talte de om arealet af et rektangel eller om volumen af et parallelepipedum : i stedet sagde de gamle grækere "firkant på segment a ", "terning på en ". Af denne grund blev den fjerde grad og derover undgået af de gamle grækere [2] . $10^{2}$ $10^{3}$ $a^2$ $a^{3}$

Tallet, der er resultatet af at hæve et naturligt tal til -te potens kaldes den nøjagtige -te potens. Især det tal, der er resultatet af at kvadrere et naturligt tal (terning), kaldes et nøjagtigt kvadrat (terning). Et perfekt kvadrat kaldes også et perfekt kvadrat . $n$ $n$

Egenskaber

Grundlæggende egenskaber

Alle følgende grundlæggende egenskaber ved eksponentiering gælder for naturlige, heltal, rationelle og reelle tal [3] . For komplekse tal udføres de på grund af den komplekse operations polysemi kun i tilfælde af en naturlig eksponent .

$a^{1}=a$
$\left(ab\right)^{n}=a^{n}b^{n}$
$\left({a \over b}\right)^{n}={{a^{n}} \over {b^{n}}}$
${\displaystyle a^{n}a^{m}=a^{n+m))$
$\left.{a^{n} \over {a^{m}}}\right.=a^{nm}$
$\left(a^{n}\right)^{m}=a^{nm}$ .

Posten har ikke egenskaben associativitet (kompatibilitet), det vil sige i det generelle tilfælde, For eksempel , men . I matematik er det sædvanligt at betragte rekordens ækvivalent , og i stedet kan du skrive simpelthen , ved at bruge den tidligere egenskab. Nogle programmeringssprog overholder dog ikke denne konvention. $a^{n^{m}}$ $(a^{n})^{m}\neq a^{\left({n^{m}}\right)}$ $(2^{2})^{3}=4^{3}=64$ $2^{\venstre({2^{3}}\right)}=2^{8}=256$ $a^{n^{m}}$ $a^{\left({n^{m}}\right)}$ $(a^{n})^{m}$ $a^{nm}$

Eksponentiering har ikke egenskaben kommutativitet (forskydning) : generelt set f.eks . $a^{b}\neq b^{a}$ $2^{5}=32$ $5^{2}=25.$

Tabel over naturlige kræfter af små tal

n	n 2	n 3	n4 _	n 5	n6 _	n 7	n 8	n9 _	n 10
2	fire	otte	16	32	64	128	256	512	1024
3	9	27	81	243	729	2,187	6,561	19.683	59.049
fire	16	64	256	1024	4.096	16.384	65,536	262.144	1.048.576
5	25	125	625	3125	15.625	78,125	390,625	1.953.125	9.765.625
6	36	216	1296	7,776	46.656	279.936	1.679.616	10.077.696	60.466.176
7	49	343	2401	16.807	117.649	823.543	5.764.801	40.353.607	282.475.249
otte	64	512	4096	32.768	262.144	2.097.152	16.777.216	134.217.728	1.073.741.824
9	81	729	6561	59.049	531.441	4.782.969	43.046.721	387.420.489	3.486.784.401
ti	100	1000	10.000	100.000	1.000.000	10.000.000	100.000.000	1.000.000.000	10.000.000.000

Udvidelser

Heltalsstyrke

Operationen generaliserer til vilkårlige heltal , inklusive negative og nul [4] ::

a^{z}={\begin{cases}a^{z},&z>0\\1,&z=0,a\neq \;0\\{\frac {1}{a^{ |z|}}},&z<0,a\neq \;0\\0,&z>0,a=0\end{cases}}

Resultatet er udefineret for og . $a=0$ $z\leqslant 0$

Rationel grad

At hæve til en rationel potens, hvor er et heltal og er et naturligt, positivt tal er defineret som følger [4] : $m/n,$ $m$ $n$

a^{m \over n}=({\sqrt[{n}]{a)))^{m};\quad \forall a>0,a\in \mathbb {R} ,m\ i \mathbb {Z} ,n\i \mathbb {N} .

En grad med en base lig med nul bestemmes kun for en positiv rationel eksponent.

0^{m \over n}=0;\quad m\in \mathbb {N} ,n\in \mathbb {N} .

For negative eksponenter med en brøkeksponent tages der ikke i betragtning. $-en$

Konsekvens: Begrebet en rationel potens kombinerer således at hæve til en heltalspotens og at udtrække en rod i en enkelt operation. ${\sqrt[{n}]{a}}=a^{1/n};\quad a>0,a\in \mathbb {R} .$

Reel grad

Sættet af reelle tal er et kontinuerligt ordnet felt , betegnet med . Sættet af reelle tal kan ikke tælles, dets magt kaldes kontinuumets magt . Aritmetiske operationer på reelle tal repræsenteret ved uendelige decimalbrøker er defineret som en kontinuerlig fortsættelse [5] af de tilsvarende operationer på rationelle tal. $\mathbb {R}$

Hvis der er givet to reelle tal, der kan repræsenteres som uendelige decimaler (hvor er positivt): $\alfa$

\alpha =a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots =\{a_{n}\},~~\alpha >0,

\beta =\pm b_{0},b_{1}b_{2}\ldots b_{n}\ldots =\{b_{n}\},

defineret henholdsvis af de fundamentale sekvenser af rationelle tal (der opfylder Cauchy-betingelsen ), betegnet som: og , så kaldes deres grad det tal, der er defineret af graden af sekvenser og : $\alpha =[a_{n}]$ $\beta =[b_{n}]$ $\gamma =[c_{n}]$ $\{a_{n}\}$ $\{b_{n}\}$

\gamma =\alpha ^{\beta }{=}[a_{n}]^{[b_{n}]}=[a_{n}{\widehat {}}b_{n}]

reelt tal , opfylder følgende betingelse: ${\displaystyle \gamma =\alpha ^{\beta ))$

(a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \leqslant b'')\Rightarrow ({(a')}^{b'}\leqslant \alpha ^ {\beta }\leqslant {(a'')}^{b''})\Højrepil ({(a')}^{b'}\leqslant \gamma \leqslant {(a'')}^{b ''}),~~~\forall ~a',a'',b',b''\i \mathbb {Q} ,~\forall \alpha >0,~\alpha ,\beta ,\gamma \ i \mathbb {R} .

Potensen af et reelt tal er således et reelt tal , der er indeholdt mellem alle artens potenser på den ene side og alle artens potenser på den anden side. ${\displaystyle \alpha ^{\beta ))$ $\gamma$ ${(a')}^{b'}$ ${(a'')}^{b''}$

En grad med en basis lig med nul bestemmes kun for en positiv reel eksponent.

0^{\beta }=0;\quad \beta \in \mathbb {R} ,\beta >0.

For negativ eksponent med en reel eksponent tages der ikke i betragtning. $\alfa$

I praksis, for at hæve et tal til en potens , er det nødvendigt at erstatte dem med den nødvendige nøjagtighed med omtrentlige rationelle tal og . Graden af de angivne rationale tal tages som en omtrentlig værdi af graden . Samtidig er det lige meget fra hvilken side (ved mangel eller ved overskud) de optagne rationelle tal tilnærmer sig og . $\alfa$ $\beta$ $-en$ $b$ ${\displaystyle \alpha ^{\beta ))$ ${\displaystyle a^{b))$ $\alfa$ $\beta$

Et eksempel på eksponentiering , op til 3. decimal: ${\displaystyle \gamma =\pi ^{e))$

Vi afrunder disse tal til 4. decimal (for at forbedre nøjagtigheden af beregninger);
Vi får: ; $\pi \approx 3.1416,\ e\approx 2.7183$
hæve til en magt: ; $\gamma =\pi ^{e}\approx 3.1416^{2.7183}\approx 22.4592$
Afrunding op til 3. decimal: . $\gamma \ca. 22.459$

Nyttige formler:

{\displaystyle x^{y}=a^{y\log _{a}x))

x^{y}=e^{y\ln x}

x^{y}=10^{y\lg x}

De sidste to formler bruges til at hæve positive tal til en vilkårlig potens på elektroniske regnemaskiner (inklusive computerprogrammer), der ikke har en indbygget funktion , og til omtrentlig eksponentiering til en ikke-heltals potens eller til heltalseksponentiering, når tallene er for stor til at nedskrive resultatet fuldt ud. $x^{y}$

Kompleks grad

At hæve et komplekst tal til en naturlig potens sker ved almindelig multiplikation i trigonometrisk form . Resultatet er klart:

z^{n}=r^{n}(\cos \varphi +i\sin \varphi )^{n}=r^{n}(\cos n\varphi +i\sin n\varphi ) ;\quad \forall n\in \mathbb {N} ,z\in \mathbb {C} ,r\in \mathbb {R}

, ( Moivre formel ) [6] .

For at finde graden af et vilkårligt komplekst tal i algebraisk form , kan du bruge Newtons binomiale formel (som også er gyldig for komplekse tal): $a+bi$

(a+bi)^{n}=a^{n}+C_{n}^{1}a^{n-1}bi+C_{2}^{n}a^{n-2 }b^{2}i^{2}+...+C_{n}^{n-1}ab^{n-1}i^{n-1}+b^{n}i^{n },\quad \forall n\in \mathbb {N}

Udskiftning af graderne på højre side af formlen med deres værdier i overensstemmelse med lighederne: , får vi: ${\displaystyle i^{k))$ $i^{4k}=1,i^{4k+1}=i,i^{4k+2}=-1,i^{4k+3}=-i,k\in \mathbb {N }$

(a+bi)^{n}=\sum _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}C_{n}^{2k}a^{n- 2k}b^{2k}+i\sum _{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^{k}C_{n}^{2k+1}a^{ n-2k-1}b^{2k+1}.

[7]

Grundlaget for en mere generel definition af en kompleks grad er eksponenten , hvor er Euler-tallet , er et vilkårligt komplekst tal [8] . $e^{z}$ $e$ $z=x+iy$

Vi definerer den komplekse eksponent ved at bruge den samme serie som den rigtige:

e^{z}=1+z+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^ {4}}{4!}}+\cdots .

Denne serie konvergerer absolut til enhver kompleks serie, så dens medlemmer kan omarrangeres på enhver måde. Især adskiller vi delen til : $z,$ ${\displaystyle e^{iy))$

e^{iy}=1+iy+{\frac {(iy)^{2}}{2!)}}+{\frac {(iy)^{3}}{3!)}}+ {\ frac {(iy)^{4}}{4!}}+\cdots =\left(1-{\frac {y^{2}}{2!}}+{\frac {y^{4 }} {4!}}-{\frac {y^{6}}{6!}}+\cdots \right)+i\left(y-{\frac {y^{3}}{3!} }+ {\frac {y^{5}}{5!}}-\cdots \right).

I parentes fik vi serier kendt fra reel analyse for cosinus og sinus , og vi fik Eulers formel :

e^{z}=e^{x}e^{yi}=e^{x}(\cos y+i\sin y)

Det generelle tilfælde , hvor er komplekse tal, er defineret gennem repræsentation i eksponentiel form : ifølge den definerende formel [8] : $a^{b}$ $a,b$ $-en$ ${\displaystyle a=re^{i(\theta +2\pi k)))$

a^{b}=(e^{\operatørnavn {Ln} (a)})^{b}=(e^{\operatørnavn {ln} (r)+i(\theta +2\pi k )})^{b}=e^{b(\operatørnavn {ln} (r)+i(\theta +2\pi k))}.

Her er den komplekse logaritme og dens hovedværdi. $\operatørnavn {Ln}$ $\ln$

Desuden er den komplekse logaritme en funktion med flere værdier , således at den komplekse grad generelt ikke er entydigt defineret [8] . Undladelse af at tage højde for denne omstændighed kan føre til fejl. Eksempel: lad os hæve en kendt identitet til en magt Til venstre viser det sig åbenbart til højre, 1. Som et resultat: hvilket, som det er nemt at kontrollere, er forkert. Årsag til fejlen: at hæve til en potens giver både venstre og højre et uendeligt sæt værdier(for forskellige ), så reglen er ikke anvendelig her. Omhyggelig anvendelse af formlerne til at bestemme den komplekse grad giver til venstre og til højre, herfra kan det ses, at roden til fejlen er forvirringen af værdierne af dette udtryk for og for $e^{2\pi i}=1$ $jeg.$ $e^{-2\pi },$ $e^{-2\pi }=1,$ $jeg$ $k$ ${\displaystyle \left(a^{b}\right)^{c}=a^{bc))$ $e^{-2\pi k};$ $k=0$ $k=1.$

Grad som funktion

Sorter

Da udtrykket bruger to symboler ( og ), kan det betragtes som en af de tre funktioner. $x^{y}$ $x$ $y$

En funktion af en variabel (i dette tilfælde en konstant-parameter). En sådan funktion kaldes en potensfunktion . Den omvendte funktion er at udtrække roden . $x$ $y$
En funktion af en variabel (i dette tilfælde en konstant-parameter). En sådan funktion kaldes eksponentiel (et specialtilfælde er eksponenten ). Den inverse funktion er logaritmen . $y$ $x$
Funktion af to variable Bemærk, at denne funktion på det tidspunkt har en irreducerbar diskontinuitet . Faktisk langs den positive retning af aksen, hvor den er lig med en, og langs den positive retning af aksen, hvor den er lig med nul. $f(x,y)=x^{y}.$ $(0, 0)$ $x,$ $y=0,$ $Y,$ $x=0,$

Nul i magten nul

Udtrykket (nul i potensen af nul) anses af mange lærebøger for at være udefineret og meningsløst, da funktionen ved (0, 0) som nævnt ovenfor er diskontinuerlig. Nogle forfattere foreslår at acceptere konventionen om, at dette udtryk er lig med 1. Især så udvidelsen til en række af eksponenten: $0^{0}$ ${\displaystyle f(x,y)=x^{y))$

e^{x}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{x^{n} \over n!)

kan skrives kortere:

e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}.

Det skal advares om, at konventionen er rent symbolsk og ikke kan bruges i hverken algebraiske eller analytiske transformationer på grund af diskontinuiteten af funktionen på dette tidspunkt. $0^0=1$

Historie

Betegnelse

I Europa blev størrelsesgraden til at begynde med skrevet i verbale forkortelser (q eller Q betegnede en firkant, c eller C - en terning, bq eller qq - en biquadrate, det vil sige 4. grad osv.) eller som en produkt - for eksempel blev det afbildet som Otred skrev ned på følgende måde: (hvis der kun er én ukendt, blev hun ofte ikke tildelt et bogstavikon) [9] . Den tyske skole af kossister tilbød et særligt gotisk mærke for hver grad af det ukendte. $x^{4}$ $xxxx.$ ${\displaystyle x^{5}-15x^{4))$ $1qc-15qq$

I det 17. århundrede begyndte ideen om eksplicit at angive eksponenten gradvist at sejre. Girard (1629), for at hæve et tal til en potens, satte en indikator i parentes foran dette tal, og hvis der ikke var noget tal til højre for indikatoren, betød det, at tilstedeværelsen af en ukendt i den specificerede grad var underforstået [ 10] ; for eksempel mente han . Pierre Erigon og den skotske matematiker James Hume foreslog placeringsmuligheder for eksponenten , de skrev i formen og henholdsvis [11] . $(2)2+1(2)$ $2^{2}+x^{2}$ $x^{4}$ $x4$ $x^{IV}$

Den moderne optegnelse af eksponenten - til højre og over basen - blev introduceret af Descartes i hans " Geometry " (1637), dog kun for naturlige magter større end 2 (kvadrering i lang tid blev betegnet på den gamle måde, af produktet). Senere udvidede Wallis og Newton (1676) den kartesiske skriveform til negative og fraktionerede eksponenter, hvis fortolkning på dette tidspunkt allerede var kendt fra værker af Orem , Shuquet , Stevin , Girard og Wallis selv. I begyndelsen af det 18. århundrede var alternativer til at skrive grader "ifølge Descartes", som Newton udtrykte det i " Universal Aritmetik ", "ude af mode " . Den eksponentielle funktion , det vil sige at hæve i en variabel grad, optrådte først i bogstaver og derefter i Leibniz ' skrifter (1679). At hæve sig til en imaginær magt blev retfærdiggjort af Euler (1743) [11] [12] .

Notation af eksponentiering i programmeringssprog

Med fremkomsten af computere og computerprogrammer opstod det problem, at det i teksten til computerprogrammer er umuligt at skrive graden i en "to-etagers" form. I denne henseende blev specielle ikoner opfundet for at angive driften af eksponentiering. Det første sådan ikon var to stjerner : " **", brugt i Fortran -sproget . I Algol -sproget, som dukkede op lidt senere, blev pileikonet brugt : " ↑" ( Knuths pile ). I BASIC-sproget foreslås symbolet " ^" (" circumflex ", aka " caret "), som har vundet størst popularitet; det bruges ofte, når man skriver formler og matematiske udtryk, ikke kun i programmeringssprog og computersystemer, men også i almindelig tekst . Eksempler:

3^2 = 9; 5^2 = 25; 2^3 = 8; 5^3 = 125.

Nogle gange i computersystemer og programmeringssprog har eksponentieringsikonet forladt associativitet , i modsætning til den konventionelle konvention i matematik om højre associativitet af eksponentiering. Det vil sige, at nogle programmeringssprog (for eksempel Excel -programmet ) kan opfatte notationen a^b^csom (a^b)^c, mens andre systemer og sprog (for eksempel Haskell , Perl , Wolfram|Alpha og mange andre) vil behandle denne notation fra højre til venstre:, a^(b^c)som det er sædvanligt i matematik :. ${\displaystyle a^{b^{c}}=a^{\left(b^{c}\right)))$

Nogle symboler for eksponentiering i programmeringssprog og computersystemer er:

x ↑ y: Algol , nogle BASIC dialekter;
x ^ y: BASIC , J , MATLAB , R , Microsoft Excel , TeX , bc [K2] , Haskell [K3] , Lua , MathML og de fleste computeralgebrasystemer ;
x ^^ y: Haskell [K 4] , D ;
x ** y: Ada , Bash , Cobol , Fortran , FoxPro , Gnuplot , OCaml , Perl , PL/I , PHP [K 5] , Python , REXX , Ruby , SAS , Seed7 , Tcl , ABAP , Haskell [K 6] , Turing , VHDL , ECMAScript [K 7] [K 8] , AutoHotkey [K 8] , JavaScript ;
x⋆y: APL .

Mange programmeringssprog (såsom Java , C og Pascal ) har ikke eksponentieringsoperationen og bruger standardfunktioner til dette formål .

Variationer og generaliseringer

Eksponentiering med en naturlig eksponent kan defineres ikke kun for tal, men også for ikke-numeriske objekter, for hvilke multiplikation er defineret - for eksempel til matricer , lineære operatorer , mængder (i forhold til det kartesiske produkt , se kartesisk grad ).

Normalt betragtes denne operation i en eller anden multiplikativ monoid ( semigruppe med identitet) og defineres induktivt [13] for enhver : $M$ $x\i M$

$x^{0}=e$ (hvor er monoidens identitet ). $e$
$x^{n+1}=x^{n}x$ , hvor $n\geqslant 0$
If then er kun defineret for inverterbare elementer $n<0,$ $x^n$ $x.$

Af særlig værdi er anvendelsen af eksponentiering til grupper og felter , hvor en direkte analog af negative potenser opstår.

Eksponentieringshyperoperatoren er tetration .

Noter

↑ 1 2 Degree // Mathematical Encyclopedia (i 5 bind). - M .: Soviet Encyclopedia , 1985. - T. 5. - S. 221.
↑ Van der Waerden. Awakening Science. Matematik i det gamle Egypten, Babylon og Grækenland / Pr. med et mål I. N. Veselovsky. - M. , 1959. - S. 165-167. — 456 s.
↑ Håndbog i elementær matematik, 1978 , s. 140-141.
↑ 1 2 Håndbog i elementær matematik, 1978 , s. 182-184.
↑ Da den lineære ordensrelation allerede er blevet introduceret på mængden af reelle tal, kan vi definere topologien af den reelle linje: som åbne mængder tager vi alle mulige foreninger af intervaller af formen $\{x:\alpha <x<\beta \}$
↑ Piskunov N. S. § 3. Hæve et komplekst tal til en potens og udtrække en rod fra et komplekst tal . scask.ru . Hentet: 27. marts 2022. (Russisk)
↑ Bliznyakov N.M. KOMPLEKSE TAL . Uddannelses- og metodemanual for universiteter 23. Adgangsdato: 27. marts 2022. Arkiveret fra originalen 1. april 2022. (Russisk)
↑ 1 2 3 Vygodsky M. Ya. Håndbog i højere matematik. - 12. udg. - M . : Nauka, 1977. - S. 597 (fodnote 3). — 872 s.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007 , §290-297.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007 , §164.
↑ 1 2 Aleksandrova N.V., 2008 , s. 130-131.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007 , §298-301, 307-309.
↑ David M. Bloom. Lineær algebra og geometri . - 1979. - S. 45 . - ISBN 978-0-521-29324-2 .

Kommentarer

↑ I daglig tale siger de nogle gange, for eksempel, at - " en ganges med sig selv tre gange", hvilket betyder, at der tages tre faktorer . Dette er ikke helt nøjagtigt og kan føre til tvetydighed, da antallet af multiplikationer vil være én mindre: (tre multiplikatorer, men to gange). Ofte, når de siger " a ganget med sig selv tre gange", mener de antallet af multiplikationer, ikke faktorer, det vil sige Se August Davidov. Grundlæggende algebra . - Trykkeriet E. Lissler og Y. Roman, 1883-01-01. - S. 6. - 534 s. Arkiveret 31. maj 2016 på Wayback Machine . For at undgå tvetydighed kan vi for eksempel sige: den tredje grad er, når "tallet ganges tre gange." $a^{3}$ $-en$ $a^{3}=a\cdot a\cdot a$ $a^{4}.$
↑ For en heltalsgrad.
↑ For en ikke-negativ heltalspotens.
↑ Understøtter negative eksponenter, i modsætning til ^, som kun implementeres som en seriel multiplikation.
↑ Fra version 5.6 (se PHP Manual › Bilag › Migrering fra PHP 5.5.x til PHP 5.6.x › Nye funktioner arkiveret 18. april 2018 på Wayback Machine ).
↑ For en grad repræsenteret af et flydende kommatal implementeres det ved hjælp af en logaritme.
↑ Beskrevet i EcmaScript 7-standarden (ECMA-262, 7. udgave), vedtaget i juni 2016.
↑ 1 2 JavaScript leveres med en . Math.pow(x, y)

Litteratur

Alexandrova N. V. Historie om matematiske termer, begreber, betegnelser: Ordbogsopslagsbog. - 3. udg. - Sankt Petersborg. : LKI, 2008. - 248 s. - ISBN 978-5-382-00839-4 .
Vygodsky M. Ya. Håndbog i elementær matematik. — M .: Nauka, 1978. — 509 s.
- Genudgivelse: M.: AST, 2006, ISBN 5-17-009554-6 , 509 sider.
Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Elementær matematik. Gentag kurset. - Tredje udgave, stereotypisk. — M .: Nauka, 1976. — 591 s.
Magtfunktion // Stor sovjetisk encyklopædi . - M . : Sovjetisk encyklopædi, 1969-1978.
Cajori F. A History of Mathematical Notations. Vol. 1 (optryk 1929) . - NY: Cosimo, Inc., 2007. - xvi + 456 s. — ISBN 978-1-60206-684-7 .