Vektor (matematik)

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 15. april 2022; checks kræver 14 redigeringer .

Vektor (fra lat. vektor - "bærer", "bærer", "bærer") - i det enkleste tilfælde et matematisk objekt karakteriseret ved størrelse og retning. For eksempel inden for geometri og naturvidenskab er en vektor et rettet segment af en ret linje i det euklidiske rum (eller på et plan) [1] .

Eksempler: radius vektor , hastighed , kraftmoment . Hvis et koordinatsystem er givet i rummet , er vektoren entydigt defineret af et sæt af dens koordinater. Derfor kaldes et ordnet sæt tal i matematik, datalogi og andre videnskaber ofte også for en vektor. I en mere generel forstand betragtes en vektor i matematik som et element i et eller andet vektor (lineært) rum .

Det er et af de grundlæggende begreber i lineær algebra . Når man bruger den mest generelle definition, er vektorer næsten alle objekter studeret i lineær algebra, inklusive matricer , tensorer , men hvis disse objekter er til stede i den omgivende kontekst, forstås en vektor som henholdsvis en rækkevektor eller en kolonnevektor , en tensor af første rang. Egenskaber for operationer på vektorer studeres i vektorregning .

Notation

En vektor repræsenteret af et sæt af elementer (komponent) er angivet på følgende måder: $n$ $a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}$

\langle a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}\,\rangle ,\ \left(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}\,\right) ,\{a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}\,\}

For at understrege, at det er en vektor (og ikke en skalar), skal du bruge en overline, overhead-pil, fed eller gotisk skrifttype:

{\bar a},\ {\vec a},{\mathbf a},{\mathfrak A},\ {\mathfrak a}.

Vektortilsætning er næsten altid angivet med et plustegn:

{\vec {a}}+{\vec {b}}

Multiplikation med et tal skrives simpelthen ved siden af det uden et særligt tegn, for eksempel:

k{\vec {b}}

og nummeret er normalt skrevet til venstre.

Multiplikationen af en vektor med en matrix er også angivet ved at skrive side om side, uden et særligt tegn, men her påvirker permutationen af faktorerne generelt resultatet. En lineær operators handling på en vektor angives også ved at skrive operatoren til venstre uden et særligt tegn.

Det er værd at huske på, at multiplicering af en vektor med en matrix kræver at man skriver førstnævntes komponenter som en række, mens multiplicering af en matrix med en vektor kræver at man skriver sidstnævnte som en kolonne. For yderligere at understrege, at vektoren deltager i operationen som en streng, skrives transpositionstegnet : ${\vec {a}}$ ${\vec {a}}^{T}$

Historie

Intuitivt forstås en vektor som et objekt med en størrelse, en retning og (valgfrit) et anvendelsespunkt. Begyndelsen af vektorregning dukkede op sammen med den geometriske model af komplekse tal ( Gauss , 1831). Avancerede operationer på vektorer blev udgivet af Hamilton som en del af hans quaternion- regning (de imaginære komponenter i en quaternion dannede en vektor). Hamilton foreslog selve udtrykket vektor ( lat. vektor , bærer ) og beskrev nogle af vektoranalysens operationer . Denne formalisme blev brugt af Maxwell i hans værker om elektromagnetisme , og gjorde derved videnskabsmænds opmærksomhed på en ny beregning. Gibbs ' Elements of Vector Analysis (1880'erne) kom snart ud, og derefter gav Heaviside (1903) vektoranalyse et moderne udseende [2] .

Der er ingen almindeligt accepterede vektorbetegnelser; fed skrift, en bindestreg eller en pil over et bogstav, det gotiske alfabet osv. bruges. [2]

I geometri

I geometri forstås vektorer som rettede segmenter. Denne fortolkning bruges ofte i computergrafik ved at bygge lyskort ved hjælp af overfladenormaler . Ved hjælp af vektorer kan du også finde områderne af forskellige former, for eksempel trekanter og parallelogrammer , såvel som volumen af kroppe: tetraeder og parallelepipedum .
Nogle gange identificeres en retning med en vektor.

En vektor i geometri er naturligt forbundet med en overførsel ( paralleloverførsel ), som tydeligvis tydeliggør oprindelsen af dens navn ( lat. vektor , bærer ). Faktisk definerer ethvert rettet segment entydigt en form for parallel translation af et plan eller rum, og omvendt definerer en parallel translation entydigt et enkelt rettet segment (utvetydigt - hvis vi betragter alle rettede segmenter af samme retning og længde for at være ens - det vil sige, betragte dem som frie vektorer ).

Fortolkningen af en vektor som en oversættelse giver os mulighed for at introducere operationen af vektoraddition på en naturlig og intuitivt indlysende måde - som en sammensætning (successiv anvendelse) af to (eller flere) oversættelser; det samme gælder for operationen med at gange en vektor med et tal.

I lineær algebra

I lineær algebra er en vektor et element i et lineært rum, hvilket svarer til den generelle definition nedenfor. Vektorer kan have en anden karakter: rettede segmenter, matricer, tal, funktioner og andre, men alle lineære rum af samme dimension er isomorfe i forhold til hinanden.
Dette koncept med en vektor bruges oftest, når man løser systemer med lineære algebraiske ligninger , såvel som når man arbejder med lineære operatorer (et eksempel på en lineær operator er en rotationsoperator ). Ofte udvides denne definition ved at definere en norm eller et skalarprodukt (måske begge sammen), hvorefter de opererer med normerede og euklidiske rum, begrebet en vinkel mellem vektorer er forbundet med et skalarprodukt, og begrebet en vektorlængde. er forbundet med en norm. Mange matematiske objekter (f.eks. matricer , tensorer osv.), inklusive dem med en mere generel struktur end en endelig (og nogle gange endda tællig) ordnet liste, opfylder vektorrumsaksiomerne , det vil sige fra algebrasynspunktet , de er vektorer .

I funktionel analyse

I funktionel analyse betragtes funktionelle rum - uendelige -dimensionelle lineære rum. Deres elementer kan være funktioner. Ud fra denne repræsentation af funktionen er teorien om Fourierrækker bygget op . På samme måde introducerer man med lineær algebra ofte en norm, indre produkt eller metrik på funktionernes rum. Nogle metoder til løsning af differentialligninger er baseret på begrebet en funktion som et element i et Hilbert-rum , for eksempel den endelige elementmetode .

Generel definition

Den mest generelle definition af en vektor er givet ved hjælp af generel algebra :

Betegn (gotisk F) et felt med et sæt elementer , additiv operation , multiplikativ operation og tilsvarende neutrale elementer : additiv enhed og multiplikativ enhed . $\mathfrak F$ $F$ $+$ $*$ $0$ $en$
Betegn (gotisk V) en eller anden abelsk gruppe med sæt af elementer , additiv drift og følgelig med additiv identitet . ${\mathfrak V}$ $V$ $+$ ${\mathbf 0}$

Med andre ord, lad og . ${\mathfrak F}=\langle F;+,*\rangle$ ${\mathfrak V}=\langle V;+\rangle$

Hvis der er en operation, således at følgende forhold gælder for enhver og for enhver : $F\ gange V\ til V$ $a,b\in F$ ${\mathbf x},{\mathbf y}\i V$

$(a+b)\times \mathbf {x} =a\times \mathbf {x} +b\times \mathbf {x}$ ,
$a\times (\mathbf {x} +\mathbf {y} )=a\times \mathbf {x} +a\times \mathbf {y}$ ,
$(a*b)\times \mathbf {x} =a\times (b\times \mathbf {x} )$ ,
$1\ gange \mathbf {x} =\mathbf {x}$ ,

derefter

${\mathfrak V}$ kaldes et vektorrum over et felt (eller et lineært rum), $\mathfrak F$
elementer kaldes vektorer , $V$
elementer er skalarer , $F$
den angivne operation er multiplikationen af en vektor med en skalar . $F\ gange V\ til V$

Mange resultater i lineær algebra er blevet generaliseret til enhedsmoduler over ikke-kommutative skævhedsfelter og endda vilkårlige moduler over ringe ; således, i det mest generelle tilfælde, i nogle sammenhænge, kan ethvert element i et modul over en ring kaldes en vektor.

Fysisk fortolkning

En vektor som en struktur, der har både størrelse (modul) og retning, betragtes i fysik som en matematisk model af hastighed , kraft og relaterede størrelser, kinematisk eller dynamisk. Den matematiske model af mange fysiske felter (for eksempel et elektromagnetisk felt eller et fluidhastighedsfelt) er vektorfelter .

Abstrakte flerdimensionelle og uendelig-dimensionelle (i funktionel analyses ånd ) vektorrum bruges i den lagrangske og hamiltonske formalisme som anvendt på mekaniske og andre dynamiske systemer og i kvantemekanik (se tilstandsvektor ).

Vektor som en sekvens

Vektor — ( sekvens , tuple ) homogene elementer. Dette er den mest generelle definition i den forstand, at der muligvis ikke er nogen konventionelle vektoroperationer overhovedet, der kan være færre af dem, eller de opfylder måske ikke de sædvanlige lineære rumaksiomer . Det er i denne form, at en vektor forstås i programmering , hvor den som regel er betegnet med et identifikationsnavn med firkantede parenteser (for eksempel objekt[] ). Listen over egenskaber modellerer definitionen af klassen og tilstanden af et objekt , der er accepteret i systemteori . Så typerne af vektorens elementer bestemmer objektets klasse, og værdierne af elementerne definerer dens tilstand. Denne brug af begrebet er dog sandsynligvis allerede uden for det omfang, der normalt accepteres i algebra, og faktisk i matematik generelt.

Et ordnet sæt af n tal kaldes en aritmetisk vektor. Benævnt kaldes tallene komponenter af den aritmetiske vektor. Det sæt af aritmetiske vektorer, for hvilke operationerne addition og multiplikation med et tal er defineret, kaldes rummet af aritmetiske vektorer [3] . ${\overline {x}}=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}$ $R^{n}$

Se også

Noter

↑ Vektor // Mathematical Encyclopedia (i 5 bind) . - M . : Soviet Encyclopedia , 1977. - T. 1.
↑ 1 2 Alexandrova N. V. Matematiske termers historie, begreber, notation: Ordbogsopslagsbog . - 3. udg. - Sankt Petersborg. : LKI, 2008. - S. 22 -23. — 248 s. - ISBN 978-5-382-00839-4 .
↑ Kapitel 2. Rummet af aritmetiske vektorer R n // Lineær algebra. IET MPEI Korte forelæsningsnoter .

Litteratur

Gusyatnikov P.B., Reznichenko S.V. Vektoralgebra i eksempler og opgaver . - M . : Højere skole , 1985. - 232 s.
Coxeter G. S. M. , Greitzer S. P. Nye møder med geometri. -M .:Nauka, 1978. - T. 14. - (Library of the Mathematical Circle).
(engelsk) JV Field, The Invention of Infinity: Mathematics and Art in the Renaissance , Oxford University Press , 1997 ISBN 0198523947
F. Casiro, A. Deledicq, Pythagore et Thalès Les éditions du Kangourou 1998 ISBN 2-87694-040-X
R. Pouzergues, Les Hexamys , IREM de Nice, IremOuvrage, 1993 Cote: IM8974 Lire Arkiveret 25. februar 2021 på Wayback Machine
D. Lehmann et Rudolf Bkouche , Initiation à la géométrie , PUF, 1988, ISBN 2130401600
Y. Sortais, La Géométrie du triangle. Exercises resolus , Hermann, 1997, ISBN 270561429X
Y. Ladegaillerie, Géométrie pour le CAPES de mathématiques , Ellipses Marketing, 2002 ISBN 2729811486
J. Perez, Mécanique physique , Masson, 2007 ISBN 2225553416
MB Karbo, Le graphisme et l'internet , Compétence micro, nr. 26, 2002 ISBN 2912954959

Links

(engelsk) Premières utilisations connues des termes mathématiques par J. Miller

Vektorer og matricer

Vektorer

Basale koncepter	Vektor i geometri Basis Ortogonalt grundlag Vektorkoordinater Kolinearitet Ortogonalitet Lineær afhængighed Søjleplads
Slags vektorer	Enhedsvektor Aksial vektor isotrop vektor Normal Kolinearitet Nul vektor Radius vektor Egenvektor
Operationer på vektorer	Skalært produkt vektor produkt blandet produkt Pseudoskalært produkt Dobbelt kryds produkt
Rumtyper	vektor rum affint rum Euklidisk rum Pseudo-euklidisk rum Normeret rum Minkowski plads

matricer

Basale koncepter	Matrix multiplikation Transponeret matrix Hermitisk konjugeret matrix Symmetrisk matrix omvendt matrix Egenværdi Karakteristisk polynomium af en matrix
Særlige matricer	Identitetsmatrix Nul matrix Diagonal matrix lambda matrix
Matrix nedbrydninger	LU nedbrydning Kolesky nedbrydning QR-nedbrydning LUP nedbrydning singular værdi nedbrydning Spektral nedbrydning af en matrix

Andet