Lineær algebra

Lineær algebra er en sektion af algebra , der studerer objekter af lineær karakter : vektor (eller lineære) rum, lineære afbildninger , systemer af lineære ligninger , blandt de vigtigste værktøjer, der bruges i lineær algebra er determinanter , matricer , konjugation . Invariant teori og tensorregning betragtes normalt (helt eller delvist) også som konstituerende dele af lineær algebra [1] . Objekter som kvadratiske og bilineære former , tensorer og operationer som tensorproduktet følger direkte af studiet af lineære rum, men hører som sådan til multilineær algebra .

Lineær algebra er generaliseret ved hjælp af generel algebra , især den moderne definition af et lineært (vektor) rum er udelukkende afhængig af abstrakte strukturer, og mange resultater af lineær algebra er generaliseret til vilkårlige moduler over en ring . Desuden er metoderne til lineær algebra meget brugt i andre dele af generel algebra, især en sådan teknik som at reducere abstrakte strukturer til lineære og studere dem med relativt enkle og veludviklede midler til lineær algebra bruges ofte, f.eks. , er det implementeret i teorien om grupperepræsentationer . Funktionel analyse opstod som en anvendelse af metoderne for matematisk analyse og lineær algebra til uendelig-dimensionelle lineære rum, og er i høj grad baseret på metoderne i lineær algebra og i dens videre generaliseringer. Lineær algebra har også fundet bred anvendelse i adskillige applikationer (herunder lineær programmering , økonometri ) og naturvidenskab (for eksempel kvantemekanik ).

Historie

De første elementer i lineær algebra fulgte af praktiske beregningsproblemer omkring løsningen af lineære ligninger , i særdeleshed blev sådanne aritmetiske tricks som den tredobbelte reglen og den falske positionsregel formuleret i antikken. I Euclid's Elements optræder to teorier af en "lineær" karakter: teorien om størrelse og teorien om heltal. Tilgange til løsning af systemer af lineære ligninger tæt på moderne matrixmetoder findes blandt babylonierne (systemer med to ligninger med to variable) og de gamle kinesere (i " Matematik i ni bøger ", op til tre ligninger med tre variable) [2] . Men efter at der var opnået sikkerhed med hovedspørgsmålene om at finde løsninger på systemer med lineære ligninger , skete udviklingen af sektionen praktisk talt ikke, og selv i slutningen af det 18. - begyndelsen af det 19. århundrede mente man, at der ikke var nogen flere problemer med ligninger af første grad, desuden blev systemer af lineære ligninger med en række variable, der adskiller sig fra talligningerne eller med lineært afhængige koefficienter på venstre side, simpelthen anset for at være forkerte [3] .

De metoder, der dannede lineær algebra som en selvstændig gren af matematikken, er forankret i andre grene. Fermat i 1630'erne, efter at have oprettet en klassificering af plane kurver, introducerede dimensionsprincippet i matematik (nøglen til lineær algebra) og opdelte problemerne med analytisk geometri efter antallet af ukendte (med en ukendt - at finde et punkt , med to - en kurve eller et geometrisk sted på et plan med tre overflader ). Euler skabte en klassifikation af kurver i henhold til rækkefølger, der gjorde opmærksom på den lineære karakter af koordinattransformationer, og introducerede begrebet en affin transformation (og selve ordet "affinitet") [4] .

Den første introduktion af begrebet en determinant med det formål at løse systemer af lineære ligninger tilskrives Leibniz ( 1678 [5] eller 1693 [6] ), men disse værker blev ikke offentliggjort. Determinanten findes også i Seki Takakazus værker i 1683 , hvor han generaliserede metoden til løsning af lineære ligningssystemer fra den gamle kinesiske "Matematik i ni bøger" til ligninger med ukendte [7] . Maclaurin , der faktisk bruger de enkleste determinanter i en afhandling offentliggjort i 1748 , giver løsninger til systemer med to lineære ligninger med to ubekendte og tre ligninger med tre ubekendte [8] . Cramer og Bezout, i deres arbejde med problemet med at finde en plan kurve, der passerer gennem et givet punkt, konstruerede igen dette koncept ( Cramers regel blev formuleret i 1750 ), Vandermonde og Lagrange gav en induktiv definition for tilfælde [9] , og Cauchy gav en integral definition og endelige egenskaber for determinanter ( 1815 ) og Jacobi (1840'erne) [3] . Gauss (omkring 1800) formaliserede metoden til successiv eliminering af variabler til løsning af disse problemer, som blev kendt under hans navn [10] (selv om denne metode i det væsentlige blev brugt til at løse systemer af lineære ligninger fra antikken [4] ). $n$ $n$ $n>3$

D'Alembert , Lagrange og Euler , der arbejdede på teorien om differentialligninger , identificerede i en eller anden form en klasse af lineære homogene ligninger og fastslog det faktum, at den generelle løsning af en sådan ordensligning er en lineær kombination af bestemte løsninger (dog , bemærkede de ikke behovet for lineær uafhængighed af løsninger ) [11] . Baseret på observationen af, at værdisættet for en heltalsfunktion ikke ændrer sig fra det, der er forbi, og der udføres en lineær substitution (med heltalskoefficienter og en determinant lig med 1), udvikler Lagrange i 1769 en teori om at repræsentere heltal vha. kvadratiske former , og generaliserer i 1770 teorien til algebraiske former . Gauss udviklede Lagranges teori, overvejede spørgsmål om ækvivalens af former, og introducerede en række begreber relateret til lineære substitutioner, hvoraf det vigtigste var konceptet konjugeret (transponeret) substitution [12] . Siden den tid har aritmetiske og algebraiske undersøgelser af kvadratiske og beslægtede bilineære former været en væsentlig del af emnet lineær algebra [13] . $n$ $n$ $f(x,y)$ $x$ $y$

En anden kilde til tilgange til lineær algebra var projektiv geometri , hvis skabelse blev påbegyndt af Desargues i det 17. århundrede og blev betydeligt udviklet i Monges værker i slutningen af det 18. århundrede og senere i værkerne af Poncelet , Brianchon og Chall fra begyndelsen til midten af 1800-tallet. I disse dage var hovedemnet for studiet af projektiv geometri kegler og kvadratiske linjer , som i det væsentlige er kvadratiske former. Derudover er begrebet dualitet af projektive rum, introduceret af Monge, et af aspekterne af dualitet i lineære rum (denne forbindelse blev dog først bemærket i slutningen af det 19. århundrede af Pinkerle ) [14] .

Men hovedgrundlaget for lineær algebra var vektorregningen , som faktisk sluttede sig til afsnittet, skitseret af Gauss i hans værker om geometrisk fortolkning af komplekse tal ( 1831 ) og fik sin endelige form i Möbius , Grassmanns og Hamiltons værker i 1840'erne - 1850'erne. Så Hamilton opdager i 1843 quaternions , en firedimensionel analog af komplekse tal, og giver dem en geometrisk fortolkning i analogi med Gaussian (Hamilton hører blandt andet til introduktionen af udtrykket "vektor"). Fysikerne fra Hamilton-skolen, hvoraf Maxwell var den mest fremtrædende , udarbejdede omhyggeligt, hvad der nu er relateret til vektoralgebra i det tredimensionelle euklidiske rum: begreberne skalar , vektor og blandede produkter af vektorer, nabla-operatoren [15] blev introduceret , blev symbolikken, der trådte ind i traditionen, dannet, også fra den tid trænger vektorer også ind i skoleprogrammer. Samtidig var det centrale begreb for Hamilton-skolen ikke vektorer, men quaternioner, og definitionerne af lineær algebra blev givet i form af quaternion multiplikation.

Parallelt hermed udviklede lineær algebra sig også i Europa. I 1844 bygger Grassmann konceptet om en ekstern algebra , der beskriver underrum af et lineært rum [16] . I lang tid blev hans værker ufortjent overset: det sprog, der var passende til det fysiske verdensbillede, blev betragtet som quaternions sprog. Så Tat , lederen af den "kvaternionistiske" skole, anså Gibbs ' kritik for latterlig , idet han indikerede, at sproget i kvaternionerne ikke er egnet til at beskrive rum med dimensioner højere end fire, fordi rum-tid er firedimensional; mens det for Gibbs var ekstremt vigtigt, fordi faserummene i den statistiske mekanik udviklet af ham har en meget stor dimension (af størrelsesordenen af Avogadro-tallet ). Efterfølgende blev rigtigheden af Gibbs, hvis ideer blev udviklet af Heaviside , bekræftet: det var vektorregningens sprog, der blev hovedsproget, og den udbredte brug af quaternions forblev en historisk kuriosum. Syntesen af ideerne fra Grassmann og Hamilton blev udført i 1870'erne af Clifford : begrebet Clifford algebra introduceret af ham omfatter både særlige tilfælde af både quaternion algebra og ekstern algebra.

Begrebet en matrix blev introduceret af Sylvester i 1850 [17] [18] . Cayley udviklede matrixregning i detaljer, og udgav Memoir om teorien om matricer i 1858 , det er grundlæggende, at Cayley betragter matricer som en notation for lineære substitutioner [16] . Især i dette arbejde introducerer Cayley addition og multiplikation af matricer, matrixinversion , overvejer de karakteristiske polynomier af matricer og formulerer og beviser, for 2×2 og 3×3 tilfældene, påstanden om, at det karakteristiske polynomium af et kvadrat matrix forsvinder (kendt som Hamilton-Cayley-sætningen , da 4×4-tilfældet blev bevist af Hamilton ved hjælp af kvaternioner), skyldes beviset for det generelle tilfælde Frobenius ( 1898 ). Systemer af lineære ligninger i matrix-vektor form dukkede tilsyneladende først op i Laguerres ( 1867 ) værker. Matrixgrupper forbundet med ikke-euklidiske geometrier optrådte i Killings arbejde i 1880'erne, sammen med Lies tidligere arbejde blev de grundlaget for teorien om Lie- grupper og algebraer . Ved århundredeskiftet blev denne teori beriget af Engel og Cartan , som gav en klassificering af semisimple Lie-algebraer og undervejs opdagede vektorproduktet i det syvdimensionelle rum .

Teorien om invarianter i den klassiske version - læren om egenskaberne ved algebraiske former , der er bevaret under lineære transformationer, er blevet dannet siden 1840'erne i værker af Cayley, Hermite og Sylvester (kendt som den "invariante treenighed", fransk la trinité invariantive ), anses [19] for, at det er teorien om invarianter, der fører til skabelsen af principper til løsning af vilkårlige systemer af lineære ligninger. Især Eremit[ klargør ] formulerede og løste i et bestemt tilfælde problemet med at finde et system af lineære diophantinske ligninger, løsningen i det generelle tilfælde blev fundet af Smith , hvis resultat forblev ubemærket, indtil det blev opdaget i 1878 af Frobenius [19] . Den endelige form for resultaterne på systemer af lineære ligninger med vilkårlige numeriske koefficienter blev opnået i værkerne organiseret af Kronecker , hvor Weierstrass , Frobenius og en gruppe tyske videnskabsmænd deltog, der blev lagt særlig vægt på formuleringernes stringens og nøjagtighed. . Især blev determinanten i løbet af forelæsninger af Kronecker - Weierstrass introduceret som en multilineær tegn-alternerende funktion af vektorer af -dimensionelt rum, normaliseret på en sådan måde, at den tager værdien 1 for identitetsmatrixen; desuden svarer denne definition til den, der følger af Grassmann-regningen [19] [20] . Frobenius introducerede i 1877 begrebet matrixrang , baseret på hvilket flere videnskabsmænd i de kommende år på én gang beviste påstanden om, at løseligheden af et system af lineære ligninger svarer til sammenfaldet af rækkerne af dets hoved- og udvidede matrix, kendt i russiske og polske kilder som Kronecker-Capelli-sætningen , på fransk - sætningen Rouche ( fr. Eugène Rouché ) - Fontenay ( fr. Georges Fontené ), på tysk og spansk - Rouche-Frobenius-sætningen, på italiensk og engelsk - Rouche- Capelli-sætningen . $n$ $n$

I 1888, baseret på Grassmann-regningen, formulerede Peano for første gang eksplicit det lineære rums aksiomer (vektorrum over feltet af reelle tal, inklusive uendelig-dimensionelle) og anvendte den notation, der forblev i brug i det 20.-21. århundreder [21] . Toeplitz opdagede i begyndelsen af 1910'erne, at ved at bruge aksiomatiseringen af lineært rum til at bevise de grundlæggende sætninger i lineær algebra, behøver man ikke at ty til begrebet en determinant, som gør det muligt at udvide deres resultater til tilfældet med et uendeligt tal af dimensioner [21] . Den aksiomatiske definition af vektor og euklidisk rum blev først klart formuleret i begyndelsen af det 20. århundrede næsten samtidigt af Weil og von Neumann , baseret på kvantemekanikkens krav [22] .

Tensorregning , udviklet i 1890'erne af Ricci og Levi-Civita , udgjorde dens algebraiske del som hovedindholdet i multilineær algebra. Særlig opmærksomhed blev henledt på dette underafsnit i 1910'erne-1930'erne på grund af den omfattende brug af tensorer af Einstein og Hilbert i den matematiske beskrivelse af generel relativitetsteori .

I 1922 opdagede Banach , der studerede de komplette normerede lineære rum, som blev kendt efter hans arbejde som Banach , at der i det sidste tilfælde opstår lineære rum, der ikke er isomorfe i forhold til deres duale [21] , og i denne henseende i den første halvdelen af det 20. århundrede berigede metoder og resultater lineær algebra funktionel analyse , der danner dens hovedemne i moderne forstand - studiet af topologiske lineære rum [23] . Også i 1920'erne - 1950'erne blev retningen om linearisering af generel algebra udbredt, så ved at udvikle Dedekinds resultat om den lineære uafhængighed af enhver feltautomorfismer lineariserer Artin Galois - teorien , og i 1950'erne, primært i værker af Jacobson , disse resultater er generaliseret til vilkårlige udvidelser af kroppe [24] ; takket være disse konstruktioner er det muligt at anvende værktøjerne og resultaterne af velundersøgt lineær algebra i meget abstrakte dele af generel algebra .

Siden anden halvdel af det 20. århundrede, med fremkomsten af computere , udviklingen af metoder til beregningsmatematik og computeralgebra , inden for rammerne af lineær algebra, er beregningsretningen blevet hurtigt udviklet - søgen efter metoder og algoritmer, der giver effektive løsning af lineære algebraproblemer ved hjælp af computerteknologi, er der dannet en uafhængig sektion af beregningsmæssig lineær algebra ( engelsk numerical linear algebra ), og løsningen af lineære algebraproblemer er blevet en af de vigtige praktiske komponenter ved brug af computere. Blandt de værker, der indledte udviklingen af denne retning, var oprettelsen af Turing af en algoritme til LU-nedbrydning af en kvadratisk matrix til øvre og nedre trekantede ( 1948 ) [25] . Det er væsentligt, at resultaterne af Linpack test , hvor computersystemer skal løse komplekse systemer af lineære ligninger ved hjælp af LU-dekomponering, betragtes som hovedindikatoren for udførelsen af flydende kommaberegninger, herunder for klyngesystemer . I 1950'erne - 1960'erne blev større undersøgelser inden for beregningsmæssig lineær algebra udgivet af Faddeev og Wikinson , betydelige resultater i 1970'erne - 2000'erne blev opnået af Marchuk , Samarsky , Godunov , Golub ( eng. Gene H. Golub ), Axelson [ 26] .

Grundlæggende designs

Matricer og determinanter

En matrix er et matematisk objekt skrevet i en rektangulær tabel af størrelse, i hvis celler der er elementer i et vilkårligt forudvalgt (hoved) felt (i det mest generelle tilfælde en associativ ring [27] ) - disse kan være heltal , reelle eller komplekse tal, vektorer , rationelle funktioner - afhængigt af applikationer og opgaver: $m\ gange n$

\begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mj} & \cdots & a_{mn } \end{pmatrix}

For matricer bruges også den forkortede notation , men normalt opererer de med matricer som med enkeltobjekter: addition og multiplikation defineres over matricer , og en matrix kan også ganges med en skalar - et element i hovedfeltet, mhp. disse operationer danner et vektorrum over hovedfeltet (eller i det mest generelle tilfælde et modul over en ring ). Andre operationer på matricer er transponering (erstatning af rækker med kolonner) og pseudo -inversion (en generalisering af kvadratisk matrixinversion ). Matricer af størrelse og kaldes henholdsvis rækkevektor og kolonnevektor. $(a_{ij})$ $1 \ gange n$ $m\ gange 1$

En matrix med lige mange rækker og kolonner kaldes kvadratisk , afhængigt af indholdet kan de være diagonale (alle elementer er nuller i hovedfeltet, undtagen diagonale: ), enkeltstående (alle diagonale elementer er lig med et af hovedfeltet felt, og resten er nul), symmetriske (alle elementer er symmetriske om hoveddiagonalen: ), skæv-symmetriske ( ), trekantede (alle elementer over eller under hoveddiagonalen er lig med nul), ortogonale . Blandt kvadratiske matricer er lighedsrelationen ( ), hvor er matrixinversen af ), sådanne karakteristika for matricer som rang (det maksimale antal lineært uafhængige rækker eller kolonner) og det karakteristiske polynomium invariante med hensyn til lighed [28] . Også identiske for lignende rektangulære matricer er sådanne karakteristika som sporet (som tager summen af elementerne i hoveddiagonalen) og determinanten. $i \neq j \Rightarrow a_{ij} = 0$ $a_{ij} = a_{ji}$ $a_{ij} = - a_{ji}$ $A \sim B \Leftrightarrow \eksisterer P (A = P^{-1} \cdot B \cdot P$ $P^{-1}$ $P$

Determinanten er et polynomium , der kombinerer elementerne i en kvadratisk matrix på en særlig måde, der karakteriserer matrixens inverterbarhed. Mere præcist forsvinder determinanten af en matrix, hvis og kun hvis matrixen ikke er inverterbar. Den samme betingelse svarer til, at matrixen har lineært afhængige rækker eller kolonner. Kvadratiske matricer, hvis determinant er lig med nul, kaldes degenereret , hvis determinanten er forskellig fra nul, så kaldes matrixen ikke- degenereret . Determinanten kan bruges til at løse lineære ligningssystemer. På grundlag heraf introduceres begreberne mindre , yderligere mindre , algebraisk komplement [29] .

Vektorer

Begrebet en vektor (begrebet "vektor" selv blev introduceret af W. Hamilton ) opstod oprindeligt som en geometrisk abstraktion for objekter karakteriseret både ved størrelse og retning, såsom hastighed , kraftmoment , elektrisk feltstyrke , magnetisering . I begyndelsen af det 20. århundrede ændredes den oprindelige fortolkning af vektorer (stadig brugt i elementær matematik) som "rettede segmenter" til aksiomatikken i et vektorrum med to operationer : vektoraddition og multiplikation af en vektor med tal (mere generelt, ved elementer af et felt ). Derudover introduceres der ofte forskellige typer vektorprodukter: skalar , vektor , blandet , pseudoskalær , dobbeltvektor .

Nøglerollen i lineær algebra spilles af begrebet lineær uafhængighed af vektorer, som ligger til grund for definitionerne af grundlaget og dimensionen af et vektorrumː et tal kaldes dimensionen af et vektorrum, hvis det indeholder lineært uafhængige vektorer og eventuelle vektorer af dette rum er lineært afhængige. Et sådant vektorrum kaldes -dimensionelt, og enhver af dets vektorer er repræsenteret af en ordnet rækkefølge af tal (entydigt bestemt ved at vælge en basis). Vektorer kan således skrives som matricer af henholdsvis størrelse eller - kolonnevektorer og rækkevektorer, og alle operationer af vektoralgebra kan reduceres til matrixalgebraː for eksempel er vektoraddition det samme som matrixaddition, og vektormultiplikation af vektorer kan udtrykkes som produktet af en skæv-symmetrisk matrix konstrueret ud fra den første faktor og en kolonnevektor, der repræsenterer den anden faktor. $n$ $n$ $k>n$ $n$ $n$ $1 \ gange n$ $n gange 1$

Tensorer

Tensorer opstod som en naturlig udvikling af ideer om lineære algebraobjekter: hvis en skalar i -dimensional er repræsenteret af et nul-dimensionelt objekt (bestående af kun ét element i feltet ), er en vektor en en-dimensional matrix (en matrix af størrelse ), en lineær transformation er en todimensionel matrix , så kan tensoren repræsenteres som en multidimensionel en række elementer i størrelsesfeltet (antallet af dimensioner af arrayet kaldes tensorens valens ) og skalarer, vektorer, lineære operatorer viser sig at være specielle tilfælde af tensoren (med valenserne henholdsvis 0, 1 og 2). Den næste generalisering, der bruges i begrebet en tensor, er taget fra muligheden for at repræsentere en lineær funktional som en covektor og ideen om dualitet mellem et rum og dets konjugation , rummet af dets lineære funktionaler; ved at bruge denne mulighed, betragtes valenstensoren som blot kontravariant , det vil sige betragtet af de tilsvarende komponenter i den "almindelige" basis, og en gang covariant , det vil sige med komponenter i det dobbelte rum ( , "rangtensor "). $n$ $1 \ gange n$ $n \ gange n \ gange \ cdots \ gange n$ $r$ $l$ $k$ $r=k+l$ $(l, k)$

I tensoralgebra introduceres og studeres lineære operationer på tensorer, såsom multiplikation med en skalar, addition, foldning . En særlig rolle spilles af driften af tensorproduktet ( ), hvis generalisering til lineære rum gjorde det muligt at generalisere definitionen af tensoren: at betragte rangtensoren i et lineært rum som et element i tensorproduktet af forekomster og forekomster af dets konjugat : $\ nogle gange$ $(l, k)$ $V$ $k$ $V$ $l$ $V^*$

\begin{matrix} \underbrace{ V \otimes \ldots \otimes V} & \otimes & \underbrace{ V^* \otimes \ldots \otimes V^*} \\ k & & l \end{matrix}

Kvadratiske og bilineære former

Algebraiske former ( homogene polynomier på vektorrum givet af homogene polynomier i vektorkoordinater) hører til multilineær algebra , men kvadratiske, bilineære former og nogle specielle former for former ( seskvilinær , hermitisk ) er også vigtige i rent lineær algebra. Betydningen af bilineære og kvadratiske former er, at de er udtrykt af matricer, ligesom lineære operatorer. Egenskaberne af symmetriske og skæv-symmetriske bilineære former er blevet undersøgt mest detaljeret . $(B(x,y)=B(y,x))$ $(B(x,y)= - B(y,x))$

Vektorrum

Alle matematiske strukturer studeret i lineær algebra - vektorer, tensorer, matricer, algebraiske former, såvel som operationer på dem, er universaliserede i det generelle algebraiske koncept for et vektor (lineært) rum. Et vektorrum er defineret som en algebra over et vilkårligt sæt af elementer , kaldet vektorer , og et vilkårligt felt , hvis elementer kaldes skalarer , desuden danner vektorer med vektoradditionsoperationen en abelsk gruppe , og driften af at multiplicere vektorer med en skalar er defineret: sådan at følgende egenskaber ( ): $\langle V, \mathfrak F, +, \cdot \rangle$ $V$ $\mathfrak F$ $\langle V, + \rangle$ $\cdot : \mathfrak F \times V \to V$ $1, \alpha, \beta \i \mathfrak F, \, \mathbf v, \mathbf u \in V$

1 \cdot \mathbf v = \mathbf v

\alpha \cdot (\mathbf v + \mathbf u) = \alpha \cdot \mathbf v + \alpha \cdot \mathbf u

(\alpha + \beta) \cdot \mathbf v = \alpha \cdot \mathbf v + \beta \cdot \mathbf v

(\alpha \beta) \cdot \mathbf v = \alpha \cdot (\beta \cdot \mathbf v)

Som et felt betragtes feltet med reelle tal nogle gange specielt (så taler man om et reelt vektorrum) eller feltet for komplekse tal (komplekst vektorrum) med de sædvanlige operationer med addition og multiplikation, især i teorien om konvekse sæt, er mange resultater formuleret specifikt til reelle eller komplekse vektorrum [30] . Men en betydelig del af udsagnene og de fleste af konstruktionerne er gyldige for vilkårlige felter, desuden blev mange resultater af lineær algebra opnået for vektorrum generaliseret i det 20. århundrede til enhedsmoduler over ikke-kommutative divisionsringe og endda til vilkårlige moduler over ringe eller moduler med visse begrænsninger.

Lineære kombinationer af vektorer er formensummer afendelige $\alpha_1 \mathbf v_1 + \dots + \alpha_n \mathbf v_n$

Yderligere generaliseringer af vektorrum, såsom at udstyre dem med seminormer , normer , metrikker , topologier , studeres i funktionel analyse .

Lineære kortlægninger

Ligesom teorier om andre algebraiske strukturer studerer lineær algebra kortlægninger mellem vektorrum, der bevarer vektorrummets struktur. En lineær kortlægning (lineær transformation, lineær operator) af vilkårlige vektorrum over ét felt er en kortlægning, der bevarer lineariteten: $L: V til U$

L(\mathbf v_1 + \mathbf v_2) = L(\mathbf v_1) + L(\mathbf v_2)

L (\alpha \cdot \mathbf v) = \alpha \cdot L (\mathbf v)

Når der er en en-til-en afbildning mellem to vektorrum, der er lineær, så siges disse rum at være isomorfe ; mange egenskaber ved vektorrum bevares under isomorfe transformationer (er invariante under isomorfi).

Over klassen af alle lineære afbildninger af givne vektorrum kan man definere strukturen af et vektorrum. Lineære afbildninger af endelig-dimensionelle vektorrum kan skrives i matrixform, og deres egenskaber er allerede studeret ved hjælp af matricer .

Egenvektorer og egenværdier

Generelt kan handlingen af lineære kortlægninger være ret kompleks. En vigtig og fælles opgave er at finde et sådant grundlag for vektorrummet, hvor matricen af en given lineær afbildning har den enkleste form. I løsningen af dette problem spilles nøglerollen af invariante underrum af en lineær kortlægning , dvs. underrum, hvis billede er indlejret i sig selv under kortlægningen . Hvis der findes invariante underrum af dimensioner, der ikke er nul (dvs. ), hvis direkte sum er hele rummet , så har afbildningsmatrixen en blok-diagonal form med blokke af ordrer , , på hoveddiagonalen, hvis vi vælger en basis bestående af grupper af vektorer, hvor den -te gruppe er basis i underrummet . $V$ $L: V$ $L$ $L$ $W_1, \ldots, W_k$ $L(W_i)\undersæt W_i$ $V$ $L$ $n_1, \ldots, n_k$ $n_i = \dim W_i$ $k$ $jeg$ $W_i$

Det enkleste tilfælde af et invariant underrum er et endimensionelt invariant underrum , som kan specificeres ved hjælp af en (en hvilken som helst) vektor, der ikke er nul . I dette tilfælde antager betingelsen om at indlejre billedet af underrummet i sig selv formen med et eller andet nummer ; en sådan konstruktion fører til definitionen af en egenvektor og en egenværdi: hvis ligheden gælder for en vektor og et tal , så kaldes det egenværdien for afbildningen , og vektoren kaldes dens egenvektor . Egenværdierne for en lineær mapping er entydigt defineret, og egenvektorerne er defineret op til proportionalitet, det vil sige op til multiplikation med et vilkårligt ikke-nul tal. $W$ $x \i W$ $L(x) {=} \lambda x$ $\lambda$ $x\neq 0$ $\lambda$ $L(x) {=} \lambda x$ $\lambda$ $L$ $x$

Hvis kortlægningen har et sæt lineært uafhængige egenvektorer, hvis antal er lig med rummets dimension , kan de danne en basis (kaldet egenbasis for den givne afbildning), hvor kortlægningsmatrixen er diagonal, med egenværdier på hoveddiagonalen. Sådanne lineære afbildninger siges at være diagonaliserbare . En tilstrækkelig (men ikke nødvendig) betingelse for diagonaliserbarhed er tilstedeværelsen af distinkte egenværdier. $n$ $n$ $V$ $n$

Jordan normal form

Ansøgning

Løsning af systemer af lineære algebraiske ligninger

Et system af m lineære algebraiske ligninger med n ukendte er et ligningssystem af formen

\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2\\ \dots\\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = b_m \\ \end{cases}

Det kan repræsenteres i matrixform som:

\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}

eller:

økse = b

Repræsentationsteori

Lineær programmering

Økonometri

Kvantemekanik

Noter

↑ Lineær algebra / P. S. Aleksandrov // Great Soviet Encyclopedia : [i 30 bind] / kap. udg. A. M. Prokhorov . - 3. udg. - M . : Sovjetisk encyklopædi, 1969-1978.
↑ Kleiner, 2007 , For omkring 4000 år siden vidste babylonierne, hvordan man løser et system med to lineære ligninger i to ubekendte (et 2 × 2 system). I deres berømte ni kapitler af matematisk kunst løste kineserne 3 × 3 systemer ved udelukkende at arbejde med deres (numeriske) koefficienter. Disse var prototyper af matrixmetoder, ikke ulig "elimineringsmetoderne" introduceret af Gauss og andre, s. 79.
↑ 1 2 Bourbaki, 1963 , s. 74.
↑ 1 2 Bourbaki, 1963 , s. 75.
↑ Prasolov, 1996 , s. 9.
↑ Kleiner, 2007 , s. 80.
↑ Prasolov, 1996 , s. ti.
↑ Kleiner, 2007 , Den første publikation, der indeholdt nogle elementære oplysninger om determinanter, var Maclaurins Treatise of Algebra, hvor de blev brugt til at løse 2 × 2 og 3 × 3 systemer, s. 81.
↑ Daan-Dalmedico, 1986 , s. 394.
↑ Kleiner, 2007 , s. 79.
↑ Bourbaki, 1963 , s. 75-76.
↑ Bourbaki, 1963 , s. 76.
↑ Bourbaki, 1963 , s. 76-77, 134-137.
↑ Bourbaki, 1963 , s. 77-78.
↑ Daan-Dalmedico, 1986 , s. 402.
↑ 1 2 Bourbaki, 1963 , s. 80.
↑ Fra lat. matrix - "grundårsag". Mange kilder mener, at udtrykket blev introduceret af Sylvester i 1848, men han udgav ikke noget værk det år, se JJ Sylvester. The Collected Mathematical Papers of James Joseph Sylvester / HF Baker. - Cambridge : Cambridge University Press, 1904. , mens han var i et værk fra 1850 af JJ Sylvester. Tilføjelser til artiklerne i septembernummeret af dette tidsskrift, "On a new class of theorems", og om Pascals sætning // The London, Edinburgh and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. — Bd. XXXVII . - S. 363-370 . : "...Dette vil ikke i sig selv repræsentere en determinant, men er sådan set en Matrix, ud fra hvilken vi kan danne forskellige systemer af determinanter..."
↑ Kleiner, 2007 , … udtrykket "matrix" blev opfundet af Sylvester i 1850, s. 82.
↑ 1 2 3 Bourbaki, 1963 , s. 82.
↑ Kleiner, 2007 , s. 81.
↑ 1 2 3 Bourbaki, 1963 , s. 84.
↑ Shafarevich I. R., Remizov A. O. Lineær algebra og geometri . - Moskva: Fizmatlit, 2009. - S. 511 . - 1000 eksemplarer. - ISBN 978-5-9221-1139-3 .
↑ Dunford N., Schwartz J. Forord ( A. G. Kostyuchenko , videnskabelig redaktør) // Lineære operatorer. - M . : Udenlandsk litteratur , 1962. - S. 5-6. Der er dog flere store "traditionelle" retninger inden for funktionsanalyse, som den dag i dag i høj grad bestemmer dens ansigt. Blandt dem er teorien om lineære operatorer, som nogle gange kaldes rygraden i funktionel analyse.
↑ Bourbaki, 1963 , s. 85.
↑ Poole, D. Linear Algebra: A Modern Introduction . — 2. udgave. - Belmont : Brooks/Cole, 2006. - P. [ 179 ] (kol. 1). — 714 s. — ISBN 0-534-99845-3 .
↑ Ilyin V.P. Lineær algebra: fra Gauss til fremtidens supercomputere (eng.) . Nature , 1999, nr. 6 (1. juni 1999). Hentet 2. maj 2013. Arkiveret fra originalen 10. maj 2013.
↑ Maltsev, 1970 , s. 12.
↑ Maltsev, 1970 , s. 55-59.
↑ Prasolov, 1996 , s. 9-29.
↑ Vector space - artikel fra Encyclopedia of Mathematics . Kadets M.I.

Litteratur

Bourbaki . Lineær og multilineær algebra // Essays om matematikkens historie / I. G. Bashmakova (oversat fra fransk). - M . : Forlag for udenlandsk litteratur, 1963. - S. 73-86. — 292 s. — (Matematikelementer).
Gantmakher F. R. Matrix Theory. — M.: Nauka, 1966.
Gel'fand I.M. Forelæsninger om lineær algebra . - 5., rettet. - M . : Dobrosvet, MTSNMO , 1998. - 320 s. - 5000 eksemplarer. kopi. — ISBN 5-7913-0015-8 .
Daan-Dalmedico A., Peiffer J. Lineære strukturer // Stier og labyrinter. Essays om matematikkens historie = Routes et dédales / Oversat fra fransk af A. A. Bryadinskaya, redigeret af I. G. Bashmakova. - M .: Mir, 1986. - S. 394-402. — 432 s. — (Moderne matematik. Populær serie). — 50.000 eksemplarer.
Israel Kleiner. History of Linear Algebra // A History of Abstract Algebra . - Boston : Birkhäuser, 2007. - S. 79-89 . — 168 sider. — ISBN 978-0-8176-4684-4 . - doi : 10.1007/978-0-8176-4685-1_5 .
Kostrikin A. I. , Manin Yu. I. Lineær algebra og geometri. — M .: Nauka , 1986. — 304 s.
Maltsev AI Fundamentals af lineær algebra. - 3. — M .: Nauka , 1970. — 400 s.
Postnikov M. M. Lineær Algebra (Forelæsninger om geometri. Semester II). - 2. — M .: Nauka , 1986. — 400 s.
Prasolov VV Problemer og sætninger af lineær algebra. — M .: Nauka, 1996. — 304 s. - (Fizmatlit). - ISBN 5-02-014727-3 .
Streng G. Lineær algebra og dens anvendelser. — M .: Mir , 1980. — 454 s.
Faddeev D. K. Forelæsninger om Algebra. - 5. - Sankt Petersborg. : Lan , 2007. - 416 s.
Halmos P. Finite-Dimensional Vector Spaces. — M .: Fizmatgiz , 1963. — 263 s.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineær algebra og geometri. — M .: Fizmatlit , 2009. — 511 s.

Ordbøger og encyklopædier

I bibliografiske kataloger
BNE : XX527736 BNF : 11937509n GND : 4035811-2 J9U : 987007293931805171 LCCN : sh85003441 LNB : 000082525 NDL : 00570681 NKC : ph122353

Grene af matematik

Portal "Science"

Grundlaget for matematik mængdeteori matematisk logik logikkens algebra

Talteori ( aritmetik )

Algebra
Elementær algebra	Ligningsløsning
Lineær algebra	Vektorregning matricer Tensorregning Multilineær algebra
Generel algebra	Kommutativ algebra Repræsentationsteori Differentiel algebra Homologisk algebra Universal Algebra Kategori teori

Analyse
Klassisk analyse	Differentialregning Integralregning
Funktionsteori	Harmonisk analyse Kvaternion Analyse Kompleks analyse måle teori Teori om funktioner af en reel variabel funktionel analyse Variationsberegning
Differential- og integralligninger	Dynamiske systemer og ergodisk teori Differentialligninger almindelig i partielle derivater Integralligninger
Vektoranalyse Global Analyse Katastrofe teori Tilpasset analyse Glat infinitesimal analyse

Geometri og topologi
Geometri	Algebraisk geometri Analytisk geometri Euklidisk geometri Ikke-euklidisk geometri Planimetri Stereometri
Topologi	Generel topologi Algebraisk topologi Differentialgeometri og topologi

Diskret matematik
Kombinatorik grafteori

Anvendt matematik
Matematisk fysik Matematisk kemi matematisk biologi Matematik statistik Matematisk modellering Teori om algoritmer Numeriske metoder matematisk økonomi finansiel matematik Sandsynlighedsteori Operationsforskning Spilteori

Portal "Matematik"
Kategori "Matematik"