Funktionelt område

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 12. august 2013; verifikation kræver 31 redigeringer .

En funktionel række er en række , hvor hvert medlem, i modsætning til den numeriske række , ikke er et tal , men en funktion . $\ {u_{k}}(x)$

Funktionssekvens

Lad en sekvens af funktioner med kompleks værdi gives på mængden, der er inkluderet i det d-dimensionelle euklidiske rum . $\E$ $\ {\mathbb {R}}^{d}$

\ {u_{k}}(x):E\mapsto {\mathbb {C}},~~E\subseteq {\mathbb {R}}^{d},~~k\in {\mathbb {N} }

Punktvis konvergens

Den funktionelle sekvens konvergerer punktvis til funktionen hvis . $\ {u_{k}}(x)$ $\ {u}(x)$ $\forall x\in E\;\;\;\eksisterer \lim _{{k\rightarrow \infty }}\ {u_{k}}(x)=\ {u}(x)$

Ensartet konvergens

Der er en funktion som: $\ u(x):E\mapsto {\mathbb {C}}$ $\ \sup \mid {u_{k}}(x)-u(x)\mid {\stackrel {k\rightarrow \infty }{\longrightarrow }}0,~~x\i E$

Faktum om ensartet konvergens af en sekvens til en funktion er skrevet: $\ {u_{k}}(x)$ $\u(x)$ $\ {u_{k}}(x)\højrepile u(x)$

Funktionelt område

$\ \sum _{{k=1}}^{{\infty }}{u_{k}}(x)$

$\ {S_{n}}(x)=\sum _{{k=1}}^{{n}}{u_{k}}(x)$ — n-te delsum .

Konvergens

I matematik betyder konvergens eksistensen af en endelig grænse for en numerisk sekvens , summen af en uendelig række , en værdi for et ukorrekt integral , en værdi for et uendeligt produkt .

En serie kaldes punktvis konvergent, hvis sekvensen af dens partielle summer konvergerer punktvis. $\{S_{n}}(x)$

En serie kaldes ensartet konvergent, hvis rækkefølgen af dens partielle summer konvergerer ensartet. $\{S_{n}}(x)$

En nødvendig betingelse for ensartet konvergens af serien

$\ {u_{k}}(x)\rightarrows 0$ på $\k\højrepil \infty$

Eller tilsvarende , hvor X er området for konvergens. $\forall \varepsilon >0\,\,\eksisterer n_{0}(\varepsilon )\i \mathbb {N} :\forall x\in X,\forall n>n_{0}\,\, \,|{u_{n}}(x)|<\varepsilon$

Cauchy-kriterium for ensartet konvergens

Cauchy kriterium for funktionel sekvens. For at rækkefølgen af funktioner, der er defineret på sættet , konvergerer ensartet på dette sæt, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at for enhver , startende fra et vist antal , for alle , større end eller lig med , samtidigt for alle funktionernes værdier og afviger ikke med mere end . $\left\{f_{n}\right\}_{{n=1}}^{\infty }$ $V$ $\varepsilon >0$ $N=N(\varepsilon)$ $n,m$ $N$ $x \i V$ $f_{n}(x)$ $f_{m}(x)$ $\varepsilon$

\forall \varepsilon >0\;\eksisterer N=N(\varepsilon )\;\forall n,m\geq N\;\forall x\in V\;\left|{f_{n}}(x)- \ {f_{m}}(x)\right|<\varepsilon

Absolut og betinget konvergens

En serie kaldes absolut konvergent, hvis den konvergerer. En absolut konvergent serie konvergerer. $\ \sum _{{k=1}}^{{\infty }}{u_{k}}(x)$ $\sum _{{k=1}}^{{\infty }}\mid {u_{k}}(x)\mid$

Hvis rækken konvergerer, men divergerer, så siges rækken at være betinget konvergent. For sådanne serier er Riemann-sætningen om permutationen af vilkårene for en betinget konvergent række sand . $\sum _{{k=1}}^{{\infty }}{u_{k}}(x)$ $\sum _{{k=1}}^{{\infty }}\mid {u_{k}}(x)\mid$ $\sum _{{k=1}}^{{\infty }}{u_{k}}(x)$

Tegn på ensartet konvergens

Tegn på sammenligning

Serien konvergerer absolut og ensartet, hvis følgende betingelser er opfyldt: $\ \sum _{{k=1}}^{{\infty }}{u_{k}}(x)$

Serien konvergerer ensartet. $\ \sum _{{k=1}}^{{\infty }}{v_{k}}(x)$
$\ \mid {u_{k}}(x)\mid <{v_{k}}(x),~\forall x\in E,~\forall k\in {\mathbb {N}}$

Et særligt tilfælde er Weierstrass-kriteriet , når . Den funktionelle serie er således begrænset til det sædvanlige. Det kræver den sædvanlige konvergens. $\ {v_{k}}(x)=a_{k}$

Tegn på Dirichlet

Serien konvergerer ensartet, hvis følgende betingelser er opfyldt: $\sum _{{k=1}}^{\infty }{{a_{k}}(x)}{{u_{k}}(x)}$

Rækkefølgen af funktioner med reel værdi er monoton og $\ {a_{k}}(x)$ $\ \forall x\i E$ $\ {a_{k}}(x)\rightarrows 0$
Delsummer er ensartet afgrænset . $\ {S_{n}}(x)=\sum _{{k=1}}^{{n}}{u_{k}}(x)$

Abels tegn

Serien konvergerer ensartet, hvis følgende betingelser er opfyldt: $\sum _{{k=1}}^{\infty }{{a_{k}}(x)}{{u_{k}}(x)}$

Rækkefølgen af funktioner med reel værdi er ensartet afgrænset og monoton . $\ {a_{k}}(x)$ $\ \forall x\i E$
Serien konvergerer ensartet. $\ \sum _{{k=1}}^{{\infty }}{u_{k}}(x)$

Egenskaber for ensartet konvergerende sekvenser og serier

Kontinuitetssætninger

Vi overvejer komplekst værdifulde funktioner på settet $\E$

En sekvens af funktioner kontinuert i et punkt konvergerer til en funktion kontinuert på dette punkt.

Efterfølgende

\ {u_{k}}(x)\højrepile u(x)

\\forall k:

funktionen er kontinuerlig i et punkt

\ {u_{k}}(x)

\x_0

Derefter er kontinuerlig i .

\u(x)

\x_0

En række kontinuerte funktioner i et punkt konvergerer til en funktion kontinuert på dette punkt.

Række

\ \sum _{{k=0}}^{{\infty }}{u_{k}}(x)\højrepile S(x)

\\forall k:

funktionen er kontinuerlig i et punkt

\ {u_{k}}(x)

\x_0

Derefter er kontinuerlig i .

\S(x)

\x_0

Integrationssætninger

Funktioner med realværdi på et segment af den reelle akse tages i betragtning.

Sætning om passage til grænsen under integraltegnet.

\\forall k:

funktionen er kontinuerlig på segmentet

\ {u_{k}}(x)

\ [a,b]

\ {u_{k}}(x)\højrepile u(x)

på den

\ [a,b]

Derefter konvergerer den numeriske sekvens til en endelig grænse .

\left\{{\int \limits _{a}^{b}{{u_{k}}(x)dx}}\right\}

{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}{u(x)dx))

Sætning om termin-for-term integration.

\\forall k:

funktionen er kontinuerlig på segmentet

\ {u_{k}}(x)

\ [a,b]

\ \sum _{{k=1}}^{{\infty }}{u_{k}}(x)\højrepile S(x)

på den

\ [a,b]

Så konvergerer talrækken og er lig med .

\ \sum _{k=1}^{\infty }\int \limits _{a}^{b}{u_{k))(x)dx

\int \limits _{a}^{b}S(x)dx

Differentieringssætninger

Funktioner med realværdi på et segment af den reelle akse tages i betragtning.

Sætning om differentiering under grænsen.

\\forall k:

funktionen er differentierbar (har en kontinuert afledet) på intervallet

\ {u_{k}}(x)

\ [a,b]

\ \eksisterer c\i [a,b]:~u_{k}(c)

konvergerer (til den endelige grænse)

\ {u'_{k}}(x)\højrepile \omega (x)

på segmentet

\ [a,b]

Så er differentierbar på , på

\ \eksisterer u(x):~{u_{k}}(x)\højrepile u(x),~u(x)

\ [a,b]

\u'(x)=\omega(x)

\ [a,b]

Sætning om term-for-term differentiering.

\\forall k:

funktionen er differentierbar på segmentet

\ {u_{k}}(x)

\ [a,b]

\ \eksisterer c\i [a,b]:~\sum _{{k=1}}^{{\infty }}u_{k}(c)

konvergerer

\ \sum _{{k=1}}^{{\infty }}{u'_{k}}(x)

konvergerer ensartet på segmentet

\ [a,b]

Så er differentierbar på , på

\ \eksisterer S(x):~\sum _{{k=1}}^{{\infty }}{u_{k}}(x)\højrepile S(x),~S(x)

\ [a,b]

\ S'(x)=\sum _{{k=1}}^{{\infty }}{u'_{k}}(x)

\ [a,b]

Links

O.V.Besov. ‹…Š–ˆˆForelæsninger om matematisk analyse. Del 1 . - M. : MIPT, 2004. - 325 s. Kapitel 16 Funktionssekvenser og rækker

Sekvenser og rækker
Sekvenser	Numerisk rækkefølge Grundlæggende rækkefølge Lineær tilbagevendende sekvens Fibonacci-tal krøllede tal Faktoriel Barker-sekvens de bruijn rækkefølge
Rækker, grundlæggende	Rækkesum Resten af rækken Betinget konvergens Skiftende serie Række multisektion
Talserier ( operationer med talserier )	harmoniske serier Leibniz-serien En række omvendte firkanter En række gensidige primtal Dirichlet række Mercator serien Række Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
funktionelle rækker	Taylor-serien Laurent-serien Fourier-serien Trigonometrisk Fourier-serie trigonometriske serier Wiener-serien
Andre rækketyper	Neumann-serien Puiseux række