Overfladeintegraler

Som med kurvelineære integraler er der to slags overfladeintegraler.

Overfladeintegral af den første slags

Definition

Lad være en glat, afgrænset komplet overflade . Lad videre få en funktion . Overvej en opdeling af denne overflade i dele ved stykkevis glatte kurver og vælg et vilkårligt punkt på hver sådan del . Efter at have beregnet værdien af funktionen på dette tidspunkt og tage for overfladearealet , overveje summen $\Phi$ $\Phi$ $f(M)=f(x,y,z)$ $T$ $\Phi _{i}\ (i=1,\dots ,n)$ $M_{i}(x_{i},y_{i},z_{i})$ $f(M_{i})=f(x_{i},y_{i},z_{i})$ $\sigma_i$ ${\displaystyle \Phi _{i))$

I\{\Phi _{i},M_{i}\}=\sum _{i}f(M_{i})\sigma _{i}.

Så kaldes tallet grænsen for summer , if $jeg$ $I\{\Phi _{i},M_{i}\}$

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall T:d(T)<\delta \ \forall \{M_{i}\}\ {\bigl |}I\{\Phi _{i},M_{i}\}-I{\bigr |}<\varepsilon .

Grænsen for summer ved kaldes overfladeintegralet af den første slags funktion over overfladen og betegnes som følger: $jeg$ $I\{\Phi _{i},M_{i}\}$ $d(T)\to 0$ $f(M)$ $\Phi$

I=\iint \limits _{\Phi }f(M)\,d\sigma .

Parametrisk form

Lad det være muligt at indføre en samlet parametrisering på overfladen ved hjælp af funktionerne $\Phi$

x=x(u,v),\quad y=y(u,v),\quad z=z(u,v),

givet i et afgrænset lukket område af flyet og tilhører en klasse i denne region. Hvis funktionen er kontinuert på overfladen , så eksisterer overfladeintegralet af den første type af denne funktion over overfladen og kan beregnes med formlen $\Omega$ $(u,v)$ $C^1$ $f(M)=f(x,y,z)$ $\Phi$ $\Phi$

I=\iint \limits _{\Phi }f(M)\,d\sigma =\iint \limits _{\Omega }f{\big (}x(u,v),y(u, v),z(u,v){\big )}{\sqrt {EG-F^{2}}}\,du\,dv,

hvor:

E=(x_{u}')^{2}+(y_{u}')^{2}+(z_{u}')^{2},

F=x_{u}'x_{v}'+y_{u}'y_{v}'+z_{u}'z_{v}',

G=(x_{v}')^{2}+(y_{v}')^{2}+(z_{v}')^{2}.

Egenskaber

Af definitionen af et overfladeintegral af den første art følger det, at dette integral er uafhængigt af valget af orientering af vektorfeltet af enhedsnormaler til overfladen eller, som man siger, af valget af siden af overfladen. Lad funktionerne og være integrerbare over domæner . Derefter: $f$ $g$ $\Phi ,\Phi _{1},\Phi _{2}$

Linearitet: for alle reelle tal . $\iint \limits _{\Phi }(\alpha f+\beta g)\,d\sigma =\alpha \iint \limits _{\Phi}f\,d\sigma +\beta \iint \limits _{\Phi }g\,d\sigma$ $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$
Additivitet : forudsat at og har ingen fælles indre punkter . $\iint \limits _{\Phi _{1}}f\,d\sigma +\iint \limits _{\Phi _{2}}f\,d\sigma =\iint \limits _{\ Phi _{1}\kop \Phi _{2}}f\,d\sigma$ $\Phi _{1}$ $\Phi _{2}$
Monotoni :
- hvis , så ; $f\geqslant g$ $\iint \limits _{\Phi }f\,d\sigma \geqslant \iint \limits _{\Phi}g\,d\sigma$
- for , hvis , da . $f \geqslant 0$ ${\displaystyle \Phi _{1}\subset \Phi _{2))$ $\iint \limits _{\Phi _{1}}f\,d\sigma <\iint \limits _{\Phi _{2}}f\,d\sigma$
Middelværdisætningen for en kontinuert funktion og en lukket afgrænset overflade : $f$ $\Phi$ $\iint \limits _{\Phi }f\,d\sigma =f(\xi )\iint \limits _{\Phi}d\sigma =f(\xi )\mu (\Phi)$ , hvor , og er området i regionen . $\xi \in \Phi$ $\mu (\Phi)$ $\Phi$

Overfladeintegral af anden slags

Definition

Overvej en tosidet overflade , glat eller stykkevis glat, og fastgør en af dens to sider, hvilket svarer til at vælge en bestemt orientering på overfladen. $\Phi$

For bestemthedens skyld antager vi først, at overfladen er givet af en eksplicit ligning, og punktet ændres i et område på planet afgrænset af en stykkevis glat kontur. $z=z(x,y)$ $(x, y)$ $(D)$ $xy$

Lad nu en eller anden funktion defineres ved punkterne på den givne overflade . Efter at have divideret overfladen med et netværk af stykkevis glatte kurver i dele og valgt et punkt på hver sådan del , beregner vi værdien af funktionen på et givet punkt og multiplicerer den med arealet af projektionen på elementplanet , udstyret med et bestemt tegn. Lad os lave en integral sum $\Phi$ $f(M)=f(x,y,z)$ $\Phi _{i}\ (i=1,\dots ,n)$ $M_{i}(x_{i},y_{i},z_{i})$ $f(M_{i})=f(x_{i},y_{i},z_{i})$ $D_{i}$ $xy$ ${\displaystyle \Phi _{i))$

\sum _{i=1}^{n}f(M_{i})D_{i}=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i},y_{i} ,z_{i})D_{i}.

Den endelige grænse for denne integral sum, da diametrene af alle dele har tendens til nul, kaldes overfladeintegralet af den anden slags

f(M)\,dx\,dy=f(x,y,z)\,dx\,dy,

udvidet til den valgte side af overfladen og angivet med symbolet $\Phi$

I=\iint \limits _{\Phi }f(M)\,dx\,dy=\iint \limits _{\Phi}f(x,y,z)\,dx\,dy

(her minder det om området for projektionen af et overfladeelement på et plan ). $dx\,dy$ $xy$

Hvis vi i stedet for et plan projicerer overfladeelementerne på et plan eller , får vi to andre overfladeintegraler af den anden type: $xy$ $yz$ $zx$

\iint \limits _{\Phi }f(x,y,z)\,dy\,dz

eller

\iint \limits _{\Phi }f(x,y,z)\,dz\,dx.

I applikationer er de mest almindelige kombinationer af integraler af alle disse typer:

\iint \limits _{\Phi }P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy,

hvor er funktionerne af , defineret ved punkterne af overfladen . $P,Q,R$ $(x,y,z)$ $\Phi$

Forholdet mellem overfladeintegraler af anden og første slags

\iint \limits _{\Sigma +}f(x,y,z)\,dy\,dz=\iint \limits _{\Sigma }f(x,y,z)\cos(\nu \kile i)\,d\sigma ,

hvor er overfladens normalvektor , er ort. $\nu$ $\Sigma$ $jeg$

Egenskaber

Linearitet: . $\iint \limits _{\Phi }(\alpha f+\beta g)\,dx\,dy=\alpha \iint \limits _{\Phi}f\,dx\,dy+\beta \iint \ grænser _{\Phi }g\,dx\,dy$
Additivitet: . $\iint \limits _{\Phi _{1}}f\,dx\,dy+\iint \limits _{\Phi _{2}}f\,dx\,dy=\iint \limits _{ \Phi _{1}+\Phi _{2}}f\,dx\,dy$
Når overfladeorienteringen ændres, skifter overfladeintegralet fortegn.

Se også

Litteratur

Fikhtengolts, G. M. Kapitel 17. Overfladeintegraler // [Forløb for differential- og integralregning]. - T. 3.
Ilyin, V. A., Poznyak, E. G. Kapitel 5. Overfladeintegraler // Fundamentals of Mathematical Analysis. - V. 2. - (Kursus i højere matematik og matematisk fysik).

Links

The World of Mathematical Equations Arkiveret 21. november 2019 på Wayback Machine .

Ordbøger og encyklopædier	Stor russer Britannica (online)
I bibliografiske kataloger	NKC : ph124123

Integralregning

Hoved

Generaliseringer
af Riemann-integralet

Integrale
transformationer

Numerisk
integration

måle teori

relaterede emner

Lister over integraler