Rationelt tal

Rationelt tal (fra latinsk forhold "forhold, division, brøk") er et tal, der kan repræsenteres som en almindelig brøk , hvor er et heltal , og er et naturligt tal [1] . For eksempel , hvor en . Begrebet en brøk opstod for flere tusinde år siden, da folk stod over for behovet for at måle bestemte mængder (længde, vægt, areal osv.), indså, at hele tal ikke var nok, og det var nødvendigt at introducere begrebet en brøkdel. brøk: halvdelen, tredjedelen osv. Brøker og operationer på dem blev f.eks. brugt af sumererne , gamle egyptere og grækere . ${\frac {m}{n}}$ $m$ $n$ ${\frac {2}{3))$ $m=2$ $n=3$

Sættet af rationelle tal

Sættet af rationelle tal er betegnet (fra latinsk kvotient , "privat") og kan skrives i denne form: $\mathbb {Q}$

\mathbb {Q} =\left\{{\frac {m}{n}}\mid m\in \mathbb {Z} ,\ n\in \mathbb {N} \right\}.

Det viser sig, at forskellige indgange kan repræsentere den samme brøk, for eksempel, og , (alle brøker, der kan fås fra hinanden ved at gange eller dividere tælleren og nævneren med det samme naturlige tal repræsenterer det samme rationelle tal ). Da man ved at dividere tælleren og nævneren af en brøk med deres største fælles divisor kan opnå den eneste irreducible repræsentation af et rationelt tal, kan man tale om deres mængde som et sæt af irreducerbare brøker med coprime heltal tæller og naturlig nævner: ${\frac {3}{4))$ ${\frac {9}{12}}$

\mathbb {Q} =\venstre\{{\frac {m}{n}}\mid m\in \mathbb {Z} ,\ n\in \mathbb {N} ,\ \gcd(m, n)=1\right\}.

Her er den største fælles divisor af tal og . $\gcd(m,n)$ $m$ $n$

Sættet af rationelle tal er en naturlig generalisering af sættet af heltal . Det er let at se, at hvis et rationelt tal har en nævner , så er det et heltal. $a={\frac {m}{n}}$ $n=1$ $a=m$

Sættet af rationelle tal er overalt tæt på talaksen : mellem to forskellige rationelle tal er der mindst ét rationelt tal (og dermed et uendeligt sæt af rationelle tal). Det viser sig dog, at sættet af rationelle tal har en tællelig kardinalitet (det vil sige, at alle dets elementer kan omnummereres). Siden de gamle grækeres tid har det været kendt om eksistensen af tal, der ikke kan repræsenteres som en brøk: de beviste især, at det ikke er et rationelt tal. De rationelle tals utilstrækkelighed til at udtrykke alle mængder førte senere til begrebet et reelt tal . I modsætning til mængden af reelle tal (som svarer til et endimensionelt rum ), har mængden af rationelle tal mål nul . ${\sqrt {2}}$

Terminologi

Formel definition

Formelt defineres rationelle tal som sættet af ækvivalensklasser af par med hensyn til ækvivalensrelationen, hvis . I dette tilfælde er operationerne med addition og multiplikation defineret som følger: ${\displaystyle \left\{(m,\;n)\midt m,n\in \mathbb {Z} ,n\neq 0\right\))$ $(m,\;n)\sim (m',\;n')$ $m\cdot n'=m'\cdot n$

$\left(m_{1},\;n_{1}\right)+\left(m_{2},\;n_{2}\right)=\left(m_{1}\cdot n_{2}+ m_{2}\cdot n_{1},\;n_{1}\cdot n_{2}\right);$
$\left(m_{1},\;n_{1}\right)\cdot \left(m_{2},\;n_{2}\right)=\left(m_{1}\cdot m_{2} ,\;n_{1}\cdot n_{2}\right).$

Det kan ses af definitionen, at ingen additions- eller multiplikationsoperationer fører til fremkomsten af et par af formen $(m,0).$

Relaterede definitioner

Egne, uægte og blandede brøker

En brøk kaldes korrekt, hvis tællermodulet er mindre end nævnermodulet. Egne brøker repræsenterer rationelle tal, modulo mindre end en . En brøk, der ikke er egen, kaldes en uegen brøk og repræsenterer et rationelt tal større end eller lig med en i modulo.

En uegen brøk kan repræsenteres som summen af et heltal og en egen brøk, kaldet en blandet brøk . For eksempel . En lignende notation (med et manglende additionstegn), selvom den bruges i elementær aritmetik , undgås i streng matematisk litteratur på grund af ligheden mellem notationen for en blandet brøk og notationen for produktet af et heltal med en brøk. $2{\frac {3}{7}}=2+{\frac {3}{7}}={\frac {14}{7}}+{\frac {3}{7}}={\frac {17}{7}}$

Skudhøjde

Højden af en almindelig brøk er summen af modulet af denne brøks tæller og nævner. Højden af et rationelt tal er summen af modulet af tælleren og nævneren af den irreducible almindelige brøk, der svarer til dette tal [2] .

For at finde ud af højden af en brøk for eksempel, skal du først hente en irreducerbar brøk fra den. En irreducerbar fraktion vil se således ud: . Derefter skal du tilføje modulet for tælleren og nævneren: . Så højden af brøken er . $-{\frac {15}{6}}$ $-{\frac {5}{2}}$ $5+2=7$ $-{\frac {15}{6}}$ $7$

Kommentar

Udtrykket brøktal (brøk) nogle gange[ klargør ] bruges som et synonym for udtrykket rationelt tal , og nogle gange som et synonym for ethvert ikke-heltal. I sidstnævnte tilfælde er brøktal og rationelle tal forskellige ting, da ikke-heltallige rationelle tal blot er et specialtilfælde af brøktal.

Egenskaber

Grundlæggende egenskaber

Sættet af rationelle tal opfylder seksten grundlæggende egenskaber , der let kan opnås fra egenskaberne af heltal . [3]

Ordenhed . For alle rationelle talog() er der en regel, der giver dig mulighed for unikt at identificere én og kun én af de tre relationer mellem dem : "", "" eller "". Denne regel kaldes bestillingsreglen og er formuleret som følger: $-en$ $b$ $\forall a,b\in \mathbb {Q}$ $<$ $>$ $=$
- to ikke-negative tal og er relateret af samme relation som to heltal og ; $a={\frac {m_{a}}{n_{a}}}$ $b={\frac {m_{b}}{n_{b}}}$ $m_{a}\cdot n_{b}$ $m_{b}\cdot n_{a}$
- to negative tal og er forbundet med samme relation som to ikke-negative tal og ; $-en$ $b$ $\venstre|b\højre|$ $\venstre|en\højre|$
- hvis er ikke-negativ, og er negativ, så . $-en$ $b$ $a>b$
tilføjelsesoperation . For alle rationelle talog() er der en binær additionsoperation , som forbinder dem med et eller andet rationelt tal. I dette tilfældekaldes selve tallet summen af talogog betegnes, og processen med at finde et sådant tal kaldes addition . Tilføjelsesreglen har følgende form: $-en$ $b$ $\forall a,b\in \mathbb {Q}$ $c$ $c$ $-en$ $b$ $\venstre(a+b\højre)$ $a={\frac {m_{a}}{n_{a}}},\;b={\frac {m_{b}}{n_{b}}}:a+b\equiv {\ frac {m_{a}}{n_{a}}}+{\frac {m_{b}}{n_{b}}}={\frac {m_{a}\cdot n_{b}+m_{b }\cdot n_{a}}{n_{a}\cdot n_{b}}}$
multiplikationsoperation . For alle rationelle talog() er der en binær multiplikationsoperation , der forbinder dem med et eller andet rationelt tal. I dette tilfældekaldes selve tallet produktet af talogog betegnes, og processen med at finde et sådant tal kaldes også multiplikation . Multiplikationsreglen er som følger: $-en$ $b$ $\forall a,b\in \mathbb {Q}$ $c$ $c$ $-en$ $b$ $\venstre(a\cdot b\right)$ $a={\frac {m_{a}}{n_{a}}},\;b={\frac {m_{b}}{n_{b}}}:a\cdot b\equiv { \frac {m_{a}}{n_{a}}}\cdot {\frac {m_{b}}{n_{b}}}={\frac {m_{a}\cdot m_{b}}{ n_{a}\cdot n_{b}}}$
Transitivitet af ordrerelationen. For enhver tripel af rationelle tal,og) hvismindre endogmindre end, såmindre end, og hvislig medoglig med, sålig med. $-en$ $b$ $c$ $(\forall a,b,c\in \mathbb {Q}$ $-en$ $b$ $b$ $c$ $-en$ $c$ $-en$ $b$ $b$ $c$ $-en$ $c$ $a<b,\;b<c\;\Højrepil a<c;\;\;\;a=b,\;b=c\;\Højrepil a=c.$
Kommutativitet af tilføjelse. Fra en ændring af stederne for rationelle termer ændres summen ikke. $\foralt a,b\in {\mathbb {Q}}~~a+b=b+a$
Associativitet af addition. Rækkefølgen, hvori tre rationale tal tilføjes, påvirker ikke resultatet. $\foralt a,b,c\in {\mathbb {Q}}~~\left(a+b\right)+c=a+\left(b+c\right)$
Tilstedeværelsen af nul . Der er et rationelt tal 0, der bevarer hvert andet rationelt tal, når det summeres. $\exists 0\in \mathbb {Q} :~\forall a\in \mathbb {Q} ~~a+0=a$
Tilstedeværelsen af modsatte tal. Ethvert rationelt tal har et modsat rationelt tal, som, når det summeres, giver 0. $\forall a\in \mathbb {Q} ~\eksisterer \left(-a\right)\i \mathbb {Q} :~~a+\left(-a\right)=0$
Kommutativitet af multiplikation. Ved at ændre stederne for rationelle faktorer ændres produktet ikke. $\forall a,b\in {\mathbb {Q}}~~a\cdot b=b\cdot a$
Associativitet af multiplikation. Den rækkefølge, hvori tre rationelle tal ganges, påvirker ikke resultatet. $\forall a,b,c\in {\mathbb {Q}}~~\left(a\cdot b\right)\cdot c=a\cdot \left(b\cdot c\right)$
Tilstedeværelsen af en enhed . Der er et rationelt tal 1, der bevarer hvert andet rationelt tal, når det ganges. $\exists 1\in \mathbb {Q} :~\forall a\in \mathbb {Q} ~~a\cdot 1=a$
Tilstedeværelsen af gensidige . Ethvert rationelt tal, der ikke er nul, har et omvendt rationelt tal, multiplikation med hvilket giver 1. $\forall a\in \mathbb {Q} ,\;a\neq 0~\exists a^{-1}\in \mathbb {Q} :~~a\cdot a^{-1}=1$
Fordeling af multiplikation med hensyn til addition. Multiplikationsoperationen er i overensstemmelse med additionsoperationen gennem distributionsloven: $\foralt a,b,c\in {\mathbb {Q}}~~\venstre(a+b\right)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$
Forbindelse af ordrerelationen med driften af addition. Det samme rationelle tal kan tilføjes til venstre og højre side af en rationel ulighed. $\forall a,b,c\in \mathbb {Q} ~~a<b\Leftrightarrow a+c<b+c$
Forbindelse af ordensrelationen med multiplikationsoperationen. Venstre og højre side af en rationel ulighed kan ganges med det samme positive rationelle tal. $\forall a,b,c\in \mathbb {Q} ,\;c>0:a<b\Leftrightarrow a\cdot c<b\cdot c$
Arkimedes aksiom . Uanset det rationelle tal, kan du tage så mange enheder, at deres sum vil overstige. $-en$ $-en$ $\forall a\in \mathbb {Q} ~\eksisterer n\i \mathbb {N} :~~\sum _{k=1}^{n}1>a\;\;\Longleftrightarrow \; \forall a\in \mathbb {Q} \;\eksisterer n\i \mathbb {N} :n>a$

Yderligere egenskaber

Alle andre egenskaber, der er iboende i rationelle tal, udskilles ikke som grundlæggende, fordi de generelt set ikke længere er direkte baseret på egenskaberne af heltal, men kan bevises på grundlag af de givne grundlæggende egenskaber eller direkte ved definitionen af noget matematisk objekt. Der er mange sådanne yderligere egenskaber. Det giver mening her blot at nævne nogle få af dem.

Ordningsrelationen ">" (med den modsatte rækkefølge af argumenter) er også transitiv. $\forall a,b,c\in \mathbb {Q} :a>b,\;b>c\Rightarrow a>c$
Produktet af ethvert rationelt tal og nul er nul. $\forall a\in {\mathbb {Q}}~~a\cdot 0=0$
Rationelle uligheder af samme tegn kan tilføjes led for led. $\forall a,b,c,d\in \mathbb {Q} ~~a>b,\;c>d\Højrepil a+c>b+d$
Sættet af rationelle tal er et felt (nemlig feltet af kvotienter af ringen af heltal ) med hensyn til operationerne med addition og multiplikation af brøker. $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Z}$ $\venstre({\mathbb {Q)),+,\cdot \right)$ - Mark
I positionstalsystemet er et rationelt tal repræsenteret af en periodisk brøk . Desuden er tilstedeværelsen af en repræsentation i form af en periodisk brøk et kriterium for rationaliteten af et reelt tal.
Hvert rationelt tal er algebraisk . ${\mathbb {Q}}\subset {\mathbb {A}}$
Mellem to forskellige rationelle tal og der er mindst et rationelt tal , sådan at og . (Som et eksempel på et sådant tal kan vi tage .) Det er klart, at mellem og , såvel som mellem og også eksisterer mindst ét rationelt tal. Det følger heraf, at der mellem to forskellige rationelle tal og der er uendeligt mange rationelle tal. Med andre ord er der ikke to tilstødende rationelle tal. Især er der ikke noget mindste positivt rationelt tal. $-en$ $b$ $x$ $a<x$ $x<b$ $x=\textstyle {{\frac {a+b}{2}}}$ $-en$ $x$ $x$ $b$ $-en$ $b$
Der er ikke noget største eller mindste rationelle tal. For ethvert rationelt tal er der rationelle (og lige heltal) tal og sådan, at og . $x$ $-en$ $b$ $a<x$ $x<b$

Tællbarhed af sættet af rationelle tal

For at estimere antallet af rationelle tal skal du finde kardinaliteten af deres sæt. Det er let at bevise, at mængden af rationelle tal kan tælles . For at gøre dette er det tilstrækkeligt at give en algoritme, der opregner rationelle tal, det vil sige etablerer en bijektion mellem mængderne af rationelle og naturlige tal. Den følgende simple algoritme kan tjene som et eksempel på en sådan konstruktion. En uendelig tabel med almindelige brøker er kompileret, på hver -te række i hver -te kolonne, hvoraf der er en brøk . For nøjagtighedens skyld antages det, at rækkerne og kolonnerne i denne tabel er nummereret fra én. Tabelceller er angivet med , hvor er rækkenummeret på tabellen, hvori cellen er placeret, og er kolonnenummeret. $jeg$ $j$ ${\frac {i}{j))$ $\venstre(i,j\højre)$ $jeg$ $j$

Den resulterende tabel styres af en "slange" i henhold til følgende formelle algoritme.

Hvis den aktuelle position er sådan, at — ulige , og , så vælges den næste position . $\venstre(i,j\højre)$ $jeg$ $j=1$ $\venstre(i+1,j\højre)$
Hvis den aktuelle position er sådan, at , og er lige, så vælges den næste position . $\venstre(i,j\højre)$ $i=1$ $j$ $\venstre(i,j+1\højre)$
Hvis summen af indekser for den aktuelle position er ulige, så er den næste position . $\venstre(i,j\højre)$ $\venstre(i+j\højre)$ $\venstre(i-1,j+1\højre)$
Hvis summen af indekser for den aktuelle position er lige, så er den næste position . $\venstre(i,j\højre)$ $\venstre(i+j\højre)$ $\venstre(i+1,j-1\højre)$

Disse regler søges fra top til bund, og den næste position vælges af det første match.

I processen med en sådan bypass tildeles hvert nyt rationelt tal det næste naturlige tal. Det vil sige, at brøker tildeles tallet 1, brøker - tallet 2 osv. Kun irreducerbare brøker er nummereret. Det formelle tegn på irreducerbarhed er lighed med enhed af den største fælles divisor af brøkens tæller og nævner. $1/1$ $2/1$

Ved at følge denne algoritme kan man opregne alle positive rationelle tal. Dette betyder, at sættet af positive rationale tal kan tælles. Det er let at etablere en bijektion mellem sættene af positive og negative rationelle tal ved at tildele hvert rationelle tal dets modsætning. Således kan sættet af negative rationale tal også tælles. Deres forening kan også tælles ved egenskaben af tællelige sæt. Sættet af rationelle tal kan også tælles som foreningen af et tælleligt sæt med et endeligt. ${\mathbb {Q}}_{+}$ ${\mathbb {Q}}_{-}$ ${\mathbb {Q}}_{+}\cup {\mathbb {Q}}_{-}$ ${\mathbb {Q}}={\mathbb {Q}}_{+}\cup {\mathbb {Q}}_{-}\cup \left\{0\right\}$

Der er andre måder at opregne rationelle tal på. For eksempel ved at bruge strukturer som Culkin-Wilf- træet , Stern-Brokaw-træet eller Farey-serien .

Udsagnet om tælleligheden af mængden af rationelle tal kan forårsage en vis forvirring, da det ved første øjekast ser ud til, at det er meget større end mængden af naturlige tal (der er trods alt et uendeligt sæt af rationelle tal mellem to naturlige tal ). Det er faktisk ikke tilfældet, og der er nok naturlige tal til at opregne alle rationelle.

Utilstrækkelighed af rationelle tal

I geometri er en konsekvens af det såkaldte aksiom for Arkimedes (i en mere generel forstand end nævnt ovenfor) muligheden for at konstruere vilkårligt små (det vil sige korte) mængder udtrykt ved rationelle tal i formen . Dette faktum skaber et vildledende indtryk af, at rationelle tal generelt kan måle alle geometriske afstande . Det er nemt at vise, at det ikke er sandt. $1/n$

Det er kendt fra Pythagoras sætning , at hypotenusen af en retvinklet trekant er udtrykt som kvadratroden af summen af kvadraterne af dens ben . At. længden af hypotenusen i en ligebenet retvinklet trekant med et enhedsben er lig med , det vil sige et tal, hvis kvadrat er 2. ${\sqrt {2}}$

Hvis vi antager, at tallet er repræsenteret af et eller andet rationelt tal, så er der et sådant heltal og et sådant naturligt tal , at , og brøken er irreducerbar, det vil sige tallene og er coprime . ${\sqrt {2}}$ $m$ $n$ ${\sqrt {2}}={\frac {m}{n}}$ ${\frac {m}{n}}$ $m$ $n$

Hvis det altså er . Derfor er tallet lige, men produktet af to ulige tal er ulige, hvilket betyder, at selve tallet også er lige. Så der er et naturligt tal , således at tallet kan repræsenteres som . Kvadratet af et tal i denne betydning , men på den anden side betyder eller . Som vist tidligere for tallet betyder det, at tallet er lige, ligesom . Men så er de ikke coprime, da begge er delelige med 2 . Den resulterende modsigelse beviser, at det ikke er et rationelt tal. ${\sqrt {2}}={\frac {m}{n}}$ $2={\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {2}}={\frac {m}{n}}\cdot {\frac {m}{n}}={\frac {m^{2 }}{n^{2}}}}$ $m^{2}=2n^{2}$ $m^{2}$ $m$ $k$ $m$ $m=2k$ $m$ $m^{2}=4k^{2}$ $m^{2}=2n^{2}$ $4k^{2}=2n^{2}$ $n^{2}=2k^{2}$ $m$ $n$ $m$ ${\sqrt {2}}$

Det følger af ovenstående, at der er segmenter på planet, og derfor på tallinjen , som ikke kan måles med rationelle tal. Dette fører til muligheden for at udvide begrebet rationelle tal til reelle tal .

Se også

Noter

↑ Rationelt tal // Great Russian Encyclopedia : [i 35 bind] / kap. udg. Yu. S. Osipov . - M . : Great Russian Encyclopedia, 2004-2017.
↑ Shikhanovich Yu. A. Introduktion til moderne matematik (indledende begreber). - M. : Nauka, 1965. - S. 191. - 376 s.
↑ V. A. Ilyin , V. A. Sadovnichiy , Bl. H. Sendov . Kapitel 2. Reelle tal // Matematisk analyse / Red. A.N. Tikhonova . - 3. udg. , revideret og yderligere - M. : Prospekt, 2006. - T. 1. - S. 30-31. — 672 s. — ISBN 5-482-00445-7 .

Litteratur

I. Kushnir. Håndbog i matematik for skolebørn. - Kiev: ASTARTA, 1998. - 520 s.
P. S. Alexandrov. Introduktion til mængdelære og generel topologi. - M .: hoveder. udg. Fysisk.-Matematik. tændt. udg. "Science", 1977
I. L. Khmelnitsky. Introduktion til teorien om algebraiske systemer

Numeriske systemer
Tællelige sæt	Naturlige tal ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ Heltal ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Rationel ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ Algebraisk ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Perioder Beregnbar Aritmetik
Reelle tal og deres forlængelser	Ægte ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Kompleks ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Kvaternioner ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayley-tal (oktaver, oktonioner) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenioner ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Skifter Dobbelt Hyperkompleks Superrealistisk Hypermateriale surrealistisk
Numeriske udvidelsesværktøjer	Cayley-Dixon procedure Frobenius sætning Hurwitz-sætning
Andre nummersystemer	kardinalnumre Ordinaltal (transfinite, ordinaler) p-adic Overnaturlige tal intervaltal
se også	dobbelte tal Irrationelle tal transcendentale tal nummerstråle Biquaternion

Algebraiske tal
Sorter	Algebraiske heltal Chebyshev noder Konstruktive tal Eisensteins helhed Gaussiske heltal Kummer ring Perron tal Piso-Vijayaraghavan numre Kvadratisk irrationalitet ℚ Rødder fra enhed Salem numre
Bestemt	Conway konstant 3 √ 2 φ δS _ √2 _ √ 3 √5 _ 12 √ 2