Differentialoperatør

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 27. september 2021; verifikation kræver 1 redigering .

En differentialoperator (generelt set, ikke kontinuert, ikke afgrænset og ikke lineær) er en operator defineret af et eller andet differentielt udtryk og virker i rum (generelt set vektorværdierede) af funktioner (eller sektioner af differentierbare bundter ) på differentierbare manifolder , eller i mellemrum konjugere til rum af denne type.

Et differentielt udtryk er en sådan kortlægning af et sæt i rummet af sektioner af et bundt med en base til rummet af sektioner af et bundt med samme base, således at for ethvert punkt og alle sektioner , sammenfaldet af deres -jets ved punktet antyder en tilfældighed på samme punkt; det mindste af tallene, der opfylder denne betingelse for alle , kaldes rækkefølgen af differentialudtrykket og rækkefølgen af differentialoperatoren defineret af dette udtryk. $\lambda$ ${\mathfrak P}$ $\xi$ $M$ $\eta$ $p\in M$ $f,\;g\in {\mathfrak P}$ $k$ $s$ $\lambda f$ $g$ $k$ $p\in M$

På en manifold uden grænse er en differentialoperator ofte en udvidelse af en operator, der er naturligt defineret af et fast differentielt udtryk på et eller andet (åbent i en passende topologi) sæt af uendeligt (eller tilstrækkeligt mange gange) differentierbare sektioner af et givet vektorbundt med base , og indrømmer således en naturlig generalisering til tilfældet med skiver, kim af sektioner af differentierbare bundter. På en manifold med grænse defineres en differentialoperator ofte som en udvidelse af en analog operator, der naturligt er defineret af et differentielt udtryk på sættet af de differentierbare funktioner (eller sektioner af bundtet), hvis begrænsninger ligger i kernen af en eller anden differentiel operator på (eller opfylde nogle andre betingelser bestemt af disse eller andre krav til operatørens rækkevidde på begrænsningerne af funktioner fra operatørens domæne , for eksempel uligheder); differentialoperatoren kaldes at definere grænsebetingelserne for differentialoperatoren . Lineære differentialoperatorer i rum konjugeret til rum af funktioner (eller sektioner) er defineret som operatorer konjugeret til differentialoperatorer af formen angivet ovenfor i disse rum. $M$ $\xi$ $M$ $M$ $\delvis M$ $L$ $\delvis M$ $l$ $\delvis M$ $l$ $L$ $l$ $L$

Eksempler

Almindelige differentialoperatorer

Lade være en reel funktion af variable , defineret i et rektangel ; differentielt udtryk $F$ $k+2$ $x,\;y_{0},\;y_{1},\;\ldots ,\;y_{k}$ $\Delta =I\ gange J_{0}\ gange J_{1}\ gange \ldots \ gange J_{k}$

Du\,{\stackrel {{\mathrm {def))}{=}}F\venstre(x,\;u,\;{\frac {du}{dx)),\;\ldots ,\;{ \frac {d^{k}u}{dx^{k}}}\right)

(hvor funktionen normalt opfylder visse regularitetsbetingelser — målbarhed, kontinuitet, differentiabilitet osv.) definerer en differentialoperator på manifolden, hvis definitionsdomæne består af alle funktioner, der opfylder betingelsen for ; hvis kontinuerlig, så kan den betragtes som en operatør i med domæne . En sådan differentialoperator kaldes en generel almindelig differentialoperator . $F$ $D$ $\Delta$ $\Omega$ $u\in C^{k}(\Delta)$ $u^{{(i)}}(x)\in J_{i}$ $i=0,\;1,\;\ldots ,\;k$ $F$ $D$ $C(I)$ $\Omega$ $D$

Hvis afhænger af , så er ordren . En differentialoperator kaldes kvasilineær, hvis den afhænger lineært af ; lineær hvis lineær afhænger af ; lineær med konstante koefficienter, hvis ikke afhænger af og er en lineær differentialoperator. De resterende differentialoperatorer kaldes ikke-lineære . En kvasi-lineær differentialoperator, under visse regularitetsbetingelser for en funktion , kan udvides til en differentialoperator fra et Sobolev-rum til et andet. $F$ $y_{k}$ $D$ $k$ $D$ $F$ $y_{k}$ $F$ $y_{0},\;y_{1},\;\ldots ,\;y_{k}$ $F$ $x$ $D$ $F$

Faktisk kan ethvert derivat repræsenteres af en operatørs handling. For eksempel operatøren

$L=\left({\frac {d}{dt))+\gamma \right)$

når skrevet fører til ligningen . $Lx=\phi (t)$ ${\dot {x}}(t)+\gamma x(t)=\phi (t)$

Denne operator kan generaliseres til det multidimensionelle tilfælde:

${\hat {L}}=\left({\frac {d}{dt}}+{\hat {\Gamma }}\right)$

Partielle differentialoperatorer

Lad domænet løbe ind er et differentielt udtryk defineret af en reel funktion på produktet af domænet og et eller andet åbent rektangel , her er et sæt partielle afledte af formen , hvor , og funktionen opfylder nogle regularitetsbetingelser. Differentialoperatoren defineret af dette udtryk på rummet af tilstrækkeligt differentierbare funktioner på kaldes en generel partiel differentialoperator . Tilsvarende defineres 1) ikke-lineære, kvasilineære og lineære differentialoperatorer med partielle afledte og rækkefølgen af differentialoperatoren; en differentialoperator siges at være elliptisk , hyperbolsk eller parabolsk , hvis den er defineret af et differentielt udtryk af den passende type. Nogle gange betragtes funktioner, der afhænger af derivater af alle ordrer (for eksempel i form af en formel lineær kombination af dem); sådanne differentialudtryk, som ikke definerer en differentialoperator i sædvanlig forstand, ikke desto mindre kan nogle operatorer associeres (for eksempel i rum af kim af analytiske funktioner), kaldes en differentialoperator i uendelig orden . $x=(x^{1},\;\ldots ,\;x^{N})$ ${\mathfrak S}$ $\mathbb{R} ^{N}$ $F=F(x,\;u,\;\ldots ,\;D^{n}(u))$ $F$ ${\mathfrak S}$ $\omega$ $D^{{(n)}}(u)$ $D^{\alpha }u={\frac {\partial ^{{\alpha _{1}+\ldots +\alpha _{N)))){(\partial x^{1})^{{\ alpha _{1))}\ldots (\partial x^{N})^{{\alpha _{N))))}$ $a_{1}+\ldots +a_{N}\leqslant n$ $F$ ${\mathfrak {S}}\ gange \omega$ $F$

Eksempler er Laplace-operatoren og d'Alembert-operatoren, der ligner den i Minkowski-rummet .

Multidimensionelle operatorer

Systemer af differentielle udtryk definerer differentielle operatorer i rum af vektorfunktioner.

I fysik spilles en vigtig rolle i formuleringen og løsningen af differentialligninger i partielle derivater af Nabla-operatoren , som gør det muligt at nedskrive gradienten , divergensen , krøllen ; samt den angivne Laplacian.

Derudover transformerer for eksempel Cauchy-Riemann differentialoperatoren, defineret af et differentialudtryk, rummet af par af harmoniske funktioner på planet til sig selv. $\venstre\{{\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial v}{\partial y)),\;{\frac {\partial u}{\partial y}} +{\frac {\partial v}{\partial x}}\right\}$

Bemærk

De foregående eksempler kan overføres til tilfældet med et komplekst felt, et lokalt kompakt, fuldstændig afbrudt felt og (i det mindste i tilfælde af lineære differentialoperatorer) endda til en mere generel situation.

Generaliseringer

I definitionen af en differentialoperator og dens generaliseringer (udover almindelige derivater) er det ikke kun generaliserede derivater (som naturligt opstår, når man overvejer udvidelser af differentialoperatorer defineret på differentiable funktioner) og svage derivater (associeret med overgangen til den adjoint operator) bruges ofte, men også afledte af brøk- og negativorden . Desuden erstattes selve differentieringen af en Fourier-transformation (eller anden integreret transformation) anvendt på domænet og værdien af en sådan generaliseret differentialoperator på en sådan måde, at man opnår den enklest mulige repræsentation af funktionen svarende til differentialoperatoren og opnår en rimelig generalitet af problemformuleringen og gode egenskaber for de objekter, der overvejes, og konstruer også en funktionel eller operationel beregning (fortsat overensstemmelsen mellem operatoren for differentiering og operatoren for multiplikation med en uafhængig variabel, udført af Fourier-transformationen) . $F$

Sådanne spørgsmål om teorien om differentialligninger som eksistens, unikhed, regelmæssighed, kontinuerlig afhængighed af løsninger på de oprindelige data eller højre side, den eksplicitte form for løsningen af en differentialligning defineret af et givet differentialudtryk, fortolkes naturligt. i termer af operatorteori som et problem med en differentialoperator defineret af et givet differentialudtryk i passende funktionsrum, nemlig som problemer med kernen, billede, undersøgelse af strukturen af domænet af en given differentialoperator eller dens udvidelse, kontinuitet af den inverse operator til den givne differentialoperator og eksplicit konstruktion af denne inverse operator. Spørgsmål om tilnærmelse af løsninger og konstruktion af tilnærmede løsninger af differentialligninger finder også en naturlig generalisering og forbedring af problemer på de tilsvarende differentialoperatorer, nemlig ved udvælgelse af sådanne naturlige topologier inden for definitions- og værdiområde, således at operatoren (under betingelse af løsningernes unikke karakter) realiserer en homeomorfisme af definitionsdomænet og intervaller i disse topologier (denne teori er relateret til teorien om interpolation og skalaer af funktionsrum, især i tilfælde af lineære og kvasilineære differentialoperatorer ), eller i udvælgelsen af differentialoperatorer, der er tæt på den givne i en eller anden forstand (hvilket tillader, ved hjælp af forskellige topologier i de indstillede differentialoperatorer, at retfærdiggøre metoder til tilnærmelse af ligninger, herunder regulariseringsmetoden, strafmetoden og nogle iterative regulariseringsmetoder). Teorien om differentialoperatorer gør det muligt at anvende klassiske metoder til operatorteori, for eksempel teorien om fuldstændigt kontinuerte operatorer, metoden til sammentrækningskortlægning i forskellige eksistens- og unikkesætninger for løsninger til differentialligninger, i teorien om bifurkation af løsninger , og i ulineære egenværdiproblemer. Det viser sig ofte at være muligt at bruge tilstedeværelsen i funktionsrum, hvor en differentialoperator er defineret, af en naturlig ordensstruktur (især til at anvende teorien om monotone operatorer), til at bruge metoderne til lineær analyse (teorien) om dualitet, teorien om konvekse mængder, teorien om adjunktive operatorer, teorien om dissipative operatorer), variationsmetoder og teorien om ekstreme problemer, samt tilstedeværelsen af nogle yderligere strukturer i domænet for definition af værdidomænet (for eksempel kompleks, symplektisk osv.) For at afklare strukturen af værdidomænet og differentialoperatorens kerne, det vil sige at få information om klassen af løsninger af de tilsvarende ligninger. En række problemer relateret til differentiale udtryk fører til behovet for at studere differentialuligheder, der naturligt er relateret til multiværdidifferentialoperatorer. $L$ $L$

Således giver teorien om differentialoperatorer os mulighed for at løse en række vanskeligheder i den klassiske teori om differentialligninger. Brugen af forskellige udvidelser af almindelige differentialoperatorer fører til konceptet om en generaliseret løsning af den tilsvarende differentialligning (som i nogle tilfælde, f.eks. relateret til elliptiske problemer, viser sig nødvendigvis at være klassisk), og brugen af en lineær struktur giver os mulighed for at introducere begrebet svage løsninger af differentialligninger. Når man vælger en passende udvidelse af en differentialoperator defineret af et differentielt udtryk, spilles en vigtig rolle af a priori estimater for løsninger relateret til den specifikke form af sidstnævnte, som gør det muligt at angive sådanne funktionelle rum, som i disse rum af differentialoperatorer er kontinuert eller afgrænset.

Men teorien om differentialoperatorer vil gøre det muligt at opstille og løse en række fundamentalt nye problemer i sammenligning med differentialligningsteoriens klassiske problemer. For ikke-lineære operatører er det således af interesse at studere strukturen af sættet af dets faste punkter og operatørens handling i deres nabolag, såvel som klassificeringen af disse singulære punkter og spørgsmålet om stabiliteten af singularpunktet type under forstyrrelse af en given differentialoperator; for lineære differentialoperatorer, ud over de ovennævnte problemer, er problemerne med at beskrive og studere spektret af differentialoperatorer af interesse, konstruere dets opløsningsmiddel, beregne indekset, beskrive strukturen af invariante underrum af en given differentialoperator, konstruere en harmonisk analyse forbundet med en given differentialoperator (især udvidelser i form af egenværdier), funktioner, som kræver en forundersøgelse af fuldstændigheden af systemet af egenfunktioner og tilknyttede funktioner), studiet af lineære og ikke-lineære forstyrrelser af en given differentialoperator . Disse problemer er af særlig interesse for elliptiske differentialoperatorer genereret af symmetriske differentialudtryk i forbindelse med teorien om selvadjoint-operatorer i et Hilbert-rum (især med spektralsætningen for sådanne operatorer og teorien om udvidelser af symmetriske operatorer). Teorien om en række problemer med hyperbolske og parabolske (ikke nødvendigvis lineære) differentialoperatorer er forbundet med teorien om transformationsgrupper og semigrupper af lokalt konvekse rum.

Måske er den mest undersøgte (udover lineære) klasse af differentialoperatorer, som også har en bred praktisk anvendelse, differentialoperatorer, der slet ikke ændrer sig eller ændres i henhold til en veldefineret lov, når de handler på deres definitionsdomæne, og som følge heraf, på det differentielle udtryk for nogle transformationer, der udgør gruppen (eller en semigruppe). Sådanne er for eksempel invariante differentialoperatorer, der er tæt beslægtede med repræsentationer af gruppen ; den kovariante afledte eller mere generelt pulverisering er en differentialoperator på rum af differentierbare tensorfelter (her gruppen af alle diffeomorfismer), en lang række af operatorer i teoretisk fysik osv. Funktionelle geometriske metoder er også nyttige i undersøgelse af differentialoperatorer med såkaldt skjult symmetri. $G$ $G$ $G$

Teorien om differentialoperatorer, som er en integreret del af den generelle teori om operatorer, har for nylig spillet en stadig større rolle ikke kun i teorien om differentialligninger, men også i moderne analyse generelt, og ikke kun som et vigtigt konkret eksempel af ubegrænsede operatorer (dette gælder især for teorien om lineære differentialligninger). operatorer), men også som et repræsentationsapparat og et middel til at studere objekter af forskellig art: for eksempel opnås enhver generaliseret funktion (og endda hyperfunktion) ved at handlingen af en generaliseret differentialoperator på en kontinuerlig funktion. Endelig vokser rollen og indflydelsen af teorien om differentialoperatorer i andre grene af matematikken kontinuerligt - for eksempel forbinder en af løsningerne på det såkaldte indeksproblem de topologiske karakteristika af en manifold med tilstedeværelsen af en bestemt klasse af differentialoperatorer på det, hvilket gør det muligt at drage en konklusion om egenskaberne af elliptiske komplekser på denne manifold.

Eksempler

I differentialgeometri har operatorerne af den ydre afledte og Lie-afledte en geometrisk betydning og er defineret internt.
Generelt algebra gør ideen om differentiering det muligt at generalisere differentialoperatorer uden at ty til matematisk analyse. Sådanne konstruktioner bruges ofte i algebraisk geometri og kommutativ algebra (for eksempel ved introduktion af jetfly ).

Se også

Differentialintegral

Litteratur

Dunford N., Schwartz J. Lineære operatører.
- Bind 1. Generel teori. — M.: IL, 1962.
- Bind 2. Spektralteori. Selvtilknyttede operatører i et Hilbert-rum. — M.: Mir, 1966.
- Bind 3. Spektraloperatorer. — M.: Mir, 1974.
Naimark M. A. Lineære differentialoperatorer. - 2. udg. — M.: Nauka, 1969.
Palamodov VP Lineære differentialoperatorer med konstante koefficienter. — M.: Nauka, 1967.

Differentialregning

Hoved

private udsigter

Differentialoperatorer
( i forskellige koordinater )

Første ordre	Nabla operatør Gradient Divergens Rotor Helmholtzian
anden orden	Elliptisk operatør Laplace operatør Laplace vektor operatør D'Alembert operatør Laplace-Beltrami operatør
højere ordrer	Hypoelliptisk operatør

relaterede emner