Matematikkens historie

Matematikkens historie
Hovedtema matematik
Stack Exchange hjemmeside hsm.stackexchange.com
 Mediefiler på Wikimedia Commons
Videnskabshistorie
Efter emne
Matematik
Naturvidenskab
Astronomi
Biologi
Botanik
Geografi
Geologi
jordbundsvidenskab
Fysik
Kemi
Økologi
Samfundsvidenskab
Historie
Lingvistik
Psykologi
Sociologi
Filosofi
Økonomi
Teknologi
Computerteknik
Landbrug
Medicinen
Navigation
Kategorier

Denne artikel er en oversigt over de vigtigste begivenheder og tendenser i matematikkens historie fra oldtiden til i dag.

I matematikkens historie er der flere klassifikationer af matematikkens historie, ifølge en af ​​dem skelnes flere stadier i udviklingen af ​​matematisk viden:

  1. Dannelse af begrebet en geometrisk figur og tal som en idealisering af virkelige objekter og sæt af homogene objekter. Fremkomsten af ​​tælling og måling, som gjorde det muligt at sammenligne forskellige tal, længder, arealer og volumener.
  2. Opfindelsen af ​​aritmetiske operationer. Ophobning empirisk (ved forsøg og fejl) af viden om egenskaber ved aritmetiske operationer, om metoder til måling af arealer og rumfang af simple figurer og kroppe. Sumero-babylonske , kinesiske og indiske matematikere fra antikken rykkede langt i denne retning .
  3. Fremkomsten i det antikke Grækenland af et deduktivt matematisk system, der viste, hvordan man opnår nye matematiske sandheder på grundlag af eksisterende. Euklids elementer , som spillede rollen som en standard for matematisk stringens i to årtusinder, blev kronen på værket af oldgræsk matematik .
  4. Matematikerne i de islamiske lande bevarede ikke kun gamle præstationer, men var også i stand til at syntetisere dem med opdagelserne fra indiske matematikere, som gik længere end grækerne i talteori.
  5. I det 16.-18. århundrede blev europæisk matematik genfødt og langt fremme. Dets konceptuelle grundlag i denne periode var troen på, at matematiske modeller er en slags ideelt skelet af universet [1] , og derfor er opdagelsen af ​​matematiske sandheder samtidig opdagelsen af ​​nye egenskaber i den virkelige verden. Den største succes på denne vej var udviklingen af ​​matematiske modeller for variables afhængighed ( funktion ) og den generelle teori om bevægelse ( analyse af infinitesimals ). Alle naturvidenskaber blev genopbygget på grundlag af nyopdagede matematiske modeller, og det førte til deres kolossale fremskridt .
  6. I det 19. og 20. århundrede bliver det klart, at forholdet mellem matematik og virkelighed langt fra er så enkelt, som det så ud til før. Der er ikke noget universelt accepteret svar på en slags "grundlæggende spørgsmål om matematikkens filosofi " [2] : at finde årsagen til "matematikkens uforståelige effektivitet i naturvidenskaberne" [3] . I denne, og ikke kun i denne henseende, har matematikere delt sig i mange debatterende skoler . Adskillige farlige tendenser er dukket op [4] : overdrevent snæver specialisering, isolation fra praktiske problemer osv. Samtidig er matematikkens magt og dens prestige, understøttet af effektiviteten af ​​dens anvendelse, høj som aldrig før.

Ud over stor historisk interesse er analysen af ​​matematikkens udvikling af stor betydning for udviklingen af ​​matematikkens filosofi og metodologi . Ofte bidrager viden om historie også til udviklingen af ​​specifikke matematiske discipliner; for eksempel dannede det gamle kinesiske problem (sætning) om rester en hel del af talteorien - teorien om kongruenser modulo [5] .

Fremkomsten af ​​aritmetik og geometri

Matematik i systemet for menneskelig viden er et afsnit, der beskæftiger sig med begreber som kvantitet , struktur , forhold osv. Udviklingen af ​​matematik begyndte med skabelsen af ​​praktiske kunster at tælle og måle linjer , flader og volumener .

Begrebet naturlige tal blev dannet gradvist og kompliceret af det primitive menneskes manglende evne til at adskille den numeriske abstraktion fra dens konkrete repræsentation. Som følge heraf forblev beretningen i lang tid kun materiale - der blev brugt fingre, småsten, mærker osv. Arkæolog B. A. Frolov underbygger beretningens eksistens allerede i den øvre palæolitikum [6] .

Med udbredelsen af ​​at tælle til større mængder opstod ideen om ikke kun at tælle efter enheder, men også så at sige efter pakker af enheder indeholdende for eksempel 10 genstande. Denne idé blev straks afspejlet i sproget og derefter skriftligt. Princippet om at navngive eller afbilde et nummer (nummerering) kan være [7] :

For at huske resultaterne af kontoen blev der brugt hak, knob osv. Med opfindelsen af ​​skrift begyndte man at bruge bogstaver eller specielle ikoner til at forkorte store tal. Med en sådan kodning blev det samme nummereringsprincip normalt gengivet som i sproget.

Navnene på tal fra to (zwei, to, duo, deux, dvi, to ...) til ti, såvel som tiere og tallet 100 på indoeuropæiske sprog er ens. Dette tyder på, at begrebet et abstrakt tal dukkede op for meget lang tid siden, selv før adskillelsen af ​​disse sprog. I dannelsen af ​​tal blandt de fleste folk indtager tallet 10 en særlig position, så det er klart, at tælle på fingrene var udbredt. Det er her det allestedsnærværende decimaltalssystem kommer fra . Selvom der er undtagelser: 80 på fransk er quatre-vingt (det vil sige 4 tyve), og 90 er quatre-vingt-dix (4 * 20 + 10); denne brug går tilbage til at tælle på fingre og tæer. Tallene på de danske, ossetiske og abkhasiske sprog er på samme måde arrangeret. Optællingen med tyve på georgisk er endnu klarere. Sumererne og aztekerne blev, at dømme efter sproget, oprindeligt betragtet som femmere.

Der er også mere eksotiske muligheder. Babylonierne brugte det sexagesimale system i videnskabelige beregninger . Og de indfødte på Torres Strait Islands - binær [7] :

Urapun (1); Okoza (2); Okoza-Urapun (3); Okoza-Okoza (4); Okoza-Okoza-Urapun (5); Okoza-Okoza-Okoza(6)

Da konceptet med et abstrakt tal endelig blev etableret, blev operationer med tal det næste skridt. Et naturligt tal  er en idealisering af et begrænset sæt af homogene, stabile og udelelige objekter (mennesker, får, dage osv.) [8] . For at tælle skal du have matematiske modeller af så vigtige begivenheder som foreningen af ​​flere sæt i et eller omvendt adskillelsen af ​​en del af et sæt. Sådan så operationerne addition og subtraktion ud [9] . Multiplikation for naturlige tal fremstod som så at sige batchaddition [10] . Egenskaberne og sammenkoblingen af ​​operationer blev gradvist opdaget.

En anden vigtig praktisk handling - opdeling i dele - blev til sidst abstraheret til den fjerde regneoperation - division [11] . Opdeling i 10 dele er svært, så decimalbrøker , praktisk i komplekse beregninger, dukkede op relativt sent. De første brøker havde normalt en nævner på 2, 3, 4, 8 eller 12. For eksempel var standardbrøken blandt romerne en ounce (1/12). Middelalderlige penge- og målesystemer bærer et tydeligt aftryk af gamle ikke-decimalsystemer: 1 engelsk pence \u003d 1/12 shilling , 1 tomme \u003d 1/12 fod , 1 fod \u003d 1/3 yard osv.

Omtrent samtidig med tal abstraherede mennesket flade og rumlige former. De modtog normalt navnene på rigtige genstande, der ligner dem: for eksempel betyder " rhombos " blandt grækerne en top, "trapedsion" - et bord ( trapez ), " kugle " - en kugle [12] .

Teorien om målinger dukkede op meget senere og indeholdt ofte fejl: et typisk eksempel er den falske doktrin om ligheden mellem områderne af figurer med ligheden af ​​deres omkredse og omvendt. Dette er ikke overraskende: et målereb med knob eller mærker tjente som et måleværktøj, så det var muligt at måle omkredsen uden problemer, og i det generelle tilfælde var der ingen værktøjer eller matematiske metoder til at bestemme området . Målinger tjente som den vigtigste anvendelse af brøktal og som en kilde til udvikling af deres teori.

Det gamle øst

Egypten

De ældste egyptiske matematiske tekster går tilbage til begyndelsen af ​​det 2. årtusinde f.Kr. e. Matematik blev dengang brugt i astronomi, navigation, landmåling, i opførelsen af ​​huse, dæmninger, kanaler og militære befæstninger. Der var ingen monetære bosættelser, som pengene selv, i Egypten. Ægypterne skrev på papyrus, som er dårligt bevaret, og derfor er der på nuværende tidspunkt meget mindre viden om Egyptens matematik end om matematikken i Babylon eller Grækenland. Det var sandsynligvis bedre udviklet, end man kan forestille sig ud fra de dokumenter, der er kommet ned til os, hvilket bekræftes af, at græske matematikere studerede med egypterne [C 1] .

De vigtigste overlevende kilder er Ahmes-papyrusen , også kendt som Rinda-papyrusen (84 matematiske problemer), og Golenishchev-papyrusen fra Moskva (25 problemer), begge fra Mellemriget , den gamle egyptiske kulturs storhedstid. Forfatterne til teksten er ukendte for os.

Alle opgaver fra Ahmes papyrus (skrevet omkring 1650 f.Kr.) er anvendt i naturen og er relateret til bygningspraksis, afgrænsning af jordlodder osv. Opgaverne er ikke grupperet efter metoder, men efter emne. For det meste er det opgaver til at finde arealer af en trekant, firkanter og en cirkel, forskellige operationer med heltal og aliquotbrøker , proportional division, finde forhold, hæve til forskellige potenser, bestemme det aritmetiske middelværdi , aritmetiske progressioner , løsning af ligninger af første og anden grad med en ukendt [13] .

Der er absolut ingen forklaring eller bevis overhovedet. Det ønskede resultat gives enten direkte, eller der gives en kort algoritme til dets beregning.

Denne præsentationsmetode, der er typisk for videnskaben i landene i det antikke Østen, antyder, at matematikken dér udviklede sig ved hjælp af induktive generaliseringer og formodninger, der ikke dannede nogen generel teori. Ikke desto mindre er der en række beviser i papyrusen for, at matematikken i det gamle Egypten i disse år havde eller i det mindste begyndte at få en teoretisk karakter. Så egyptiske matematikere vidste, hvordan man udtrækker rødder og hæver til en magt, løser ligninger, var fortrolige med aritmetisk og geometrisk progression og ejede endda algebraens rudimenter : Når man løser ligninger, betegnede en speciel hieroglyf "dynge" det ukendte.

Inden for geometri kendte egypterne nøjagtige formler for arealet af et rektangel , trekant og trapez . Arealet af en vilkårlig firkant med siderne a, b, c, d blev beregnet tilnærmelsesvis som

Denne grove formel giver acceptabel nøjagtighed, hvis figuren er tæt på et rektangel. Cirklens areal blev beregnet ud fra antagelsen

= 3,1605 (fejl mindre end 1%) [14] .

Ægypterne kendte nøjagtige formler for volumenet af et parallelepipedum og forskellige cylindriske legemer samt en pyramide og en afkortet pyramide. Lad os have en regulær afkortet pyramide med siden af ​​den nederste base a , øvre b og højden h ; derefter blev volumen beregnet efter den oprindelige, men nøjagtige formel:

.

Der er ingen oplysninger om den tidligere udvikling af matematik i Egypten. Omtrent senere, op til hellenismens æra  - også. Efter Ptolemæernes tiltrædelse begynder en ekstremt frugtbar syntese af egyptiske og græske kulturer.

Babylon

Babylonierne skrev med kileskrifttegn på lertavler, som har overlevet i betydeligt antal indtil i dag (mere end 500 tusinde, hvoraf omkring 400 er forbundet med matematik). Derfor har vi et ret komplet billede af de matematiske præstationer af videnskabsmændene i den babylonske stat . Bemærk, at rødderne til den babylonske kultur i høj grad blev arvet fra sumererne  - kileskrift, tælleteknikker mv.

Den babylonske regneteknik var meget mere perfekt end den egyptiske , og rækken af ​​opgaver, der skulle løses, var meget bredere. Der er opgaver til løsning af ligninger af anden grad, geometriske progressioner . Ved løsning blev proportioner , aritmetiske gennemsnit og procenter brugt. Metoderne til at arbejde med progressioner var dybere end egypternes . Lineære og andengradsligninger blev løst så tidligt som Hammurabis æra ; mens der blev brugt geometrisk terminologi (produktet ab blev kaldt arealet, abc blev kaldt  volumen osv.). Mange af ikonerne for monomialer var sumeriske, hvorfra man kan udlede antikken af ​​disse algoritmer ; disse tegn blev brugt som bogstavbetegnelser for ukendte i vores algebra. Der er også kubiske ligninger og systemer af lineære ligninger . Planimetriens krone var Pythagoras sætning , kendt så tidligt som Hammurabis æra.

Sumererne og babylonierne brugte positionstalsystemet 60 , udødeliggjort i vores opdeling af cirklen i 360°, timen i 60 minutter og minuttet i 60 sekunder. Et omfangsrigt sæt tabeller blev brugt til multiplikation. For at beregne kvadratrødder opfandt babylonierne en iterativ proces: en ny tilnærmelse blev opnået fra den forrige ved hjælp af formlen for Newtons metode :

I geometri blev de samme figurer betragtet som i Egypten , plus et segment af en cirkel og en afkortet kegle . Tidlige dokumenter tyder på ; senere støder man på tilnærmelsen 25/8 = 3,125. Babylonierne vidste, hvordan man beregnede arealer af regulære polygoner ; Tilsyneladende var de bekendt med princippet om lighed. For området med uregelmæssige firkanter blev den samme omtrentlige formel brugt som i Egypten :

.

Ikke desto mindre havde det rige teoretiske grundlag for babylonsk matematik ikke en holistisk karakter og blev reduceret til et sæt forskellige teknikker, blottet for en evidensbase. En systematisk demonstrativ tilgang til matematik dukkede kun op blandt grækerne .

Kina

Tal i det gamle Kina blev betegnet med specielle hieroglyffer , som dukkede op i det 2. årtusinde f.Kr. e., og deres mærke blev endelig etableret i det III århundrede f.Kr. e. Disse hieroglyffer er stadig i brug i dag. Den kinesiske måde at skrive tal på var oprindeligt multiplikativ. For eksempel kan indtastningen af ​​tallet 1946, ved at bruge romertal i stedet for hieroglyffer, betinget repræsenteres som 1M9S4X6. Men i praksis blev beregninger udført på et tællebræt, hvor notationen af ​​tal var anderledes - positionel, som i Indien, og i modsætning til babylonierne decimal [15] .

Beregninger blev foretaget på en speciel suanpan tællebræt (se billede), i henhold til princippet om brug, svarende til russiske konti . Nul blev først angivet af et tomt rum, en speciel hieroglyf dukkede op omkring det 12. århundrede e.Kr. e. For at lære multiplikationstabellen udenad var der en særlig sang, som eleverne lærte udenad.

Det mest meningsfulde matematiske arbejde i det gamle Kina er Matematik i ni bøger .

Kineserne vidste meget, herunder: al grundlæggende aritmetik (herunder at finde den største fælles divisor og mindste fælles multiplum ), operationer med brøker, proportioner, negative tal, arealer og rumfang af grundlæggende figurer og kroppe, Pythagoras sætning og algoritmen til udvælgelse Pythagoras tripler , løsning af andengradsligninger . En fan-cheng- metode blev endda udviklet til at løse systemer med et vilkårligt antal lineære ligninger - en analog til den klassiske europæiske Gauss-metode . Ligninger af enhver grad blev løst numerisk - ved tian-yuan- metoden, der minder om Ruffini-Horner-metoden til at finde rødderne til et polynomium.

Det antikke Grækenland

Matematik i den moderne betydning af ordet blev født i Grækenland. I de moderne lande i Hellas blev matematik enten brugt til daglige behov (beregninger, målinger) eller omvendt til magiske ritualer, der havde til formål at finde ud af gudernes vilje ( astrologi , numerologi osv.). Der var ingen matematisk teori i ordets fulde betydning, sagen var begrænset til et sæt empiriske regler, ofte unøjagtige eller endda fejlagtige.

Grækerne greb sagen an fra en anden vinkel.

For det første fremlagde den pythagoræiske skole tesen " Tal regerer verden " [C 2] . Eller, som den samme tanke blev formuleret to årtusinder senere: " Naturen taler til os på matematikkens sprog " ( Galileo ). Dette betød, at matematikkens sandheder i en vis forstand er sandheden om det virkelige væsen.

For det andet udviklede pythagoræerne en komplet metode til at opdage sådanne sandheder. De kompilerede først en liste over primære, intuitivt indlysende matematiske sandheder ( aksiomer , postulater ). Derefter blev der ved hjælp af logiske ræsonnementer (hvis reglerne også gradvist blev forenet) afledt nye udsagn fra disse sandheder, som også må være sande. Sådan blev deduktiv matematik født.

Grækerne testede gyldigheden af ​​denne afhandling på mange områder: astronomi , optik , musik , geometri og senere mekanik . Imponerende succeser blev noteret overalt: den matematiske model besad ubestridelig forudsigelseskraft.

Pythagoræernes forsøg på at basere verdensharmonien på hele tal (og deres forhold) blev sat i tvivl efter opdagelsen af ​​irrationelle tal . Den platoniske skole (4. århundrede f.Kr.) valgte et andet, geometrisk grundlag for matematik ( Eudoxus af Cnidus ). På denne vej opnåedes de største succeser i oldtidens matematik ( Euklid , Archimedes , Apollonius af Perga og andre).

Græsk matematik imponerer primært med rigdommen af ​​dens indhold. Mange videnskabsmænd fra New Age bemærkede, at de lærte motiverne til deres opdagelser fra de gamle. Analysens rudimenter er mærkbare hos Archimedes, algebraens rødder hos Diophantus , analytisk geometri hos Apollonius osv. Men dette er ikke hovedsagen. To præstationer af græsk matematik overlevede langt deres skabere.

For det første byggede grækerne matematik som en holistisk videnskab med deres egen metodologi, baseret på veldefinerede logiske love (som garanterer konklusionernes sandhed, forudsat at præmisserne er sande).

For det andet proklamerede de, at naturlovene er forståelige for det menneskelige sind, og matematiske modeller er nøglen til deres viden.

I disse to henseender er oldgræsk matematik ret beslægtet med moderne.

Indien

Indisk nummerering (en måde at skrive tal på) var oprindeligt sofistikeret. Sanskrit havde midler til at navngive tal op til . Til tal blev det syro-fønikiske system først brugt, og fra det 6. århundrede f.Kr. e. - stavemåde " brahmi ", med separate tegn for tallene 1-9. Efter at have ændret sig noget, er disse ikoner blevet moderne tal, som vi kalder arabisk , og araberne selv - indiske .

Omkring 500 e.Kr. e. den store indiske matematiker, ukendt for os, opfandt et nyt talnotationssystem - decimalpositionssystemet . I den viste det sig at udføre aritmetiske operationer at være umådeligt nemmere end i de gamle, med klodsede bogstavkoder, som grækerne , eller sexagesimal , som babylonierne . Senere brugte indianerne tællebrætter tilpasset til positionsnotation. De udviklede komplette algoritmer til alle aritmetiske operationer, inklusive udvinding af kvadrat- og terningrødder.

Værkerne af Aryabhata , en fremragende indisk matematiker og astronom, går tilbage til det 5.-6. århundrede . I hans arbejde "Aryabhatiam" er der mange løsninger på beregningsmæssige problemer. En anden berømt indisk matematiker og astronom, Brahmagupta , arbejdede i det 7. århundrede . Fra og med Brahmagupta beskæftiger indiske matematikere sig frit med negative tal og behandler dem som gæld.

Middelalderlige indiske matematikere opnåede deres største succes inden for talteori og numeriske metoder . Indianerne er langt fremme i algebra; deres symbolik er rigere end Diophantus , selvom det er noget besværligt (fyldt med ord). Geometri vakte mindre interesse blandt indianerne. Beviserne for sætningerne bestod af en tegning og ordet "se". De har højst sandsynligt arvet formlerne for områder og volumener, samt trigonometri , fra grækerne.

Islams lande

Østens matematik har i modsætning til den græske altid været af mere praktisk karakter. Derfor var beregnings- og måleaspekterne af største betydning. De vigtigste anvendelsesområder for matematik var handel , byggeri , geografi , astronomi og astrologi , mekanik , optik .

I det 9. århundrede levede al-Khwarizmi ,  søn af en zoroastrisk præst, med tilnavnet al-Majusi (magikeren) for dette. Efter at have studeret indisk og græsk viden, skrev han bogen "På den indiske konto", som bidrog til populariseringen af ​​positionssystemet i hele kalifatet, op til Spanien. I det XII århundrede er denne bog oversat til latin, på vegne af dens forfatter kommer vores ord " algoritme " fra (for første gang i nær forstand brugt af Leibniz ). Et andet værk af al-Khwarizmi, " A Brief Book on the Calculus of al-Jabr and al-Mukabala ", havde stor indflydelse på europæisk videnskab og gav anledning til et andet moderne udtryk " algebra ".

Islamiske matematikere var meget opmærksomme ikke kun på algebra, men også til geometri og trigonometri (hovedsageligt til astronomiske anvendelser). Nasir al-Din al-Tusi ( 13. århundrede ) og Al-Kashi ( 15. århundrede ) udgav fremragende værker på disse områder.

I det hele taget kan man sige, at matematikerne i islams lande i en række tilfælde lykkedes med at løfte den semi-empiriske indiske udvikling op på et højt teoretisk niveau og derved udvide deres magt. Selvom tilfældet i de fleste tilfælde var begrænset til denne syntese. Mange matematikere var mestre i klassiske metoder, men få nye resultater blev opnået.

Rusland

I 1136 skrev Novgorod -munken Kirik et matematisk og astronomisk værk med en detaljeret beregning af datoen for verdens skabelse. Den fulde titel på hans arbejde er som følger: "Kirika af diakonen og husstanden i Novgorod Antoniev-klosteret lærer dem at fortælle en person antallet af alle år" [16] . Foruden kronologiske beregninger gav Kirik et eksempel på en geometrisk progression , der opstod ved opdelingen af ​​en dag i stadig mindre brøker; Kirik stoppede ved en milliontedel og erklærede, at "mere af dette sker ikke" [2] .

I 1701 blev der ved kejserligt dekret oprettet en matematik- og navigationsskole i Sukharev Tower , hvor L. F. Magnitsky underviste . På vegne af Peter I skrev han (på kirkeslavisk) en velkendt aritmetisk lærebog ( 1703 ), og udgav senere navigations- og logaritmiske tabeller. Magnitskys lærebog for den tid var usædvanligt sund og informativ. Forfatteren udvalgte omhyggeligt alt det bedste, der fandtes i de lærebøger, der fandtes på det tidspunkt, og præsenterede materialet klart, med talrige eksempler og forklaringer.

M. M. Speranskys reformer tjente som en stærk drivkraft til udviklingen af ​​russisk videnskab . I begyndelsen af ​​det 19. århundrede blev ministeriet for offentlig uddannelse oprettet , uddannelsesdistrikter opstod, og gymnastiksale begyndte at åbne i alle større byer i Rusland. Samtidig var indholdet i matematikkurset ret omfattende - algebra, trigonometri, anvendelser til fysik mv.

I det 19. århundrede havde ung russisk matematik allerede bragt videnskabsmænd i verdensklasse frem.

Den første af dem var Mikhail Vasilyevich Ostrogradsky . Som de fleste russiske matematikere før ham udviklede han hovedsageligt anvendte analyseproblemer . Hans arbejde udforsker udbredelsen af ​​varme, bølgeligningen , teorien om elasticitet , elektromagnetisme . Han studerede også talteori . Akademiker fra fem verdensakademier. Vigtigt anvendt arbejde blev udført af Viktor Yakovlevich Bunyakovsky , en ekstremt alsidig matematiker, opfinder, anerkendt autoritet inden for talteori og sandsynlighedsteori , forfatter til det grundlæggende værk Fundamenter for den matematiske sandsynlighedsteori.

De grundlæggende spørgsmål om matematik i Rusland i første halvdel af det 19. århundrede blev kun taget op af Nikolai Ivanovich Lobachevsky , som modsatte sig dogmet om det euklidiske rum. Han byggede Lobachevsky-geometrien og udforskede dybt dens usædvanlige egenskaber. Lobachevsky var så forud for sin tid, at han blev bedømt efter sine fortjenester kun mange år efter sin død.

Flere vigtige generelle opdagelser blev gjort af Sofia Kovalevskaya . Hun blev den første kvinde i verden og i historien til at være professor i matematik. I 1874 forsvarede hun ved universitetet i Göttingen sin afhandling "Om teorien om differentialligninger" og modtog en ph.d. I 1881 blev hun valgt til medlem af Moscow Mathematical Society som Privatdozent. I 1889 modtog Sofia Kovalevskaya en stor pris fra Paris Academy for sin forskning i rotationen af ​​en tung asymmetrisk top [17] .

I anden halvdel af det 19. århundrede offentliggjorde russisk matematik med en generel anvendt bias også en del fundamentale resultater. Pafnuty Lvovich Chebyshev , en universel matematiker, gjorde mange opdagelser i de mest forskelligartede, langt fra hinanden, områder af matematik - talteori, sandsynlighedsteori, teori om tilnærmelse af funktioner. Andrei Andreevich Markov er kendt for sit førsteklasses arbejde inden for sandsynlighedsteori, men han opnåede også fremragende resultater på andre områder - talteori og matematisk analyse. I slutningen af ​​det 19. århundrede blev der dannet to aktive indenlandske matematiske skoler - Moskva og St. Petersborg.

Vesteuropa

Middelalder, 4.-15. århundrede

I det V århundrede kom afslutningen på det vestromerske imperium , og Vesteuropas territorium forvandlede sig i lang tid til et felt af uophørlige kampe med erobrere og røvere ( hunere , gotere , ungarere , arabere , normannere osv.). Videnskabens udvikling er stoppet. Behovet for matematik er begrænset til aritmetik og beregning af kalenderen for kirkelige helligdage, og aritmetik studeres i henhold til den gamle lærebog af Nicomachus af Geraz i en forkortet oversættelse af Boethius til latin.

Blandt de få højtuddannede mennesker kan man bemærke den irske Beda den Ærværdige (han arbejdede på kalenderen, påskebreve , kronologi, teorien om at tælle på fingrene) og munken Herbert, siden 999  - paven under navnet Sylvester II , protektor for videnskaber; han er krediteret med forfatterskabet til flere værker om astronomi og matematik. En populær samling af underholdende matematiske problemer blev udgivet af den angelsaksiske digter og videnskabsmand Alcuin (VIII århundrede).

Stabiliseringen og genopretningen af ​​den europæiske kultur begyndte i det 11. århundrede . De første universiteter dukker op ( Salerno , Bologna ). Undervisningen i matematik udvides: det traditionelle quadrivium omfattede aritmetik, geometri, astronomi og musik.

Det første bekendtskab af europæiske videnskabsmænd med gamle opdagelser fandt sted i Spanien. I det 12. århundrede blev hovedværkerne af de store grækere og deres islamiske elever oversat der (fra græsk og arabisk til latin) . Siden det 14. århundrede er Byzans blevet det vigtigste sted for videnskabelig udveksling . Euklids Elementer blev især ivrigt oversat og udgivet ; efterhånden blev de bevokset med kommentarer fra lokale geometre. Den eneste relativt store matematiker i hele den post-antikke historie af Byzans var Maximus Planud , en kommentator på Diophantus og en popularizer af decimalsystemet .

I slutningen af ​​det 12. århundrede, på grundlag af flere klosterskoler, blev universitetet i Paris oprettet , hvor tusindvis af studerende fra hele Europa studerede; næsten samtidigt opstod Oxford og Cambridge i Storbritannien. Interessen for videnskab vokser, og en af ​​manifestationerne af dette er en ændring i talsystemet. I lang tid i Europa blev romertal brugt . I XII-XIII århundreder blev de første udlægninger af det decimale positionelle notationssystem i Europa offentliggjort (første oversættelser af al-Khwarizmi , derefter hans egne manualer), og dets anvendelse begyndte. Fra det 14. århundrede begynder indo-arabiske tal at erstatte de romerske selv på gravsten. Kun i astronomi blev seksagesimal babylonsk aritmetik brugt i lang tid.

Den første store matematiker i middelalderens Europa var i det 13. århundrede Leonardo af Pisa, kendt under kælenavnet Fibonacci . Hans hovedværk: " The Book of the Abacus " ( 1202 , anden reviderede udgave - 1228 ). Abacus Leonardo kaldte aritmetiske beregninger. Fibonacci var godt bekendt (fra arabiske oversættelser) med de gamles præstationer og systematiserede en betydelig del af dem i sin bog. Hans præsentation i fuldstændighed og dybde blev straks højere end alle antikke og islamiske prototyper, og var i lang tid uovertruffen. Denne bog havde en enorm indflydelse på spredningen af ​​matematisk viden, populariteten af ​​indiske tal og decimalsystemet i Europa.

I bøgerne "Arithmetic" og "On Given Numbers" af Jordan Nemorarius ses grundprincipperne for symbolsk algebra, foreløbig ikke adskilt fra geometri [18] .

Samtidig opfordrede Robert Grosseteste og Roger Bacon til skabelsen af ​​en eksperimentel videnskab, der ville være i stand til at beskrive naturfænomener i matematisk sprog [19] .

I det 14. århundrede dukkede universiteter op i næsten alle større lande ( Prag , Krakow , Wien , Heidelberg , Leipzig , Basel osv.).

Filosoffer fra Oxford Merton College, som levede i det 14. århundrede og var en del af en gruppe af såkaldte Oxford-regnemaskiner , udviklede en logisk-matematisk doktrin om at styrke og svække kvaliteter. En anden version af den samme doktrin blev udviklet på Sorbonne af Nicholas Oresme . Han introducerede billedet af afhængighed ved hjælp af en graf, undersøgte konvergensen af ​​serier . [20] I algebraiske værker overvejede han brøkeksponenter .

Den fremtrædende tyske matematiker og astronom i det 15. århundrede, Johann Müller, blev almindeligt kendt under navnet Regiomontanus  , det latiniserede navn på hans hjemby Königsberg [C 3] . Han udgav det første værk i Europa, der specifikt var viet til trigonometri . Sammenlignet med de arabiske kilder er der lidt nyt, men den systematiske og fuldstændige præsentation skal især bemærkes.

Luca Pacioli , den vigtigste algebraist i det 15. århundrede, ven af ​​Leonardo da Vinci , gav en klar (selv om den ikke er særlig bekvem) omrids af algebraisk symbolik.

16. århundrede

Det 16. århundrede var et vendepunkt for europæisk matematik. Efter fuldt ud at have assimileret resultaterne af sine forgængere, brød den langt foran med flere kraftige ryk [21] .

Den første store bedrift var opdagelsen af ​​en generel metode til løsning af ligninger af tredje og fjerde grad. De italienske matematikere del Ferro , Tartaglia og Ferrari løste et problem, som de bedste matematikere i verden ikke kunne løse i flere århundreder [22] . Samtidig fandt man ud af, at "umulige" rødder fra negative tal nogle gange dukkede op i løsningen . Efter at have analyseret situationen kaldte europæiske matematikere disse rødder for " imaginære tal " og udviklede regler for håndtering af dem, hvilket førte til det korrekte resultat. Sådan kom komplekse tal ind i matematik for første gang .

I 1585 udgiver flamlænderen Simon Stevin bogen " Tiende " om handlingsreglerne med decimalbrøker , hvorefter decimalsystemet vinder en endelig sejr på området for brøktal. Decimalseparatoren var endnu ikke opfundet, og for klarhedens skyld indikerede Stevin over hvert ciffer (eller efter det) dets ciffertal indesluttet i en cirkel, positivt for heltalsdelen, negativt for mantissen. Brugen af ​​et komma ved skrivning af brøker blev først stødt på i 1592. Stevin proklamerede også den fuldstændige lighed mellem rationelle og irrationelle tal , såvel som (med nogle forbehold) og negative tal [23] .

Det vigtigste skridt mod den nye matematik blev taget af franskmanden François Viet . I sin Introduction to Analytical Art , udgivet i 1591, formulerede han endelig det symbolske metasprog i aritmetisk, bogstavelig algebra [24] . Med dets udseende er muligheden for at udføre forskning af hidtil uset dybde og almenhed åbnet op. I denne bog viste Vieta eksempler på kraften i den nye metode ved at finde de berømte Vieta-formler . Symbolikken i Vieta var endnu ikke lig den, der blev vedtaget i dag, dens moderne version blev senere foreslået af Descartes [25] .

Samtidig vokser matematikkens prestige, og mange praktiske problemer, der skal løses, dukker op i overflod - inden for artilleri, navigation, byggeri, industri, hydraulik, astronomi, kartografi, optik osv. Og i modsætning til antikken, renæssancen videnskabsmænd vigede ikke tilbage fra sådanne opgaver. Faktisk var der ingen rene teoretiske matematikere. De første Videnskabsakademier dukker op. I det 16.-17. århundrede faldt universitetsvidenskabens rolle, og mange ikke-professionelle videnskabsmænd dukkede op: Stevin var militæringeniør, Viet og Fermat  var advokater, Desargues og Ren  var arkitekter, Leibniz  var embedsmand, Napier, Descartes, Pascal  var privatpersoner [26] .

1600-tallet

I det 17. århundrede fortsatte den hurtige udvikling af matematikken, og i slutningen af ​​århundredet ændrede videnskabens ansigt sig radikalt.

Den første store opdagelse i det 17. århundrede var opfindelsen af ​​logaritmer . I 1614 udgav den skotske amatørmatematiker John Napier et essay på latin med titlen "Beskrivelse af den fantastiske tabel over logaritmer" (lat. Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio). Den indeholdt en kort beskrivelse af logaritmer og deres egenskaber, samt 8-cifrede tabeller over logaritmer af sinus, cosinus og tangenter, med et trin på 1'. Udtrykket logaritme , foreslået af Napier, har etableret sig i videnskaben. Napier skitserede teorien om logaritmer i sin anden bog, "Construction of an Amazing Table of Logarithms" (lat. Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio), udgivet posthumt i 1619 af hans søn Robert. Komplekse beregninger er blevet forenklet mange gange, og matematikken har fået en ny ikke-klassisk funktion med en bred vifte af anvendelser.

Rene Descartes i afhandlingen " Geometry " (1637) korrigerede den strategiske fejltagelse af gamle matematikere og genoprettede den algebraiske forståelse af tal (i stedet for geometrisk) [27] . Desuden angav han en måde at oversætte geometriske udsagn til algebraisk sprog (ved hjælp af et koordinatsystem ), hvorefter undersøgelsen bliver meget lettere og mere effektiv. Således blev analytisk geometri født . Descartes overvejede mange eksempler, der illustrerer den nye metodes store kraft, og opnåede mange resultater, der var ukendte for de gamle. Særlig bemærkelsesværdig er den matematiske symbolik , han udviklede , som er tæt på moderne.

Den analytiske metode af Descartes blev straks vedtaget af Wallis , Fermat og mange andre fremtrædende matematikere [28] .

Pierre Fermat, Huygens og Jacob Bernoulli skabte en ny gren af ​​matematikken, som var bestemt til en stor fremtid - sandsynlighedsteorien . Jacob Bernoulli formulerede den første version af loven om store tal [29] .

Og endelig dukkede en ikke særlig klar, men dyb idé op - analysen af ​​vilkårlige glatte kurver ved at dekomponere dem i uendeligt små segmenter af lige linjer. Den første implementering af denne idé var den stort set ufuldkomne metode med udelelige ( Kepler [30] , Cavalieri [31] , Fermat [32] ), og mange nye opdagelser blev allerede gjort med dens hjælp. I slutningen af ​​det 17. århundrede blev ideen om udelelige udvidet betydeligt af Newton [33] og Leibniz [34] , og et usædvanligt kraftfuldt forskningsværktøj dukkede op - matematisk analyse . Denne matematiske retning blev den vigtigste i det næste, XVIII århundrede .

Teorien om negative tal var stadig i sin vorden. For eksempel blev en mærkelig andel aktivt diskuteret  - i den er den første term til venstre større end den anden, og til højre - omvendt, og det viser sig, at den større er lig med den mindre (" Arnauds paradoks ") [35] .

Komplekse tal blev betragtet som fiktive, reglerne for håndtering af dem blev ikke endeligt udarbejdet. Desuden var det ikke klart, om alle " imaginære tal " kunne skrives i formen a + bi , eller f.eks., når man udtrækker en bestemt rod, kunne der opstå imaginære figurer, der ikke kunne reduceres til denne form (selv Leibniz mente det). Først i det 18. århundrede fastslog d'Alembert og Euler , at komplekse tal er lukket under alle operationer, inklusive ved at tage en rod af enhver grad.

I anden halvdel af 1600-tallet udkom videnskabelige tidsskrifter, som endnu ikke var specialiserede i videnskabstyperne. London og Paris lagde grunden, men tidsskriftet Acta Eruditorum ( 1682 , Leipzig , på latin) spillede en særlig vigtig rolle. Det franske videnskabsakademi har udgivet sine memoirer siden 1699. Disse blade blev sjældent udgivet, og korrespondance var fortsat et uundværligt middel til at formidle information.

1700-tallet

Det 18. århundrede i matematik kan kort beskrives som analysens århundrede , som blev hovedobjektet for matematikernes indsats. Ved at bidrage til den hurtige udvikling af naturvidenskaberne udviklede analysen sig selv og fik flere og mere komplekse opgaver fra dem. I skæringspunktet mellem denne udveksling af ideer blev den matematiske fysik født .

Kritikken af ​​den infinitesimale metode for dens ringe gyldighed forsvandt hurtigt under presset fra den nye tilgangs triumferende succeser. I videnskaben, takket være Newton , regerede mekanikken  - alle andre interaktioner blev betragtet som sekundære, konsekvenser af mekaniske processer. Udviklingen af ​​analyse og mekanik foregik i tæt sammenvævning; Euler var den første til at udføre denne forening , som fjernede arkaiske konstruktioner fra newtonsk mekanik og bragte et analytisk grundlag til dynamikken ( 1736 ). Siden da er mekanik blevet en anvendt analysegren. Processen blev afsluttet af Lagrange , hvis "Analytical Mechanics" [36] demonstrativt ikke indeholder en eneste tegning. Samtidig blev analysen algebraisk og til sidst (startende med Euler) adskilt fra geometri og mekanik.

Den vigtigste metode til at kende naturen er kompilering og løsning af differentialligninger . Efter dynamikken i et punkt var det turen til dynamikken i et stift legeme, derefter væske og gas. Fremskridt på dette område blev i høj grad lettet af striden om strengen , hvor de førende matematikere i Europa deltog.

Newtons gravitationsteori stødte i begyndelsen på vanskeligheder med at beskrive Månens bevægelse , men værkerne af Clairaut , Euler og Laplace [37] viste tydeligt, at der ikke er andre kræfter end Newtons i himmelmekanikken .

Analysen strækker sig til et komplekst område. Analytisk fortsættelse af de fleste funktioner gav ikke problemer, og der blev fundet uventede forbindelser mellem standardfunktioner ( Eulers formel ) [38] . Der opstod vanskeligheder for den komplekse logaritme , men Euler overvandt dem med succes. Konforme kortlægninger blev introduceret , og formodningen om det unikke ved analytisk fortsættelse blev fremsat. Komplekse funktioner har endda fundet anvendelse i anvendt videnskab - hydrodynamik, teorien om oscillationer (D'Alembert, Euler).

Teorien og teknikken for integration er gået langt . Flere integraler (Euler, Lagrange) kommer i vid udstrækning, og ikke kun i kartesiske koordinater. Overfladeintegraler optræder også (Lagrange, Gauss ). Teorien om differentialligninger, både ordinære og partielle, er under intensiv udvikling. Matematikere viser enestående opfindsomhed ved at løse partielle differentialligninger og opfinde deres egne metoder til at løse hvert problem. Konceptet om et grænseværdiproblem blev dannet , og de første metoder til at løse det opstod.

I slutningen af ​​det 18. århundrede blev begyndelsen til en generel teori om potentiale lagt (Lagrange, Laplace, Legendre). For tyngdekraften blev potentialet introduceret af Lagrange ( 1773 , udtrykket blev foreslået af Green i 1828 ). Snart opdagede Laplace sammenhængen mellem potentialet og Laplace-ligningen og introducerede en vigtig klasse af ortogonale sfæriske funktioner .

En lovende variationsregning og fysiks variationsprincipper opstår (Euler, Lagrange).

Lederen af ​​matematikere i det 18. århundrede var Euler, hvis enestående talent satte sit præg på alle de store matematiske præstationer i århundredet [39] . Det var ham, der gjorde analysen til et perfekt forskningsværktøj. Euler berigede rækken af ​​funktioner betydeligt , udviklede integrationsteknikken og avancerede næsten alle matematikområder. Sammen med Maupertuis formulerede han princippet om mindste handling som den højeste og universelle naturlov.

I talteori er imaginære tal endelig legaliseret, selvom deres komplette teori endnu ikke er blevet oprettet. Algebras grundlæggende sætning er bevist (endnu ikke helt strengt) . Euler udviklede teorien om delelighed af heltal og teorien om sammenligninger (rester), afsluttet af Gauss. Euler introducerede begrebet primitiv rod , beviste dets eksistens for ethvert primtal og fandt antallet af primitive rødder, opdagede den kvadratiske lov om gensidighed . Han og Lagrange offentliggjorde den generelle teori om fortsatte fraktioner , og med deres hjælp løste de mange problemer i Diophantine-analyse. Euler fandt også, at analytiske metoder kunne anvendes på en række problemer i talteori .

Lineær algebra udvikler sig hurtigt . Den første detaljerede beskrivelse af den generelle løsning af lineære systemer blev givet i 1750 af Gabriel Cramer . Symbolisme tæt på moderne og en dyb analyse af determinanter blev givet af Alexander Theophilus Vandermonde (1735-1796). Laplace gav i 1772 en udvidelse af determinanten i mindreårige . Teorien om determinanter fandt hurtigt mange anvendelser inden for astronomi og mekanik (sekulær ligning), i løsning af algebraiske systemer, i studiet af former osv.

Nye ideer brygger i algebraen, der kulminerer allerede i det 19. århundrede med Galois- teori og abstrakte strukturer. Lagrange, i studiet af ligninger af femte grad og højere, kommer tæt på Galois teori ( 1770 ), efter at have fundet ud af, at "ligningers sande metafysik er teorien om substitutioner ."

Nye sektioner dukker op i geometrien: differentialgeometri af kurver og overflader, beskrivende geometri ( Monge ), projektiv geometri ( Lazar Carnot ).

Teorien om sandsynlighed holder op med at være eksotisk og beviser sin anvendelighed i de mest uventede områder af menneskelig aktivitet. De Moivre og Daniel Bernoulli opdager normalfordelingen . Probabilistisk fejlteori og videnskabelig statistik dukker op. Den klassiske fase i udviklingen af ​​sandsynlighedsteori blev afsluttet af Laplaces værker [40] . Imidlertid var dens anvendelser til fysik næsten fraværende (fejlteorien medregnes ikke).

Videnskabsakademier, for det meste statsejede, blev centre for matematisk forskning. Betydningen af ​​universiteter er lille (bortset fra lande, hvor der endnu ikke er nogen akademier), fysik- og matematikafdelinger mangler stadig. Hovedrollen spilles af Paris Academy . Den engelske skole adskiller sig efter Newton og sænker det videnskabelige niveau i et helt århundrede; antallet af fremtrædende matematikere i det 18. århundredes England er lille - de Moivre (fransk Huguenot-emigrant), Coates , Taylor , Maclaurin , Stirling .

Matematikere bliver professionelle, amatører forsvinder næsten fra scenen.

I slutningen af ​​1700-tallet udkom specialiserede matematiske tidsskrifter, og interessen for videnskabshistorie steg. Montuclas to-binds History of Mathematics udgives ( posthumt genoptrykt og udvidet til 4 bind). Udgivelsen af ​​populærvidenskabelig litteratur udvides.

1800-tallet

Den ubestridelige effektivitet af brugen af ​​matematik i naturvidenskaben fik videnskabsmænd til at tro, at matematik så at sige er indbygget i universet, er dets ideelle grundlag. Med andre ord er viden i matematik en del af viden om den virkelige verden. Mange videnskabsmænd fra det 17.-18. århundrede tvivlede ikke på dette. Men i det 19. århundrede blev matematikkens evolutionære udvikling forstyrret, og denne tilsyneladende urokkelige tese blev sat i tvivl.

Generelt i det 19. århundrede voksede matematikkens rolle og prestige inden for naturvidenskab og økonomi mærkbart, og dens statsstøtte voksede tilsvarende. Matematik bliver igen overvejende en universitetsvidenskab. De første matematiske samfund dukker op: London , amerikanske , franske , Moskva , såvel som samfund i Palermo og Edinburgh .

Lad os kort betragte udviklingen af ​​matematikkens hovedområder i det 19. århundrede.

Geometri

Hvis det 18. århundrede var analysens århundrede, så var det 19. århundrede par excellence geometriens århundrede . Den beskrivende geometri skabt i slutningen af ​​det 18. århundrede ( Monge [42] , Lambert ) og den genoplivede projektive geometri (Monge, Poncelet , Lazare Carnot ) udviklede sig hurtigt . Nye afsnit dukker op: vektorregning og vektoranalyse , Lobachevsky-geometri , multidimensionel Riemannsk geometri , transformationsgruppeteori . En intensiv algebraisering af geometri finder sted - gruppeteoriens metoder trænger ind i den, og algebraisk geometri opstår . I slutningen af ​​århundredet blev "kvalitativ geometri" skabt - topologi .

Differentialgeometri fik en kraftig fremdrift efter udgivelsen af ​​Gauss ' ekstremt informative værk "General Investigations on Curved Surfaces" ( 1822 ) [43] , hvor metrikken ( den første kvadratiske form ) og den tilhørende iboende geometri af overfladen først var eksplicit . defineret . Forskningen blev videreført af den parisiske skole. I 1847 udgav Frenet og Serret Frenets berømte formler for en kurves differentiale attributter [44] .

Den største bedrift var introduktionen af ​​konceptet med en vektor og et vektorfelt . I starten blev vektorer introduceret af W. Hamilton i forbindelse med deres quaternioner (som deres tredimensionelle imaginære del). Hamilton havde allerede prik- og krydsproduktet . Desuden introducerede Hamilton differentialoperatoren (" nabla ") og mange andre koncepter for vektoranalyse, herunder definitionen af ​​en vektorfunktion og tensorproduktet .

Kompaktheden og invariansen af ​​vektorsymbolikken brugt i Maxwells tidlige skrifter har interesseret fysikere; Gibbs ' Elements of Vector Analysis (1880'erne) kom snart ud, og derefter gav Heaviside ( 1903 ) vektorregning et moderne udseende.

Projektiv geometri, efter halvandet århundrede i glemsel, tiltrak igen opmærksomhed - først af Monge, derefter af hans elever - Poncelet og Lazar Carnot. Carnot formulerede "kontinuitetsprincippet", som giver dig mulighed for straks at udvide nogle af egenskaberne af den oprindelige figur til figurerne opnået fra den ved en kontinuerlig transformation (1801-1806). Noget senere definerede Poncelet klart projektiv geometri som videnskaben om figurers projektive egenskaber og gav en systematisk redegørelse for dens indhold ( 1815 ). I Poncelet er uendeligt fjerne punkter (selv imaginære) allerede fuldstændig legaliseret. Han formulerede princippet om dualitet (lige linjer og punkter på planet).

Siden slutningen af ​​1820'erne er der blevet dannet en skole af projektive geometre i Tyskland ( Möbius , Plücker , Hesse , Steiner og andre). I England blev en række værker udgivet af Cayley . Samtidig begyndte man at bruge analytiske metoder, især efter Möbius opdagelse af homogene projektive koordinater , inklusive punktet ved uendelighed. I Frankrig blev Poncelets arbejde videreført af Michel Chall .

Riemanns berømte tale ( 1854 ) "Om de hypoteser, der ligger til grund for geometri" [45] havde stor indflydelse på matematikkens udvikling . Riemann definerede det generelle begreb om en n-dimensional manifold og dens metriske som en vilkårlig positiv bestemt kvadratisk form . Riemann generaliserede yderligere teorien om Gaussiske overflader til det multidimensionelle tilfælde; i dette tilfælde optræder den berømte riemannske krumningstensor og andre begreber inden for riemannsk geometri. Eksistensen af ​​en ikke-euklidisk metrik kan ifølge Riemann enten forklares med rummets diskrethed eller ved nogle fysiske forbindelseskræfter. I slutningen af ​​århundredet afslutter G. Ricci klassisk tensoranalyse .

I anden halvdel af det 19. århundrede tiltrak Lobachevskys geometri endelig generel opmærksomhed. Det faktum, at selv klassisk geometri har et alternativ, gjorde et enormt indtryk på hele den videnskabelige verden. Det stimulerede også en revurdering af mange etablerede stereotyper inden for matematik og fysik.

Et andet vendepunkt i udviklingen af ​​geometri kom i 1872 , da Felix Klein præsenterede sit " Erlangen-program ". Han klassificerede de geometriske videnskaber i henhold til den anvendte gruppe af transformationer - rotationer, affin, projektiv, generel kontinuerlig osv. Hver gren af ​​geometri studerer invarianterne i den tilsvarende gruppe af transformationer. Klein betragtede også det vigtigste begreb isomorfisme (strukturel identitet), som han kaldte "overførsel". Således blev en ny fase i algebraiseringen af ​​geometri, den anden efter Descartes , skitseret .

I 1872-1875 udgav Camille Jordan en række artikler om den analytiske geometri af n-dimensionelle rum (kurver og overflader), og i slutningen af ​​århundredet foreslog han en generel måleteori .

I slutningen af ​​århundredet blev topologien født , først under navnet analyse situs . Topologiske metoder blev faktisk brugt i en række artikler af Euler, Gauss, Riemann, Jordan m.fl. Felix Klein beskriver emnet for den nye videnskab ganske klart i sit Erlangen-program. Kombinatorisk topologi tog endelig form i Poincarés værker (1895-1902).

Matematisk analyse

Analyse i det 19. århundrede udviklede sig gennem en hurtig, men fredelig udvikling.

Den væsentligste ændring var skabelsen af ​​analysens grundlag ( Cauchy , dengang Weierstrass ). Takket være Cauchy [46] forsvandt det mystiske begreb om det faktiske infinitesimal fra matematikken (selvom det stadig bruges i fysik). Tvivlsomme handlinger med divergerende serier blev også placeret uden for videnskaben. Cauchy byggede analysens fundament på grundlag af en teori om grænser tæt på den newtonske forståelse, og hans tilgang blev alment accepteret; analysen blev mindre algebraisk, men mere pålidelig. Ikke desto mindre, før Weierstrass' afklaringer, bestod mange fordomme stadig: for eksempel mente Cauchy, at en kontinuert funktion altid er differentierbar, og summen af ​​en række kontinuerte funktioner er kontinuert.

Teorien om analytiske funktioner af en kompleks variabel har fået den bredeste udvikling, som Laplace , Cauchy, Abel , Liouville , Jacobi , Weierstrass og andre har arbejdet på. Klassen af ​​specielle funktioner, især komplekse, er blevet betydeligt udvidet. Hovedindsatsen var rettet mod teorien om abelske funktioner, som ikke fuldt ud retfærdiggjorde de forhåbninger, der blev stillet til dem, men som alligevel bidrog til berigelsen af ​​analytiske værktøjer og skabelsen af ​​mere generelle teorier i det 20. århundrede.

Talrige anvendte problemer stimulerede aktivt teorien om differentialligninger , som voksede til en stor og frugtbar matematisk disciplin. De grundlæggende ligninger i matematisk fysik undersøges i detaljer , eksistenssætninger for løsninger bevises, og der skabes en kvalitativ teori om differentialligninger ( Poincaré ).

Ved slutningen af ​​århundredet forekommer en vis geometrisering af analyse - vektoranalyse , tensoranalyse vises , uendelig-dimensionelle funktionsrum studeres (se Banach-rum , Hilbert-rum ). Den kompakte invariante notation af differentialligninger er meget mere bekvem og tydeligere end den besværlige koordinatnotation.

Algebra og talteori

Eulers analytiske metoder hjalp med at løse mange vanskelige problemer inden for talteori ( Gauss [47] , Dirichlet og andre). Gauss gav det første fejlfrie bevis for Algebras grundlæggende sætning . Joseph Liouville beviste eksistensen af ​​et uendeligt antal transcendentale tal ( 1844 , flere detaljer i 1851 ), gav et tilstrækkeligt tegn på transcendens og konstruerede eksempler på sådanne tal som summen af ​​en række. I 1873 offentliggjorde Charles Hermite et bevis på overskridelsen af ​​Euler-tallet e , og i 1882 anvendte Lindemann en lignende metode på tallet .

W. Hamilton opdagede den fantastiske ikke-kommutative verden af ​​quaternions .

En geometrisk talteori opstod ( Minkowski ) [48] .

Evariste Galois , forud for sin tid, præsenterer en dyb analyse af løsningen af ​​ligninger af vilkårlige grader [49] . Nøglebegreberne i undersøgelsen er de algebraiske egenskaber af permutationsgruppen og udvidelsesfelter forbundet med ligningen . Galois afsluttede Abels arbejde , som beviste, at ligninger af grad over 4. er uløselige i radikaler .

Da Galois' ideer blev assimileret, udviklede den generelle algebra sig hurtigt fra anden halvdel af århundredet . Joseph Liouville udgiver og kommenterer Galois' arbejde. I 1850'erne introducerede Cayley begrebet en abstrakt gruppe . Udtrykket "gruppe" bliver generelt accepteret og trænger ind i næsten alle områder af matematikken, og i det 20. århundrede - i fysik og krystallografi.

Begrebet lineært rum er ved at blive dannet ( Grassmann og Cayley , 1843-1844 ) . I 1858 udgav Cayley en generel teori om matricer , definerede operationer på dem og introducerede begrebet et karakteristisk polynomium . I 1870 var alle de grundlæggende sætninger i lineær algebra blevet bevist , inklusive reduktionen til Jordans normalform .

I 1871 introducerede Dedekind begreberne ring , modul og ideal . Han og Kronecker skaber en generel teori om delelighed .

I slutningen af ​​det 19. århundrede går Lie-grupper ind i matematik .

Sandsynlighedsteori

Teorien om fejl, statistik og fysiske anvendelser kommer først. Dette blev gjort af Gauss , Poisson , Cauchy . Betydningen af ​​normalfordelingen som den begrænsende fordeling blev afsløret i mange virkelige situationer.

I alle udviklede lande er der statistiske afdelinger/samfund. Takket være Karl Pearsons arbejde opstår matematisk statistik med hypotesetestning og parameterestimering.

Ikke desto mindre var det matematiske grundlag for sandsynlighedsteori endnu ikke blevet skabt i det 19. århundrede, og Hilbert tilskrev i begyndelsen af ​​det 20. århundrede denne disciplin til anvendt fysik [50] .

Matematisk logik

Efter fiaskoen i Leibniz' "Universal Characterization"-projekt gik der halvandet århundrede, før forsøget på at skabe en algebra af logik blev gentaget. Men det blev gentaget på et nyt grundlag: begrebet sandhedsmængden gjorde det muligt at konstruere matematisk logik som en klasseteori med mængdeteoretiske operationer. Pionererne var de britiske matematikere Augustus (Augustus) de Morgan og George Boole .

I værket "Formal Logic" ( 1847 ) beskrev de Morgan begrebet universet og symboler for logiske operatorer, nedskrev de velkendte " de Morgans love ". Senere introducerede han det generelle begreb om en matematisk relation og operationer på relationer.

George Boole udviklede selvstændigt sin egen, mere succesfulde version af teorien. I sine værker fra 1847-1854 lagde han grundlaget for moderne matematisk logik og beskrev logikkens algebra ( boolsk algebra ). De første logiske ligninger dukkede op, begrebet bestanddele (nedbrydninger af en logisk formel) blev introduceret.

William Stanley Jevons fortsatte Booles system og byggede endda en "logisk maskine", der var i stand til at løse logiske problemer [51] . I 1877 formulerede Ernest Schroeder det logiske princip om dualitet. Dernæst byggede Gottlob Frege en propositionsregning . Charles Peirce i slutningen af ​​det 19. århundrede skitserede en generel teori om relationer og propositionelle funktioner , og introducerede også kvantifiers . Den moderne version af symbolikken blev foreslået af Peano . Derefter var alt klar til udvikling af bevisteori i Hilberts skole .

Begrundelse for matematik

I begyndelsen af ​​det 19. århundrede var det kun den euklidiske geometri, der havde en relativt streng logisk (deduktiv) begrundelse, selvom dens stringens med rette blev anset for utilstrækkelig. Egenskaberne for nye objekter (f.eks. komplekse tal , infinitesimals osv.) blev simpelthen anset for at være stort set de samme som dem, der allerede kendte objekter; hvis en sådan ekstrapolering var umulig, blev egenskaberne udvalgt empirisk.

Opbygningen af ​​grundlaget for matematik begyndte med analyse. I 1821 udgav Cauchy Algebraic Analysis, hvor han klart definerede de grundlæggende begreber ud fra begrebet grænsen. Ikke desto mindre begik han en række fejl, for eksempel integrerede han og differentierede serier efter udtryk uden at bevise, at sådanne operationer var tilladte. Grundlaget for analysen blev afsluttet af Weierstrass , som præciserede rollen af ​​det vigtige koncept om ensartet kontinuitet . Samtidig gav Weierstrass (1860'erne) og Dedekind (1870'erne) en begrundelse for teorien om reelle tal .

1837 : William Hamilton bygger en model af komplekse tal som par af reelle tal.

I 1870'erne blev ikke-euklidiske geometrier legaliseret . Deres modeller baseret på det euklidiske rum viste sig at være lige så konsistente som Euklids geometri.

1879 : Frege udgiver systemet af matematisk logiks aksiomer .

1888 : Dedekind foreslår en oversigt over et system af aksiomer for de naturlige tal. Et år senere foreslog Peano et komplet system af aksiomer .

1899 : Hilbert 's Foundations of Geometry udgives .

Som et resultat, i slutningen af ​​århundredet, blev næsten al matematik bygget på grundlag af streng aksiomatik. Konsistensen af ​​matematikkens hovedgrene (undtagen aritmetik) er blevet strengt bevist (mere præcist reduceret til aritmetikkens konsistens). Det aksiomatiske grundlag for sandsynlighedsteori og mængdeteori dukkede op senere, i det 20. århundrede.

Sætteori og antinomier

I 1873 introducerede Georg Cantor begrebet et vilkårligt talsæt, og derefter det generelle begreb om et sæt  , det mest abstrakte begreb i matematik. Ved hjælp af en-til-en-kortlægninger introducerede han begrebet ækvivalens af mængder, definerede derefter sammenligningen af ​​kardinaliteter for mere eller mindre, og til sidst klassificerede mængder i henhold til deres kardinalitet: finit, tællig , kontinuerlig , osv.

Kantor betragtede magthierarkiet som en fortsættelse af hierarkiet (rækkefølgen) af heltal ( transfinite tal ). Således blev den faktiske uendelighed introduceret i matematikken, et  begreb som tidligere matematikere omhyggeligt undgik.

Til at begynde med mødte mængdeteorien en velvillig modtagelse fra mange matematikere. Det hjalp med at generalisere jordansk måleteori , blev brugt med succes i teorien om Lebesgue-integralet og blev af mange set som grundlaget for den fremtidige aksiomatik i al matematik. Imidlertid viste efterfølgende begivenheder, at den sædvanlige logik ikke er egnet til studiet af uendeligheden, og intuition hjælper ikke altid med at træffe det rigtige valg.

Den første modsigelse kom til syne, når man betragtede det største sæt, sættet af alle sæt ( 1895 ). Det måtte udelukkes fra matematik som uacceptabelt. Andre modsætninger (antinomier) dukkede dog også op.

Henri Poincare , som først accepterede mængdeteori og endda brugte den i sin forskning, afviste den senere kraftigt og kaldte den "en alvorlig sygdom i matematikken". Imidlertid kom en anden gruppe matematikere, herunder Bertrand Russell , Hilbert og Hadamard , ud til forsvar for "Kantorismen" [52] .

Situationen blev forværret af opdagelsen af ​​" valgaksiomet " ( 1904 , Zermelo ), som det viser sig, blev ubevidst anvendt i mange matematiske beviser (for eksempel i teorien om reelle tal). Dette aksiom erklærer, at der eksisterer et sæt, hvis sammensætning er ukendt, og en række matematikere anså denne omstændighed for fuldstændig uacceptabel, især da nogle konsekvenser af valgaksiomet var i modstrid med intuitionen ( Banach-Tarski-paradokset osv.).

I begyndelsen af ​​det 20. århundrede var det muligt at blive enige om en variant af mængdelære fri for tidligere opdagede modsætninger ( klasselære ), således at de fleste matematikere accepterede mængdelære. Men den tidligere enhed af matematik er ikke mere, nogle videnskabelige skoler begyndte at udvikle alternative synspunkter om berettigelsen af ​​matematik [53] .

20. århundrede

Matematikfagets prestige er blevet mærkbart højere i det 20. århundrede. Matematik har udviklet sig eksponentielt, og det er umuligt at liste de opdagelser, der er gjort, på nogen fuldstændig måde, men nogle af de mest betydningsfulde resultater er nævnt nedenfor.

Ny rutevejledning

I det 20. århundrede har matematikkens ansigt ændret sig markant [54] .

  1. Både faget matematik og omfanget af dets anvendelse er blevet betydeligt udvidet. Nye sektioner dukkede op, uventede forbindelser mellem sektioner blev opdaget (for eksempel mellem talteori og sandsynlighedsteori [55] ).
  2. Nye generaliserende begreber er dukket op, matematikken er steget til et højere abstraktionsniveau, og fra denne højde bliver den matematiske videnskabs enhed tydeligere. En særlig rolle i dette blev spillet af oversættelsen af ​​grundlaget for næsten alle dele af matematikken til det set-teoretiske grundlag. Geometri overvejer allerede de mest abstrakte rum, algebra har abstraheret fra numerisk aritmetik og tillader operationer med de mest usædvanlige egenskaber.
  3. Der blev foretaget en dyb analyse af matematikkens grundlag og den matematiske logiks muligheder i forhold til beviserne for matematiske udsagn.

I 1900 præsenterede David Hilbert en liste over 23 uløste matematiske problemer på den anden internationale kongres for matematikere . Disse problemer dækkede mange områder af matematikken og dannede fokus for matematikernes indsats i det 20. århundrede. I dag er ti spørgsmål på listen blevet løst, syv er delvist løst, og to spørgsmål er stadig åbne. De resterende fire er for generaliserede til, at det giver mening at tale om deres løsning.

Nye områder inden for matematik fik en særlig udvikling i det 20. århundrede; ud over computerbehov skyldes dette i høj grad kravene fra kontrolteori , kvantefysik og andre anvendte discipliner.

Mange "gamle" områder inden for matematik udviklede sig også hurtigt.

Matematisk logik og matematikkens grundlag

I 1931 offentliggjorde Kurt Gödel to af sine ufuldstændighedssætninger , som etablerede begrænsningerne for matematisk logik . Dette satte en stopper for David Hilberts plan om at skabe et komplet og konsistent system af matematikkens grundlag. Noget tidligere, i undersøgelserne af Löwenheim og Skolem i 1915-1920 ( Løwenheim-Skolem-sætningen ), blev en anden nedslående kendsgerning opdaget: intet aksiomatisk system kan være kategorisk . Med andre ord, uanset hvor omhyggeligt et system af aksiomer er formuleret, vil der altid være en fortolkning, der er helt anderledes end den, som dette system er designet til. Denne omstændighed underminerer også troen på universaliteten af ​​den aksiomatiske tilgang.

Ikke desto mindre anerkendes formel aksiomatik som nødvendig for at klarlægge de grundlæggende principper, som grene af matematikken er baseret på. Derudover er aksiomatisering med til at identificere ikke-oplagte sammenhænge mellem forskellige dele af matematikken og bidrager dermed til deres ensretning [56] .

Kapitalresultater opnås i teorien om algoritmer . Det er blevet bevist, at et teorem kan være korrekt, men algoritmisk vanskeligt at behandle (mere præcist er der ingen løsningsprocedure, Church , 1936 ).

I 1933 afsluttede Andrey Kolmogorov den (nu almindeligt accepterede) aksiomatik af sandsynlighedsteori .

I 1963 beviste Paul Cohen , at Cantors kontinuumhypotese ikke kan bevises (i den sædvanlige aksiomatik af mængdeteori ).

Algebra og talteori

I begyndelsen af ​​århundredet afsluttede Emmy Noether og Van der Waerden konstruktionen af ​​grundlaget for algebraen , hvis strukturer ( grupper , felter , ringe , lineære rum osv.) nu gennemsyrer hele matematikken. Gruppeteori kom hurtigt ind i fysik og krystallografi med stor succes . En anden vigtig opdagelse i begyndelsen af ​​århundredet var skabelsen og udviklingen af ​​den frugtbare teori om p-adiske tal .

I 1910'erne formulerede Ramanujan mere end 3.000 sætninger, inklusive egenskaber ved talopdelingsfunktionen og dens asymptotiske estimater . Han opnåede også vigtige resultater i studiet af gamma-funktionen , modulære former , divergerende serier , hypergeometriske serier og teorien om primtal .

Andrew Wiles beviste Fermats sidste teorem i 1995 , hvilket lukkede et århundreder gammelt problem.

Matematisk analyse og matematisk fysik

I begyndelsen af ​​det 20. århundrede generaliserede Lebesgue og Borel Jordan-målteorien; på grundlag heraf blev Lebesgue-integralet bygget . Funktionel analyse dukkede op i Hilberts skole og fandt snart direkte anvendelse i kvantefysik .

I 1960'erne udgav Abraham Robinson en udlægning af ikke-standardanalyse  , en alternativ tilgang til at retfærdiggøre calculus på grundlag af faktiske infinitesimals .

Teorien om multidimensionelle manifolder er ved at blive intensivt udviklet , stimuleret af fysikkens behov ( GR , strengteori osv.).

Geometri og topologi

Generel topologi udvikler sig hurtigt og finder anvendelse på forskellige områder af matematikken. De fraktaler , der blev opdaget af Benoit Mandelbrot ( 1975 ) vakte stor interesse .

Hermann Minkowski udviklede i 1907 en geometrisk model af kinematik af speciel relativitet , som senere tjente som grundlag for den generelle relativitetsteori (GR). Begge disse teorier tjente som en stimulans for den hurtige udvikling af den multidimensionelle differentialgeometri af vilkårlige glatte manifolds  - især riemannske og pseudo-riemannske .

Diskret og computermatematik

I anden halvdel af det 20. århundrede skete der på grund af computernes fremkomst en betydelig nyorientering af matematiske bestræbelser. Rollen af ​​sektioner som numeriske metoder , optimeringsteori , kommunikation med meget store databaser , kunstig intelligensimitation , lyd- og videodatakodning osv. er vokset betydeligt. Nye videnskaber er opstået - kybernetik , datalogi , mønstergenkendelse , teoretisk programmering, automatisk oversættelsesteori , computermodellering, kompakt kodning af lyd- og videoinformation mv.

En række gamle problemer er blevet løst ved hjælp af computerkorrektur [57] . Wolfgang Haken og Kenneth Apel løste firefarveproblemet ved hjælp af en computer ( 1976 ).

21. århundrede

I 2000 udarbejdede Clay Mathematical Institute en liste over de syv vigtigste matematiske problemer "vigtige klassiske problemer, der ikke er blevet løst i mange år." I 2003 blev en af ​​årtusindets opgaver - Poincaré-hypotesen løst af Grigory Perelman .

I det 21. århundrede har de fleste matematiske tidsskrifter onlineversioner, og nogle tidsskrifter udgives kun på internettet. Der er et voksende fremstød for publicering med åben adgang, først populært af arXiv . Populariteten af ​​distribueret computing vokser , hvilket giver forskere mulighed for at bruge den enorme computerkraft fra personlige computere fra hele verden til numerisk at teste forskellige matematiske hypoteser, for eksempel leder PrimeGrid-projektet efter primtal af en særlig art. Derudover er computerværktøjernes muligheder stigende, for menneske-maskine-beviser og til automatisk verifikation af beviser, for eksempel i 2014 blev beviset for Kepler-hypotesen verificeret ved hjælp af et computersystem.

Se også

Noter

Kommentarer
  1. ↑ "Ifølge de fleste meninger blev geometri først opdaget i Egypten og opstod fra måling af områder" // Proclus Diadochus. I primum Euclidis Elementorum commentarii. - Leipzig, 1873. - S. 64.
  2. ↑ "... de såkaldte pythagoræere, efter at have taget matematik op, var de første til at udvikle den og, efter at have mestret det, begyndte de at betragte det som begyndelsen på alt, hvad der eksisterer ... det forekom dem, at alt andet var klart sammenlignes med tal i naturen, og at tal er de første i hele naturen, så antog de, at tallenes elementer er elementerne i alt, hvad der eksisterer, og at hele himlen er harmoni og tal” // Aristoteles. Metafysik, kapitel fem. - M. - L. , 1934. - S. 26-27.
  3. ↑ Dette refererer ikke til det nuværende Kaliningrad, men til Königsberg i Bayern .
Kilder
  1. ↑ Kline M. Matematik. Tab af sikkerhed, 1984 , s. 44-47.
  2. ↑ Young V. N. Essays om matematikkens begrundelse. - M . : Uchpedgiz, 1958. - S. 7.
  3. ↑ Wigner EP The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences  // Communications on Pure and Applied Mathematics. - 1960. - Nr. 13 . - S. 1-14 . Se den russiske oversættelse i bogen Etudes on Symmetry . - M . : Mir, 1971. eller i UFN for marts 1968 Arkiveksemplar af 23. marts 2012 på Wayback Machine .
  4. ↑ Kline M. Matematik. Tab af sikkerhed, 1984 , s. 323-407.
  5. ↑ Irland K., Rosen M. En klassisk introduktion til moderne talteori. - Moskva: Mir, 1987. - S. 53. - 428 s.
  6. ↑ Frolov B. A. Tal i den palæolitiske grafik. - Novosibirsk: Nauka, 1974. - 240 s.
  7. ↑ 1 2 Matematikkens historie, 1970-1972 , bind I, s. 12-13.
  8. ↑ Mach E. Erkendelse og vrangforestilling // Albert Einstein og tyngdekraftsteorien. - M . : Mir, 1979. - S. 74 (fodnote). — 592 s. : "før talbegrebet opstår, skal der være en oplevelse af, at genstande af samme værdi i en vis forstand eksisterer multiple og ufravigelige ."
  9. ↑ Andronov, 1959 , s. 40-54.
  10. ↑ Andronov, 1959 , s. 60-77.
  11. ↑ Andronov, 1959 , s. 77-94.
  12. ↑ History of Mathematics, 1970-1972 , bind I, s. fjorten.
  13. ↑ History of Mathematics, 1970-1972 , bind I, s. 21-33.
  14. ↑ History of Mathematics, 1970-1972 , bind I, s. 30-32.
  15. ↑ History of Mathematics, 1970-1972 , bind I, s. 158.
  16. ↑ Naturvidenskabelig viden om det gamle Rusland (XI-XV århundreder) . www.portal-slovo.ru. Hentet 19. maj 2019. Arkiveret fra originalen 24. september 2020.
  17. ↑ Sofya Kovalevskaya: verdens første kvindelige professor i matematik  // www.rosimperija.info. Arkiveret 18. maj 2019.
  18. ↑ Nemorary. Om disse tal / Pr. og ca. S. N. Schrader. Ed. I. N. Veselovsky // Historisk og matematisk forskning. - 1959. - T. XII . - S. 559-678 .
  19. ↑ Zubov V.P. Fra middelalderens atomismes historie // Proceedings of the Institute of the History of Natural Science. - 1947. - T. I. - S. 293 .
  20. ↑ Orem N. Afhandling om kvaliteternes konfiguration // Historisk og matematisk forskning / Pr. V.P. Zubova . - M. , 1958. - Udgave. 11 . - S. 601-732 .
  21. ↑ Alexandrov A.D. Matematik, dens indhold, metoder og betydning (i tre bind). - Videnskabsakademiet i USSR, 1956. - T. 1. - S. 39-40. — 296 s.
  22. ↑ Gindikin S. G. Historier om fysikere og matematikere . - M . : Nauka, 1982. - (Bibl. "Quantum", udgave 14).
  23. ↑ History of Mathematics, 1970-1972 , bind I, s. 304-305.
  24. ↑ Fr. Viete . Introduktion a l'art analytique. Bollettino di bibliografia e storia delle scienze matematiche e phisiche, v. I, 1868.
  25. ↑ Descartes R. Geometry Arkiveksemplar dateret 13. november 2007 på Wayback Machine // Diskurs om metoden, med applikationer / Oversat, artikler og kommentarer af G. G. Slyusarev og A. P. Yushkevich. M.-L.: Udg. USSR Academy of Sciences, 1953.
  26. ↑ History of Mathematics, 1970-1972 , bind II, s. 21.
  27. ↑ Yushkevich A.P. Descartes og matematik. // R. Descartes. Geometri. M.-L.: 1938. S. 255-294.
  28. ↑ Descartes R. Geometri. Med anvendelse af udvalgte værker af P. Fermat og korrespondance af Descartes / Oversat, noter og artikel af A. P. Yushkevich. M.-L.: 1938.
  29. ↑ Bernoulli J. Om loven om store tal / Pr. Ja. V. Uspensky. Forord af A. A. Markov. Moskva: Nauka, 1986.
  30. ↑ I. Kepler. Ny stereometri af vintønder Arkiveret 8. februar 2013 på Wayback Machine / Pr. og forord af G. N. Sveshnikov. Indledende artikel af M. Ya. Vygodsky. M.-L.: GTTI, 1935. S. 109.
  31. ↑ Cavalieri B. Geometry, udtalt på en ny måde ved hjælp af kontinuerlige udelelige, med anvendelse af "Eksperiment IV" om anvendelse af udelelige til algebraiske potenser / Oversættelse, indledende artikel og kommentarer af S. Ya. Lurie. M.-L.: 1940.
  32. ↑ Fermat P. Introduktion til studiet af flade og rumlige steder. Om maksimum og minimum. Uddrag fra korrespondance med Descartes // R. Descartes. Geometri. M.-L.: 1938. S. 137-196.
  33. ↑ I. Newton. Matematiske værker / Oversættelse, artikler og kommentarer af D. D. Mordukhai-Boltovsky. M.-L.: 1937.
  34. ↑ Leibniz G. V. Udvalgte passager fra matematiske værker / Samlet og oversat af A. P. Yushkevich. - Held og lykke, Math. Videnskaber, 1948. T. III. V. I (23). s. 165-204.
  35. ↑ Antoine Arnault . Ny begyndelse af geometri ( fransk  Nouveaux elements de geometrie ), Paris, 1667.
  36. ↑ J. Lagrange. Analytical mechanics, bind I, II Arkiveksemplar af 1. august 2008 på Wayback Machine / Pr. V. S. Gokhman, red. L. G. Loitsyansky og A. I. Lurie. M.-L.: 1950.
  37. ↑ Laplace P. S. Udtalelse af verdens system. - L .: Nauka, 1982. 376 s.
  38. ↑ L. Euler. Introduktion til analyse af uendelig. Vol . I Arkiveret 1. maj 2013 på Wayback Machine / Pr. E. L. Patsanovsky, artikel af A. Speiser, red. I. B. Pogrebyssky. S. 109.
  39. ↑ Kotek V. V. Leonhard Euler. M.: Uchpedgiz, 1961
  40. ↑ Laplace P. Erfaring med sandsynlighedsteoriens filosofi / Pr. AIB; udg. A.K. Vlasova. M.: 1908.
  41. ↑ Panov V.F. Gammel og ung matematik. - Ed. 2., rettet. - M . : MSTU im. Bauman , 2006. - S. 477. - 648 s. — ISBN 5-7038-2890-2 .
  42. ↑ G. Monge. Beskrivende geometri / Pr. V. F. Gaze, redigeret af D. I. Kargip. M.: 1947.
  43. ↑ Gauss K. F. Generel forskning om buede overflader Arkiveret 5. marts 2014 på Wayback Machine // Foundations of Geometry. M.: GITTL, 1956.
  44. ↑ Stroyk D. Essay om differentialgeometriens historie. M.; L.: Gostekhizdat, 1941.
  45. ↑ Riemann B. Works Arkiveret 1. maj 2013 på Wayback Machine M.-L.: OGIZ. GITTL, 1948.
  46. ↑ O. L. Cauchy. Algebraisk analyse / Pr. F. Ewald, V. Grigoriev, A. Ilyin. Leipzig: 1864. S. VI.
  47. ↑ K. F. Gauss Proceedings in number theory Arkivkopi af 14. september 2011 på Wayback Machine / Pr. B. B. Demyanova, generel udg. I. M. Vinogradov, kommentarer af B. N. Delaunay. M.: Publishing House of the Academy of Sciences of the USSR, 1959.
  48. ↑ Cassels J. Introduktion til tallenes geometri M.: Mir, 1965.
  49. ↑ Galois E. Works. M.-L.: ONTI, 1936.
  50. ↑ Hilbert Issues Arkiveret 1. juni 2013 på Wayback Machine / Ed. P. S. Alexandrova. M.: "Nauka", 1969. S. 34.
  51. ↑ Jevons S. Fundamentals of Science. Sankt Petersborg: 1881.
  52. ↑ Kline M. Matematik. Tab af sikkerhed, 1984 , s. 228-250.
  53. ↑ Kline M. Matematik. Tab af sikkerhed, 1984 , s. 251-299.
  54. ↑ Alexandrov A.D. Matematik, dens indhold, metoder og betydning (i tre bind). - Videnskabsakademiet i USSR, 1956. - T. 1. - S. 59-60. — 296 s.
  55. ↑ Postnikov A. G. Sandsynlighedsteori for tal. - M . : Viden, 1974. - 64 s. - (Ny i livet, videnskab).
  56. ↑ Weil G. Et halvt århundrede af matematik, 1969 , s. 7-8.
  57. ↑ Graham, Ronald. Matematik og computere: problemer og udsigter // Kvant . - 2016. - Nr. 3 . - S. 2-9.

Litteratur

hele den historiske periode Oldtidshistorie Ny tid, XVI-XVIII århundreder XIX-XX århundreder

Links

 Matematikkens historie
Lande og epoker
Tematiske
afsnit
se også