Analytisk fortsættelse

En analytisk fortsættelse i kompleks analyse er en analytisk funktion , der falder sammen med en given funktion i dets oprindelige domæne C og er defineret i domænet D , der indeholder C , som er en analytisk fortsættelse af funktionen . Analytisk fortsættelse er altid unik . $f$ $f$

Konceptet blev introduceret af Karl Weierstrass i 1842 , han udviklede også den tilsvarende teknik til at konstruere sådanne udvidelser.

Et særligt tilfælde for holomorfe funktioner er holomorf forlængelse .

Definition

Unikhed

Under alle omstændigheder eksisterer en analytisk fortsættelse ikke, men den er altid unik : to analytiske funktioner, der udvides fra den samme funktion, falder altid sammen. For holomorfe funktioner (et særligt tilfælde af analytiske funktioner) kan unikhed udledes af følgende kendsgerning: hvis en funktion f er identisk lig nul , så er enhver af dens udvidelser nul overalt. Da holomorfe funktioner danner et lineært rum , er dette tilstrækkeligt for det unikke ved den holomorfe forlængelse.

Måder at bygge på

Elementære metoder

For de mest elementære funktioner, såsom potensfunktionen og den eksponentielle , er analytisk fortsættelse næsten ligetil. Dette skyldes det faktum, at analytisk fortsættelse i sådanne tilfælde udføres fra et sæt af en meget specifik type, som er den rigtige linje - dette sæt har ikke komplekse indre punkter .

Til mere komplekse sager bruges mere kunstige metoder. Overvej for eksempel nogle Taylor -serier, der konvergerer i en cirkel , hvor er konvergensradius for denne serie. Ifølge en af de ækvivalente definitioner opnås således funktionen analytisk i cirklen . Hvad betyder det? Dette betyder ikke, at den resulterende funktion på noget tidspunkt udenfor ikke længere vil være analytisk, dette er i øjeblikket ukendt, det betyder blot, at der er et punkt , så serien divergerer på dette tidspunkt. Du kan dog vælge et bestemt punkt - da funktionen på dette tidspunkt er analytisk, kan den udvides til en serie, der konvergerer i en bestemt cirkel . Hvis relationen er opfyldt for den nye konvergensradius , så vil der allerede være punkter, der hører til, men ikke til , og heraf vil det i kraft af entydighedssætningen følge, at funktionen, som i første omgang kun er defineret i , udvides til at noget større sæt, nemlig at . Hvis dette ikke er muligt, så vil cirklen være den naturlige grænse for den analytiske fortsættelse. $\Delta _{a}=\{z\colon |za|<\rho \}$ $\rho$ $\Delta _{a}$ $f(z)$ $\Delta _{a}$ $z_{0}\colon |z_{0}-a|=\rho$ $b\in \Delta _{a}$ $f(z)$ $\Delta _{b}=\{z\colon |zb|<\theta \}$ $\theta$ $\theta >\rho -|ab|$ $\Delta _{b}$ $\Delta _{a}$ $\Delta _{a}$ $\Delta _{a}\kop \Delta _{b}$ $\partial \Delta _{a}$

For mange specialfunktioner udføres analytisk fortsættelse ved hjælp af en funktionel ligning. Der tages et område, hvor løsningen af denne ligning åbenlyst er analytisk, og resultaterne overføres til et større område. Grundlæggende er fortsættelser af realanalysens specielle funktioner konstrueret på denne måde - for eksempel gammafunktionen og Riemann zetafunktionen .

Analytisk fortsættelse langs en kæde af domæner

For at konstruere analytiske fortsættelser i ikke-trivielle tilfælde bruges begrebet et analytisk element .

Elementer og kaldes analytisk fortsættelse af hinanden gennem en kæde af domæner, hvis der er en sekvens af elementer, og følgende tre betingelser er opfyldt: $P=(G,f)$ $Q=(H,g)$ $\{\Delta \}_{1}^{n}$ $P_{k}=(G_{k},f_{k}),\,k=0,1,\dots ,n$

$P_{0}=P,\,P_{n}=Q$ ;
For vilkårlige successive domæner fra kæden er deres skæringspunkt ikke-tomt og er dens definitive forbundne komponent; $D_{k}\cap D_{{k+1}}$ $\Delta _{k}$
Elementet er en analytisk fortsættelse gennem sættet . $P_{{k+1}}$ $P_{k}$ $\Delta _{k}$

En kim kan betragtes som et analytisk element, der består af en cirkel af konvergens og en egentlig analytisk funktion, summen af en række. Elementer af denne type har deres eget navn - kanoniske elementer og er betegnet som , hvor er seriens konvergenscirkel og er dens sum. Centrum af konvergenscirklen for den serie, der definerer den, kaldes midten af et kanonisk element. $(K,f)$ $K$ $f$

Analytisk fortsættelse langs en sti

For at konstruere en analytisk fortsættelse på vejen til udviklingen af teknikken til "diskret" konstruktion med hensyn til en kæde af domæner, er det nødvendigt at lave en overgang, i en forstand svarende til overgangen fra en sekvens til en funktion.

Vi betragter et kanonisk element centreret i et punkt og en eller anden kontinuerlig Jordan-kurve ( ) med egenskaben . $P_{0}=(K_{0},f_{0})$ $z=z_{0}$ $\varphi (t)\colon [0;1]\to {\mathbb C}$ $\Gamma =\varphi([0;1])$ $z_{0}=\varphi(0)$

Antag, at der er en familie af kanoniske elementer med ikke-nul konvergensradier sådan, at der er centrum af elementet, og for en vilkårlig eksisterer der et sådant kvarter (forstået i betydningen kvarterer på den reelle linje), der opfylder betingelsen ; så, hvis elementet for nogen er en umiddelbar fortsættelse af elementet , så anses elementet således for at være analytisk videreført langs stien . $\{P_{t}\}_{{t\in [0;1]}}$ $\varphi (t)$ $P_{t}$ $t_{0}\i [0;1]$ ${{\mathcal U}}_{{t_{0}}}\subset [0;1]$ $\varphi ({{\mathcal U}}_{{t_{0}}})\undersæt K_{{t_{0}}}$ $t\i {{\mathcal U}}_{{t_{0}}}$ $P_{t}$ $P_{{t_{0}}}}$ $P_0$ $\Gamma$

Familien af regioner kan vælges vilkårligt, da det kan bevises, at resultatet af analytisk fortsættelse ikke afhænger af valget af familie af regioner.

En ret interessant egenskab har også en funktion - radius af konvergenscirklen . For familien nævnt i definitionen af fortsættelse ad en sti vil funktionen være kontinuerlig i betydningen reel analyse på . $R(t)\kolon [0;1]\til (0;+\infty )$ $K_{{t}}.$ $R(t)$ $[0;1]$

Lad os antage, at det kanoniske element er opnået fra elementet ved analytisk fortsættelse ad en eller anden vej gennem den mellemliggende familie af elementer . Så, hvis vi vælger en stigende sekvens af elementer i segmentet , hvor cirklerne og vil skære hinanden, så vil elementet være en analytisk fortsættelse af elementet gennem kæden af regioner . $Q$ $P$ $\varphi (t)\colon [0;1]\to {\mathbb C}$ $\{P_{t}\}_{{t\in [0;1]}}$ $0,t_{1},t_{2},\dots ,t_{n},1$ $[0;1]$ $K_k$ $K_{{k+1}}$ $Q=P_{1}$ $P=P_{0}$ $K_{{t_{1}}},K_{{t_{2}}},\dots ,K_{{t_{n}}}$

Et af de mest interessante resultater vil være teoremet om homotopi-invariansen af analytisk fortsættelse og dens konsekvens, monodromi-sætningen .

Fuld analytisk funktion

Efter at have udviklet apparatet til analytisk fortsættelse langs stier, er det nu muligt at gå fra den oprindelige analytiske funktion gennem analytiske og kanoniske elementer til et mere generelt koncept - den komplette analytiske funktion . Dette udtryk vil betegne sættet af alle kanoniske elementer opnået fra ethvert indledende element ved metoden med analytisk fortsættelse med hensyn til alle mulige Jordan-kurver, der tillader en sådan forlængelse og stammer fra punktet - midten af elementet . $P$ $z_{0}$ $P$

Den interne struktur af et så meget abstrakt begreb tydeliggøres af Poincaré-Volterra-sætningen , som siger, at på hvert punkt i dets definitionsdomæne kan en komplet analytisk funktion højst have et tælleligt sæt af elementer centreret på dette punkt.

Betydningen af begrebet en komplet analytisk funktion ligger i det faktum, at det giver mulighed for at studere begrebet et enkelt punkt fra et mere generelt synspunkt . Nemlig de entalspunkter for en komplet analytisk funktion er simpelthen punkterne på grænsen for dens definitionsdomæne. Afhængigt af opførselen af funktionen i nærheden af disse punkter bestemmes deres karakter.

Overvej nogle enestående pointer for en komplet analytisk funktion og noget af dets punkterede kvarter , som hører til definitionsdomænet . Vi vælger en lukket Jordan-kurve . Hvis analytisk fortsættelse langs en kurve resulterer i det samme element, så kaldes punktet et enkeltværdieret singulærpunkt og fortolkes blot som et isoleret singulærpunkt ; hvis resultatet af analytisk fortsættelse allerede er et andet element, kaldes punktet singular point of a multi-valued character , eller branch point . $z_{0}$ $\mathbf {f}$ ${\dot {{\mathcal U}}}_{{z_{0}}}$ $\mathbf {f}$ $\Gamma \subset {\dot {{\mathcal U}}}_{{z_{0}}}$ $\Gamma$

Hadamards sætning

Til power-serier

f(z)=\sum_{k=0}^\infty \alpha_k (z-z_0)^k

for hvilke næsten alle koefficienter er lig med nul i den forstand, at rækkefølgen af tal af ikke-nul koefficienter opfylder $k(i)$

\lim_{i\to\infty} \frac{k(i+1)}{k(i)} > 1 + \delta \,

for nogle faste δ > 0 er cirklen med centrum z 0 og radius lig med konvergensradius en naturlig grænse - den analytiske fortsættelse af funktionen defineret af en sådan række er umulig uden for cirklen.

Generaliseringer og relaterede begreber

Analytisk fortsættelse kan overvejes på domæner ikke kun i det komplekse plan, men også på Riemann-overflader , og mere generelt på komplekse manifolder : D skal være en kompleks manifold og C en delmængde af den. Hvis C er et domæne i D og for et hvilket som helst domæne C′ : C ⊂ C′ ⊂ D' eksisterer der en funktion, der er holomorf på C , men ikke kan udvides til C′ , så kaldes C et holomorft domæne . I det komplekse-en-dimensionelle tilfælde er hvert domæne et domæne af holomorfi; i det multidimensionelle tilfælde er dette ikke tilfældet.

Man kan også overveje analytisk fortsættelse fra mængder C , der ikke er regioner, for eksempel fra den reelle linje . I dette tilfælde er funktionen f oprindeligt defineret på et eller andet (funktionsafhængigt) åbent sæt, der indeholder C .

Se også

Litteratur

Evgrafov M. A. Analytiske funktioner. - 2. udg., revideret. og yderligere — M .: Nauka , 1968 . — 472 s.
Lavrentiev M. A. , Shabat B. V. Metoder til teorien om funktioner af en kompleks variabel. - 4. udg. — M .: Nauka , 1972 .
Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Teori om funktioner af en kompleks variabel. — M .: Nauka, 1967. — 304 s.
Shabat BV Introduktion til kompleks analyse. — M .: Nauka , 1969 . — 577 s.