Strengekontrovers

Striden om strengen , striden om den vibrerende streng , striden om den klingende streng er en videnskabelig diskussion, der udspillede sig i det 18. århundrede mellem datidens største videnskabsmænd omkring studiet af strengvibrationer . D'Alembert , Euler , D. Bernoulli , Lagrange var involveret i striden . Diskussionen vedrørte definitionen af begrebet en funktion og havde en afgørende indflydelse på mange grene af matematikken: teorien om partielle differentialligninger , matematisk analyse og funktionsteorien for en reel variabel , teorien om trigonometriske Fourierrækker og teorien af generaliserede funktioner og Sobolev-rum .

Baggrund for tvisten

Muligheden for en teoretisk undersøgelse af svingninger fra et mekaniksynspunkt dukkede op med opdagelsen af Newtons love ( 1687 ) og udviklingen af analysen af infinitesimal-, integral- og differentialregning. Imidlertid blev der indtil dette tidspunkt udført forskellige undersøgelser af Galileo , Mersenne , Descartes , Huygens m.fl.. [1] I 1625 opdagede Mersenne forholdet mellem frekvens , spænding , tværsnitsareal og strenglængde, udtrykt i proportionalitet [2] ] $\nu$ $T$ $EN$ $l$

\nu \propto {\frac {1}{l}}{\sqrt {{\frac {T}{A}}}}

Mersennes lov blev forklaret teoretisk af Taylor næsten et århundrede senere, i 1713 . Hans arbejde undersøger en strengs afvigelse fra dens oprindelige position, udtrykt som en funktion af . $y=y(x)$

Taylor mente, at strengen til enhver tid skulle have form som en sinusoid (hvilket faktisk viser sig at være den enkleste form af en oscillerende streng) [2] , hvis amplitude afhænger af tid, og at under enhver starttilstand streng har en tendens til at gå ind i sådan en "grund"-tilstand (hvilket, som det viser sig, ikke er sandt). [1] Denne tilgang, nogle gange kaldet "stående bølgemetoden", blev videreført af D. Bernoulli , men fik kun en streng begrundelse i Fouriers værker. $y=k\sin(\pi x/l)$

Taylor fastslog også, at spændingskraften , der virker på et uendeligt lille element af strengen og rettet mod dens afbøjning, er proportional med den anden afledede . Efterfølgende begyndte d'Alembert at overveje afvigelsens afhængighed ikke kun af den rumlige koordinat , men også på tid . Dette tillod den strenge anvendelse af Newtons anden lov , som dog krævede en genovervejelse af arten af den afledte, som Taylor overvejede: den blev en delvis afledt . Elementets acceleration blev beskrevet af en anden delvis afledt: . $d^{2}y/dx^{2}$ $x$ $t$ $\partial ^{2}y/\partial x^{2}$ $\partial ^{2}y/\partial t^{2}$

I 1747 omformulerede d'Alembert loven fundet af Taylor i form af partielle differentialligninger og skrev ligningen for vibrationen af en streng i dens moderne form, kaldet bølgeligningen : [2]

{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}=a^{2}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}} .

Løsninger af d'Alembert og Euler

D'Alembert tager følgende tilgang til at løse strengvibrationsligningen. Hvis vi antager , bemærkede han, at når ligningen for strengsvingninger er opfyldt, vil ligheden [3] $a=1$

d\venstre({\frac {\partial y}{\partial x))\pm {\frac {\partial y}{\partial t))\right)=\venstre({\frac {\partial ^{2 }y}{\partial t^{2}}}\pm {\frac {\partial ^{2}y}{\partial x\partial t}}\right)(dt\pm dx),

og konkluderede, at koefficienten i differentialformen er en funktion af og kan beregnes ved at integrere den højre side af denne ligning. Dette giver os mulighed for at skrive et lineært system i de første partielle afledninger af , hvis løsning giver funktionens samlede differential . Sidstnævnte genoprettes ved gentagen integration. Denne metode giver os mulighed for at skrive løsningen af strengvibrationsligningen i formen $dt\pm dx$ $(t/pmx)$ $y$ $y$

y(t,x)=\phi (t+x)+\psi (tx),

hvor og er nogle vilkårlige funktioner bestemt ud fra startbetingelserne . D'Alembert kaldte en sådan løsning for generel og understregede, at den er et helt sæt af forskellige løsninger til ligningen [4] . $\phi$ $\psi$

En lignende løsning blev snart opnået af Euler , som formulerede det, vi nu ville kalde Cauchy-problemet med en given indledende strengform og nul begyndelseshastighed. Ved at udlede ligningen for vibrationen af en streng og betragte den som en vilkårlig , fik han løsningen $-en$

y=\phi (x+at)+\psi (x-at),

lidt anderledes end d'Alemberts løsning. [5] I 1766 udviklede Euler en ny metode, nu kendt som metoden for karakteristika : ved at gå over til koordinater , skriver han den oprindelige ligning på formen [5] $u=x+at,v=x-at$

{\frac {\partial ^{2}y}{\partial u\,\partial v))=0,

som er let at integrere.

På trods af at D'Alembert og Euler opnåede løsninger af oscillationsligningen, der var næsten identiske i form, opfattede de deres betydning på forskellige måder. Nøgleproblemet var, at de resulterende løsninger indeholdt vilkårlige funktioner . Men på det tidspunkt var der ingen almindeligt accepteret definition af en funktion, og der var forskellige meninger blandt matematikere om, hvilke funktioner der er acceptable at overveje i analyse, og hvilke der ikke er. Uenigheden mellem d'Alembert og Euler om dette spørgsmål kulminerede i en række publikationer, der startede strengkontroversen, som efterfølgende blev tilsluttet af andre videnskabsmænd. [6]

Funktionsdefinition

I den begyndende matematiske analyse af det 17. - 18. århundrede var der to hovedtilgange: visuel ikke-streng mekanisk - geometrisk og formel algebraisk . Fra disse to synsvinkler blev begrebet funktion også opfattet. Fra et mekanistisk synspunkt, der går tilbage til Newton og Barrow , er en funktion en variabel, der ændrer sig over tid. Sidstnævnte fungerer i dette tilfælde som et argument [7] . En anden tilgang til en funktion, der går tilbage til Fermat og Descartes, men først eksplicit formuleret af Johann Bernoulli (faderen til Daniel Bernoulli , som vil blive diskuteret nedenfor), er, at "en funktion af en variabel ... er en størrelse sammensat i enhver måde fra denne variabel og konstanter” [8] , altså en eller anden formel, et analytisk udtryk for et argument (ikke nødvendigvis en analytisk funktion i moderne forstand). Klassen af operationer, der kunne bruges til at opnå funktioner, varierede også, men omfattede normalt aritmetik, rodudvinding og overgang til grænser , hvilket gjorde det muligt at betragte uendelige rækker [9] [10] . Den første tilgang leverede en bredere klasse af funktioner, men hverken en stringent definition eller effektive metoder til at arbejde med et så generelt begreb om en funktion i midten af det 18. århundrede. matematikere havde ikke [11] , og i analyse, såvel som geometriske anvendelser, blev funktioner givet af én formel studeret [12] .

D'Alembert betragtede strengeproblemet primært fra positionen af en ren matematiker og anså det ikke for hans mål at forklare sådanne fysiske effekter som den harmoniske lyd af en streng eller fænomenet overtoner . Det kan virke noget mærkeligt, men en sådan tilgang til problemer oprindeligt afledt af fysik viste sig at være yderst effektiv i videnskaben i det 18. århundrede [13] [14] . I betragtning af oscillationen af en streng med faste ender og nul begyndelseshastighed, skriver d'Alembert løsningen i formen

y(t,x)={\frac {1}{2}}(f(x-at)+f(x+at)),

samtidig antages det, at funktionen , der bestemmer strengens position i det indledende tidspunkt, skal være givet af en eller anden regel , der er gyldig for alle reelle tal (så at løsningen bestemmes for et hvilket som helst tidspunkt), men sådan at den er ulige og periodisk, med en periode på 2 l (hvor l er længden af strengen), som er påkrævet for at opfylde grænsebetingelserne [13] . $f(x)$


Indledende tilstand af en streng deformeret over et lille interval
animation

For Euler var det tværtimod tydeligt, at strengen i det indledende tidspunkt kan gives form som en næsten vilkårlig kurve tegnet af "fri tiltrækning af hånden" [6] . Ud fra fysiske overvejelser foreslog han at overveje en funktion defineret på intervallet , og derefter udvide denne funktion, ved hjælp af dens ulige og periodicitet, til alle reelle tal. Det resulterende objekt var imidlertid ikke en "funktion" i den forstand, som d'Alembert (og endda Euler selv tidligere) lagde ind i det [15] . Efterfølgende foreslog Euler også at overveje, at startbetingelsen (og følgelig løsningen) ikke kan gives af ét analytisk udtryk, men af flere ("stykkevis-analytisk" opgave), og opgav efterfølgende den analytiske opgave helt [6] . Især tillod han ikke-glatte funktioner med "brud" i grafen - hvilket er naturligt at forestille sig, når man betragter en streng trukket på et tidspunkt [16] . $0\leq x\leq l$


Starttilstand for en streng tegnet på et tidspunkt
animation

D'Alembert bemærkede, at det er umuligt at betragte en vilkårlig kurve, da dette "modsiger alle analysereglerne" [17] , og insisterede på, at startbetingelsen skal gives af en periodisk, ulige og overalt differentierbar funktion [16] . Brugen af funktioner "med knæk" blev udsat for særskilt kritik. D'Alembert skrev, at selve oscillationsligningen kræver, at løsningen har mindst sekundære partielle derivater. Men hvis den oprindelige tilstand havde et brud på et tidspunkt, så viste opløsningen opnået ved de fundne formler sig at være ikke-glat på et tidspunkt på et forudbestemt tidspunkt. Den kunne således ikke opfylde ligningen ved brudpunkterne [16] . Her spillede egenskaben ved hyperbolske partielle differentialligninger (som strengvibrationsligningen hører til) en særlig rolle for at bevare glatheden af starttilstanden og ikke at øge den (hvilket sker i tilfælde af elliptiske ligninger ) [18 ] .

Eulers hovedsvar på generelle indvendinger var, at studiet af partielle differentialligninger adskilte sig væsentligt fra den "almindelige analyse" af funktioner af en variabel, hvor transformationer af individuelle analytiske udtryk hovedsageligt overvejes, og der ikke er behov for at overveje "blandede" funktioner [ 19] . Svaret på indvendinger om ikke-glatte løsninger bundede i, at det kun ville adskille sig fra en glat med en "uendelig lille" mængde, og denne forskel kunne ignoreres - hvilket naturligvis ikke kunne passe d'Alembert [16 ] . Et andet argument var, at Euler foreslog at "glemme" den oprindelige ligning og overveje, at fænomenet er beskrevet af den fundne generelle løsning, og ikke af ligningen [20] .

Fysikers synspunkt: D. Bernoullis løsning

Daniil Bernoulli indgik en tvist mellem Euler og d'Alembert og kritiserede deres løsninger fra et fysiksynspunkt som ekstremt abstrakte. I sine publikationer bemærkede han, at dette er bemærkelsesværdige matematiske resultater, men spurgte: "hvad har lydende strenge med det at gøre?" [21] .

Baseret på ideer om karakteren af svingninger, udvikler han ideen om den vigtige rolle af "rene svingninger" af en sinusformet form , som dukkede op selv med Taylor. Hans anelse var, at en vilkårlig vibration kunne repræsenteres som en "superposition" eller summen af flere rene vibrationer ( superpositionsprincippet ), hvilket var i overensstemmelse med observationen af en streng: dens lyd består af en grundtone og mange overtoner . Bernoulli fandt en løsning på oscillationsligningen i form af summen af en trigonometrisk række og argumenterede (igen, baseret på fysiske overvejelser), at en sådan række kan repræsentere en vilkårlig funktion. Han kunne ikke bekræfte denne antagelse matematisk - især kendte han ikke formlen til at beregne koefficienterne for en sådan serie. Ikke desto mindre mente han, at hans løsning ikke kun har en større fysisk betydning end d'Alemberts og Eulers løsninger, men også er mere generel [22] .

På det tidspunkt var serier et vigtigt studieemne, og mange matematikere (inklusive Newton) betragtede potensrækker (med rigtige eksponenter) som en universel måde at skrive vilkårlige funktioner på [23] . Det krævede niveau af forståelse af den trigonometriske række blev dog ikke opnået på det tidspunkt, og hverken d'Alembert eller Euler var enige om, at den trigonometriske række er i stand til at beskrive en tilstrækkelig bred klasse af funktioner. Denne misforståelse blev forværret af den dengang udbredte forestilling om, at hvis to analytiske udtryk falder sammen på en del af den numeriske akse, så falder de sammen overalt. Således kunne Euler ikke tro, at en trigonometrisk serie kunne beskrive opførselen af en streng, der kun er forstyrret i et lille område. Indvendinger blev også rejst af kravet om periodicitet af en funktion, der kan repræsenteres som en serie, hvilket naturligvis følger af periodiciteten af termerne [24] [25] .

Først i langt senere værker af Fourier (begyndelsen af det 19. århundrede) blev det vist, at selv funktioner med brud, der er utilgængelige for beskrivelse af en potensrække (og ikke analytiske i moderne forstand) kan repræsenteres på et bestemt segment ved en trigonometrisk serie. Yderligere forskning i spørgsmålene om konvergens af Fourier-serier førte Kantor til konstruktionen af mængdeteori og i sidste ende til fremkomsten af moderne funktionel analyse [26] .

Generiske funktioner

Fouriers resultater besvarede et af nøglespørgsmålene i argumentationen om strengen: repræsentativiteten af en bred klasse af funktioner ved en trigonometrisk række. En anden kilde til kontrovers - paradokset forbundet med muligheden for ikke-glatte begyndelsesbetingelser og dermed løsninger - forblev åben ikke kun i det 18. , men også i det 19. århundrede . Det blev først løst i det XX århundrede med fremkomsten af apparatet med generaliserede funktioner (distributioner) [6] . Grundlaget for denne teori blev lagt i slutningen af 1936 af S. L. Sobolev som et resultat af undersøgelsen af Cauchy-problemet for hyperbolske ligninger (som omfatter ligningen for strengvibrationer ) og videreudviklet strengt af Laurent Schwartz i 1950'erne [27] .

Ideen er at erstatte oscillationsligningen med en ækvivalent (i en vis forstand) integralligning , hvis løsning ikke længere søges i klassen af dobbelt glatte funktioner , men i de såkaldte Sobolev-rum , som er færdiggørelsen af rummet af kontinuerte funktioner med hensyn til en speciel metrik . Det kan også antages, at de afledte af den ikke-glatte funktion , som er på venstre side af strengoscillationsligningen, er en generaliseret funktion, og ligheden er gyldig i betydningen generaliserede funktioner [28] .

Noter

↑ 1 2 Yushkevich 1972, s. 412.
↑ 1 2 3 Stillwell, s. 242
↑ Yushkevich 1972, s. 413
↑ Yushkevich 1972, s. 414
↑ 1 2 Yushkevich 1972, s. 415
↑ 1 2 3 4 Yushkevich 1972, s. 416
↑ Yushkevich 1970, s. 143-144
↑ John. Bernoulli , Opera omnia, v. II, Lausannae-Geneve, 1742, s. 241. Op. ifølge: Yushkevich 1970, s. 147
↑ Yushkevich 1970, s. 147
↑ Yushkevich 1972, s. 250
↑ Yushkevich 1970, s. 144
↑ Yushkevich 1972, s. 252
↑ 12 Ravetz , s. 75
↑ Christensen, s. 36
↑ Ravetz, s. 76
↑ 1 2 3 4 Wheeler og Crummett, s. 35
↑ Kleiner, s. 287
↑ Se f.eks. Mikhailov VP Differentialligninger i partielle derivater. - M. : Nauka, 1976. - S. 35. - 391 s.
↑ Ravetz, s. 81
↑ Ravetz, s. 83
↑ Ravetz, s. 78
↑ Yushkevich 1972, s. 417-418
↑ Yushkevich 1972, 250-251
↑ Yushkevich 1972, s. 418
↑ Kleiner, s. 285
↑ Stillwell, s. 244-245
↑ Se f.eks. Kutateladze S.S. Sergey Sobolev og Laurent Schwartz: Two Fates, Two Glories // Siberian Journal of Industrial Mathematics. - 2008. - T. 11 , nr. 3 . - S. 5-14 . Arkiveret fra originalen den 5. oktober 2013.
↑ Se f.eks. Mikhailov VP Differentialligninger i partielle derivater. - M . : Nauka, 1976. - S. 266-298. — 391 s.

Litteratur

Matematikkens historie fra oldtiden til begyndelsen af det 19. århundrede / Red. A.P. Yushkevich. - M . : Nauka, 1970. - T. II, matematik i det 17. århundrede. - 300 sek.
Matematikkens historie fra oldtiden til begyndelsen af det 19. århundrede / Red. A.P. Yushkevich. - M . : Nauka, 1972. - T. III, matematik fra det XVIII århundrede. — 495 s.
Stillwell, J. Matematik og dens historie. - Izhevsk: Institute of Computer Research / RHD, 2004. - 530 s.
Wheeler, GF, Crummett WP Den vibrerende strengkontrovers // American Journal of Physics . - American Association of Physics Teachers , 1987. - Vol. 55, nr. 1 . - S. 33-37. - doi : 10.1119/1.15311 .
Christensen, T. Attende århundredes videnskab og korpset Sonore: den videnskabelige baggrund for Rameaus princip om harmoni // Journal of Music Theory. - 1987. - Bd. 31. - S. 23-50.
Ravetz JR Vibrerende strenge og vilkårlige funktioner // Personlig videns logik: Essays præsenteret for M. Polanyi på hans 70-års fødselsdag. - London: Routledge, 1961. - S. 71-88.
Kleiner, I. Evolution of the function concept: A short survey // The College Mathematics Journal. - 1989. - Bd. 20. - S. 282-300.
Larin A. A. Oprindelsen af matematisk fysik og teorien om svingninger af kontinuumsystemer i "Tvisten om strengen" // Bulletin fra National Technical University "Kharkov Polytechnic Institute". Videnskabens og teknologiens historie. - 2008. - Nr. 8 .