Grundlaget for matematik

Matematikkens grundlag er et system af begreber, begreber og metoder, der er fælles for al matematik, ved hjælp af hvilke dens forskellige sektioner opbygges [1] .

Fra antikken til omkring slutningen af det 17. århundrede blev Euklids afhandling " Begyndelser " (ca. 300 f.Kr.) betragtet som en kilde, der beskriver matematikkens grundlæggende begreber og metoder. I den blev geometri og talteori præsenteret som et enkelt aksiomatisk system (på datidens rigorniveau), hvor man ud fra de indledende antagelser (postulater eller aksiomer ) ved hjælp af et udvalgt sæt af logiske midler udledte konsekvenser vedr. egenskaberne ved primære begreber (punkt, linje, tal osv.) osv.) og objekter konstrueret ud fra dem (geometriske figurer). På trods af hullerne i Euklids ræsonnement, der blev bemærket tilbage i antikken, blev hans konstruktioner generelt anset for acceptable til at beskrive hele matematikkens bygning på det tidspunkt, og forårsagede ikke konsekvent kritik før New Age. [2]

Situationen begyndte at ændre sig i slutningen af det 17. århundrede med opfindelsen af Isaac Newton og Gottfried Wilhelm Leibniz af differential- og integralregning , hvis begrundelse forblev uklar i lang tid. Den blev først opnået i midten af det 19. århundrede gennem bestræbelser fra Augustin Cauchy , Karl Weierstrass , Bernhard Riemann og andre matematikere på grundlag af grænsebegrebet foreslået af Cauchy , og den analyse, der blev foretaget i forbindelse med dette, afslørede behovet for en mere detaljeret systematisering end Euklids, systematisering af tallenes elementære egenskaber.

Samtidig dukkede beviser op for behovet for at revidere en anden del af euklidiske konstruktioner, nemlig konstruktioner, der beskriver geometriske objekter. Opdagelserne af Nikolai Lobachevsky og andre viste, at ud over den euklidiske geometri , baseret på, som det så ud før, de mest intuitivt åbenlyse aksiomatiske antagelser, alternative geometrier er mulige , afledt af andre aksiomer, men i stand til at beskrive naturfænomener med samme sikkerhed.

Den forståelse, der opstod blandt matematikere i forbindelse hermed, at grundlaget for deres videnskab skulle overføres til dets dybere områder, arbejde med objekter, der er enklere end tal og geometriske figurer (men sådan at alle andre matematiske objekter kunne bygges med deres hjælp), førte i den sidste fjerdedel af det 19. århundrede af Georg Cantor til skabelsen af mængdelære , som hurtigt vandt popularitet som et nyt matematiksprog. Men modsætningerne i Cantors teori opdaget i begyndelsen af det 20. århundrede fremkaldte en krise i matematikken , hvilket afslørede behovet for at revidere dens grundlag. [2]

Efterfølgende forskning på dette område førte til forfining (formalisering) af begreberne " aksiomatisk system " og " bevis ", omstruktureringen af matematisk logik på dette grundlag og til konstruktionen af formelle aksiomatiske mængdeteorier , som nu anerkendes som grundlaget for al matematik. [3]

Derudover udvikles kategoriteori i øjeblikket , som har potentiale til at erstatte mængdelære som grundlaget for matematikken.

Hovedideer og resultater

Nicola Bourbaki definerer matematik som "videnskaben om relationer mellem objekter, som intet er kendt om, bortset fra visse egenskaber, der beskriver dem, netop dem, der er sat som aksiomer på grundlag af en eller anden matematisk teori." [fire]

Den ultimative idealisering af matematikkens genstande kan virke som en hindring for deres undersøgelse, men allerede i antikken blev det bemærket, at en af konsekvenserne af denne idealisering tværtimod er muligheden for at etablere talrige forbindelser mellem de genstande, der overvejes. til opbygningen af et hierarki mellem dem med allokering af elementære objekter, hvorfra alle er bygget, resten [5] . I oldtidens matematik var sådanne elementære objekter (stort set intuitivt forstået) tal og geometriske former ( punkt , linje , overflade osv.) [6] . I moderne matematik er de mængder . [3]

Denne kendsgerning kan betragtes som resultatet af to vigtige observationer, der blev gjort i begyndelsen af udviklingen af mængdeteori:

Det kartesiske produkt af to sæt og kan defineres som et sæt af ordnede par , med og , hvor selve de ordnede par er defineret som sæt af formen (bestående af to elementer, og , og det andet element er et sæt af to elementer og ). [7] [8] [9] [10] [11] $X\ gange Y$ $x$ $Y$ $(x,y)$ $x\i X$ $y\i Y$ $(x,y)$ $\{x,\{x,y\}\}$ $x$ $\{x,y\}$ $x$ $y$
En funktion eller sæt - til-sæt mapping kan også defineres som et sæt, nemlig som en delmængde i et kartesisk produkt , der opfylder følgende to betingelser: [12] [8] [13] [14] $f:X\til Y$ $x$ $Y$ $f\subseteq X\ gange Y$

$\forall x\i X~\eksisterer y\i Y:(x,y)\i f$	$\quad$	(" for enhver eksisterer , sådan at " ) $x\i X$ $y\i Y$ $(x,y)\in f$ ,
$\left((x,y)\in f\wedge (x,z)\in f\right)\implies y=z$	$\quad$	("hvis og , så ") $(x,y)\in f$ $(x,z)\in f$ $y=z$ .

Den første betingelse her betyder, at hvert argument er forbundet med en eller anden værdi af funktionen , og den anden betyder, at denne værdi er unik.

x\i X

y\i Y

f

Ud fra disse observationer følger en konklusion, der for alvor påvirkede samtidens holdning til Cantors mængdeteori : alle matematiske objekter, med undtagelse af dem, der bruges i beskrivelsen af selve begrebet en mængde, kan defineres som mængder med passende egenskaber .

♦ Som en illustration kan talteori repræsenteres som en del af mængdeteori, dens definitionsudvidelse , hvis du bemærker, at de objekter, den studerer - tal - kan beskrives som mængder af en speciel form: [15] [16 ] [17]

Naturlige (ikke-negative heltal) er naturligt defineret som endelige ordinaler (med ordensrelation og additions- og multiplikationsoperationer for ordinaler) [18] [19] [20] . $\mathbb {N}$
Heltal defineres derefter som elementer i faktorsættet af det kartesiske kvadrat af mængden af naturlige tal ved ækvivalensrelationen $\mathbb {Z}$ ${\mathbb {N} }\time {\mathbb {N} }$ $\mathbb {N}$

(n,m)\sim (n',m')~\iff ~n+m'=n'+m,

med ordrerelationen [21]

[(n,m)]\leq [(n',m')]~\iff ~n+m'\leq n'+m

og algebraiske operationer

[(n,m)]+[(n',m')]=[(n+n',m+m')],

[(n,m)]\cdot [(n',m')]=[(n\cdot n'+m\cdot m',n\cdot m'+m\cdot n')],

og indlejringen i er beskrevet af formlen

\mathbb {N}

\mathbb {Z}

{\displaystyle k\in {\mathbb {N} }\mapsto [(k,0)]\in {\mathbb {Z} ))

. Ækvivalensklassen fortolkes som et heltal i almindelig notation (med ).

[(n,m)]

nm

n,m\in {\mathbb {N} }

Rationelle tal er defineret som elementer af faktormængden af det kartesiske produkt af mængden af heltal og mængden af naturlige tal uden nul ved ækvivalensrelationen [22] $\mathbb {Q}$ ${\displaystyle {\mathbb {Z} }\ gange {\big (}{\mathbb {N} }\setminus \{0\}{\big )))$ $\mathbb {Z}$ ${\displaystyle {\mathbb {N} }\setminus \{0\))$

(p,q)\sim (p',q')~\iff ~q'\cdot p=q\cdot p',

med ordrerelationen [23]

[(p,q)]\leq [(p',q')]~\iff ~q'\cdot p\leq q\cdot p'

og algebraiske operationer

[(p,q)]+[(p',q')]=[(p\cdot q'+p'\cdot q,q\cdot q')],

[(p,q)]\cdot [(p',q')]=[(p\cdot p',q\cdot q')],

og indlejringen i er beskrevet af formlen

\mathbb {Z}

\mathbb {Q}

{\displaystyle k\in {\mathbb {Z} }\mapsto [(k,1)]\in {\mathbb {Q} ))

. Ækvivalensklassen tolkes som et rationelt tal i den sædvanlige notation (med , ).

[(p,q)]

p/q

p\in {\mathbb {Z} }

{\displaystyle q\in {\mathbb {N} }\setminus \{0\))

Reelle tal defineres som Dedekind-sektioner af sættet af rationelle tal (med algebraiske operationer induceret fra og ordensrelation). $\mathbb {R}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$
Komplekse tal - som elementer i det kartesiske kvadrat af mængden af reelle tal med algebraiske operationer $\mathbb {C}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }\time {\mathbb {R} ))$ $\mathbb {R}$

(x,y)+(x',y')=(x+x',y+y')

(x,y)\cdot (x',y')=(x\cdot x'-y\cdot y',x\cdot y'+y\cdot x'),

og indlejringen i er beskrevet af formlen

\mathbb {R}

\mathbb {C}

{\displaystyle a\in {\mathbb {R} }\mapsto (a,0)\in {\mathbb {C} ))

. Den imaginære enhed er i denne konstruktion defineret som et par , og sammen med den foregående notation giver dette identiteten

i=(0,1)

(x,y)=x+iy,\quad x,y\in {\mathbb {R} },

tolket som den sædvanlige algebraiske repræsentation af et komplekst tal. ♦ En anden illustration: calculus , som en teori, der beskriver funktioners egenskaber på reelle tal [24] , kan betragtes som en definitionsudvidelse af mængdelæren, fordi begge dens hovedkonstruktioner - en funktion (mapping) og et reelt tal - som allerede nævnt ovenfor, er sæt. ♦ Følgende illustration: i algebra beskrives begrebet en gruppe som et sæt med en operation defineret på den , der afbilder et kartesisk kvadrat til , og har de ønskede egenskaber (associativitet, eksistensen af et neutralt element 1 og et inverst element for hver ). Da afbildninger, som allerede forklaret, er et særligt tilfælde af mængder, kan hele konstruktionen af en gruppe fortolkes som et sæt med en yderligere struktur i form af et andet sæt med visse egenskaber.

G

m:(x,y)\mapsto m(x,y)=x\cdot y

G\ gange G

G

x^{-1}\in G

x\i G

G

m

♦ Den grundlæggende konstruktion af topologi , begrebet et topologisk rum er defineret som et vilkårligt sæt med et fast sæt af delmængder i , indeholdende og , og lukket under foreninger og endelige skæringspunkter (sådan et sæt af delmængder i kaldes en topologi på sæt , og elementerne kaldes åbne mængder i ).

x

{\mathcal {U}}

x

x

\varnothing

{\mathcal {U}}

x

x

{\mathcal {U}}

x

♦ Tilsvarende er de anvendte begreber defineret som mængder (måske af en speciel art i resten af matematikken (eksklusive kun nogle områder af matematisk logik, der tjener som grundlag for konstruktionen af selve mængdeteorien og/eller studerer formelt mere generelle spørgsmål). ) med yderligere strukturer defineret på dem (som også er defineret som sæt af den påkrævede form) [25] . Disse er især

gitter , ringe , moduler , felter , vektorrum , mere generelt alle algebraiske systemer i algebra ,
manifolder med alle mulige yderligere strukturer såsom metrik , forbindelse , krumning osv. i geometri ,
måler med de rum af funktioner og operatorer, der genereres af dem i analyse ,
sandsynlighedsrum og stokastiske variable i sandsynlighedsteori ,
objekter med morfismer i kategoriteori mv.

Faktisk er alle matematiske teorier nu beskrevet som definitionsudvidelser af en eller anden mængde teori fra standardlisten [26] udviklet til dette formål (og i det overvældende flertal af tilfælde er enhver teori fra denne liste egnet), og det er til dette grund til, at mængdelære i vor tid betragtes som matematikkens sprog. [3]

Udviklingen af matematik har vist, at begrebet en mængde i sig selv kræver en omhyggelig definition, så underdrivelse i forståelsen af dets egenskaber ikke fører til modsigelser . For at løse dette problem blev reglerne for at konstruere teorier, såsom dem hvor egenskaberne af mængder skulle beskrives, strengt formaliseret, og i de nuværende (aksiomatiske) teorier bygget i henhold til disse nye regler, og kaldet første-ordens teorier [27 ] [28] , er elementer af tvetydighed elimineret, og de valgte aksiomer gennemgår en primær kontrol for tilsynekomsten af åbenlyse absurditeter. [29]

Dette gjorde det muligt at slippe af med alle de modsætninger i matematikken, der dukkede op i begyndelsen af det 20. århundrede (dog uden garantier for, at nye modsætninger ikke vil dukke op i fremtiden [30] ). På den anden side blev det hurtigt opdaget, at matematikere havde forskellige præferencer i valg af aksiomer, og dette førte til fremkomsten af talrige ikke-ækvivalente aksiomatiske mængdeteorier [31] . De mest populære blandt dem er nu

Zermelo-Fraenkel- teorien ZF [32] [33] med dens forskellige modifikationer, især med det valgte aksiom knyttet til sig (denne version af ZF betegnes ZFC), og/eller Grothendieck-universet ,
NBG - teorien om von Neumann-Bernays-Gödel [34] og
MK Morse-Kelly teori [35] .

Det menes, at hver af dem har sine egne fordele og ulemper. [36] ZF-teorien dukkede historisk op først, og for de fleste matematiske problemer er den normalt tilstrækkelig, derfor er den, hvad angår brug, langt foran de andre. Men i moderne abstrakte områder af matematikken, især hvor kategoriteoriens metoder anvendes , som for eksempel i algebra eller i funktionel analyse , kan det være ønskeligt at overveje formationer mere generelle end mængder, de såkaldte klasser , som ikke er i ZF, og til disse formål vælges normalt NBG eller MK. [36] Fordelen ved NBG på denne liste er dens endelige aksiomatiserbarhed. [37] [34] Men både ZF og NBG er MK underlegne med hensyn til elegance og række af muligheder. [36] Ulempen ved MK (som NBG) er imidlertid, at det i denne teori ikke er muligt at betragte formationer bredere end klasser indeholdende vilkårlige klasser som elementer (hvilket også er ønskeligt i nogle matematiske discipliner, som f.eks. kategoriteori ). [38] Dette problem med mulighedernes grænse løses nogle gange ved at tilføje til MK (og på samme måde fungerer dette trick i ZF og NBG) aksiomet om eksistensen af Grothendieck-universet og derefter omdøbe objekterne. [39]

Tilsammen danner moderne aksiomatiske mængdeteorier et system med fælles sprog og metoder (og forskelle kun i lister over aksiomer), hvis formål er at give matematikere værktøjerne til at bygge alle de andre matematiske objekter, der findes, og dem, der evt. nødvendigt i fremtiden, og dette system af teorier, sammen med det område af matematik, som de er bygget inden for, matematisk logik , er det sædvanligt at kalde grundlaget for matematik . Som en del af matematisk logik omfatter dette også alternative teorier, hvor i stedet for mængder foreslås andre former som matematikkens primære begreber, især objekter af abstrakte kategorier , beskrevet ikke af tradition (som konstruktioner i ZF, NBG eller MK) , men direkte, som uafhængig førsteordensteori. [40]

Historie

Værker af egyptiske og babylonske matematikere , der har overlevet til denne dag , indeholder kun beregningsalgoritmer forklaret med praktiske eksempler. Der er intet bevis i dem; det er ikke klart, hvordan resultaterne blev opdaget og begrundet, eller om de overhovedet var berettigede. I værker af matematikere fra det gamle Kina er der separate beviser for algebraiske og geometriske udsagn, men de danner ikke et enkelt system af logisk forbundet viden [41] [42] .

Oldtidsperiode

De ideologiske motiver for oldgræsk matematik blev udviklet af den pythagorske skole , som introducerede logisk bevis som en nødvendig komponent i matematisk teori og udviklede en bevismetodologi, herunder " bevis ved modsigelse " [43] . Pythagoræernes grundlæggende objekter var naturlige tal ( de betragtede ikke brøker som tal, men som proportioner ). Det filosofiske grundlag for den pythagoræiske matematik var troen på, at universet blev skabt efter en matematisk plan, "alt er et tal", hvoraf det fulgte, at naturlovene kan kendes, der er kun én matematik, og den indeholder et system af absolutte, evige sandheder. Fremskridt i anvendelsen af matematik til astronomi (især forudsigelse af formørkelse ), musik, optik og landmåling blev set som bekræftelse af disse synspunkter. Platon gik videre og erklærede, at matematiske objekter er virkelige i en ideel "ideverden", hvis skygge er den verden, der opfattes af vores sanser [44] .

De geometriske undersøgelser af pythagoræerne, baseret på de idealiserede begreber om punkter , linjer og andre figurer, forårsagede så tidligt som i det 5. århundrede f.Kr. e. kritik fra Zeno af Elea , som med sine aporier rejste spørgsmålet: hvordan kan en rigtig bevægelsesvej bestå af uudstrakte punkter? Dette problem (diskret eller kontinuitet af rum og tid) diskuteres stadig i videnskabsfilosofien [45] [46] .

I det 5. århundrede f.Kr e. indtrådte en begivenhed, der i moderne sprog kan vurderes som den første krise i matematikkens grundlag [47] - Pythagoræerne opdagede, at diagonalen af en firkant ikke kan sammenlignes med dens side, dvs. deres forhold ( ) kan heller ikke udtrykkes vha. et naturligt tal eller en brøkdel. Det lykkedes ham at finde en vej ud i det 4. århundrede f.Kr. e. Eudoxus af Cnidus , som sammen med tal introducerede begrebet geometriske størrelser (længder, arealer, volumener). For homogene mængder blev der defineret aritmetiske operationer svarende til numeriske [2] . ${\sqrt {2}}$

Det første integrerede system for matematikkens grundlag var Euklids " principper " (III århundrede f.Kr.), som i lang tid blev en model for matematisk teori og grundlaget for efterfølgende præstationer (praktisk talt vides intet om Euklids forgængere, som utvivlsomt eksisterede). Dette arbejde, efter Eudoxus, satte geometri i stedet for aritmetik som grundlag for matematik. Reglerne for logisk slutning var tidligere, i det 4. århundrede f.Kr. e. detaljeret af Aristoteles . I den første bog af Elementerne giver Euklid 14 aksiomer for geometri og aritmetik (de første fem kaldes ofte postulater), derefter udledes adskillige sætninger logisk fra dem. Hver sætning er afledt enten fra aksiomer eller fra andre sætninger (hvis sandheden allerede er blevet bevist før), og ifølge lovene i Aristoteles' logik er den nye sætning også sand. Teorien om mængder af Eudoxus (i det væsentlige en kort version af den moderne teori om reelle tal ) blev fremsat af Euklid i den femte bog af hans Elementer og blev brugt i Europa indtil det 17. århundrede. Aritmetikken af mængder blev modelleret af Euklid på basis af operationer med segmenter , rektangler og parallelepipeder [2] [48] .

Allerede i oldtiden blev manglerne ved det euklidiske arbejde kritisk bemærket, især påpegede Arkimedes behovet for at tilføje et aksiom, nu kaldet " Arkimedes aksiom " (det blev formuleret af Eudoxus). Over tid steg antallet af bemærkede mangler gradvist [49] . Antallet af aksiomer i Euklid viste sig at være utilstrækkeligt, mange af hans ræsonnementer er baseret på underforståede eller visuelle beviser. Først og fremmest drejer det sig om begrebet bevægelse , som implicit bruges mange steder - for eksempel når trekanter overlejres for at bevise tegn på deres lighed. Proclus bemærkede allerede denne kendsgerning som en betydelig metodologisk hul. Euklid gav ikke bevægelsesaksiomerne, måske for ikke at forveksle høj geometri med "lav" mekanik. Moderne forfattere af aksiomatik sørger for en særlig gruppe af " kongruensaksiomer " . Euklids aksiomatik tillader ikke, at man underbygger fakta, der er vigtige for beviser - for eksempel at der ikke er nogen ret linje, der går gennem alle tre sider af en trekant, eller at to cirkler med radius R , hvis centre er i en afstand R , skærer hinanden i to point [50] .

Efterfølgende opgav matematikere ideen om at konstruere aritmetik på basis af geometri og erstattede den med den modsatte: fra Descartes ' analytiske geometri (XVII århundrede) løses geometriske problemer ved hjælp af numeriske ligninger [48] [51] .

Europa i det 17.-18. århundrede

Europæiske videnskabsmænd fra middelalderen og begyndelsen af den nye tidsalder delte de gamle ideer om, at naturlovene etableret ovenfra var baseret på matematiske principper . Dette blev forstået sådan, at folk ikke skaber matematiske teorier, men opdager dem, der oprindeligt var indbygget i universet [52] . Rene Descartes skrev i 1637: "Af alle, der nogensinde har søgt efter sandhed i videnskaberne, har kun matematikere været i stand til at opnå nogle beviser, det vil sige at angive årsager, der er indlysende og pålidelige"; han kaldte matematik for "essensen af alle videnskaber." Lignende synspunkter blev holdt af Galileo Galilei , Blaise Pascal , Isaac Newton og andre grundlæggere af fysik. På dette tidspunkt var matematikken langt vokset ud af det gamle emne - nye teorier, nye taltyper, andre matematiske objekter dukkede op, hvis begrundelse oprindeligt blev præsenteret på et intuitivt niveau eller var fuldstændig fraværende [53] .

I slutningen af det 17. århundrede indtraf en vigtig begivenhed: Newton og Leibniz skabte matematisk analyse , dengang kaldet "analyse (eller calculus) af infinitesimals ". Omfanget af matematik i forskellige videnskaber er blevet udvidet mange gange, og metoderne er blevet væsentligt uddybet. Men teknikken til den daværende analyse var baseret på algebraiske operationer med et nyt matematisk objekt - uendelige størrelser - hvis betydning blev forklaret i ret vage udtryk [54] , og procedurerne for at arbejde med dem så ret modstridende ud: i kurset af beregninger blev infinitesimals først behandlet som ikke-nul tal (for eksempel divideret med hinanden), til sidst blev de lig med nul. Den nye gren af matematikken skulle finde en lige så streng begrundelse som Euklids, men den dukkede ikke op før halvandet århundrede senere, i det 19. århundrede [55] .

I 1784 lancerede Berlins Videnskabsakademi en konkurrence om den bedste forklaring på "hvordan så mange korrekte sætninger blev udledt fra den modstridende antagelse" om eksistensen af infinitesimaler. Der blev ikke modtaget noget tilfredsstillende svar på dette spørgsmål. Voltaire , ironisk nok over dette billede endnu tidligere, definerede analyse som "kunsten at tælle og nøjagtigt måle det, hvis eksistens er uforståelig for sindet" [56] .

Kontinuiteten af en funktion i denne periode blev forstået rent intuitivt, teorien om reelle tal var fraværende. Uklarheden af analysens grundlag, som det viste sig i det 19. århundrede, førte til talrige fejl - fejlagtige sætninger blev udtrykt og endda bevist, i andre tilfælde var sætningernes betingelser formuleret for bredt. For eksempel beviste André Marie Ampère og Joseph Louis François Bertrand , at enhver kontinuerlig funktion er differentierbar , konvergensen af den anvendte serie blev ikke testet. Niels Henrik Abel klagede selv i 1826 i et brev: "I de højere analyseafsnit er der kun få sætninger bevist med mere eller mindre acceptabel stringens" [57] .

1800-tallet

I begyndelsen af det 19. århundrede var det kun den euklidiske geometri, der havde et relativt strengt rationale, selvom dens stringens allerede på det tidspunkt blev anset for utilstrækkelig. Med fremkomsten af ikke-euklidisk geometri blev troen på systemet af indledende begreber og præmisser, der er fælles for al matematik, imidlertid også rystet. Som Edward Kasner og James Newman har bemærket , tvang det "ikke-euklidiske kætteri" en til at engagere sig i matematisk introspektion , det vil sige en analyse af, hvordan forskellige dele af matematik relaterer sig til hinanden og til matematikken som helhed [58] [59 ] .

Axiomatisering af matematik

I første halvdel af det 19. århundrede gav Augustin Louis Cauchy endelig en klar begrundelse for analyse baseret på forestillingen om en grænse ; på samme tid blev infinitesimals fra en speciel slags tal til variabler, der tenderer til nul. Cauchys tilgang var dog endnu ikke helt streng, da den ikke omfattede teorien om reelle tal . Måske var det derfor, Cauchy selv ikke undgik fejl - for eksempel var han sikker på, at den punktvise sum af en række kontinuerte funktioner er kontinuert, og at sådanne serier altid kan integreres led for led. Grundlaget for analysen blev afsluttet et halvt århundrede senere af Karl Weierstrass . I 1837 legaliserede William Rowan Hamilton fuldstændigt negative og komplekse tal ved at beskrive deres strenge modeller i form af talpar. Opdagelsen og underbyggelsen af ikke-euklidisk geometri som et fuldgyldigt alternativ til euklidisk [60] [61] havde også en stærk indflydelse på matematikkens filosofi .

I anden halvdel af det 19. århundrede fandt to vigtige begivenheder sted - skabelsen af mængdeteori og matematisk logik . I 1879 udgav Frege et system af aksiomer for matematisk logik, i 1880'erne foreslog Peano et strengt system af aksiomer for naturlige tal , og Dedekind for reelle tal [62] [63] . I 1899 udkom Hilberts klassiske monografi "The Foundations of Geometry", hvor alle manglerne ved den euklidiske aksiomatik blev elimineret. Som et resultat, i slutningen af det 19. århundrede, blev næsten al matematik bygget på grundlag af streng aksiomatik ( sandsynlighedsteoriens aksiomatik dukkede først op i 1929).

Sætteori og fundamenternes krise

I 1873 introducerede Georg Cantor begrebet et vilkårligt (endeligt eller uendeligt ) talsæt, og derefter det generelle begreb om et sæt , et ekstremt abstrakt begreb i matematik. Ved hjælp af en-til-en-kortlægninger introducerede han begrebet ækvivalens af mængder, definerede derefter sammenligningen af kardinaliteter for mere eller mindre, og til sidst klassificerede mængder i henhold til deres kardinalitet: finit, tællig , kontinuerlig , osv.

Til at begynde med mødte mængdeteorien en velvillig modtagelse fra mange matematikere. Det hjalp med at generalisere jordansk måleteori , blev brugt med succes i teorien om Lebesgue-integralet og blev set som det fremtidige grundlag for al matematik. Imidlertid viste efterfølgende begivenheder, at den sædvanlige logik ikke er egnet til at studere uendelige objekter, og intuition hjælper ikke altid med at træffe det rigtige valg. Den første modsigelse kom til syne, når man betragtede det største sæt, sættet af alle sæt (1895). Det måtte udelukkes fra matematik som uacceptabelt. Andre modsætninger ( antinomier ) dukkede dog også op [64] .

Henri Poincare , som først accepterede mængdeteori og endda brugte den i sin forskning, afviste den senere kraftigt og kaldte den "en alvorlig sygdom i matematikken". En anden gruppe matematikere, herunder Russell og Hilbert , trådte frem, med nogle forbehold, til forsvar for "Kantorismen" [65] . For at undgå paradokser krævede Russell (1905), Poincaré (1906) og efter dem Hermann Weyl (1918), at alle matematikkens definitioner og aksiomer skulle være prædikative , det vil sige, at det matematiske objekt X, der defineres, ikke skulle gives eller beskrives i udtryk for en klasse af objekter, der indeholder X, fordi der så opnås en ond cirkel, og modsætninger er mulige. En analyse af dette krav viste dog, at det på den ene side ikke er tilstrækkeligt, da det ikke fuldstændig forhindrer opståen af paradokser, og på den anden side gør nogle klassiske definitioner ulovlige, f.eks . øvre og nedre grænser for et sæt [66] [67] .

Farver blev føjet til billedet ved opdagelsen af " valgaksiomet " (1904, Zermelo ), som, som det viste sig, blev ubevidst anvendt i mange matematiske beviser (for eksempel i teorien om reelle tal). Det udvider mulighederne for at konstruere sæt i en sådan grad, at nogle af dets konsekvenser begynder at modsige intuitionen ( Banach-Tarski-paradokset osv.). Denne omstændighed fik nogle matematikere (især Émile Borel og Felix Bernstein ) til at stille spørgsmålstegn ved lovligheden af dens anvendelse.

Debatten om eksistensen af mængder konstrueret ved hjælp af valgaksiomet stillede et andet grundlæggende spørgsmål for matematikere: hvad betyder begrebet "eksistens" i matematik?

20. århundrede

I det 20. århundrede var det muligt at konstruere aksiomatiske mængdeteorier fri for tidligere opdagede modsætninger, og af denne grund accepterede de fleste matematikere til sidst mængdeteori. Diskussionen om detaljer og alternativer fortsatte dog indtil 1950'erne, og er til en vis grad stadig relevant den dag i dag [2] . I første omgang dukkede tre hovedtilgange op i disse diskussioner, kaldet logicisme, intuitionisme og formalisme.

Logicisme

Bertrand Russell skitserede logicismens ideer i sin fælles trebindsmonografi Principia Mathematica (1910-1913) med Alfred Whitehead , som ydede et væsentligt bidrag til udviklingen af matematisk logik . Logicismen hævder, at matematik og logik er en enkelt helhed, det vil sige, at logikkens begreber og love er tilstrækkelige ikke kun til udledning af teoremer, men også til definition af matematiske objekter. Gottlob Frege (1884) var den første, der udtrykte lignende synspunkter . I Russell og Whiteheads bog angiver forfatterne logikkens aksiomer, de primære (udefinerede) begreber er propositioner , sandhed , logiske operationer , propositionelle funktioner [68] .

Forfatterne udleder konsekvent hovedindholdet i den matematiske logik fra aksiomerne og går derefter videre til klasser (mængder). Ved at indstille en bestemt egenskab ved hjælp af en propositionsfunktion kan du bestemme et specifikt sæt (bærere af denne egenskab). Med hensyn til mængder inkluderer Russells og Whiteheads aksiom valgaksiomet og uendelighedsaksiomet (sidstnævnte sikrer eksistensen af uendelige mængder). For at undgå paradokser forbyder forfatterne øjeblikkeligt sæt at indeholde sig selv ved hjælp af en " typeteori " specielt konstrueret af dem . Sæt og udsagn er strengt adskilt efter niveauet af deres typer; vilkårlig blanding af typer er umulig. En sådan organisation udelukker alle kendte paradokser, men det komplicerer formuleringerne betydeligt, da for eksempel naturlige og reelle tal har forskellige typer. For at løse dette problem introducerede Russell og Whitehead et særligt reduktionsaksiom (med andre ord reduktionsaksiomet), som gør det muligt at sænke typen af funktioner for en eller to variable og derved sætte objekter på et sammenligneligt niveau [69] .

Definitionen af tal (finite og transfinite ) og beviset for deres egenskaber udføres af forfatterne på et mængdeteoretisk grundlag: et tal er en klasse af mængder (mere præcist en klasse af klasser) af samme kardinalitet . Derefter er det ikke længere svært at udlede sætninger for aritmetik, elementær geometri, analyse og andre grene af matematikken.

Nyere fortalere for logicisme omfatter Willard Quine og Alonzo Church . I 1983 foreslog den britiske logiker Crispin Wright en ny version af matematikkens logistiske grundlag med forenklet aksiomatik og fri for paradokser. Wrights version er baseret på en korrektion af Freges tidlige fejlagtige aksiomatik. Ved hjælp af andenordens logik og Humes princip (hvis konsistensen snart blev bevist), udledte Wright al aritmetik fra logisk aksiomatik. Denne tilgang er blevet kaldt neo-logicisme .

Intuitionisme

Den ideologiske modsætning til logicismen var intuitionismen , hvis tilhængere placerede intuition som en kilde til sandhed over logik. Blandt intuitionismens forløbere er Leopold Kronecker og Henri Poincaré , og en detaljeret redegørelse for denne matematikfilosofi blev givet i 1910'erne af Leutzen Egbert Jan Brouwer . Brouwers ideer blev aktivt forsvaret af Hermann Weyl og Arend Heyting [70] .

Ifølge Brouwer og andre intuitionister er matematik udelukkende skabelsen af menneskelig tanke og afhænger ikke af den ydre verden. Udøvelsen af menneskelig aktivitet er nyttig til udvikling af nye matematiske ideer, men er i princippet ikke nødvendig for deres fremkomst.

De grundlæggende sandheder i intuitionistisk matematik er intuitivt indlysende menneskelige repræsentationer, hvoraf de vigtigste er begreberne om et naturligt tal og matematisk induktion . Matematisk tænkning i alle dens manifestationer er også dybt intuitiv, og logik for den er ikke andet end et testværktøj; logik er baseret på matematik, og ikke matematik på logik (dog indgår nogle logiske principper som en integreret del af matematisk intuition). Aksiomatisering og konsistensbeviser er spild af tid; intuition indeholder ikke selvmodsigelser. Brouwer tilskrev geometri til faststoffysik og eliminerede den fra matematikkens grundlag; ikke-euklidiske geometrier, ifølge Brouwer, beviser skrøbeligheden og tvetydigheden af rumlig intuition [71] [72] .

Brouwer krævede eliminering af alle intuitivt tvivlsomme aspekter fra logik og matematik, foretog en tilsvarende revurdering af grundlaget og begrænsede matematik og logik betydeligt i flere retninger. Han sagde, at menneskelig intuition altid beskæftiger sig med endelige mængder, så faktisk eksisterer uendelige mængder ikke og skal udelukkes fra matematik. "Eksistenssætninger" bør forbydes, hvis de ikke indeholder en konstruktiv konstruktionsalgoritme, brugen af "loven om udelukket midterste" (i beviser "ved modsigelse" ) bør forbydes osv. En væsentlig del af fortidens matematiske præstationer århundreder med en sådan revision viser sig at være forkert eller ikke bevist; der blev gjort forsøg på at rekonstruere i det mindste elementær matematik efter intuitionistiske principper, men beviserne viste sig at være "uudholdeligt besværlige". Sådanne følsomme begrænsninger passede ikke de fleste matematikere. Snart delte intuitionisterne sig i flere skoler, som stillede forskellige radikale krav til revision af matematikken [73] .

Kritikere pegede på, at intuitionen er forskellig for forskellige mennesker, og det menneskelige sind er i stand til at lave fejl, og derfor kan der ikke være intuitive sandheder, der er fælles for alle mennesker [74] .

Hilbert vurderede ironisk nok matematikken omstruktureret af intuitionisterne som "ynkelige rester, få, ufuldstændige, ikke-relaterede enkeltresultater"; efter hans mening forsøger intuitionismen at lemlæste og ødelægge matematikken. Bourbaki betragtede intuitionistisk filosofi som en historisk kuriosum. I USSR blev en hyggelig skole for " konstruktiv matematik " populær, ledet af A. A. Markov [75] [76] .

Formalisme

Det mest aktive arbejde med matematikkens grundlag blev udført i første halvdel af det 20. århundrede af Hilbert-skolen, hvis ideer blev kaldt " formalisme ". Opmuntret af succesen med hans Foundations of Geometry annoncerede Hilbert målet om at bygge al matematik (og i fremtiden fysik) på et enkelt logisk grundlag. Han mente, at man for de discipliner, der ligger til grund for matematikken, såsom mængdelære og aritmetik, kan finde et system af aksiomer, hvorfra det ved rent syntaktiske transformationer vil være muligt at udlede en hvilken som helst sætning af denne teori (og i fremtiden, alle resultater generelt etableret i matematik). Desuden mente han, at for disse discipliner ville det være muligt at bevise deres konsistens og fuldstændighed (den første ville gøre det muligt at slippe af med de modsigelser, der findes i matematik, og sikre, at der ikke opstår nye modsætninger i fremtiden).

Dette program førte hurtigt til en vis succes: Hilbert og hans elever definerede et system til formel registrering af matematiske udsagn og regler for at udlede nogle udsagn fra andre på dette sprog (flere sådanne systemer blev udviklet, et af de mest illustrative er G. Gentzens sekvente calculus ) , med en sådan beregning, så alle kendte matematiske resultater kan oversættes til dette sprog; dette gjorde det muligt at udlede dem senere fra de relevante aksiomer i den teori, der ligger til grund for matematikken (såsom mængdelære). På samme tid, ved en sådan formel forfining af matematiske begreber og teknikker, var det muligt at slippe af med alle de modsætninger, der var akkumuleret på det tidspunkt i matematik. [77] [78]

Gödels ufuldstændighedsteoremer , som dukkede op i 1931, viste imidlertid uventet, at Hilberts program bogstaveligt talt er urealiserbart: for det første fandt man ud af, at fuldstændigheden af enhver tilstrækkelig bred formel teori (mere præcist, enhver teori, der inkluderer aritmetikken af naturlige tal) ) er uforenelig med dens konsistens, og for det andet er det umuligt at bevise konsistensen af enhver teori, der indeholder aritmetik, og man kan kun tale om den relative konsistens af sådanne teorier. [79] [80]

Som en illustration beviste Gentzen i 1936 sammenhængen af Peano-aritmetikken inden for rammerne af den teori, han konstruerede, som indrømmer en vis trunkeret version af transfinit induktion [81] - dette resultat er dog kun gyldigt under den antagelse, at Gentzens teori er sig selv konsistent (som forbliver ubevist og i øvrigt ikke kan bevises med Gödels sætning ). En anden illustration: efter Hilberts død, for Peanos aksiomatik , blev der fundet konkrete eksempler på udsagn, der ikke kan bevises i Peano-teorien, men som kan bevises i standardmængdeteorier indeholdende Peano-aritmetik - Goodstein-sætningen [82] , Paris-Harrington-sætningen [83] og andre, og disse observationer beviser ufuldstændigheden af Peanos system af aksiomer uafhængigt af Gödels teoremer.

Det kan ikke siges, at Hilberts tilgang i sig selv mødte utvetydig støtte blandt matematikere. Hans tese om, at ethvert konsekvent matematisk objekt skulle behandles som eksisterende, var uacceptabelt for intuitionister. Nogle matematikere mente, at erstatningen af sandhed med deducerbarhed, det formelle syntaktiske "spil med formler" fratager matematiske sandheder mening, gør matematikken meningsløs og kan ikke afspejle matematikkens forbindelse med den virkelige verden [84] .

Ikke desto mindre var det studierne af Hilbert og hans skole, der satte det dybeste aftryk på matematikkens grundlag og i det væsentlige formede denne videnskabs moderne ansigt. Efter Gödels resultater måtte formalismens tilhængere foretage visse justeringer af Hilberts mål (nemlig at opgive håbet om at bevise sammenhængen og fuldstændigheden af mængdeteorien, som Hilbert forstod dem), men prædikatregningen skabt af Hilbert og hans elever i matematisk logik tjente som grundlag for konstruktionen af moderne aksiomatiske mængdeteorier, som til gengæld er bygget al moderne matematik på [85] [86] .

Nuværende tilstand

En analyse af problemerne med naiv mængdeteori har vist, at matematikkens sprog, især begrebet en mængde brugt i det som hovedkonstruktion, kræver en præcis, formaliseret beskrivelse for at undgå misforståelser og paradokser. I første halvdel af det 20. århundrede førte dette til udviklingen, på baggrund af den logiske prædikatregning skabt af Hilbert og hans elever, af begrebet førsteordensteori , som udtrykker matematikeres moderne forståelse af aksiomatiske teorier og teorier. slutningsreglerne i dem. Siden da er et betydeligt antal ikke-ækvivalente førsteordensteorier blevet konstrueret, som hævder at beskrive matematikkens grundlæggende begreber, ikke kun i mængdeteoriens sprog, men også i kategoriteoriens sprog . Grundlæggende resultater på dette område er

Gödels ufuldstændighedsteoremer (det vil sige umuligheden af at bevise konsistens eller fuldstændighed) af enhver (rekursivt aksiomatiseret) teori, der fortolker Peanos aritmetiske PA [87] , og
Gödels fuldstændighedssætning , som etablerer en forbindelse mellem udledning og logisk sandhed af en formel [88] .

Blandt moderne aksiomatiske mængdeteorier, foruden de allerede nævnte ZF, NBG og MK, betragter logikere som alternativer Tarski-Grothendiecks teori (TG), "New Foundations" af W. Quine (NF), positiv mængdeteori af O. Esser ( ), konstruktive mængdeteorier, mængdeteorier til ikke-standardanalyse , "pocket set theories" og andre [31] . ${\text{GPK}}_{\infty }^{+}$

I 1960'erne foreslog W. Lover [40] en førsteordensteori, der beskriver begrebet en kategori autonomt uden traditionel reference til mængdeteori. Uformelt forstås en kategori i matematik som et sæt af objekter med et system af transformationer (morfismer) af et objekt til et andet. I mængdelærens sprog fortolkes begrebet et objekt som et sæt med en yderligere struktur, og en morfisme fortolkes som en relation (normalt en kortlægning), der bevarer en sådan struktur. Eksempler på kategorier er

sæt med kortlægninger,
grupper med homomorfismer,
topologiske rum med kontinuerlige kortlægninger,
gitter med monotone afbildninger,

osv. Lovers teori tillader en at fortolke aksiomatiske mængdeteorier som særlige tilfælde af kategorier, så det formelle sprog, han konstruerede, kan kræve retten til at blive betragtet som et alternativt matematiksprog. I øjeblikket udvikles dette område af matematik aktivt. [89]

I forbindelse med udviklingen af computere omkring 1970 begyndte der selvstændigt forskellige steder at dukke op ideer om, at matematiske beviser automatisk kunne verificeres af computere [90] . Et stort antal bevisverifikationssystemer begyndte at blive udviklet . Dette genoplivede interessen for spørgsmålet om matematikkens grundlag: hvis tidligere logikere var interesserede i at slippe af med paradokser, er hovedspørgsmålet nu blevet udviklingen af et praktisk sprog og logisk system, der ville være egnet til at skrive teoremer og beviser og deres videre verifikation på en computer. Det praktiske behov for dette opstod i forbindelse med behovet for formel verifikation af rigtigheden af computeralgoritmer og programmeringssprog [91] .

Derudover er der dukket to nye problemer op med at underbygge matematiske resultater, som ifølge Brian Davis fortjener navnet på endnu en krise: nogle beviser for sætninger har hundredvis af sider med kompleks tekst og er ekstremt svære at verificere, og nogle af resultaterne (for eksempel løsningen af firefarveproblemet eller Kepler-hypotesen ) opnået ved computerberegning, og deres pålidelighed afhænger af beregningsprogrammets rigtighed. Davis forudsagde: "I 2075 vil mange områder af ren matematik bygges på brugen af teoremer, hvis beviser ikke kan forstås fuldt ud af nogen matematiker, der bor på Jorden, hverken alene eller samlet," og hovedkriteriet for rigtigheden af nye resultater vil være konsensus i det matematiske samfund [92] .

Det mest effektive grundlag for de fleste computeriserede korrekturkontrolsystemer har været afhængige varianter af λ-regningen , der udnytter Curry-Howard-korrespondancen , ifølge hvilken et konstruktivt matematisk bevis består i at fastslå beboeligheden af en eller anden type. Det første af disse systemer var Automath- sproget skabt i 1967 af Nicolas de Bruijn , og de brede udtryksmuligheder for sådanne systemer er tilvejebragt takket være konstruktionen af den intuitionistiske teori om typer af Per Martin-Löf 91] .

Disse ideer fik en betydelig fremdrift i programmet for skabelsen af univalente grundlag for matematik , der blev lanceret i slutningen af det første årti af det 21. århundrede på initiativ af V. A. Voevodsky . Som et resultat blev der opnået et formelt matematisk sprog, hvor ethvert velformet udsagn er invariant under isomorfi - et mål, som Mihai Mackai [91] stræbte efter . Homotopi typeteori [93] , en variant af intuitionistisk typeteori, udstyret med begreber fra kategoriteori, algebraisk topologi og homologisk algebra , blev valgt som grundlag for programmet . Hvis logikken i den klassiske tilgang til fundamenter, der kommer fra Hilbert og Tarski , er epistemologisk primær - først bestemmes et logisk system, og derefter formaliseres visse dele af matematikken ved hjælp af dens midler, så er logik og matematik i tilfælde af univalente fundamenter. på samme niveau: de samme konstruktioner kan have både logisk og for eksempel geometrisk fortolkning [94] . Voevodsky formåede at løse en række interne modsætninger af sådanne systemer og anvende dem på abstrakte grene af matematik.

Noter

↑ Matematikkens grundlag . Great Soviet Encyclopedia, 3. udg., bind 18, S. 1685. Hentet: 2. august 2019. (ubestemt)
↑ 1 2 3 4 5 Britannica .
↑ 1 2 3 Kunen, 1980 , s. xi: ”Mængdelære er grundlaget for matematik. Alle matematiske begreber er defineret ud fra de primitive forestillinger om sæt og medlemskab. I den aksiomatiske mængdeteori formulerer vi nogle få simple aksiomer om disse primitive forestillinger i et forsøg på at indfange de grundlæggende "åbenbart sande" mængdeteoretiske principper. Fra sådanne aksiomer kan al kendt atematik udledes. (Mængdelære er grundlaget for matematik. Alle matematiske begreber er defineret ud fra de primitive forestillinger om mængde og medlemskab. I aksiomatisk mængdelære formulerer vi et par simple aksiomer om disse primitive forestillinger i et forsøg på at indfange det grundlæggende "åbenbart sande" "sæt-teoretiske principper. Sådanne aksiomer kan være alle kendte matematik er afledt.)".
↑ Bourbaki N. Matematikkens arkitektur. Essays om matematikkens historie / Oversat af I. G. Bashmakova, red. K. A. Rybnikova. M.: IL, 1963. S. 32, 258.
↑ Sennhauser, Walter. Platon og matematik. - Sankt Petersborg. : RKHGA Publishing House, 2016. - S. 71-91; 315-331.
↑ Euklids begyndelse. Bøger I-VI. M.: OGIZ, 1948.
↑ Kunen, 1980 , s. 12.
↑ 12 Monk , 1969 , s. 21.
↑ Jech, 1997 , s. 7.
↑ Kelly, 1981 , s. 330.
↑ Definitionen som en mængde tilhører den polske matematiker Kazimierz Kuratowski , men før ham blev ideen om at definere et ordnet par og dermed det kartesianske produkt (med andre, mere komplekse konstruktioner end Kuratowskis) som sæt af en særlig type udtrykt af div. matematikere, især Norbert Wiener . $(x,y)$ $\{x,\{x,y\}\}$
↑ Kunen, 1980 , s. fjorten.
↑ Jech, 1997 , s. elleve.
↑ Kelly, 1981 , s. 332.
↑ Enderton, 1977 , kapitel 4.5.
↑ Roitman, 1990 , kapitel 4.
↑ Ciesielski, 1997 , kapitel 3.
↑ Monk, 1969 , s. 97-115.
↑ Jech, 1997 , s. 23.
↑ Kelly, 1981 , s. 344.
↑ Her forstås den ækvivalensklasse, som parret tilhører . $[(n,m)]$ $(n,m)$
↑ Formens produkter , hvor og er defineret ved hjælp af ovenstående indlejring i . $q'\cdot p$ $q'\in {\mathbb {N} }$ $p=[(n,m)]\in {\mathbb {Z} }$ $\mathbb {N}$ $\mathbb {Z}$
↑ Her forstås den ækvivalensklasse, som parret tilhører . $[(p,q)]$ $(p,q)$
↑ Eller kortlægninger med et definitionsdomæne i og et sæt værdier i (hvor der forstås den -. kartesiske grad ). ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n))$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{m))$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n))$ $n$ ${\mathbb {R} }$
↑ En præcisering er nødvendig her: nogle gange opstår der situationer, hvor en matematiker i stedet for begrebet "mængde" skal bruge et noget bredere begreb om " klasse ", beskrevet i teorierne af von Neumann - Bernays - Gödel NBG og Morse - Kelly MK. Vi skriver om det nedenfor.
↑ Se forklaring nedenfor.
↑ J. Shenfield. Matematisk logik. M.: Nauka, 1975. s. 42-43.
↑ Mendelson E. Introduktion til matematisk logik. M.: Nauka, 1984. s. 63-67.
↑ Matematisk logik. Matematisk encyklopædi. V.3, M.: Soviet Encyclopedia, 1982.
↑ Se afsnittet om Hilbert formalisme nedenfor.
↑ 1 2 Alternative aksiomatiske mængdeteorier. Stanford Encyclopedia of Philosophy
↑ Kunen, 1980 .
↑ J. Shenfield. Matematisk logik. M.: Nauka, 1975. Kapitel 9.
↑ 1 2 Mendelson E. Introduktion til matematisk logik. M.: Nauka, 1984. Kapitel 4.
↑ Kelly, 1981 , s. 321-355.
↑ 1 2 3 Kunen, 1980 , s. 35-36.
↑ Kunen, 1980 , s. 35.
↑ Kunen, 1980 , s. 36: "Ingen af de tre teorier, ZF, NBG og MK, kan hævde at være den "rigtige". ZF virker uelegant, da det tvinger os til at behandle klasser, som vi gjorde i §9, via en omskrivning i metateorien. Når først vi giver klasser en formel eksistens, er det svært at retfærdiggøre begrænsningen i NBG på det , der forekommer i klasseforståelsesaksiomet, så MK virker som den rigtige teori. Men når vi først har besluttet at give klasser deres fulde rettigheder, er det naturligt at overveje forskellige egenskaber ved klasser og forsøge at danne superklasser, som f.eks . I MK kan sådanne objekter kun håndteres via en uelegant omskrivning i metateorien." $\phi$ $\{R\subseteq \operatornavn {ON} \times \operatorname {ON} :R{\text{ well-orders }}\operatørnavn {ON} \}$
↑ Se detaljer i artiklen "Konglomerat" .
↑ 1 2 F. William Lawvere. The Category of Categories as a Foundation for Mathematics // Proceedings of the Conference on Categorical Algebra. - Springer, Berlin, Heidelberg, 1966. - S. 1-20 . — ISBN 9783642999048 , 9783642999024 . - doi : 10.1007/978-3-642-99902-4_1 .
↑ Panov V.F., 2006 , s. 21.
↑ History of Mathematics, bind I, 1970 , s. 178.
↑ Panov V.F., 2006 , s. 32.
↑ Kline M., 1984 , s. 20-25.
↑ Yanovskaya S.A. Er vanskelighederne kendt som "Zenos Aporius" blevet overvundet i moderne videnskab? // Problemer med logik . - M. , 1963. - S. 116 -136.
↑ Zeno of Elea // Stanford Encyclopedia of Philosophy.
↑ Plisko V. E., Khakhanyan V. Kh. Intuitionistisk logik . - Side 10. Hentet 24. november 2017. (ubestemt)
↑ 1 2 History of Mathematics, bind I, 1970 , s. 78-80.
↑ Rashevsky P. K. Hilberts "Foundations of Geometry" og deres plads i den historiske udvikling af spørgsmålet // Hilbert D. Foundations of Geometry. - L . : GITTL, 1948. - S. 13-15 .
↑ Vygodsky M. Ya. "Begyndelser" af Euklid // Historiske og matematiske studier . - M. - L. : GITTL, 1948. - Udgave. 1 . - S. 257-264 .
↑ Bashmakova I. G. Forelæsninger om matematikkens historie i det antikke Grækenland // Historisk og matematisk forskning . - M .: Fizmatgiz , 1958. - Nr. 11 . - S. 309-323 .
↑ Kline M., 1984 , s. 45-46.
↑ Kline M., 1984 , s. 55-59, 63-71.
^ Tidligere brugte Archimedes , Cavalieri , Vallis og andre matematikere metoden med infinitesimals som en heuristik (se Metode for udelelige dele ), idet de foreskrev, at resultatet kan bevises ved en "legitim" udmattelsesmetode . Newton og Leibniz tog ikke et sådant forbehold; de betragtede infinitesimals som et juridisk objekt.
↑ Kline M., 1984 , s. 152-156, 172-173.
↑ Kline M., 1984 , s. 164-165, 174-176.
↑ Kline M., 1984 , s. 187, 197.
↑ Kasner, Edward og Newman, James Roy. Matematik og fantasi . - Dover Pubns, 2001. - S. 359 . - ISBN 0-486-41703-4 .
↑ Papadimitriou, 2011 : "Ikke-euklidiske geometrier havde afsløret farerne ved at lave matematik uden en grundig forståelse af dets aksiomatiske grundlag. (Ikke-euklidisk geometri afslørede farerne forbundet med at lave matematik uden fuldt ud at forstå dets aksiomatiske grundlag.)”.
↑ Panov V.F., 2006 , s. 477-482.
↑ Kline M., 1984 , s. 204-206.
↑ Panov V.F., 2006 , s. 485-486.
↑ Kline M., 1984 , s. 207.
↑ Panov V.F., 2006 , s. 506-510.
↑ Kline M., 1984 , s. 236-237.
↑ Mathematics Philosophy , 2.4.
↑ Kline M., 1984 , s. 240-242.
↑ Kline M., 1984 , s. 252-255.
↑ Kline M., 1984 , s. 257-260.
↑ Kline M., 1984 , s. 267-271.
↑ Kline M., 1984 , s. 271-274.
↑ Metafysik og matematik, 2011 , s. 152, 442.
↑ Kline M., 1984 , s. 274-279.
↑ Kline M., 1984 , s. 280-281.
↑ Panov V.F., 2006 , s. 524.
↑ Kline M., 1984 , s. 278-279, 284, 418.
↑ Yu. L. Ershov, E. A. Palyutin, Mathematical Logic, M.: Nauka, 1987, s. 92-93: "Ingen modsigelser er endnu blevet fundet inden for ZFC. På den anden side er det blevet bevist, at hvis ZFC er konsistent, så kan dette faktum ikke fastslås ved hjælp af denne teori.
↑ H.-D.Ebbinghaus, J.Flum, W.Thomas, Mathematical Logic, 1984, s.112: "Ikke desto mindre vidner det faktum om, at ZFC er blevet undersøgt og brugt i matematik i årtier, og ingen inkonsekvens er blevet opdaget, konsistensen af ZFC."
↑ Mathematical Encyclopedic Dictionary, Moscow: Soviet Encyclopedia, 1988, s.410, artikel "Konsistens": "Ethvert matematisk bevis for konsistens er relativt: det reducerer kun spørgsmålet om en teoris konsistens til spørgsmålet om en andens konsistens. "
↑ Mathematical Encyclopedia, Moscow: Soviet Encyclopedia, 1982, s.995, artikel "Konsistens": "Ethvert bevis for konsistens bruger midlerne fra en eller anden matematisk teori og reducerer derfor kun spørgsmålet om konsistens til spørgsmålet om konsistensen af en anden teori. Det siges også, at den første teori er i overensstemmelse med den anden teori. Af stor betydning er Gödels anden teorem, som siger, at konsistensen af en formel teori indeholdende aritmetik ikke kan bevises ved hjælp af teorien selv (forudsat at denne teori faktisk er konsistent)."
↑ Formel aritmetik . Stor sovjetisk encyklopædi . Hentet: 20. januar 2013. (ubestemt)
↑ Penrose R. Stort, lille og menneskeligt sind. - M . : Mir, 2004. - S. 180-184.
↑ Paris J.; Harrington L. (1977). En matematisk ufuldstændighed i peanoaritmetik. I Barwise, J. Handbook of Mathematical Logic. Amsterdam, Holland: Nord-Holland.
↑ Kline M., 1984 , s. 291-293.
↑ Med undtagelse af kun nogle dele af matematisk logik, som nævnt ovenfor.
↑ Mathematical Encyclopedic Dictionary, Moscow: Soviet Encyclopedia, 1988, s.683, artikel "Hilbert": "Hilberts første håb på dette område blev ikke til virkelighed: problemet med matematiske teoriers sammenhæng viste sig at være dybere og vanskeligere end Hilbert tænkte først. Men alt videre arbejde med matematikkens logiske grundlag følger i vid udstrækning de veje, som Hilbert har skitseret og bruger de begreber, han har skabt.
↑ PT Johnstone. Noter om logik og mængdeteori. Cambridge University Press, 1996. Sætning 9.1, 9.2.
↑ Ershov Yu. L. , Palyutin E. A. Matematisk logik. — M .: Nauka, 1987. — 336 s.
↑ A. Rodin. Kategoriteori og søgen efter nye matematiske grundlag for fysik.
↑ Bevisassistenter: Historie, ideer og fremtid // Sadhana . - 2009-02-01. — Bd. 34 , udg. 1 . - S. 3-25 . - doi : 10.1007/s12046-009-0001-5 .
↑ 1 2 3 Daniel R. Grayson. En introduktion til univalente grundlag for matematikere // arXiv:1711.01477 [matematik]. — 2017-11-04.
↑ Davies B. Uanset hvilken matematik? (engelsk) // Notices of the American Mathematical Society. - 2001. - Bd. 52 , nr. 11 . - S. 1350-1356 .
↑ Homotopi Type Theory: Univalent Foundations of Mathematics . - Princeton : Institute for Advanced Study , 2013. - 603 s.
↑ Andrey Rodin. Logisk og geometrisk atomisme fra Leibniz til Voevodsky // Filosofiens problemer . - 2016. - Nr. 6 . - S. 134-142 . (Russisk)

Litteratur

Beginnings of Euclid / Oversættelse fra græsk og kommentarer af D. D. Mordukhai-Boltovsky med redaktionel deltagelse af M. Ya. Vygodsky og I. N. Veselovsky. - M. - L .: GTTI, 1949-1951. - (Klassikere af naturvidenskab).
Whitehead A., Russell B. Foundations of Mathematics: I 3 bind / Ed. G. P. Yarovoy, Yu. N. Radaeva. - Samara: Samara Universitet, 2005-2006. — ISBN 5-86465-359-4 .
Hilbert D. , Bernays P. Mathematics grundlag. M.: Videnskab.
- Bind I. Logisk beregning og formalisering af aritmetik. 1979, 560 s.
- Bind II. Bevisteorien. 1982, 656 s.
Brouwer, Luitzen Egbertus Jan. Over de grundslagene der matematik. Academisch proefschrift, Maas & van Suchtelen, Amsterdam 1907 im Internet-Archiv , dito ). Brouwers afhandling "Om matematikkens grundlag" (n.d.) .
- Engelsk oversættelse: Brouwer LEJ Samlede Værker. Vol. 1: Matematikkens filosofi og grundlag. - Amsterdam-Oxford, 1975. - 734 s. — ISBN 9781483257549 .
Kleene S.K. Introduktion til metamatematik. - M .: Forlag for udenlandsk litteratur , 1957. - 526 s.
Frenkel A. A. , Bar-Hillel I. Fundamenter for mængdeteori. — M.: Mir, 1966. — 555 s.
Matematikkens grundlag . - Great Soviet Encyclopedia, 3. udgave, bind 18, S. 1685 ..
Kunen, Kenneth Sætteori: En introduktion til uafhængighedsbeviser . - Nord-Holland, 1980. - ISBN 0-444-85401-0 .
Bourbaki N. Matematikkens grundlag. Logikker. Mængdeori // Essays om matematikkens historie / I. G. Bashmakova . - M . : Forlag for udenlandsk litteratur, 1963. - S. 37-53. — 292 s. — (Matematikelementer).
Bourbaki, N. Matematikkens arkitektur. Essays om matematikkens historie (Maced.) . - Moskva: Forlaget for udenlandsk litteratur, 1963. - (Elementer af matematik).
Sennhauser, Walter. Platon og matematik. - Sankt Petersborg. : RKHGA Publishing House, 2016.
Euklids begyndelse. Bøger I - VI. - Moskva: OGIZ, 1948.
Monk, JD Introduktion til mængdeteori. - McGraw-Hill Education , 1969.
Jech, T. Sæteori. — Springer, 1997.
Kelly, J.Generel topologi. - Moskva: Nauka, 1981.
Enderton, H. B. Elementer af mængdelære . — Akademisk presse, 1977.
Roitman, J. Introduktion til moderne mængdelære. - Wiley, 1990.
Papadimitriou, Christos H. Computation and Intractability: Echoes of Kurt Gödel // Kurt Gödel and the Foundations of Mathematics: Horizons of Truth / Matthias Baaz et al. - Cambridge University Press , 2011. - 515 s.
Ciesielski, K. Mængdelære for den arbejdende matematiker. - Cambridge University Press, 1997.
Mendelson E. Introduktion til matematisk logik. - Moskva: Nauka, 1984.
Adyan S. I. Matematisk logik // Matematisk encyklopædi. - Moskva: Soviet Encyclopedia, 1982. - T. 3.

Shenfield J. Matematisk logik. - Moskva: Nauka, 1975.

F. William Lawvere. The Category of Categories as a Foundation for Mathematics // Proceedings of the Conference on Categorical Algebra. - Springer, Berlin, Heidelberg, 1966. - S. 1-20 . — ISBN 9783642999048 , 9783642999024 . - doi : 10.1007/978-3-642-99902-4_1 .

Matematikkens historie. Fra oldtiden til begyndelsen af den nye tidsalder // Mathematics History / Redigeret af A.P. Yushkevich , i tre bind. - M . : Nauka, 1970. - T. I.
Kline M. Matematik. Tab af sikkerhed . — M .: Mir, 1984. — 446 s. Arkiveret12. februar 2007 påWayback Machine
Matematik i det 19. århundrede. Bind I: Matematisk logik, Algebra, Talteori, Sandsynlighedsteori / Red. Kolmogorova A. N. , Yushkevich A. P. . — M .: Nauka, 1978. — 256 s.
Metafysik. århundrede XXI. Almanak. Problem. 4: Metafysik og matematik. — M. : BINOM. Videnlaboratoriet, 2011. - 463 s. — ISBN 978-5-9963-0551-3 . En samling af klassiske (Riemann, Poincaré, Brouwer, Gödel, Cohen, G. Weyl) og nutidige artikler om berettigelsen af matematik og andre problemer i matematik og fysik.
Mostovsky A. Den aktuelle tilstand af forskning om grundlaget for matematik // Fremskridt i matematiske videnskaber . - M .: Det Russiske Videnskabsakademi , 1954. - T. 9 , udg. 3(61) . - S. 3-38 . (Russisk)Dette er en udvidet præsentation af en rapport leveret ved VIII-kongressen for polske matematikere (Warszawa, 1953).
Panov VF Matematik gammel og ung. - udg. 2. - M . : MSTU im. N.E. Bauman, 2006. - 648 s. — ISBN 5-7038-2890-2 .
Perminov V. Ya. Matematiks filosofi og grundlag. - M . : Fremskridt-Tradition, 2001. - 320 s. — ISBN 5-89826-098-6 .
Yarovoy G., Radaev Yu Forord // Whitehead A., Russell B. Mathematics fundamenter: i 3 bind - Samara: Samara University, 2005-2006. — ISBN 5-86465-359-4 .
Yashin B. L. Matematik i sammenhæng med filosofiske problemer. - M. : Prometheus, 2012. - S. 69. - 110 s. — ISBN 978-5-4263-0111-5 .

Yanov Yu. I. Matematik, metamatematik og sandhed . Hentet: 10. januar 2018. (ubestemt)
Friedman Harvey M. Fundamenter for matematik: fortid, nutid og fremtid (engelsk) . Dato for adgang: 16. november 2017.
Horsten, Leon. Matematisk filosofi (engelsk) . — Stanford Encyclopedia of Philosophy. Hentet: 15. november 2017.
Kunen, Kenneth. The Foundations of Mathematics (engelsk) (29. oktober 2007). Hentet: 15. november 2017.
Lambek, Joachim. Matematikkens grundlag (engelsk) . - Encyclopedia Britannica. Hentet: 15. november 2017.
Simpson , Stephen G. Logik og matematik . Dato for adgang: 16. november 2017.

Ordbøger og encyklopædier	Britannica (online) Universalis
I bibliografiske kataloger	NDL : 00571525

Grene af matematik

Portal "Science"

Grundlaget for matematik mængdeteori matematisk logik logikkens algebra

Talteori ( aritmetik )

Algebra
Elementær algebra	Ligningsløsning
Lineær algebra	Vektorregning matricer Tensorregning Multilineær algebra
Generel algebra	Kommutativ algebra Repræsentationsteori Differentiel algebra Homologisk algebra Universal Algebra Kategori teori

Analyse
Klassisk analyse	Differentialregning Integralregning
Funktionsteori	Harmonisk analyse Kvaternion Analyse Kompleks analyse måle teori Teori om funktioner af en reel variabel funktionel analyse Variationsberegning
Differential- og integralligninger	Dynamiske systemer og ergodisk teori Differentialligninger almindelig i partielle derivater Integralligninger
Vektoranalyse Global Analyse Katastrofe teori Tilpasset analyse Glat infinitesimal analyse

Geometri og topologi
Geometri	Algebraisk geometri Analytisk geometri Euklidisk geometri Ikke-euklidisk geometri Planimetri Stereometri
Topologi	Generel topologi Algebraisk topologi Differentialgeometri og topologi

Diskret matematik
Kombinatorik grafteori

Anvendt matematik
Matematisk fysik Matematisk kemi matematisk biologi Matematik statistik Matematisk modellering Teori om algoritmer Numeriske metoder matematisk økonomi finansiel matematik Sandsynlighedsteori Operationsforskning Spilteori

Portal "Matematik"
Kategori "Matematik"