Geometrisk progression

En geometrisk progression er en sekvens af tal , , , ( medlemmer af progressionen), hvor hvert efterfølgende tal, startende fra det andet, fås fra det foregående medlem ved at gange det med et bestemt tal ( progressionens nævner ). Samtidig [1] . $b_{1}$ $b_{2}$ $b_{3}$ $\ldots$ $q$ $b_{1}\neq 0,q\neq 0;b_{n}=b_{n-1}q,n\in \mathbb {N} ,n\geqslant 2$

Beskrivelse

Ethvert medlem af en geometrisk progression kan beregnes ved hjælp af formlen

b_{n}=b_{1}q^{n-1}.

Hvis og , progressionen er en stigende sekvens , hvis , er det en faldende sekvens, og for , er det en vekslende sekvens [2] , for , den er stationær . $b_{1}>0$ $q>1$ $0<q<1$ $q<0$ $q=1$

Progressionen har fået sit navn fra sin karakteristiske egenskab :

|b_{n}|={\sqrt {b_{n-1}b_{n+1}}},

det vil sige, at modulet for hvert led er lig med dets naboers geometriske middelværdi.

Eksempler

Rækkefølgen af områder af kvadrater , hvor hver næste firkant opnås ved at forbinde midtpunkterne på siderne af den forrige, er en uendelig geometrisk progression med en nævner på 1/2. Arealerne af trekanter opnået ved hvert trin danner også en uendelig geometrisk progression med nævneren 1/2, hvis sum er lig med arealet af det indledende kvadrat [3] :8-9 .
Geometrisk er rækkefølgen af antallet af korn på cellerne i problemet med korn på et skakbræt .
2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64 , 128, 256, 512, 1024 , 2048, 4096, 8192 - en geometrisk progression med en nævner på 2 ud af tretten medlemmer.
halvtreds; 25; 12,5; 6,25; 3,125; ... er en uendeligt aftagende geometrisk progression med nævneren 1/2.
fire; 6; 9 er en geometrisk progression af tre elementer med en nævner på 3/2.
$\pi$ , , , er en stationær geometrisk progression med en nævner på 1 (og en stationær aritmetisk progression med en forskel på 0). $\pi$ $\pi$ $\pi$
3; −6; 12; −24; 48; … er en vekslende geometrisk progression med nævneren −2.
en; −1; en; −1; en; … er en vekslende geometrisk progression med nævneren −1.

Egenskaber

Formlen for nævneren for en geometrisk progression:

q={\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}

Bevis

Ifølge definitionen af en geometrisk progression.

Logaritmerne af vilkårene for en geometrisk progression (hvis defineret) danner en aritmetisk progression .

Bevis

$\log(b_{n})=\log(b_{1}q^{n-1})=\log(b_{1})+(n-1)\cdot \log(q)$ Formlen for fællesleddet for en aritmetisk progression er: . I vores tilfælde . $a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot d$

$a_{1}=\log(b_{1})$
$d=\log(q)$

$b_{{n}}^{2}=b_{{ni}}b_{{n+i}}$ hvis . $1<i<n$

Bevis

$b_{n}^{2}=b_{n}b_{n}=b_{1}q^{n-1}b_{1}q^{n-1}=b_{1}q^ {n-1-i}b_{1}q^{n-1+i}=b_{ni}b_{n+i}.$

Produktet af de første n led af en geometrisk progression kan beregnes ved hjælp af formlen $P_{n}=(b_{1}\cdot b_{n})^{\frac {n}{2)).$

Bevis

$P_{n}=\prod _{i=1}^{n}b_{i}=\prod _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_ {1}^{n}\prod _{i=1}^{n}q^{i-1}=b_{1}^{\frac {n}{2}}b_{1}^{\frac {n}{2}}\prod _{i=1}^{n}q^{i-1}.$ Lad os udvide arbejdet : Udtrykket er en aritmetisk progression med og trin 1. Summen af de første n medlemmer af progressionen er Hvor $\prod _{{i=1}}^{n}q^{{i-1}}$ $\prod _{i=1}^{n}q^{i-1}=q^{0}\cdot q^{1}\cdot q^{2}\cdot \ldots \cdot q^ {i-1}=q^{0+1+2+\ldots +(i-1)}.$ $0+1+2+\ldots +(n-1)$ $a_{1}=0$ $S_{n}=n\cdot {\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}=n\cdot {\frac {0+(n-1)}{2}}.$ $P_{n}=b_{1}^{\frac {n}{2}}b_{1}^{\frac {n}{2}}\prod _{i=1}^{n} q^{i-1}=b_{1}^{\frac {n}{2}}b_{1}^{\frac {n}{2}}q^{\frac {n(0+(n -1))}{2}}=\left(b_{1}b_{1}q^{n-1}\right)^{\frac {n}{2}}=\left(b_{1} b_{n}\right)^{\frac {n}{2)).$

Produktet af led i en geometrisk progression, startende med det k . led og slutter med det n . led , kan beregnes ved hjælp af formlen $P_{k,n}={\frac {P_{n}}{P_{k-1}}}.$

Bevis

$P_{k,n}=\prod _{i=k}^{n}b_{i}={\frac {\prod _{i=1}^{n}b_{i)){\ prod _{j=1}^{k-1}b_{j}}}={\frac {P_{n}}{P_{k-1}}}.$

Summen af de første led i en geometrisk progression $n$ $S_{n}={\begin{cases}\sum \limits _{i=1}^{n}b_{i}={\frac {b_{1}-b_{1}q^{n }}{1-q}}={\frac {b_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q}},&{\mbox{if }}q\neq 1 \\\\nb_{1},&{\mbox{if }}q=1\end{cases}}$

Bevis

Bevis gennem summen: $S_{n}=\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}+\sum _{i=2}^{n}b_ {1}q^{i-1}=b_{1}+q\sum _{i=2}^{n}b_{1}q^{i-2}=b_{1}+q\sum _ {i=1}^{n-1}b_{1}q^{i-1}=b_{1}+q\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i- 1}-b_{1}q^{n}.$ Det vil sige eller $\sum _{{i=1}}^{n}b_{1}q^{{i-1}}=b_{1}+q\sum _{{i=1}}^{n}b_{ 1}q^{{i-1}}-b_{1}q^{n}$ $\left(1-q\right)\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}-b_{1}q^{n} .$ Hvor $\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}={\frac {b_{1}-b_{1}q^{n}}{1-q }}=b_{1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}.$
Bevis ved induktion på . $n$ Lade $S_{n}=b_{1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}.$ Når vi har: $n=1$ $S_{1}=\sum _{i=1}^{1}b_{i}=b_{1}=b_{1}{\frac {1-q^{1}}{1-q }}.$ Når vi har: $n\rightarrow n+1$ $S_{n+1}=\sum _{i=1}^{n+1}b_{i}=\sum _{i=1}^{n}b_{i}+b_{n+ 1 }=b_{1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}+b_{1}q^{n}=b_{1}\venstre({\frac {1-q ^ {n}}{1-q}}+q^{n}\right)=b_{1}\venstre({\frac {1-q^{n}+q^{n}-q^{n + 1}}{1-q}}\right)=b_{1}{\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}.$

Summen af alle medlemmer af en faldende progression:

\left|q\right|<1

, derefter kl , og

b_{n}\to 0

n\til +\infty

S_{n}\to {\frac {b_{1}}{1-q}}

kl .

n\til +\infty

Bevis

$\lim _{n\to \infty }S_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {b_{1}\left(1-q^{n}\right)} {1-q}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {b_{1}}{1-q}}-b_{1}{\frac {q^{n}} {1-q}}\right)={\frac {b_{1}}{1-q}}-b_{1}\lim _{n\to \infty }{\frac {q^{n}} {1-q}}.$ Hvis så på Derfor Derfor $\left|q\right|<1,$ $q^{n}\to 0$ $n\to \infty .$ $\lim _{n\to \infty }{\frac {q^{n}}{1-q}}=0.$ $\lim _{n\to \infty }S_{n}={\frac {b_{1}}{1-q}}.$

Se også

Noter

↑ Geometrisk progression Arkiveret 12. oktober 2011 på Wayback Machine på mathematics.ru
↑ Geometrisk progression // Great Soviet Encyclopedia : [i 30 bind] / kap. udg. A. M. Prokhorov . - 3. udg. - M . : Sovjetisk encyklopædi, 1969-1978.
↑ Rowe S. Geometriske øvelser med et stykke papir . - 2. udg. - Odessa: Mathesis, 1923.

Ordbøger og encyklopædier	Great Soviet (1 udg.) Britannica (online)