Differentialligning

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 24. januar 2022; checks kræver 6 redigeringer .

En differentialligning er en ligning , der udover en funktion indeholder dens afledte . Rækkefølgen af de afledte, der indgår i ligningen, kan være forskellig (formelt er den ikke begrænset af noget). Afledte, funktioner, uafhængige variable og parametre kan indgå i ligningen i forskellige kombinationer eller helt fraværende, bortset fra mindst én afledt. Ikke nogen ligning, der indeholder afledte af en ukendt funktion, er differential. For eksempel er ikke en differentialligning [1] . $f'\left(x\right)=f\left(f\left(x\right)\right)$

I modsætning til algebraiske ligninger , som et resultat af, at der søges efter et tal (flere tal), søges der ved løsning af differentialligninger en funktion (familie af funktioner).

En differentialligning af orden højere end den første kan omdannes til et system af førsteordensligninger, hvor antallet af ligninger er lig med rækkefølgen af den oprindelige differentialligning.

Moderne højhastighedscomputere giver effektivt en numerisk løsning af almindelige differentialligninger uden at kræve dens løsning i analytisk form. Dette giver nogle forskere mulighed for at hævde, at løsningen på problemet blev opnået, hvis det var muligt at reducere det til løsningen af en almindelig differentialligning .

En generalisering af begrebet en differentialligning til tilfældet med et uendeligt sæt af variabler er en ligning i funktionelle afledte .

Terminologi og klassifikation

Rækkefølgen af en differentialligning er den højeste rækkefølge af dens afledte.

Hvis en differentialligning er et polynomium i forhold til den højeste afledede, så kaldes graden af dette polynomium graden af differentialligningen . Så for eksempel er ligningenen ligning af anden orden, fjerde grad[2]. $\left(y''\right)^{4}+y'+y^{6}+x^{7}=0$

En løsning ( integral ) af en differentialligning af orden er en funktion , der har afledte op til orden inklusive på et bestemt interval og opfylder denne ligning. Processen med at løse en differentialligning kaldes integration . Problemet med at integrere en differentialligning anses for løst, hvis det at finde den ukendte funktion kan bringes til en kvadratur (det vil sige til formen , hvor er en elementær funktion), uanset om det resulterende integral er udtrykt i den endelige form i termer kendte funktioner eller ej. $n$ $y\left(x\right)$ $\venstre(a,b\højre)$ $y'\left(x\right),y''\left(x\right),...,y^{\left(n\right)}\left(x\right)$ $n$ $y\left(x\right)$ $y=\int f\left(x\right)\dx$ $f \venstre( x \højre)$

Alle differentialligninger kan opdeles i almindelige differentialligninger (ODE), som kun omfatter funktioner (og deres afledte) af et argument , og partielle differentialligninger (PDE ), hvor inputfunktionerne afhænger af mange variable. Der er også stokastiske differentialligninger (SDE'er), der involverer stokastiske processer .

Afhængigt af kombinationerne af afledte, funktioner, uafhængige variable, er differentialligninger opdelt i lineære og ikke-lineære, med konstante eller variable koefficienter, homogene eller ikke-homogene. På grund af vigtigheden af applikationer udskilles kvasi-lineære (lineære med hensyn til højere afledte) partielle differentialligninger i en separat klasse [3] .

Det vigtigste spørgsmål for differentialligninger er eksistensen og unikheden af deres løsninger. Løsningen af dette spørgsmål er givet af eksistens- og entydighedsteoremer, som angiver de nødvendige og tilstrækkelige betingelser for dette. For almindelige differentialligninger blev sådanne betingelser formuleret af Rudolf Lipschitz (1864). For partielle differentialligninger blev den tilsvarende teorem bevist af Sophia Kovalevskaya (1874).

Løsninger af differentialligninger er opdelt i generelle og særlige løsninger. Generelle løsninger omfatter udefinerede konstanter, og for partielle differentialligninger, vilkårlige funktioner af uafhængige variable, der kan raffineres ud fra yderligere integrationsbetingelser (startbetingelser for almindelige differentialligninger, begyndelses- og grænsebetingelser for partielle differentialligninger). Efter at have bestemt formen for de angivne konstante og ubestemte funktioner, bliver løsningerne særlige.

Søgningen efter løsninger på almindelige differentialligninger førte til etableringen af en klasse af specielle funktioner - funktioner, der ofte stødes på i applikationer og ikke kan udtrykkes i form af kendte elementære funktioner. Deres egenskaber blev undersøgt i detaljer, værditabeller blev kompileret, gensidige relationer blev bestemt og så videre.

Udviklingen af teorien om differentialligninger gjorde det muligt i en række tilfælde at opgive kravet om kontinuitet i de undersøgte funktioner og at indføre generaliserede løsninger af differentialligninger.

Historie

Oprindeligt opstod differentialligninger fra mekanikkens problemer , hvor det var nødvendigt at bestemme koordinaterne af legemer , deres hastigheder og accelerationer , betragtet som funktioner af tid under forskellige påvirkninger. Nogle af de geometriske problemer, der blev betragtet på det tidspunkt, førte også til differentialligninger.

Grundlaget for teorien om differentialligninger var differentialregningen skabt af Leibniz og Newton (1642-1727). Selve udtrykket "differentialligning" blev foreslået i 1676 af Leibniz.

Af det enorme antal værker fra det 18. århundrede om differentialligninger skiller Eulers (1707-1783) og Lagranges (1736-1813) værker sig ud. I disse værker blev teorien om små svingninger først udviklet, og følgelig teorien om lineære systemer af differentialligninger; undervejs opstod de grundlæggende begreber for lineær algebra (egenværdier og vektorer i det n -dimensionelle tilfælde). Efter Newton , udviklede Laplace og Lagrange, og senere Gauss (1777-1855), også perturbationsteoriens metoder.

Da uopløseligheden af algebraiske ligninger i radikaler blev bevist, konstruerede Joseph Liouville (1809-1882) en lignende teori for differentialligninger, der etablerede umuligheden af at løse en række ligninger (især sådanne klassiske ligninger som andenordens lineære ligninger) i elementære funktioner og kvadratur. Senere kom Sophus Lie (1842-1899), der analyserede spørgsmålet om integration af ligninger i kvadraturer, til behovet for at studere i detaljer grupper af diffeomorfismer (senere kaldet Lie-grupper ) - sådan opstod et af de mest frugtbare områder af moderne matematik. i teorien om differentialligninger, hvis videre udvikling var tæt forbundet med helt andre spørgsmål (Lie-algebraer blev betragtet endnu tidligere af Simeon-Denis Poisson (1781-1840) og især Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851) ).

Et nyt trin i udviklingen af teorien om differentialligninger begynder med arbejdet af Henri Poincare (1854-1912), den "kvalitative teori om differentialligninger", han skabte, sammen med teorien om funktioner af komplekse variable, dannede grundlaget for moderne topologi . Den kvalitative teori om differentialligninger, eller, som det nu mere almindeligt kaldes, teorien om dynamiske systemer , udvikler sig nu aktivt og har vigtige anvendelser inden for naturvidenskab.

Almindelige differentialligninger

Almindelige differentialligninger (ODE'er) er ligninger, der afhænger af én uafhængig variabel; de ligner

F\left(x,y,y',y'',...,y^{(n)}\right)=0

eller

F\venstre(x,y,{\frac {{\mathrm {d}}y}{{\mathrm {d}}x}},{\frac {{\mathrm {d}}^{{2}} y}{{\mathrm {d}}x^{2}}},...,{\frac {{\mathrm {d}}^{{n}}y}{{\mathrm {d}}x ^{n}}}\right)=0,

hvor er en ukendt funktion (evt . en vektorfunktion ; i dette tilfælde taler man ofte om et system af differentialligninger), afhængigt af den uafhængige variabel primtal betyder differentiering med hensyn til Tallet kaldes differentialligningens rækkefølge . De vigtigste i praksis er differentialligninger af første og anden orden. $y=y(x)$ $x,$ $x.$ $n$

De enkleste differentialligninger af første orden

De enkleste førsteordens differentialligninger er en klasse af førsteordens differentialligninger, der er lettest tilgængelige for løsning og undersøgelse. Det inkluderer ligninger i totale differentialer , ligninger med adskillelige variable, førsteordens homogene ligninger og førsteordens lineære ligninger. Alle disse ligninger kan integreres i den endelige form.

Udgangspunktet for præsentationen vil være en førsteordens differentialligning, skrevet i den såkaldte. symmetrisk form:

${\begin{matrix}P(t,x)dt+Q(t,x)dx=0\end{matrix}}\qquad (1),$

hvor funktionerne og er definerede og kontinuerlige i et eller andet domæne . $P(t,x)$ $Q(t,x)$ $\Omega \subseteq {\mathbb {R}}_{{t,x}}^{2}$

Partielle differentialligninger

Partielle differentialligninger (PDE'er) er ligninger, der indeholder ukendte funktioner af flere variable og deres partielle derivater . Den generelle form for sådanne ligninger kan repræsenteres som:

F\venstre(x_{1},x_{2},\dots,x_{m},z,{\frac {\partial z}{\partial x_{1))},{\frac {\partial z} {\partial x_{2))},\dots ,{\frac {\partial z}{\partial x_{m))},{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x_{1} ^{2}}},{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x_{1}\partial x_{2}}},{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x_{2}^{2))),\dots ,{\frac {\partial ^{n}z}{\partial x_{m}^{n))}\right)=0,

hvor er uafhængige variable og er en funktion af disse variable. Rækkefølgen af partielle differentialligninger kan bestemmes på samme måde som for almindelige differentialligninger. En anden vigtig klassifikation af partielle differentialligninger er deres opdeling i ligninger af elliptiske, parabolske og hyperbolske typer, især for andenordensligninger. $x_{1},x_{2},\dots,x_{m}$ $z\!=z(x_{1},x_{2},\dots,x_{m})$

Lineære og ikke-lineære differentialligninger

Både almindelige differentialligninger og partielle differentialligninger kan opdeles i lineære og ikke-lineære . En differentialligning er lineær, hvis den ukendte funktion og dens afledte kun indtaster ligningen i første potens (og ikke ganges med hinanden). For sådanne ligninger danner løsningerne et affint underrum af funktionsrummet. Teorien om lineære differentialligninger er blevet udviklet meget dybere end teorien om ikke-lineære ligninger. Generel form for en lineær differentialligning af n . orden:

p_{n}(x)y^{(n)}(x)+p_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x)+\cdots +p_{0} (x)y(x)=r(x),

hvor p i ( x ) er kendte funktioner af den uafhængige variabel, kaldet ligningens koefficienter. Funktionen r ( x ) på højre side kaldes skæringspunktet (det eneste led, der ikke afhænger af den ukendte funktion). En vigtig særlig klasse af lineære ligninger er lineære differentialligninger med konstante koefficienter .

En underklasse af lineære ligninger er homogene differentialligninger - ligninger, der ikke indeholder et frit led: r ( x ) = 0 . For homogene differentialligninger gælder superpositionsprincippet : en lineær kombination af partielle løsninger af en sådan ligning vil også være dens løsning. Alle andre lineære differentialligninger kaldes inhomogene differentialligninger .

Ikke-lineære differentialligninger i det generelle tilfælde har ikke udviklede løsningsmetoder, bortset fra nogle bestemte klasser. I nogle tilfælde (ved brug af visse tilnærmelser) kan de reduceres til lineære. For eksempel kan den ikke-lineære ligning for et matematisk pendul i tilfælde af små amplituder, når sin y ≈ y , betragtes som en lineær ligning for en harmonisk oscillator ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+\omega ^{2}\sin y=0$ ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+\omega ^{2}y=0$

Eksempler

$y''+9y=0$ er en andenordens homogen differentialligning med konstante koefficienter. Løsningen er en familie af funktioner , hvor og er vilkårlige konstanter, som bestemmes for en specifik løsning ud fra særskilt specificerede begyndelsesbetingelser. Denne ligning beskriver især bevægelsen af en harmonisk oscillator med en cyklisk frekvens på 3. $y=(C_{1}\cos 3x+C_{2}\sin 3x)$ $C_{1}$ $C_{2}$
Newtons anden lov kan skrives i form af en differentialligning, hvor m er kroppens masse, x er dets koordinat, F ( x , t ) er kraften, der virker på kroppen med koordinat x til tidspunktet t . Dens løsning er kroppens bane under påvirkning af den specificerede kraft. $m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=F(x,t),$
Bessel differentialligning er en almindelig lineær homogen ligning af anden orden med variable koefficienter: Dens løsninger er de såkaldte cylindriske funktioner - Bessel , Neumann, Hankel funktionerne . $x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+(x^{2}-\alpha ^{2} )y=0.$
Et eksempel på en ikke-homogen ikke-lineær ordinær differentialligning af 1. orden: ${\frac {du}{dx}}=u^{2}+1.$

I den følgende gruppe eksempler afhænger den ukendte funktion u af to variable x og t eller x og y .

Homogen lineær partiel differentialligning af første orden:

{\frac {\partial u}{\partial t))+t{\frac {\partial u}{\partial x))=0.

En en- dimensionel bølgeligning er en andenordens homogen lineær andenordens hyperbolsk type partiel differentialligning med konstante koefficienter, der beskriver vibrationen af en streng, hvis er strengens afvigelse i et punkt med koordinat x på tidspunktet t , og parameteren a specificerer strengens egenskaber: $u=u(x,t)$

{\frac {\partial {}^{2}u}{\partial t^{2}}}=a^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2} }}.

Laplace-ligningen i todimensionelt rum er en homogen lineær andenordens partiel differentialligning af elliptisk type med konstante koefficienter, der opstår i mange fysiske problemer inden for mekanik, varmeledning, elektrostatik, hydraulik:

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0.

Korteweg-de Vries-ligningen , en ikke-lineær tredjeordens partiel differentialligning, der beskriver stationære ikke-lineære bølger, inklusive solitoner :

{\frac {\partial u}{\partial t))=6u{\frac {\partial u}{\partial x))-{\frac {\partial ^{3}u}{\partial x^{3 }}}.

De vigtigste differentialligninger

Almindelige differentialligninger

Partielle differentialligninger

Euler-Lagrange ligning (klassisk lagrangiansk mekanik )
Hamiltons ligninger (klassisk Hamilton-mekanik )
bølgeligning
Maxwells ligninger ( elektromagnetisme )
Laplace ligning
Poisson ligning
Einsteins ligning ( generel relativitetsteori )
Schrödinger ligning ( kvantemekanik )
Diffusionsligning
Varmeligning ( termodynamik )
Korteweg-de Vries ligning ( solitære bølger )
Navier-Stokes ligninger ( viskose væskestrømme )
Euler-ligning (usynlige strømme af gasformige medier)
Lin-Reissner-Qian ligning (transoniske ustabile strømninger)
Lamé ligninger ( elasticitetsteori )

Se også

Generel løsning af differentialligning
Partiel løsning af en differentialligning
De enkleste differentialligninger af første orden
specialløsning
Cauchy problem
Homogen differentialligning
Inhomogen differentialligning
Lineær differentialligning
Bernoullis differentialligning
Differentialligninger for Lagrange og Clairaut
Riccati ligning
Partiel differentialligning
Kvasi-differentialligning
Fraktionel differentialligning
Integro-differentialligninger
Retningsfelt

Software

ExpressionsinBar
Ahorn [4] : dsolve
SageMath [5]
Xcas [6] : desolve(y'=k*y, y)
Wolfram Mathematica: DSolve[udd., func, var], NDSolve[udd., func, var]

Noter

↑ Arnold V. I. Almindelige differentialligninger. - M .: Nauka, 1971, s. 16
↑ Alibekov I. Yu . Numeriske metoder, U/P . - MGIU, 2008. - S. 180. - 221 s. — ISBN 9785276014623 .
↑ Rozhdestvensky B. L., Yanenko N. N. Systemer af kvasilineære ligninger og deres anvendelser på gasdynamik. — M.: Nauka, 1988. — 686 s.
↑ dsolve - Maple-programmeringshjælp . www.maplesoft.com. Hentet 12. maj 2020. Arkiveret fra originalen 23. november 2013. (ubestemt)
↑ Grundlæggende algebra og kalkulation - Sage-vejledning v9.0 . doc.sagemath.org. Hentet 12. maj 2020. Arkiveret fra originalen 14. januar 2020. (ubestemt)
↑ [Symbolisk algebra og matematik med Xcas http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/giac/cascmd_en.pdf ] . (ubestemt)

Litteratur

Encyklopædier og opslagsværker

Differentialligninger // Debitor - Eucalyptus. - M . : Soviet Encyclopedia, 1972. - ( Great Soviet Encyclopedia : [i 30 bind] / chefredaktør A. M. Prokhorov ; 1969-1978, bind 8).
Differentialligninger : [ arch. 10. november 2014 ] / I. P. Makarov // Matematisk encyklopædi: i 5 bind / Kap. udg. I. M. Vinogradov . - M . : Soviet Encyclopedia, 1979. - T. 2: D'Alembert-operatør - Samarbejdsspil. — 552 s. - 1104 stb.
Zaitsev VF , Polyanin AD Opslagsbog om almindelige differentialligninger. — M.: Fizmatlit , 2001.
Zaitsev V. F. , Polyanin A. D. Håndbog i førsteordens partielle differentialligninger. Moskva: Fizmatlit, 2003.
Kamke E. Håndbog i første ordens partielle differentialligninger. — M.: Nauka, 1966.
Kamke E. Håndbog i almindelige differentialligninger. — M.: Nauka, 1976.
Polyanin AD Håndbog i lineære ligninger af matematisk fysik. — M.: Fizmatlit, 2001.
Polyanin A.D. , Zaitsev V.F. Håndbog i ikke-lineære ligninger af matematisk fysik: eksakte løsninger. - M .: Fizmatlit, 2002.

Tutorials

Arnold V. I. Almindelige differentialligninger. — M.: Nauka, 1966.
Diesperov VN Forelæsninger om differentialligninger [tekst]: lærebog. afregning - M., MIPT, 2017. 242 s. ISBN 978-5-7417-0630-5 .
Petrovsky IG Forelæsninger om teorien om almindelige differentialligninger. — M.: Nauka, 1970.
Polyanin A. D. , Zaitsev V. F. , Zhurov A. I. Metoder til løsning af ikke-lineære ligninger af matematisk fysik og mekanik. — M.: Fizmatlit, 2005.
Pontryagin L. S. Almindelige differentialligninger. — M.: Nauka, 1974.
Tikhonov A. N. , Samarsky A. A. Matematisk fysiks ligninger. — M.: Nauka, 1972.
Tikhonov A. N. , Vasilyeva A. B. , Sveshnikov A. G. Differentialligninger. - 4. udg. — Fizmatlit, 2005.
Umnov A. E. , Umnov E. A. Grundlæggende om teorien om almindelige differentialligninger (pdf) (på forfatterens portal)
Filippov AF Introduktion til teorien om differentialligninger . - Ed. 2. - 2007. - 240 s. — ISBN 5354004160 .
Charles Henry Edwards, David E. Penny. Differentialligninger og grænseværdiproblemer: Beregning og modellering med Mathematica, Maple og MATLAB = Differentialligninger og grænseværdiproblemer: Beregning og modellering. - 3. udg. - M .: "Williams" , 2007. - ISBN 978-5-8459-1166-7 .
Elsgol'ts LE differentialligninger og variationsregningen. — M.: Nauka, 1969.

Opgavebøger

Krasnov M. L., Kiselev A. I., Makarenko G. I. Samling af problemer på almindelige differentialligninger. - 3. udg. - M .: Højere skole, 1978.
Samoilenko A. M., Krivosheya S. A., Perestyuk N. A. Differentialligninger: eksempler og problemer. - 2. udg. - M .: Højere skole, 1989.
Filippov AF Samling af opgaver om differentialligninger. - Izhevsk: Forskningscenter "Regular and Chaotic Dynamics", 2000.

Links

Hjemmeside redigeret af A. D. Polyanin "The World of Mathematical Equations" — EqWorld
Russisksprogede ressourcer om differentialligninger i det åbne katalog .
Eksempler på løsning af differentialligninger
Ekspreskursus om differentialligninger: manual- og videoforelæsninger af R. V. Shamin
Retningsfeltet for en førsteordens differentialligning er en undervisningsfilm, produceret af Lennauchfilm .

Ordbøger og encyklopædier

I bibliografiske kataloger
BNF : 133183122 GND : 4012249-9 J9U : 987007553020305171 LCCN : sh85037890 NDL : 00560651 NKC : ph119444

Grene af matematik

Portal "Science"

Grundlaget for matematik mængdeteori matematisk logik logikkens algebra

Talteori ( aritmetik )

Algebra
Elementær algebra	Ligningsløsning
Lineær algebra	Vektorregning matricer Tensorregning Multilineær algebra
Generel algebra	Kommutativ algebra Repræsentationsteori Differentiel algebra Homologisk algebra Universal Algebra Kategori teori

Analyse
Klassisk analyse	Differentialregning Integralregning
Funktionsteori	Harmonisk analyse Kvaternion Analyse Kompleks analyse måle teori Teori om funktioner af en reel variabel funktionel analyse Variationsberegning
Differential- og integralligninger	Dynamiske systemer og ergodisk teori Differentialligninger almindelig i partielle derivater Integralligninger
Vektoranalyse Global Analyse Katastrofe teori Tilpasset analyse Glat infinitesimal analyse

Geometri og topologi
Geometri	Algebraisk geometri Analytisk geometri Euklidisk geometri Ikke-euklidisk geometri Planimetri Stereometri
Topologi	Generel topologi Algebraisk topologi Differentialgeometri og topologi

Diskret matematik
Kombinatorik grafteori

Anvendt matematik
Matematisk fysik Matematisk kemi matematisk biologi Matematik statistik Matematisk modellering Teori om algoritmer Numeriske metoder matematisk økonomi finansiel matematik Sandsynlighedsteori Operationsforskning Spilteori

Portal "Matematik"
Kategori "Matematik"

Differentialregning

Hoved

private udsigter

Differentialoperatorer
( i forskellige koordinater )

Første ordre	Nabla operatør Gradient Divergens Rotor Helmholtzian
anden orden	Elliptisk operatør Laplace operatør Laplace vektor operatør D'Alembert operatør Laplace-Beltrami operatør
højere ordrer	Hypoelliptisk operatør

relaterede emner

Metoder til løsning af differentialligninger

Gittermetoder

Finite element metoder	Finite element metode Galerkin metode Diskontinuerlig Galerkin-metode Flerskala Finite Element-metode Multigrid metode
Andre metoder	Endelig forskelsmetode Endeligt volumen metode Godunovs metode Grænseelementmetode

Ikke-grid metoder