Fraktal

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 13. december 2021; checks kræver 6 redigeringer .

Fractal ( lat. fractus - knust, knækket, brudt) - et sæt , der har egenskaben selvlighed (en genstand, der nøjagtigt eller tilnærmelsesvis matcher en del af sig selv, dvs. helheden har samme form som en eller flere dele ). I matematik forstås fraktaler som sæt af punkter i det euklidiske rum , der har en fraktioneret metrisk dimension (i betydningen Minkowski eller Hausdorff ) eller en anden metrisk dimension end topologisk , så de bør skelnes fra andre geometriske former begrænset af en endelig antal links. Selvlignende figurer, der gentager et begrænset antal gange, kaldes præfractals.

De første eksempler på selvlignende sæt med usædvanlige egenskaber dukkede op i det 19. århundrede som et resultat af undersøgelsen af kontinuerlige ikke-differentierbare funktioner (for eksempel Bolzano -funktionen , Weierstrass-funktionen , Cantor-sættet ). Udtrykket "fractal" blev introduceret af Benoit Mandelbrot i 1975 og blev bredt kendt med udgivelsen af hans bog "The Fractal Geometry of Nature " i 1977 . Fractals opnåede særlig popularitet med udviklingen af computerteknologier, som gjorde det muligt effektivt at visualisere disse strukturer.

Ordet "fraktal" bruges ikke kun som et matematisk udtryk. En fraktal er et objekt, der har mindst én af følgende egenskaber:

Den har en ikke-triviel struktur på alle skalaer. Dette er forskellen fra regulære figurer (såsom cirkel , ellipse , graf af en glat funktion ): hvis vi betragter et lille fragment af en regulær figur i meget stor skala, vil det ligne et fragment af en lige linje. For en fraktal fører zoom ind ikke til en forenkling af strukturen, det vil sige, at man på alle skalaer kan se et lige så komplekst billede.
Det er selv-lignende eller omtrent selv-lignende.
Har en metrisk brøkdimension eller en metrisk dimension, der er bedre end den topologiske dimension .

Mange genstande i naturen har fraktale egenskaber, for eksempel: kyster, skyer, trækroner, snefnug, kredsløb, alveoler .

Eksempler

Selvlignende sæt med usædvanlige egenskaber i matematik

Fra slutningen af det 19. århundrede dukkede eksempler på selvlignende objekter med patologiske egenskaber ud fra klassisk analyses synspunkt i matematik. Disse omfatter følgende:

Cantor-sættet er et intetsteds tæt, utalligt perfekt sæt. Ved at modificere proceduren kan man også opnå et intetsteds tæt sæt af positiv længde;
Sierpinski-trekanten ("dugen") og Sierpinski-tæppet er analoger af Cantor-sættet på flyet;
Menger-svampen er en analog af Sierpinski-tæppet i tredimensionelt rum;
eksempler af Weierstrass og van der Waerden på en intetsteds differentierbar kontinuerlig funktion ;
Koch-kurven er en ikke-selv-skærende kontinuerlig kurve af uendelig længde, der ikke har en tangent på noget punkt;
Peano-kurven er en kontinuerlig kurve, der går gennem alle punkter på firkanten;
banen for en Brownsk partikel er heller ingen steder differentierbar med sandsynlighed 1. Dens Hausdorff-dimension er to [1] .

Rekursiv procedure til opnåelse af fraktale kurver

Der er en simpel rekursiv procedure til at opnå fraktale kurver i et plan. Vi definerer en vilkårlig brudt linje med et begrænset antal links, kaldet en generator. Dernæst erstatter vi hvert segment i det med en generator (mere præcist, en brudt linje, der ligner en generator). I den resulterende stiplede linje erstatter vi igen hvert segment med en generator. Fortsætter vi til det uendelige, i grænsen får vi en fraktal kurve. Figuren til højre viser det første, andet og fjerde trin i denne procedure for Koch-kurven.

Eksempler på sådanne kurver er:

Koch kurve (Koch snefnug),
Afgiftskurve ,
Minkowski kurve ,
Hilbert kurve
Knækket (kurve) drage (Fractal Harter-Hateway),
Peano kurve .
Myakishev kurve

Ved hjælp af en lignende procedure opnås et pythagoræisk træ .

Fraktaler som faste punkter i sammentrækningskortlægninger

Selvlighedsegenskaben kan matematisk strengt udtrykkes som følger. Lad være sammentrækningskortlægninger af flyet . Overvej følgende kortlægning på sættet af alle kompakte (lukkede og afgrænsede) delmængder af planet: $\psi _{i},\,i=1,\dots ,n$ $\Psi \colon K\mapsto \cup _{{i=1}}^{n}\psi _{i}(K)$

Det kan påvises, at kortlægningen er en sammentrækningskortlægning på sættet af compacta med Hausdorff-metrikken . Derfor har denne kortlægning ifølge Banachs sætning et unikt fikspunkt. Dette fikspunkt vil være vores fraktal. $\psi$

Den rekursive procedure til opnåelse af fraktale kurver beskrevet ovenfor er et særligt tilfælde af denne konstruktion. I den er alle tilknytninger lighedstilknytninger, og er antallet af links i generatoren. $\psi _{i},\,i=1,\dots ,n$ $n$

For Sierpinski-trekanten og kortlægningen er , , homoteter med centre ved spidserne af en regulær trekant og koefficient 1/2. Det er let at se, at Sierpinski-trekanten forvandler sig til sig selv under kortlægningen . $n=3$ $\psi_{1}$ $\psi_{2}$ $\psi_{3}$ $\psi$

I det tilfælde, hvor afbildningerne er lighedstransformationer med koefficienter , kan dimensionen af fraktalen (under nogle yderligere tekniske betingelser) beregnes som en løsning til ligningen . Så for Sierpinski trekanten får vi . $\psi _{i}$ $r_{i}>0$ $s$ $r_{1}^{s}+r_{2}^{s}+\dots +r_{n}^{s}=1$ $s=\ln 3/\ln 2$

Ifølge den samme Banach-sætning , startende fra ethvert kompakt sæt og anvender kortlægningsiterationer til det , opnår vi en sekvens af kompakte mængder, der konvergerer (i betydningen Hausdorff-metrikken) til vores fraktal. $\psi$

Fraktaler i kompleks dynamik

Fraktaler opstår naturligt i studiet af ikke-lineære dynamiske systemer . Det mest undersøgte tilfælde er, når det dynamiske system er defineret ved iterationer af et polynomium eller en holomorf funktion af en kompleks variabel på planet. De første undersøgelser på dette område går tilbage til begyndelsen af det 20. århundrede og er forbundet med navnene Fatou og Julia.

Lade være et polynomium og være et komplekst tal . Overvej følgende rækkefølge: $F(z)$ $z_{0}$ $z_{0},z_{1}=F(z_{0}),z_{2}=F(F(z_{0}))=F(z_{1}),z_{3}=F(F (F(z_{0})))=F(z_{2}),...$

Vi er interesserede i opførselen af denne sekvens, når den nærmer sig uendeligheden. Denne sekvens kan: $n$

stræbe efter uendelighed
stræbe efter det ultimative
udviser cyklisk adfærd i grænsen, for eksempel: $z_{1},z_{2},z_{3},z_{1},z_{2},z_{3},...$
at opføre sig kaotisk, altså ikke at demonstrere nogen af de tre nævnte typer adfærd.

Værdisæt, for hvilke en sekvens udviser én bestemt type adfærd, samt sæt af bifurkationspunkter mellem forskellige typer, har ofte fraktale egenskaber. $z_{0}$

Så Julia -sættet er sættet af bifurkationspunkter for et polynomium (eller anden lignende funktion), det vil sige de værdier, for hvilke sekvensens opførsel kan ændre sig dramatisk med vilkårligt små ændringer i . $F(z)=z^{2}+c$ $z_{0}$ $z_n$ $z_{0}$

En anden mulighed for at opnå fraktalmængder er at indføre en parameter i polynomiet og overveje sættet af de parameterværdier, for hvilke sekvensen viser en bestemt adfærd for en fast . Mandelbrot-sættet er således mængden af alle , som for og ikke har en tendens til uendelighed. $F(z)$ $z_n$ $z_{0}$ $c\in {\mathbb {C}}$ $z_n$ $F(z)=z^{2}+c$ $z_{0}$

Et andet velkendt eksempel af denne art er Newtons pools .

Det er populært at skabe smukke grafiske billeder baseret på kompleks dynamik ved at farvelægge planpunkter afhængigt af opførselen af de tilsvarende dynamiske systemer. For at komplementere Mandelbrot-sættet kan du f.eks. farve punkterne afhængigt af hastigheden ved at nærme sig uendeligheden (defineret f.eks. som det mindste tal , hvormed en fast stor værdi overstiger ). $z_n$ $n$ $|z_{n}|$ $EN$

Biomorfer er fraktaler bygget på basis af kompleks dynamik og ligner levende organismer.

Stokastiske fraktaler

Naturlige genstande har ofte en fraktal form. Til deres modellering kan der bruges stokastiske (tilfældige) fraktaler. Eksempler på stokastiske fraktaler:

bane af Brownsk bevægelse på flyet og i rummet;
grænsen for banen for Brownsk bevægelse på flyet. I 2001 beviste Lawler, Schramm og Werner Mandelbrots formodning om, at dens dimension er 4/3.
Schramm-Löwner evolution - konformt invariante fraktale kurver, der opstår i kritiske todimensionelle modeller af statistisk mekanik , for eksempel i Ising-modellen og perkolation .
forskellige typer randomiserede fraktaler, det vil sige fraktaler opnået ved hjælp af en rekursiv procedure, hvor en tilfældig parameter introduceres ved hvert trin. Plasma er et eksempel på brugen af en sådan fraktal i computergrafik.

Naturlige objekter med fraktale egenskaber

Naturlige objekter ( kvasi -fraktaler) adskiller sig fra ideelle abstrakte fraktaler ved ufuldstændigheden og unøjagtigheden af strukturgentagelser. De fleste naturligt forekommende fraktallignende strukturer (kystlinje, træer, planteblade, koraller , …) er kvasi-fraktaler, fordi fraktalstrukturen i en eller anden lille skala forsvinder. Naturlige strukturer kan ikke være ideelle fraktaler på grund af de begrænsninger, der pålægges af størrelsen af den levende celle og i sidste ende størrelsen af molekylerne .

I naturen:
- koraller
- Havstjerner og pindsvin
- havskaller
- Blomster og planter ( broccoli , kål )
- Trækroner og planteblade
- Frugt ( ananas )
- Kredsløbssystem og bronkier hos mennesker og dyr
I den livløse natur:
- Grænser for geografiske objekter (lande, regioner, byer)
- Kystlinjer
- bjergkæder
- Snefnug
- Skyer
- Lyn
- Frosne mønstre på vinduesruder
- krystaller
- Drypsten , stalagmitter , helikitter .

Ansøgning

Naturvidenskab

I fysik opstår fraktaler naturligt ved modellering af ikke-lineære processer såsom turbulent væskestrøm, komplekse diffusions - adsorptionsprocesser , flammer, skyer og lignende. Fraktaler bruges til modellering af porøse materialer, for eksempel i petrokemi. I biologi bruges de til at modellere populationer og til at beskrive systemer af indre organer (system af blodkar). Efter oprettelsen af Koch-kurven blev det foreslået at bruge den ved beregning af kystlinjens længde.

Radioteknik

Fraktale antenner

Brugen af fraktal geometri i design af antenneanordninger blev pioneret af den amerikanske ingeniør Nathan Cohen, som dengang boede i downtown Boston , hvor det var forbudt at installere eksterne antenner på bygninger. Nathan klippede en figur ud i form af en Koch-kurve fra aluminiumsfolie og klistrede den på et ark papir og fastgjorde den derefter til modtageren .

Cohen grundlagde sit eget firma og masseproducerede sine antenner. Siden da er teorien om fraktale antenner fortsat med at udvikle sig intensivt. [2] [3] [4] Fordelen ved sådanne antenner er multibånd og komparativt bredbånd.

Datalogi

Billedkomprimering

Der er billedkomprimeringsalgoritmer, der bruger fraktaler. De er baseret på ideen om, at man i stedet for selve billedet kan gemme et sammentrækningskort , hvor dette billede (eller noget nær det) er et fast punkt . En af varianterne af denne algoritme blev brugt af Microsoft [5] ved udgivelsen af dets encyklopædi, men disse algoritmer blev ikke brugt meget.

Computergrafik

Fraktaler er meget brugt i computergrafik til at bygge billeder af naturlige objekter såsom træer, buske, bjerglandskaber, havoverflader og så videre. Der er mange programmer, der tjener til at generere fraktale billeder, se Fractal Generator (program) .

Decentraliserede netværk

Netsukukus IP-adressetildelingssystem bruger princippet om fraktal informationskomprimering til kompakt at gemme information om netværksknuder. Hver knude på Netsukuku -netværket gemmer kun 4 KB information om tilstanden af naboknudepunkter, mens enhver ny knude forbindes til det generelle netværk uden behov for central regulering af fordelingen af IP-adresser , hvilket f.eks. er typisk for Internettet. Således garanterer princippet om fraktal informationskomprimering en fuldstændig decentraliseret og derfor den mest stabile drift af hele netværket.

Se også

Noter

↑ Terekhov S. V. Fraktaler og lighedsfysik. - Donetsk: Digitalt trykkeri, 2011. - S. 12. - 255 s.
↑ Vishnevsky V. M., Lyakhov A. I., Portnoy S. L., Shakhnovich I. V. Trådløse bredbåndsnetværk til informationstransmission. — M.: Teknosfære. - 2005.- C. 498-569
↑ Krupenin S. V. Fraktale udstrålende strukturer og en analog model af fraktal impedans. Dis. cand. Fysisk.-Matematik. Videnskaber: 01.04.03, 01.04.04 / [Beskyttelsessted: Mosk. stat un-t im. M. V. Lomonosov. Phys. fakultet].- Moskva, 2009.- 157 s.
↑ Babichev D. A. Udvikling og forskning af en mikrostrip-antenne baseret på fraktal tilgang. Dis. cand. tech. Videnskaber: - 05.12.07. [Beskyttelsessted: St. Petersborg. stat Elektroteknik un-t (LETI)]. - St. Petersborg, 2016. - 104 s. [1] Arkiveret 19. juni 2018 på Wayback Machine
↑ Fractal Image Compression Arkiveret 23. februar 2014 på Wayback Machine på Computerworld Rusland

Litteratur

Abachiev S. K. Om Pascals trekant, simple divisorer og fraktale strukturer // In the world of science, 1989, nr. 9.
Balkhanov V.K. Grundlæggende om fraktalgeometri og fraktalregning . - Ulan-Ude: BSU FORLAG, 2013. - 224 s. - ISBN 978-5-9793-0549-3 . (Russisk)
Demenok S. L. Bare en fraktal . — Udgivelsescyklus "Fractals and Chaos". - Skt. Petersborg: "STRATA", 2019.
Demenok S. L. Superfractal . — Udgivelsescyklus "Fractals and Chaos". - Skt. Petersborg: "STRATA", 2019.
Ivanov M. G., " Størrelse og dimension " // "Potentiale", august 2006.
Kirillov A. A. En fortælling om to fraktaler . — Sommerskole "Moderne Matematik". - Dubna, 2007.
Smukt liv med komplekse tal // Hard'n'Soft, № 9, 2002. S. 90.
Kronover R. M. Fraktaler og kaos i dynamiske systemer. Grundlæggende i teorien.
Lipov A. N. fraktaler. Til minde om Benoit Mandelbrot // Filosofi og kultur nr. 9 (33) 2010. nr. 8. S. 39-54.
Mavrikidi F. I. Fraktal matematik og forandringens natur // "Delphis" - nr. 54 (2) - 2008.
Mavrikidi F. I. Fractals: comprehending the interconnected world // "Delphis" - nr. 23 (3) - 2000.
Mandelbrot B. Naturens fraktalgeometri. - M .: "Institutet for Computerforskning", 2002.
Mandelbrot Benoist , Richard L. Hudson. (U)lydige markeder: En fraktal revolution inden for finans = Markedernes dårlige opførsel. - M . : "Williams" , 2006. - 400 s. — ISBN 5-8459-0922-8 .
Paytgen H.-O., Richter P. H. Skønheden ved fraktaler. Billeder af komplekse dynamiske systemer. - M .: "Mir", 1993.
Feder E.Fraktaler. - M: "Mir", 1991.
Fomenko A. T. Visuel geometri og topologi. - M .: MSU forlag, 1993.
Fraktaler i fysik. Proceedings of the 6th International Symposium on Fractals in Physics, 1985 . - M .: "Mir", 1988.
Tsitsin F. A. Fraktalunivers // "Delphis" - nr. 11 (3) - 1997.
Schroeder M. Fraktaler, kaos, magtlove. Miniaturer fra et endeløst paradis. - Izhevsk: "RHD", 2001.

Links

Fraktaler og kaos
Lindenmeier-systemer (L-Systems). Online værktøj til generering af geometriske fraktaler.
Fraktaler i primtal - Artikel af Sergey Gerasimov om habrahabr
Artikel om fraktaler. Der gives eksempler på beregning og opbygning af en grafisk fortolkning af nogle algebraiske og geometriske fraktaler. Der er links til online-generatorer og C#-kildekoder.
Nadezhda Atayeva, Fractal Sets (St. Petersburg State University: PM-PU)
Charmen ved selvlighed . Mandelbrots pære og mere i Lentas fraktalgalleri. Ru // Lenta. Ru, 27 billeder.
Fraktaler er naturens geometri . Implementering af fraktaler i delphi og meget mere i Programmers Club .
"Fraktaler. Søgen efter nye dimensioner "( eng. Fractals. Hunting The Hidden Dimension ) er en populærvidenskabelig film optaget i 2008.
Fractals på Elementy.ru
JJ O'Connor, E.F. Robertson. En historie om fraktal geometri . MacTutor History of Mathematics-arkiv . School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Skotland (februar 2009). (ubestemt)
Gelashvili D.B., Iudin D.I., Rozenberg G.S., Yakimov V.N., Solntsev L.A. Fraktaler og multifraktaler i bioøkologi. Nizhny Novgorod: Publishing House of the Nizhny Novgorod State University, 2013. 370 s.

Ordbøger og encyklopædier	Flot dansk Fantastisk catalansk Fantastisk norsk Fantastisk norsk Stor russer Britannica (online) Universalis
I bibliografiske kataloger	BNF : 119730272 J9U : 987007548246005171 LCCN : sh85051147 NDL : 00576561 NKC : ph120342

fraktaler
Egenskaber	fraktal dimension Hausdorff dimension Lebesgue dimension rekursion selv-lighed
De enkleste fraktaler	Fern Barnsley Kantor sæt dragekurve Koch kurve Svamp Menger Sierpinski tæppe Sierpinski trekant Rumudfyldende kurve
mærkelig attraktion	Multifraktal
L-system	Rumudfyldende kurve
Bifurkations fraktaler	Julia sæt Lyapunov fraktal Mandelbrot sæt Newtons pools
Tilfældige fraktaler	Brownsk bevægelse brunt træ fraktal overflade Perkolation teori
Mennesker	Georg Kantor Felix Hausdorff Gaston Julia Helge von Koch Paul Levy Alexander Lyapunov Benoit Mandelbrot Lewis Richardson Vaclav Sierpinski
relaterede emner	Hvor lang er Storbritanniens kyst? » Kystlinjeparadoks

Kurver

Definitioner

Forvandlet

Ikke-plan

Flad
algebraisk

Keglesnit

3. orden ( kubisk )

Elliptisk	Elliptisk kurve Jacobi elliptiske funktioner Elliptisk integral Elliptiske funktioner
Andet	Verziera Agnesi Kartesisk ark Maclaurin trisektor Chirnhaus Ophiurida Strophoid Semikubisk parabel Trident Cissoid af Diocles

4. orden

Lemniscates

Tilnærmelse

Spline
- B-spline
- Kubik
- monospline
- Udglatning
- Perfekt
- Hermite
beziers

Cycloidal

Andet

Krogede Gård

Flad
transcendental

Spiraler	Archimedov Gård Galilæa hyperbolsk "Tryllestav" Gylden clothoid logaritmisk sinusformet
Cycloidal	trochoid Cycloid Epitrochoid Epicykloid Hypotrochoid Hypocykloid Kvasitrochoid "Rose" quadrifolium Hurtig nedstigning (brachistochrone, cycloid bue)
Andet	Quadratrix cochleoid Jage traktor trochoid kæde linje omvendt buet konstant bredde sinusformet Ribokura Super formel Superellipse Reuleaux trekant polygon Lissajous figurer

fraktal

Enkel	Gilbert Gosper dragekurve Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologisk	Sierpinski serviet Sierpinski tæppe Svamp Menger cirkulær fraktal Apollonius tæppe

Geometriske mønstre i naturen
mønstre	Sprække Klit Skum Slynge Phylotaxis Sæbeboble Symmetri i krystaller Kvasikrystaller i blomster i biologi flisebelægning hvirvelgade Bølge Widmanstetten struktur
Processer	Mønsterdannelse Biologi Naturlig selektion Mimik seksuel selektion Matematik Kaosteori fraktal logaritmisk spiral Fysik krystaller Hydroaerodynamik Plateauets love selvorganisering
Forskere	Platon Pythagoras Empedokles fibonacci abacus bog Adolf Zeising Ernst Haeckel Joseph Plateau Wilson Bentley Darcy Thompson Om vækst og form Alan Turing Kemiske baser for morfogenese Aristide Lindenmeier Benoit Mandelbrot Hvor lang er Storbritanniens kyst?
Relaterede artikler	Mønster genkendelse Matematik og billedkunst