Algebraisk topologi

Algebraisk topologi (forældet navn: kombinatorisk topologi ) er en sektion af topologi , der studerer topologiske rum ved at sammenligne dem med algebraiske objekter ( grupper , ringe osv.), samt disse objekters opførsel under påvirkning af forskellige topologiske operationer.

Grundlæggende metoder

Metoderne til algebraisk topologi er baseret på den antagelse, at generelle algebraiske strukturer er enklere end topologiske.

Et vigtigt værktøj i algebraisk topologi er de såkaldte homologigrupper (for eksempel simplicial eller ental). Hvert topologiske rum svarer i hver dimension til sin egen abelske homologigruppe , og hver kontinuerlig kortlægning svarer til en gruppehomomorfi , og sammensætningen af kortlægningerne svarer til sammensætningen af homomorfismer , og den identiske kortlægning svarer til den identiske homomorfi . I kategoriteoriens sprog betyder det, at den -th homologigruppe er en kovariant funktionor fra kategorien af topologiske rum til kategorien af Abelske grupper . $x$ $n$ $H_{n}(X)$ $f:X\til Y$ $f_{*}:H_{n}(X)\til H_{n}(Y)$ $fg$ $f_{*}g_{*}$ ${\mathrm {id}}$ ${\mathrm {id}}_{*}$ $n$

Ud over forskellige homologiteorier ( ekstraordinær homologi , såsom bordismeteori eller -teori , er nu blevet meget vigtige ), er homotopigrupper vigtige for algebraisk topologi . Af disse er den vigtigste den såkaldte fundamentale gruppe , som i modsætning til grupper af alle andre dimensioner kan være ikke-abelske. $K$ $\pi _{n}(X)$ $\pi _{1}(X)$

Et eksempel på en teknik

Et klassisk eksempel på anvendelsen af algebraiske topologimetoder er beviset for Brouwers fikspunktssætning . Sætningens udsagn er, at enhver kontinuerlig afbildning af en lukket -dimensionel kugle i sig selv har et fast punkt, dvs. $n$ $f\colon D_{n}\to D_{n}$ $\exists x\colon f(x)=x$

Til beviset bruges følgende lemma: der er ingen tilbagetrækning af en -dimensionel kugle til dens grænse, en -dimensionel kugle (sådan en kontinuerlig kortlægning , at for alle punkter af grænsen). Faktisk: hvis kortlægningen ikke har nogen faste punkter, så er det muligt at konstruere en afbildning af en kugle på en kugle ved at tegne for hvert punkt på kuglen en stråle, der går ud af og passerer igennem (i mangel af faste punkter, disse er forskellige punkter); lad være skæringspunktet for strålen med kuglen , og . Kortlægningen er kontinuerlig, og hvis den hører til kuglen, så . Således opnås en tilbagetrækning af en bold på en kugle, hvilket er umuligt ved lemmaet. Derfor findes der mindst ét fikspunkt. $n$ $D_{n}$ $(n-1)$ $S_{{n-1}}$ $g:D_{n}\to S_{n-1},$ $g(x)=x$ $f$ $g$ $x$ $f(x)$ $x$ $y$ $S_{{n-1}}$ $g(x)=y$ $g(x)=y$ $x$ $g(x)=x$

For at bevise lemmaet antages det, at en sådan tilbagetrækning eksisterer . For at indlejre en kugle i en kugle gælder følgende egenskab: sammensætningen af kortlægninger er den identiske kortlægning af kuglen (først , derefter ). Yderligere er det vist, at , og . Så vil kortlægningen være en afbildning til 0, men på den anden side, da , vi har — er ikke en nulhomomorfi, men en identisk isomorfi. $g$ $i(x)=x$ $gi={\mathrm {id}}$ $jeg$ $g$ $H_{{n-1}}(S_{{n-1}})={\mathbf {Z}}$ $H_{{n-1}}(D_{n})=0$ $g_{*}:H_{{n-1}}(D_{n})\til H_{{n-1}}(S_{{n-1}})$ $gi={\mathrm {id}}$ $g_{*}i_{*}={\mathrm {id}}_{*}:{\mathbf {Z}}\to {\mathbf {Z}}$

Ikke-algebraiske beviser for Brouwers sætning kendes også, men indførelsen af homologi gjorde det straks let at bevise mange udsagn, som tidligere virkede uafhængige af hinanden.

Historie

Nogle teoremer af algebraisk topologi var allerede kendt for Euler , for eksempel, at for enhver konveks polyhedron med antallet af hjørner , kanter og flader ,. $V$ $E$ $F$ $V-E+F=2$

Gauss og Riemann var interesserede i topologiske spørgsmål .

Men hovedrollen i skabelsen af algebraisk topologi som videnskab blev spillet af Poincaré - det er ham, der ejer begreberne simplicial homologi og den grundlæggende gruppe. Store bidrag blev ydet af Alexander , Veblen , Lefschetz , Whitehead , Borsuk , Gurevich , Steenrod , Eilenberg , Serre , Tom , Atiyah , Hirzebruch , Bott , Adams , Smale , Milnor , Quillen ; Blandt de sovjetiske/russiske matematikere skal det bemærkes P. S. Aleksandrov , Kolmogorov , Pontryagin , Lyusternik , Rokhlin , Novikov , Fomenko , Kontsevich , Voevodsky , Perelman .

Litteratur

Vasiliev V. A. Introduktion til topologi. - M.: Fazis, 1997
Wick J.W. Homologiteori. Introduktion til algebraisk topologi. — M.: MTsNMO, 2005
Viro O. Ya., Ivanov O. A., Kharlamov V. M., Netsvetaev N. Yu. Problemlærebog om topologi Arkiveret 19. februar 2012 på Wayback Machine
Dold A. Forelæsninger om algebraisk topologi. — M.: Mir, 1976
Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Moderne geometri: Metoder og anvendelser. — M.: Nauka, 1979
Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Moderne geometri: Metoder til homologiteori. — M.: Nauka, 1984
Seifert G., Trefall W. Topology. - Izhevsk: RHD, 2001
Kosniewski C. Et indledende kursus i algebraisk topologi. — M.: Mir, 1983
Lefshetz S. Algebraisk topologi. — M.: IL, 1949
Novikov P. S. Topologi. - 2. udg., rettet. og yderligere - Izhevsk: Institut for Computerforskning, 2002
Prasolov VV Elementer af homologi teori. — M.: MTsNMO , 2006
Switzer R. M. Algebraisk topologi - homotopi og homologi. — M.: Nauka, 1985
Spanier E. Algebraisk topologi. — M.: Mir, 1971
Steenrod N., Eilenberg S. Grundlag for algebraisk topologi. — M.: Fizmatgiz, 1958
Fomenko A. T., Fuchs D. B. Et kursus i homotopi topologi. — M.: Nauka, 1989

Hatcher A., Algebraic Topology - M.: MTsMNO, 2011. (Original: Hatcher A. Algebraic Topology Arkiveret 19. maj 2018 på Wayback Machine )

Grene af matematik

Portal "Science"

Grundlaget for matematik mængdeteori matematisk logik logikkens algebra

Talteori ( aritmetik )

Algebra
Elementær algebra	Ligningsløsning
Lineær algebra	Vektorregning matricer Tensorregning Multilineær algebra
Generel algebra	Kommutativ algebra Repræsentationsteori Differentiel algebra Homologisk algebra Universal Algebra Kategori teori

Analyse
Klassisk analyse	Differentialregning Integralregning
Funktionsteori	Harmonisk analyse Kvaternion Analyse Kompleks analyse måle teori Teori om funktioner af en reel variabel funktionel analyse Variationsberegning
Differential- og integralligninger	Dynamiske systemer og ergodisk teori Differentialligninger almindelig i partielle derivater Integralligninger
Vektoranalyse Global Analyse Katastrofe teori Tilpasset analyse Glat infinitesimal analyse

Geometri og topologi
Geometri	Algebraisk geometri Analytisk geometri Euklidisk geometri Ikke-euklidisk geometri Planimetri Stereometri
Topologi	Generel topologi Algebraisk topologi Differentialgeometri og topologi

Diskret matematik
Kombinatorik grafteori

Anvendt matematik
Matematisk fysik Matematisk kemi matematisk biologi Matematik statistik Matematisk modellering Teori om algoritmer Numeriske metoder matematisk økonomi finansiel matematik Sandsynlighedsteori Operationsforskning Spilteori

Portal "Matematik"
Kategori "Matematik"