Kolmogorovs aksiomatik

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 8. april 2021; checks kræver 3 redigeringer .

Kolmogorovs aksiomatik er en generelt accepteret aksiomatik til den matematiske beskrivelse af sandsynlighedsteori . Den originale version blev foreslået af Andrei Nikolaevich Kolmogorov [1] [2] i 1929, den endelige version - i 1933 . Kolmogorovs aksiomatik gjorde det muligt at give sandsynlighedsteorien den stil, der blev vedtaget i moderne matematik .

Historien om aksiomatiseringen af sandsynlighedsteori

Problemet med aksiomatisering af sandsynlighedsteori er inkluderet af D. Hilbert i formuleringen af hans 6. problem "Matematisk præsentation af fysikkens grundlag ":

Tæt forbundet med forskning om grundlaget for geometri er problemet med aksiomatisk konstruktion efter samme model af de fysiske discipliner, hvor matematik allerede spiller en fremragende rolle: dette er primært teorien om sandsynlighed og mekanik . Med hensyn til sandsynlighedsteoriens aksiomer forekommer det mig ønskeligt, at parallelt med den logiske underbygning af denne teori foretages en streng og tilfredsstillende udvikling af metoden for gennemsnit i matematisk fysik , især i den kinetiske teori om gasser. , skal gå hånd i hånd.

Før Kolmogorov blev forsøg på at aksiomatisere sandsynlighedsteori udført af G. Bolman [3] ( 1908 ), S. N. Bernstein [4] ( 1917 ), R. Mises [5] ( 1919 og 1928 ) og også Lomnitsky A. [6] ( 1923 ) baseret på E. Borels ideer [7] om sammenhængen mellem begreberne sandsynlighed og mål .

A. N. Kolmogorov, påvirket af ideerne fra teorien om mængder , mål, integration , funktioner , formulerede et simpelt system af aksiomer (generelt set ikke det eneste), som gjorde det muligt at beskrive de klassiske dele af sandsynlighedsteori, der allerede eksisterede på det tidspunkt, for at sætte gang i udviklingen af dets nye sektioner, for eksempel teorien om stokastiske processer , og er blevet generelt accepteret i moderne sandsynlighedsteori.

Kolmogorovs aksiomer for elementær sandsynlighedsteori

Elementær sandsynlighedsteori er den del af sandsynlighedsteorien, hvor man kun skal forholde sig til sandsynligheden for et begrænset antal hændelser. Sandsynlighedsteorien, som en matematisk disciplin, kan og skal aksiomatiseres i nøjagtig samme betydning som geometri eller algebra . Dette betyder, at efter at navnene på de undersøgte objekter og deres grundlæggende relationer, såvel som de aksiomer , som disse relationer skal adlyde, er givet, skal al yderligere udlægning udelukkende baseres på disse aksiomer uden at stole på den sædvanlige konkrete betydning. af disse objekter og deres relationer. Aksiomatiseringen af sandsynlighedsteori kan gennemføres på forskellige måder, både med hensyn til valg af aksiomer og valg af grundbegreber og grundrelationer. Hvis vi forfølger målet om mulig enkelhed af både selve systemet af aksiomer og konstruktionen af en yderligere teori om det, så forekommer det mest passende at aksiomatisere begrebet en tilfældig begivenhed og dens sandsynlighed .

Lad være sættet af elementer , som kaldes elementære begivenheder, og være sæt af delmængder , kaldet tilfældige begivenheder (eller blot begivenheder), og være rummet af elementære begivenheder. $\Omega$ $\omega$ ${\mathcal {F}}$ $\Omega$ $\Omega$

Aksiom I ( algebra over begivenheder ) . er begivenhedernes algebra. ${\mathcal {F}}$
Aksiom II (eksistensen af sandsynligheden for begivenheder) . Hver hændelsefraer tildelt et ikke-negativt reelt tal, som kaldes sandsynligheden for hændelsen. $x$ ${\mathcal {F}}$ ${\mathbf {P}}(x)$ $x$
Aksiom III (normalisering af sandsynlighed) . . ${\mathbf {P}}(\Omega )=1$
Aksiom IV ( sandsynlighedsadditivitet) . Hvis begivenhederneogikke krydser hinanden, så $x$ $y$

{\mathbf {P}}(x+y)={\mathbf {P}}(x)+{\mathbf {P}}(y)

Et sæt af objekter , der opfylder aksiomer I-IV , kaldes et sandsynlighedsrum (ifølge Kolmogorov: et sandsynlighedsfelt ). $(\Omega ,{\mathcal {F)),{\mathbf {P)))$

Systemet af aksiomer I-IV er konsistent. Dette fremgår af følgende eksempel: det består af et enkelt element , — af og et sæt umulige hændelser (tomt sæt) , mens . Dette system af aksiomer er dog ikke komplet: I forskellige spørgsmål om sandsynlighedsteori overvejes forskellige sandsynlighedsrum. $\Omega$ $\omega$ ${\mathcal {F}}$ $\Omega$ $\varnothing$ ${\mathbf {P}}(\Omega )=1,{\mathbf {P}}(\varnothing )=0$

Kolmogorovs empiriske deduktion af aksiomer

Det kan normalt antages, at systemet af betragtede hændelser , som visse sandsynligheder er tildelt, danner en algebra af hændelser, der indeholder en mængde som et element ( aksiom I , samt første del af aksiom II - eksistensen af en sandsynlighed ). Du kan praktisk talt være sikker på, at hvis eksperimentet gentages et stort antal gange, og hvis antallet af forekomster af begivenheden er angivet med , så vil forholdet afvige lidt fra . Yderligere er det klart, at , så anden del af Axiom II viser sig at være ganske naturlig. For en begivenhed altid , på grund af hvilken det er naturligt at sætte ( aksiom III ). Hvis endelig og er uforenelige med hinanden (det vil sige begivenheder og ikke skærer hinanden som delmængder af ), så , hvor betegner henholdsvis antallet af eksperimenter, hvis resultater er begivenheder . Dette indebærer: ${\mathcal {F}}$ $x,y,z,\ldots,$ $\Omega$ $n$ $m$ $x$ $m/n$ ${\mathbf {P}}(x)$ $0\leqslant m/n\leqslant 1$ $\Omega$ $m=n$ ${\mathbf {P}}(\Omega )=1$ $x$ $y$ $x$ $y$ $\Omega$ $m=m_{1}+m_{2}$ $m,m_{1},m_{2}$ $x+y,x,y$

{\frac {m}{n}}={\frac {m_{1}}{n}}+{\frac {m_{2}}{n}}.

Derfor er det passende at sætte

{\mathbf {P}}(x+y)={\mathbf {P}}(x)+{\mathbf {P}}(y)

( aksiom IV ).

Aksiom for kontinuitet og uendelige sandsynlighedsrum

I modsætning til den elementære sandsynlighedsteori gælder de sætninger, der er udledt i den generelle matematiske sandsynlighedsteori, naturligvis også for spørgsmål relateret til et uendeligt antal tilfældige hændelser. Men i studiet af disse sidstnævnte anvendes i det væsentlige nye principper: det antages, at ud over den elementære sandsynlighedsteoris aksiomer (I-IV) er følgende

Aksiom V (af kontinuitet) . For en faldende sekvens

x_{1}\supseteq x_{2}\ldots \supseteq x_{n}\supseteq \ldots

begivenheder fra sådan ${\mathcal {F}}$

\bigcap _{{n}}x_{n}=\varnothing ,

der er en lighed

\lim _{{n\rightarrow \infty }}{\mathbf {P}}(x_{n})=0.

Kontinuitetsaksiomet er det eneste aksiom i moderne sandsynlighedsteori, der netop gælder for situationen med et uendeligt antal tilfældige begivenheder. Normalt, i moderne sandsynlighedsteori, kaldes kun et sådant sandsynlighedsrum et sandsynlighedsrum , som desuden opfylder aksiomet V. Sandsynlighedsrum i betydningen aksiomer I-IV Kolmogorov foreslog at kalde probabilistiske rum i udvidet forstand (Kolmogorov har feltet for sandsynligheder i udvidet forstand ), på nuværende tidspunkt bruges dette udtryk ekstremt sjældent. Bemærk, at hvis hændelsessystemet er endeligt, følger aksiom V fra aksiomer I-IV . Alle modeller med sandsynlighedsrum i udvidet forstand opfylder derfor aksiomet V . Systemet af aksiomer I-V er konsistent og ufuldstændigt. I modsætning hertil er kontinuitetsaksiomet V for uendelige sandsynlighedsrum uafhængigt af aksiomerne I-IV . $(\Omega ,{\mathcal {F)),{\mathbf {P)))$ ${\mathcal {F}}$

Da det nye aksiom kun er essentielt for uendelige sandsynlighedsrum, er det næsten umuligt at forklare dets empiriske betydning, for eksempel, som det blev gjort med aksiomerne for elementær sandsynlighedsteori (I-IV) . Når man beskriver enhver virkelig observerbar tilfældig proces, kan man kun opnå endelige felter - sandsynlighedsrum i udvidet forstand . Uendelige sandsynlighedsrum fremstår som idealiserede skemaer af faktiske tilfældige fænomener . Det er generelt accepteret stiltiende at begrænse os til sådanne skemaer, der opfylder aksiomet V , hvilket viser sig at være passende og effektivt i forskellige undersøgelser.

Uendelige sandsynlighedsrum og "ideelle begivenheder"

Algebraen af begivenheder i rummet af elementære udfald kaldes Borel algebra, hvis alle tællelige summer af begivenheder fra tilhører . I moderne sandsynlighedsteori omtales Borel-hændelsesalgebraer almindeligvis som -begivenhedsalgebraer ( sigma-algebraer ). Lad et sandsynlighedsrum være givet i udvidet betydning , hvor er en algebra og er et sandsynlighedsmål på den. Det er kendt, at der findes den mindste sigma-algebra indeholdende . Desuden fair ${\mathcal {F}}$ $\Omega$ $\sum _{{n}}x_{n}$ $x_{n}$ ${\mathcal {F}}$ ${\mathcal {F}}$ $\sigma$ $(\Omega ,{\mathcal {F}}_{0},{\mathbf {P}})$ ${\mathcal {F}}_{0}$ ${\mathbf {P}}$ ${\mathcal {F}}=\sigma ({\mathcal {F}}_{0})$ ${\mathcal {F}}_{0}$

Sætning (om fortsættelse) . En sætfunktion defineret på enikke-negativ tællelig additiv mængdefunktionkan altid udvides med bevarelse af begge egenskaber (ikke-negativitet og tællelig additivitet) til alle sæt fraog i øvrigt på en unik måde. $(\Omega ,{\mathcal {F}}_{0})$ ${\mathbf {P}}={\mathbf {P}}(\cdot )$ ${\mathcal {F}}$

Således kan ethvert sandsynlighedsrum i udvidet forstand matematisk korrekt udvides til et uendeligt sandsynlighedsrum , som i moderne sandsynlighedsteori almindeligvis omtales som blot et sandsynlighedsrum . $(\Omega ,{\mathcal {F}}_{0},{\mathbf {P}})$ $(\Omega ,{\mathcal {F)),{\mathbf {P)))$

Samtidig kan mængder fra sigma-algebraen af et uendeligt sandsynlighedsrum kun betragtes som "ideelle begivenheder" , der ikke direkte kan repræsenteres i observationsverdenen. Hvis ræsonnementet, der bruger sandsynligheden for sådanne "ideelle begivenheder" imidlertid fører til en definition af sandsynligheden for en "virkelig begivenhed" fra , så vil denne definition naturligvis automatisk være konsistent ud fra et empirisk synspunkt. ${\mathcal {F}}$ ${\mathcal {F}}$

Kritik af udtrykket "aksiomatics of probability theory"

Nogle videnskabsmænd[ hvem? ] ikke enig i, at Kolmogorov gjorde sandsynlighedsteorien til en aksiomatisk teori . Deres argumenter :

Sandsynlighed er et begreb om den virkelige verden, derfor er det umuligt at aksiomatisere det, du kan kun bygge en matematisk model . For eksempel er det også umuligt at aksiomatisere begrebet " bro ", som ikke forstyrrer beregningen af broer for styrke ved at bygge matematiske modeller med egenskaber svarende til rigtige broer.
Det hævdes, at Kolmogorovs aksiomatik ikke introducerer et enkelt nyt "grundbegreb" ( udefineret som et punkt eller en linje ). Så det er kun en definition : " Sandsynlighed er et så begrænset mål , at ". Samtidig kalder de Kolmogorov-aksiomatikken for "Kolmogorov-modellen". Nogle gange gives alternative modeller for sandsynlighedsteori. $\operatørnavn P(\Omega )=1$

Et andet synspunkt: begrebet " hændelser " og algebraen af operationer på dem, som er isomorf til algebraen af sæt , introduceres i Kolmogorov-modellen . Men i kvantelogik er der en anden algebra af begivenheder, den adlyder en anden aksiomatik (og sådanne algebraer blev studeret af I.M. Gelfand ), og " kvantesandsynlighed " er konstrueret anderledes end den klassiske (se f.eks . [8] ).

Noter (litteratur)

↑ Kolmogorov A. N. Grundlæggende begreber i sandsynlighedsteori. - M. - L. : ONTI, 1936. - 80 s.
↑ Kolmogorov A. N. Grundlæggende begreber i sandsynlighedsteori. - 2. udg. — M .: Nauka, 1974. — 120 s.
↑ Bohlmann G. Die Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung in ihrer Anwendung auf die Lebensversicherung // Atti del IV Congresso internazionale dei Matematici. - Roma, 6.-11. april. 1908.V.III. Sæson IIb. — Roma: Accademia dei Lincei, 1909.
↑ Bernshtein S. N. Erfaring med aksiomatisk underbygning af sandsynlighedsteori // Soobshch. Kharkiv. Måtte. Ob-va, 1917, Udgave. 15, s. 209-274.
↑ von Mises R. Grunflagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung // Math. Ztschr., 1919, v. 5, s. 52-99.
↑ Łomnicki A. Nouveaux fondements du calcul des probabilities // Fund. Matematik. , 1923, v. 4, s. 34-71.
↑ Borel E. Sur les probabilities denombrables et leurs applications aritmetiques // Rend. Circ. Måtte. Palermo, 1909, nr. 26, s. 247-271.
↑ Holevo A. S. Kvantesandsynlighed og kvantestatistik. Resultater af videnskab og teknologi. Ser. Moderne sandsynlighed måtte. Fundam. anvisninger, 1991, 83, s. 5-132. Arkiveret 7. april 2012 på Wayback Machine

Se også

Axiomatik af mængdelære
Algebra af begivenheder
Cox's teorem er et andet matematisk grundlag for sandsynlighedsteori
Kvantesandsynlighed er en anden aksiomatisering