Projektiv model

Den projektive model ( Klein model , Beltrami-Klein model) er en Lobachevsky geometri model foreslået af den italienske matematiker Eugenio Beltrami . Den tyske matematiker Felix Klein udviklede det selvstændigt.

Med dens hjælp bevises konsistensen af Lobachevskys geometri under antagelsen om konsistensen af euklidisk geometri .

Historie

Denne model blev foreslået af Beltrami sammen med Poincaré-modellen og pseudosfæremodellen [ 1]

Endnu tidligere, i 1859, byggede Cayley denne model . Men han betragtede det kun som en bestemt konstruktion i projektiv geometri og bemærkede tilsyneladende ikke nogen forbindelse med ikke-euklidisk geometri . I 1869 blev en ung (20-årig) Klein introduceret til sit arbejde . Han husker, at han i 1870 gav en rapport om Cayleys arbejde på et Weierstrass -seminar og, som han skriver, "afsluttede den med at spørge, om der var en sammenhæng mellem Cayleys og Lobachevskys ideer. Jeg fik et svar om, at det er to systemer, der er langt fra hinanden i konceptet.” Som Klein siger: "Jeg lod mig overtale af disse indvendinger og lagde den tanke til side, der allerede var modnet." Men i 1871 vendte han tilbage til denne idé, formaliserede den matematisk og offentliggjorde [2] .

Model

Lobachevsky-planet er i denne model repræsenteret af en åben skive afgrænset af en cirkel , kaldet det absolutte . Punkterne i det absolutte, også kaldet "ideelle punkter", hører ikke længere til Lobachevsky-planet. Lobachevsky-planets lige linje er en akkord af de absolutte forbindende to ideelle punkter.

Lobachevsky-geometriens bevægelser i den projektive model er erklærede projektive transformationer af planet, der oversætter det indre af det absolutte til sig selv. Kongruente er figurerne inden for det absolutte, oversat til hinanden ved sådanne bevægelser. Hvis punkterne og ligger på akkorden , så deres rækkefølge på linjen , så er afstanden i Lobachevsky-planet defineret som $EN$ $B$ $PQ$ $PABQ$ $\ell (A,B)$

\ell (A,B)={\frac {R}{2}}\,{{\rm {ln}}}(PQ;BA)

hvor betegner det dobbelte forhold , er krumningsradius for Lobachevsky-planet. $(PQ;BA)$ $R$

Noter

Enhver kendsgerning af euklidisk geometri beskrevet i et sådant sprog repræsenterer en kendsgerning af Lobachevskys geometri. Med andre ord er enhver påstand om Lobachevskys ikke-euklidiske geometri på planet intet andet end en erklæring om euklidisk geometri på planet, der henviser til figurerne inde i cirklen, genfortalt i de angivne termer.

Det euklidiske aksiom om paralleller er tydeligvis ikke opfyldt i denne model, da der gennem et punkt , der ikke ligger på en given akkord , passerer et hvilket som helst antal akkorder, der ikke skærer det. $O$ $-en$

Egenskaber

De akkorder , der mødes på grænsecirklen, svarer til asymptotisk parallelle linjer .

To akkorder er vinkelrette, hvis de strækker sig ud over skiven og hver passerer gennem den andens pol ( akkordens pol er skæringspunktet for tangenterne til det absolutte i akkordens endepunkter). Akkorderne, der passerer gennem midten af skiven, har en uendelig pol vinkelret på akkordens retning (deraf følger, at de rette vinkler på diametrene ikke er forvrænget).

Cirkler i modellen bliver til ellipser ;
Horocyklerne svarer til en ellipse, der har kontakt med det absolutte af orden 4.
Den ækvidistante linje svarer til de buer af ellipser, der rører det absolutte i to absolutte punkter på denne linje.

Litteratur

Klein F. Om den såkaldte ikke-euklidiske geometri. I samlingen: Foundations of Geometry, M., GITTL, 1956.
Shafarevich I. R., Remizov A. O. Lineær algebra og geometri, kap. XII - Fizmatlit, Moskva, 2009.

Noter

↑ Eugenio Beltrami, Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante, Annali. di Mat., ser II, 2 (1868), 232-255.
↑ Shafarevich I. R., Remizov A. O. Lineær algebra og geometri, kap. XII, stk. 2, - Fizmatlit, Moskva, 2009.