Destinationsfelt

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 7. april 2022; checks kræver 5 redigeringer .

Et endeligt felt , eller et Galois-felt generelt algebra , er et felt, der består af et begrænset antal elementer ; dette nummer kaldes feltets rækkefølge .

Det sidste felt er normalt betegnet eller (forkortelse for engelsk Galois field ) og kaldes Galois field of order , hvor er antallet af feltelementer [1] . Op til isomorfisme er et endeligt felt fuldstændigt bestemt af dets rækkefølge, som altid er en potens af et eller andet primtal , dvs. hvor er et primtal og er ethvert naturligt tal . I dette tilfælde vil det være et kendetegn ved dette felt [2] . $\mathbb {F} _{q}$ $\mathrm {GF} (q)$ $q$ $q$ $q=p^{n}$ $s$ $n$ $s$

Begrebet et begrænset felt bruges i talteori [3] , gruppeteori [3] , algebraisk geometri [3] , kryptografi [4] .

Definition og egenskaber

Et endeligt felt er et endeligt sæt , hvorpå der defineres vilkårlige operationer, kaldet addition , multiplikation , subtraktion og division (undtagen division med 0) i overensstemmelse med feltets aksiomer [5] .

Den multiplikative gruppe af et endeligt felt er cyklisk . Det vil sige, at alle ikke-nul elementer i feltet danner en gruppe med hensyn til driften af multiplikation (denne gruppe kaldes den multiplikative gruppe af feltet og er betegnet med ). Denne gruppe er cyklisk , det vil sige den har et genererende element , og alle andre elementer opnås ved at hæve generatoren til effekten [5] . Det vil sige, at der eksisterer et genererende element, så vi for enhver , kan skrive: $\mathbb {F} _{q}$ $\mathbb {F} _{q}^{*}$ $g$ $a\in \mathbb {F} _{q}^{*}$

$\exists n:g^{n}=a\mod q$ .

Det genererende element kaldes også feltets primitive element Feltet indeholder primitive elementer, hvor er Euler-funktionen . [6] $\mathbb {F} _{q}^{*}$ $\mathbb {F} _{q}.$ $\mathbb {F} _{q}$ $\varphi (q-1)$ $\varphi$

Feltet har også en række andre egenskaber:

Ifølge Fermats lille teorem opfylder hvert element i feltet ligheden [2] . $\mathbb {F} _{q}$ $a^{q}=a$
Et felt indeholder som et underfelt , hvis og kun hvis er en divisor [1] . $\mathbb {F} _{p^{n}}$ $\mathbb {F} _{p^{k}}$ $k$ $n$
Hvis er et irreducerbart polynomium af grad , så indeholder feltet enhver af dets rødder , og mængden af alle dets rødder har formen . Således er ekspansionsfeltet for et polynomium over feltet [7] . $f\in \mathbb {F} _{q}[x]$ $m$ $\mathbb {F} _{q^{m}}$ $\alfa$ $\{\alpha ,\alpha ^{q},\ldots ,\alpha ^{q^{m-1}}\}$ $\mathbb {F} _{q^{m}}$ $f$ $\mathbb {F} _{q}$
For hvert endeligt felt og naturligt tal er produktet af alle normaliserede irreducible over polynomier, hvis graddeler er . Især summen af graderne af sådanne polynomier er [8] . $\mathbb {F} _{q}$ $n$ $\mathbb {F} _{q}$ $n$ $x^{q^{n}}-x.$ $q^{n}$
Antallet af normaliserede polynomier af grad n , der er irreducerbare over et felt , bestemmes af formlen , hvor er Möbius-funktionen . Dette udsagn følger af formlen efter anvendelse af Möbius-inversionsformlen [9] . $N(q,n)$ $\mathbb {F} _{q},$ $N(q,n)={\frac {1}{n}}\sum _{d|n}\mu (d)q^{\frac {n}{d}}$ $\mu$ $q^{n}=\sum _{d|n}dN(q,d)$

Et felt med et primtal af elementer

Ethvert felt af prime orden kan repræsenteres af en restring (dvs. ethvert felt af elementer er isomorft med en restring ). Det bedst kendte eksempel på et endeligt felt er feltet af restklasser modulo et primtal , betegnet [10] . Dette felt kan repræsenteres som følger. For et primtal vil feltelementerne være tal . Addition og multiplikation er defineret som addition og multiplikation af tal med modulo reduktion af resultatet [11] . Følgende er eksempler på sådanne felter med to elementer og tre elementer . $\mathbb {F} _{p}$ $\mathbb {Z} /(p)$ $s$ $\mathbb {Z} /(p)$ $s$ $\{0,1,...,p-1\}$ $s$

Relation til restringe

Finite felter og restringe bør ikke forveksles . Kun når eksponenten er et primtal er restringen et felt. [12] $\mathbb {F} _{p^{n}}$ $\mathbb {Z} /(p^{n})$

For n > 1 er restringen ikke et felt. Eksempel. $\mathbb {Z} /(p^{n})$

I feltet for ethvert element er sandt .

\mathbb {F} _{8}

x+x=0

I ringen , beregner , får vi kun 0 i to tilfælde, når . Denne ring har nuldelere : .

\mathbb {Z} _{8}

x+x

x=4,x=0

2\cdot 4=0{\pmod {8}}

Karakterisering af endelige felter

Karakteristikken for hvert endeligt felt er et primtal. Lad være et begrænset felt. Så består det af elementer, hvor er karakteristikken for feltet , og det naturlige tal er feltets grad over dets simple underfelt [2] . $F$ $p^{n}$ $s$ $F$ $n$ $F$

Ifølge sætningen om eksistensen og unikheden af endelige felter er der for hvert primtal og naturligt tal et endeligt felt af elementer, og ethvert endeligt felt af elementer er isomorft med nedbrydningsfeltet af et polynomium over et felt . Denne teorem giver os mulighed for at tale om et veldefineret felt af en given orden (det vil sige et Galois-felt af elementer ) [13] . $s$ $n$ $p^{n}$ $q=p^{n}$ $x^{q}-x$ $\mathbb {F} _{p}$ $q$ $q$

Bygning

Feltet for n > 1 kan konstrueres som en kvotientring , hvor er et irreducerbart polynomium af grad n over feltet . For at konstruere et felt ud fra elementer er det således tilstrækkeligt at finde et polynomium af grad , der er irreducerbart over feltet (et sådant polynomium eksisterer altid). Elementerne i feltet er restklasserne af polynomier af mindre grad med koefficienter fra modulo det primære ideal genereret af polynomiet . $\mathbb {F} _{p^{n}}$ $\mathbb {K} =\mathbb {F} _{p}[x]/(f(x))$ $f(x)$ $\mathbb {F} _{p}$ $p^{n}$ $n$ $\mathbb {F} _{p}$ $\mathbb {K}$ $n$ $\mathbb {F} _{p}$ $f(x)$

Et element er en rod af et polynomium , og feltet genereres af dette element over feltet , så overgangen fra felt til felt kaldes at forbinde roden af et irreducerbart polynomium til feltet . [14] [15] $\alpha =x+(f(x))\i \mathbb {F} _{p}[x]/(f(x))$ $f(x)$ $\mathbb {F} _{p}[x]/(f(x))$ $\mathbb {F} _{p}$ $\mathbb {F} _{p}$ $\mathbb {F} _{p}[x]/(f(x))$ $\mathbb {F} _{p}$ $f(x)$

Eksempler

Felt med to elementer

Feltet består af to elementer, men det kan specificeres på forskellige måder afhængigt af valget af elementer og definitionen af additions- og multiplikationsoperationer på dem: [16] $\mathbb {F} _{2}$

Som et sæt af to tal "0" og "1", hvor operationerne af addition og multiplikation er defineret som addition og multiplikation af tal med resultatet modulo 2 ( ): ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}=\{0,1\))$

+	0	en
0	0	en
en	en	0

×	0	en
0	0	0
en	0	en

Med almindelig aritmetik Denne logik ligger til grund for det binære system af computere, (felt ) (computere).

0+0=0,\quad 0+1=1+0=1,\quad 1+1=0,\quad 0\cdot 0=0\cdot 1=1\cdot 0=0,\quad 1\cdot 1=1.

\mathbb {F} _{2}

\Højre pil

Som et sæt af to logiske objekter "FALSK" (F) og "SAND" (T), på hvilke operationerne addition og multiplikation er defineret som booleske operationer "eksklusive eller" og "og" henholdsvis:

+	F	T
F	F	T
T	T	F

×	F	T
F	F	F
T	F	T

Disse felter er isomorfe i forhold til hinanden, det vil sige, at de faktisk er to forskellige måder at specificere det samme felt på.

Felt med tre elementer

Felt . Additioner og multiplikationer er defineret som addition og multiplikation af tal modulo 3. Operationstabeller er: $\mathbb {F} _{3}=\{0,1,2\}$ $\mathbb {F} _{3}$

+	0	en	2
0	0	en	2
en	en	2	0
2	2	0	en

×	en	2
0	0	0
en	en	2
2	2	en

Rester fra division med 3 dannes fra tre elementer (hvor fordi for rester fra division med 3). $\mathbb {F} _{3}$ ${\frac {1}{2}}=2,$ $2\cdot 2=1$

Resten af divisionen med 4 felter dannes ikke, fordi element 2 ikke har en invers.

Et felt med fire elementer

Feltet kan repræsenteres som et sæt (hvor er roden af polynomiet over feltet , dvs. ). Operationstabeller ser sådan ud: [17] $\mathbb {F} _{4}$ $\{0,1,\alpha ,\alpha +1\}$ $\alfa$ $f(x)=x^{2}+x+1$ $\mathbb {F} _{2}$ $\alpha ^{2}=-\alpha -1=\alpha +1$ $\mathbb {F} _{4}$

+	0	en	$\alfa$	$\alfa +1$
0	0	en	$\alfa$	$\alfa +1$
en	en	0	$\alfa +1$	$\alfa$
$\alfa$	$\alfa$	$\alfa +1$	0	en
$\alfa +1$	$\alfa +1$	$\alfa$	en	0

×	en	$\alfa$	$\alfa +1$
0	0	0	0
en	en	$\alfa$	$\alfa +1$
$\alfa$	$\alfa$	$\alfa +1$	en
$\alfa +1$	$\alfa +1$	en	$\alfa$

Et felt med ni elementer

For at konstruere feltet er det tilstrækkeligt at finde et normaliseret polynomium af grad 2, der er irreducerbart over . Disse polynomier er: $\mathbb {F} _{9}=\mathrm {GF} (3^{2})$ $\mathbb {F} _{3}$

x^{2}+1

x^{2}+x+2

x^{2}+2x+2

For , der er et ønsket felt (hvis vi i stedet tager et andet polynomium , får vi et nyt felt, der er isomorft til det gamle). I tabellerne nedenfor angiver symbolet ækvivalensklassen for et polynomium i faktorringen, der opfylder ligningen . $x^{2}+1$ $\mathbb {F} _{9}=\mathbb {Z} _{3}[x]/(x^{2}+1)$ $x^{2}+1$ $jeg$ $x$ $\mathbb {Z} _{3}[x]/(x^{2}+1)$ $i^{2}+1=0$

Tilføjelsestabellen i bestemmes ud fra forholdet : $\mathbb {F} _{9}$ $1+1+1=0$

+	0	en	2	$jeg$	$i+1$	$i+2$	$2i$	$2i+1$	$2i+2$
0	0	en	2	$jeg$	$i+1$	$i+2$	$2i$	$2i+1$	$2i+2$
en	en	2	0	$i+1$	$i+2$	$jeg$	$2i+1$	$2i+2$	$2i$
2	2	0	en	$i+2$	$jeg$	$i+1$	$2i+2$	$2i$	$2i+1$
$jeg$	$jeg$	$i+1$	$i+2$	$2i$	$2i+1$	$2i+2$	0	en	2
$i+1$	$i+1$	$i+2$	$jeg$	$2i+1$	$2i+2$	$2i$	en	2	0
$i+2$	$i+2$	$jeg$	$i+1$	$2i+2$	$2i$	$2i+1$	2	0	en
$2i$	$2i$	$2i+1$	$2i+2$	0	en	2	$jeg$	$i+1$	$i+2$
$2i+1$	$2i+1$	$2i+2$	$2i$	en	2	0	$i+1$	$i+2$	$jeg$
$2i+2$	$2i+2$	$2i$	$2i+1$	2	0	en	$i+2$	$jeg$	$i+1$

Multiplikationstabellen i bestemmes ud fra forholdet : $\mathbb {F} _{9}$ $i^{2}=-1$

×	en	2	$jeg$	$i+1$	$i+2$	$2i$	$2i+1$	$2i+2$
0	0	0	0	0	0	0	0	0
en	en	2	$jeg$	$i+1$	$i+2$	$2i$	$2i+1$	$2i+2$
2	2	en	$2i$	$2i+2$	$2i+1$	$jeg$	$i+2$	$i+1$
$jeg$	$jeg$	$2i$	2	$i+2$	$2i+2$	en	$i+1$	$2i+1$
$i+1$	$i+1$	$2i+2$	$i+2$	$2i$	en	$2i+1$	2	$jeg$
$i+2$	$i+2$	$2i+1$	$2i+2$	en	$jeg$	$i+1$	$2i$	2
$2i$	$2i$	$jeg$	en	$2i+1$	$i+1$	2	$2i+2$	$i+2$
$2i+1$	$2i+1$	$i+2$	$i+1$	2	$2i$	$2i+2$	$jeg$	en
$2i+2$	$2i+2$	$i+1$	$2i+1$	$jeg$	2	$i+2$	en	$2i$

Elementet har orden 8 og er primitivt. Elementet er ikke primitivt, fordi (med andre ord er polynomiet ikke primitivt ) [17] . $i+1$ $jeg$ $i^{4}=1$ $x^{2}+1\i \mathbb {F} _{3}[x]$

Multiplikativ feltgruppe på 16 elementer

Når et felt er konstrueret ved hjælp af et irreducerbart polynomium , er ekspansionselementerne givet ved sæt af koefficienter for polynomiet, der resulterer i resten, når det divideres med , skrevet i stigende rækkefølge af potenser. Den multiplikative gruppe genereres af elementet , som skrives som (0, 1, 0, 0) [18] . $\mathbb {F} _{16}=\mathrm {GF} (2^{4})$ $x^{4}+x+1$ $x^{4}+x+1$ $\alfa=x$

Polynomium	Grad $\alfa$	$1,x,x^{2},x^{3}$
en	$\alpha ^{0}$	(1, 0, 0, 0)
$\alfa$	$\alfa$	(0, 1, 0, 0)
$\alpha ^{2}$	$\alpha ^{2}$	(0, 0, 1, 0)
$\alpha ^{3}$	$\alpha ^{3}$	(0, 0, 0, 1)
$1+\alfa$	$\alpha ^{4}$	(1, 1, 0, 0)
$\alpha +\alpha ^{2}$	$\alpha ^{5}$	(0, 1, 1, 0)
$\alpha ^{2}+\alpha ^{3}$	$\alpha ^{6}$	(0, 0, 1, 1)
$\alpha ^{3}+\alpha +1=\alpha ^{3}+\alpha ^{4}$	$\alpha ^{7}$	(1, 1, 0, 1)
$1+\alpha ^{2}=\alpha +1+\alpha ^{2}+\alpha$	$\alpha ^{8}$	(1, 0, 1, 0)
$\alpha +\alpha ^{3}$	$\alpha ^{9}$	(0, 1, 0, 1)
$\alpha ^{2}+1+\alpha =\alpha ^{2}+\alpha ^{4}$	$\alpha ^{10}$	(1, 1, 1, 0)
$\alpha +\alpha ^{2}+\alpha ^{3}$	$\alpha ^{11}$	(0, 1, 1, 1)
$1+\alpha +\alpha ^{2}+\alpha ^{3}=\alpha ^{2}+\alpha ^{3}+\alpha ^{4}$	$\alpha ^{12}$	(1, 1, 1, 1)
$1+\alpha ^{2}+\alpha ^{3}=\alpha +\alpha ^{2}+\alpha ^{3}+\alpha ^{4}$	$\alpha ^{13}$	(1, 0, 1, 1)
$1+\alpha ^{3}=\alpha +\alpha ^{3}+\alpha ^{4}$	$\alpha ^{14}$	(1, 0, 0, 1)
$1=\alpha +\alpha ^{4}$	$\alpha ^{15}$	(1, 0, 0, 0)

Studiehistorie

Begyndelsen af teorien om endelige felter går tilbage til det 17. og 18. århundrede . Videnskabsmænd som Pierre Fermat , Leonard Euler , Joseph Louis Lagrange og Adrien Marie Legendre arbejdede med dette emne , som kan betragtes som grundlæggerne af teorien om endelige felter af primær orden. Men af større interesse er den generelle teori om begrænsede felter, der stammer fra Gauss og Galois ' arbejde [19] . Indtil nogen tid blev denne teori kun brugt i algebra og talteori, men efterfølgende fandt man nye berøringspunkter med algebraisk geometri , kombinatorik og kodningsteori [3] .

Galois' bidrag

I 1830 udgav den atten-årige Evariste Galois et papir [20] , der lagde grundlaget for den generelle teori om begrænsede felter. I denne artikel introducerer Galois (i forbindelse med forskning i teorien om permutationsgrupper og algebraiske ligninger [21] ) en imaginær sammenligningsrod , hvor er et vilkårligt polynomium af grad irreducible modulo p . Derefter betragtes det generelle udtryk , hvor er nogle heltal modulo p . Hvis du tildeler alle mulige værdier til disse tal, vil udtrykket tage værdier. Yderligere viser Galois, at disse værdier danner et felt, og den multiplikative gruppe af dette felt er cyklisk. Dette værk er således den første sten i grundlaget for den generelle teori om begrænsede felter. I modsætning til sine forgængere, som kun overvejede markerne , overvejer Galois allerede markerne , som begyndte at blive kaldt Galois-marker til hans ære [22] . $F(x)\equiv 0{\pmod {p}}$ $F(x)$ $\nu$ $A=a_{0}+{a_{1}}i+{a_{2}}i^{2}+\ldots +a_{\nu -1}i^{\nu -1}$ $a_{0},a_{1},...,a_{\nu -1}$ $EN$ $p^{\nu}$ $\mathbb {F} _{p}$ $\mathbb {F} _{p^{n}}$

Det første værk i denne retning blev skrevet af Gauss omkring 1797, men i hans levetid blev denne undersøgelse aldrig offentliggjort. Sandsynligvis blev denne undersøgelse ignoreret af redaktøren af hans skrifter, så dette værk udkom kun i en posthum udgave i 1863 [23] .

Videreudvikling

I 1893 beviste matematikeren Eliakim Moore et teorem om klassificeringen af endelige felter, hvori det anførte, at ethvert endeligt felt er et Galois-felt , det vil sige, at ethvert felt af elementer er isomorft med feltet af restklasser af polynomier med koefficienter modulo et irreducerbart polynomium af grad [24] . Det første forsøg på at give en aksiomatisk tilgang til teorien om begrænsede felter hører til samme år, udført af Heinrich Weber , som i sit arbejde forsøgte at kombinere de begreber, der opstod i forskellige grene af matematikken, herunder begrebet et begrænset felt. [25] . Yderligere i 1905 beviser Joseph Wedderburn Wedderburns lille sætning om, at ethvert endeligt legeme er kommutativt, det vil sige, at det er et felt. Den moderne aksiomatiske definition af et felt (med endelige felter som et specialtilfælde) skyldes Ernst Steinitz og præsenteret i hans 1910 papir [26] . $p^{n}$ $\mathbb {F} _{p}$ $n$

Ansøgninger

Diofantiske ligninger

En diophantisk ligning er en ligning med heltalskoefficienter, hvor variablerne også tager heltalsværdier. En stor bølge af diskussion af sådanne ligninger blev forårsaget af Fermat , som formulerede sine teoremer. Fermats lille sætning siger, at hvis er et primtal, der ikke er en divisor af et andet tal , så . I teorien om endelige felter er denne sætning en konsekvens af Lagrange-sætningen , anvendt på den multiplikative undergruppe genereret af elementet , da hele den multiplikative feltgruppe består af elementer [5] . $s$ $-en$ $a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}$ $-en$ $\mathbb {F} _{p}$ $p-1$

Fermat bemærker, at de eneste primtal, der kan dekomponeres til en sum af to kvadrater, er de primtal, der giver en rest på 1, når de divideres med 4. Han bemærker især, at

5=1^{2}+2^{2},\quad 13=2^{2}+3^{2},\quad 17=1^{2}+4^{2},\quad 29= 2^{2}+5^{2},\quad 37=1^{2}+6^{2},\quad 41=4^{2}+5^{2}.

I sit brev til Marin Mersenne , dateret 25. december 1640, foreslår Fermat at løse ligningen [27] . $a^{2}+b^{2}=p$

Julius Dedekind studerede denne ligning i et begrænset felt , hvor den antager formen . Hvis , så er løsningen triviel. Ellers kan du dividere begge dele med og ved at indføre en erstatning få en ligning af formen . At gange med giver en ligning . Forudsat at generatoren er en multiplikativ undergruppe af orden 4, kan man opnå nødvendige og tilstrækkelige betingelser på p , hvorunder ligningen har en løsning. Yderligere bevis for Fermat-Euler-sætningen , udført af Dedekind, bruger ikke begrebet endelige felter og kan findes i den tilsvarende artikel [28] . $\mathbb {F} _{p}$ $a^{2}+b^{2}=0$ $b=0$ $b^{2}$ $x^{2}+1=0$ $x^{2}-1=0$ $x^{4}-1=0$ $x$

Teorien om korrigerende koder

Året for skabelsen af teorien om korrigerende koder anses for at være 1948 , hvor en artikel af Claude Shannon blev publiceret , hvori han viser, at tilstedeværelsen af fejl i transmissionen af information over enhver kanal afhænger bl.a. forholdet mellem transmissionshastigheden og kanalkapaciteten. Overførselshastigheden skal være højere end båndbredden. Shannon fremlagde beviser, men de blev erklæret ugyldige [29] .

En konstruktiv tilgang blev foreslået af Richard Hamming , hvilket satte vektoren for udviklingen af mange senere artikler om dette emne. I sit arbejde byggede Hamming en simpel kode , der retter fejl på en bestemt måde. Hamming betragtede kun korrektionskoder over feltet [30] . Snart blev lignende koder konstrueret over vilkårlige endelige felter af Golay i 1949 [31] . Det største bidrag til denne teori tilhører imidlertid Hamming [30] . $\mathbb {F} _{2}$

Kryptografi

Finite felter har fået den bredeste anvendelse inden for kryptografi. Diffie og Helmans artikel om offentlig nøglekryptering, som foreslog en nøgleudvekslingsprotokol [4] , betragtes som et banebrydende værk . I dette arbejde blev der brugt endelige felter af en bestemt type. Senere dukkede et stort udvalg af kryptografiske protokoller og kryptosystemer baseret på brugen af endelige felter op. Disse omfatter ElGamal-skemaet , Advanced Encryption Standard [32] , Schnorr-skemaet , Chaum-algoritmen (blind signatur) , XTR -kryptosystemetog mange andre. Elliptiske kurvealgoritmer , som er et af hovedobjekterne for undersøgelse i moderne kryptografi, bruger også begrænsede felter [33] .

Kvaliteten af krypteringen afhænger også ofte af evnen til hurtigt at generere store primtal. Følgelig opstår opgaven med at konstruere en algoritme til at dekomponere et tal i primfaktorer (bestemmelse af enkeltheden af et bestemt tal). Michael Rabin offentliggjorde en undersøgelse, hvori han foreslår en primalitetstest baseret på egenskaberne af den multiplikative feltgruppe [34] .

Diverse

I 1960 udgav R. K. Bowes og D. K. Roy-Chowdhury et papir, hvori de studerede familier af polynomier over endelige felter. A. Hockwingham generaliserede deres teori, hvilket førte til skabelsen af BCH-koden , hvor et særligt tilfælde er den velkendte Reed-Solomon-kode , som har en meget bred anvendelse. Det bruges ved skrivning og læsning i RAM -controllere , ved arkivering af data, skrivning af information til harddiske ( ECC ), skrivning til CD/DVD-diske. Det er bemærkelsesværdigt, at hvis en betydelig mængde information er beskadiget, eller hvis flere sektorer af diskmediet er beskadiget, giver Reed-Solomon-koden dig mulighed for at gendanne det meste af den tabte information. BCH-koden bruges også i kommunikationssystemet for nogle NASA -sonder (såsom Voyager ) [35] .

Se også

Noter

↑ 1 2 Lidl, Niederreiter, 1988 , s. 68.
↑ 1 2 3 Lidl, Niederreiter 1988 , s. 66.
↑ 1 2 3 4 Lidl, Niederreiter, 1988 , s. 5.
↑ 1 2 Diffie, Hellman, 1976 .
↑ 1 2 3 Yu. I. Zhuravlev, Yu. A. Flerov, M. N. Vyaly. Diskret analyse. Grundlæggende om højere algebra. - M. : MZ Press, 2007. - S. 151. - 224 s.
↑ Lidl, Niederreiter 1988 , s. 69-70.
↑ Lidl, Niederreiter 1988 , s. 71.
↑ Lidl, Niederreiter 1988 , s. 119.
↑ Lidl, Niederreiter 1988 , s. 121.
↑ Lidl, Niederreiter 1988 , s. 65.
↑ Egorov A. A. Modulo sammenligninger og resterende aritmetik // Kvant . - 1970. - Nr. 5 . - S. 28-33 .
↑ Vinberg, 2011 , s. 32.
↑ Lidl, Niederreiter 1988 , s. 67-68.
↑ Vinberg, 2011 , s. 409.
↑ Lidl, Niederreiter 1988 , s. 51, 66.
↑ Gabidulin E. M., Kshevetsky A. S., Kolybelnikov A. I., Vladimirov S. M. Informationssikkerhed. Tutorial. Version dateret 22. november 2015 . - S. 249.
↑ 1 2 Mullen, Gary L.; Panario, Daniel. Håndbog i endelige felter. - CRC Press, 2013. - ISBN 978-1-4398-7378-6 .
↑ Yu. I. Zhuravlev, Yu. A. Flerov, M. N. Vyaly. Diskret analyse. Grundlæggende om højere algebra. - M. : MZ Press, 2007. - S. 152. - 224 s.
↑ Lidl, Niederreiter 1988 , s. ti.
↑ Evariste Galois (1830), Sur la théorie des nombres (fransk) . Bulletin des sciences mathématiques de M. Ferussac 13, s. 428-435 (1830).
↑ Bourbaki N. Essays om matematikkens historie / overs. fra fr. I. G. Bashmakova, red. K. A. Rybnikova. - M. : IL, 1963. - S. 102.
↑ Israel Kleiner. En historie om abstrakt algebra . - Birkhäuser, 2007. - S. 70 . — 168 sider. — ISBN 978-0-8176-4684-4 .
↑ G. Frei. Det upublicerede afsnit otte: På vej til funktionsfelter over et endeligt felt . - Goldstein Schappacher Schwermer, 2007. - S. 159-198.
↑ Moore, Eliakim Hastings. Et dobbelt-uendeligt system af simple grupper (engelsk) // Chicago Congr. papirer. - 1896. - S. 208-242. Arkiveret fra originalen den 19. november 2015.
↑ H. Weber, "Die allgemeinen Grundlagen der Galois'schen Gleichungstheorie", Mathematische Annalen, bd. 43, 1893, s. 521-549.
↑ Ernst Steinitz, "Algebraische Theorie der Körper", Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 137, 1910, s. 167-309 (ISSN 0075-4102).
↑ Yu. I. Zhuravlev, Yu. A. Flerov, M. N. Vyaly. Diskret analyse. Grundlæggende om højere algebra. - M. : MZ Press, 2007. - S. 38. - 224 s.
↑ R. Dedekind , Supplement XI des Leçons en théorie des nombres de Dirichlet, 1894.
↑ Shannon, K. Matematisk kommunikationsteori // Arbejder med informationsteori og kybernetik. - M . : Forlag for udenlandsk litteratur, 1963. - S. 243-332.
↑ 1 2 Hamming, K. Koder med fejlfinding og korrektion. - M . : Forlag for udenlandsk litteratur, 1956. - S. 7-23.
↑ Golay MJE Noter om digital kodning // Proceedings IRE. 1949. V. 37, S. 657.
↑ O. S. Zenzin, M. A. Ivanov. Den kryptografiske sikkerhedsstandard er AES. Slutfelter . - KUDITS-Obraz, 2002. - S. 41 -78. — 176 s. — ISBN 5-93378-046-4 .
↑ Anatoly Bolotov, Sergey Gashkov, Alexander Frolov, Anatoly Chasovskikh. En elementær introduktion til elliptisk kryptografi. Algebraisk og algoritmisk grundlag. - KomKniga, 2006. - S. 390 - 398. - 527 s. — ISBN 5-484-00443-8 .
↑ M. Rabin , Probabilistic Algorithm for Testing Primity, J. Number Th. 12 (1980), 128-138.
↑ Bose RC, Ray-Chaudhuri DK Om en klasse af fejlkorrigerende binære gruppekoder // Inform. styring. - bind. 3. - marts 1960. - s. 68-79.

Litteratur

Vinberg E. B. Algebra kursus. - ny udg., revideret. og yderligere - M. : MTSNMO, 2011. - 592 s. - 2000 eksemplarer. — ISBN 978-5-94057-685-3 .
Lidl R., Niederreiter G. Finite felter. I 2 bind - M . : Mir, 1988. - 430 s. — ISBN 5-03-000065-8 .
Zhuravlev Yu. I., Flerov Yu. A., Vyaly M. N. Diskret analyse. Grundlæggende om højere algebra. - 2. udg. - M. : MZ Press, 2007. - 224 s. - 1000 eksemplarer. — ISBN 5-94073-101-5 .
Vasiliev K. K., Glushkov V. A., Dormidontov A. V., Nesterenko A. G. Teori om elektrisk kommunikation. - Ulyanovsk: UlGTU, 2008. - 452 s. - ISBN 978-5-9795-0203-8 .
Steinitz, Ernst. Algebraische Theorie der Körper (tysk) // Journal für die reine und angewandte Mathematik. - 1910. - Bd. 137 . - S. 167-309 .
Diffie W. , Hellman M. E. New Directions in Cryptography // IEEE Trans . inf. Teori / F. Kschischang - IEEE , 1976. - Vol. 22, Iss. 6. - S. 644-654. — ISSN 0018-9448 ; 1557-9654 - doi:10.1109/TIT.1976.1055638 .
Kleiner, Israel. En historie om abstrakt algebra. - Birkhäuser, 2007. - ISBN 978-0-8176-4684-4 .