Trapeze

Et trapez (fra andet græsk τραπέζιον - " tabel " fra τράπεζα - " tabel ") er en konveks firkant , hvor to sider er parallelle , og de to andre sider ikke er parallelle [1] . Ofte er den sidste betingelse udeladt i definitionen af en trapez (se nedenfor). De parallelle modstående sider kaldes trapezets baser, og de to andre kaldes siderne. Medianlinjen er et segment, der forbinder sidernes midtpunkter.

Varianter af definition

Der er en anden definition af en trapez.

Et trapez er en konveks firkant med to sider parallelle [2] [3] . Ifølge denne definition er et parallelogram og et rektangel specielle tilfælde af en trapez. Men når man bruger denne definition, ophører de fleste af tegnene og egenskaberne for en ligebenet trapez med at være sande (da parallelogrammet bliver dets specielle tilfælde). Formlerne givet i afsnittet Generelle egenskaber for formlen er sande for begge definitioner af en trapez.

Relaterede definitioner

Elementer af trapezoidet

Parallelle modstående sider kaldes baserne af en trapez.
De to andre sider kaldes sider .
Segmentet, der forbinder sidernes midtpunkter, kaldes trapezets midterlinje .
Vinklen ved bunden af en trapez er dens indre vinkel dannet af basen med siden.

Typer af trapez

Et trapez , hvis sider er lige store, kaldes et ligebenet trapez (mindre ofte et ligebenet [4] eller ligebenet [5] trapez).
Et trapez, der har rette vinkler på siden, kaldes rektangulært .

Ligebenet trapez
Rektangulær trapez

Egenskaber

Trapezoidens medianlinje er parallel med baserne og lig med halvdelen af deres sum. [7]
Segmentet, der forbinder midtpunkterne af trapezets diagonaler, er lig med halvdelen af forskellen mellem baserne og ligger på midterlinjen.
Et segment parallelt med baserne og passerer gennem diagonalernes skæringspunkt divideres med sidstnævnte i halvdelen og er lig med det harmoniske middelværdi af længderne af trapezets baser. ${\frac {2xy}{x+y}}$
En cirkel kan indskrives i et trapez, hvis summen af længderne af trapezets baser er lig med summen af længderne af dens sider.
Skæringspunktet for diagonalerne i en trapezoid, skæringspunktet for forlængelserne af dens sider og midtpunkterne af baserne ligger på den samme lige linje.
Hvis summen af vinklerne ved en af basene af trapezoidet er 90°, skærer forlængelserne af sidesiderne hinanden i en ret vinkel, og segmentet, der forbinder basernes midtpunkter, er lig med den halve forskel mellem baserne .
Diagonalerne på et trapez inddeler det i 4 trekanter. To af dem, der støder op til baserne, ligner hinanden. De to andre, der støder op til siderne, har samme areal.
Hvis forholdet mellem baserne er , så er forholdet mellem områderne af trekanter, der støder op til baserne . $K$ $K^{2}$
Højden af trapezoidet bestemmes af formlen:

h={\sqrt {c^{2}-{\frac {1}{4}}\left({\frac {c^{2}-d^{2}}{ba}}+ba\right) ^{2}}}

hvor er den større base, er den mindre base, og er siderne.

b

-en

c

d

Diagonalerne af en trapez og er relateret til siderne ved forholdet: $d_{1}$ $d_{2}$

d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=2ab+c^{2}+d^{2}

De kan udtrykkes eksplicit:

d_{1}=AC={\sqrt {ab+d^{2}+{\frac {b(c^{2}-d^{2})}{ba))))

d_{2}=BD={\sqrt {ab+c^{2}-{\frac {b(c^{2}-d^{2})}{ba))))

Hvis siderne og diagonalerne tværtimod er kendte, så udtrykkes baserne med formlerne:

a={\sqrt {\frac {(c^{2}-d_{1}^{2})^{2}-(d^{2}-d_{2}^{2})^ {2}}{2(c^{2}-d^{2}+d_{1}^{2}-d_{2}^{2})}}}

b={\sqrt {\frac {(c^{2}-d_{2}^{2})^{2}-(d^{2}-d_{1}^{2})^ {2}}{2(c^{2}-d^{2}-d_{1}^{2}+d_{2}^{2})}}}

og med kendte baser og diagonaler er siderne som følger:

c={\sqrt {\frac {a(d_{2}^{2}-b^{2})+b(d_{1}^{2}-a^{2})}{a +b}}}

d={\sqrt {\frac {a(d_{1}^{2}-b^{2})+b(d_{2}^{2}-a^{2})}{a +b}}}

Hvis højden er kendt , så

h

d_{1}={\sqrt {b^{2}+d^{2}-2b{\sqrt {d^{2}-h^{2))))}={\sqrt {h^{2 }+\venstre(b-{\sqrt {d^{2}-h^{2}}}\højre)^{2}}}

d_{2}={\sqrt {b^{2}+c^{2}-2b{\sqrt {c^{2}-h^{2))))}={\sqrt {h^{2 }+\venstre(b-{\sqrt {c^{2}-h^{2}}}\right)^{2}}}

Newtons linje for en trapezoid falder sammen med dens midterlinje .

Ligebenet trapez

Et trapez er ligebenet, hvis og kun hvis nogen af følgende ækvivalente betingelser er opfyldt:

den lige linje, der passerer gennem midtpunkterne af baserne, er vinkelret på baserne (det vil sige, det er trapezets symmetriakse);
højden sænket fra toppen til den større base deler den i to segmenter, hvoraf den ene er lig med halvdelen af summen af baserne, den anden er halvdelen af forskellen mellem baserne;
vinkler ved enhver base er ens;
summen af modsatte vinkler er 180°;
længderne af diagonalerne er lige store;
en cirkel kan beskrives omkring denne trapez;
hjørnerne af denne trapezoid er også hjørnerne af et antiparallelografi .

Udover

hvis diagonalerne i en ligebenet trapez er vinkelrette, så er højden halvdelen af summen af baserne.

Indskrevne og omskrevne cirkler

Hvis summen af baserne i en trapez er lig med summen af siderne, kan en cirkel indskrives i den . Medianlinjen i dette tilfælde er lig med summen af siderne divideret med 2 (da trapezets medianlinje er lig med halvdelen af summen af baserne).
I en trapez er dens side synlig fra midten af den indskrevne cirkel i en vinkel på 90°.
Hvis en trapez kan indskrives i en cirkel, så er den ligebenet.
Radius af den omskrevne cirkel af en ligebenet trapez:

R={\frac {bcd_{1}}{4{\sqrt {p(pb)(pc)(p-d_{1})))}}={\sqrt {\frac {ab+c^{2 }}{4-\venstre({\frac {ba}{c}}\right)^{2}}}}

hvor er den laterale side, er den større base, er den mindre base, er diagonalerne af en ligebenet trapez.

p={\frac {1}{2}}(b+c+d_{1})\,,\,c

b

-en

d_{1}=d_{2}

Hvis , så kan en cirkel med radius indskrives i en ligebenet trapez $a+b=2c$

r={\frac {h}{2}}={\frac {\sqrt {ab}}{2}}

Hvis en cirkel med radius er indskrevet i en trapez , og den deler sidesiden ved kontaktpunktet i to segmenter - og - derefter . $r$ $v$ $w$ $r={\sqrt {vw))$

Område

Her er de formler, der er specifikke for trapez. Se også formler for arealet af vilkårlige firkanter .

Hvis og er baser og er højder, er arealformlen : $-en$ $b$ $h$

S={\frac {(a+b)}{2}}h

I kasus - midtlinje og - højde, områdeformel : $m$ $h$

S=\displaystyle mh

Bemærk: Ovenstående to formler er ækvivalente, fordi halvdelen af summen af baserne er lig med trapezets midterlinje:

m={\frac {(a+b)}{2}}

Formlen, hvor er baserne, og er siderne af trapezet: $a<b$ $c$ $d$

S={\frac {a+b}{4(ba)}}{\sqrt {(a+c+db)(a+dbc)(a+cbd)(b+c+da)))).

eller

S={\frac {a+b}{2}}{\sqrt {c^{2}-{\frac {1}{4}}\venstre({\frac {c^{2}-d^{ 2}}{ba}}+ba\right)^{2}}}

Den midterste linje deler figuren i to trapezoider, hvis områder er beslægtede som [8] $m$

{\frac {S_{1}}{S_{2}}}={\frac {3a+b}{a+3b}}

Arealet af en ligebenet trapez med en indskrevet cirkelradius på , og en vinkel ved bunden : $r$ $\alfa$

S={\frac {4r^{2}}{\sin {\alpha }}}

Areal af en ligebenet trapez:

S=(bc\cos {\gamma })c\sin {\gamma}=(a+c\cos {\gamma })c\sin {\gamma }

hvor er siden, er den større base, er den mindre base, er vinklen mellem den større base og siden [9] .

c

b

-en

\gamma

Areal af en ligebenet trapez gennem dens sider

S={\frac {a+b}{2}}{\sqrt {c^{2}-{\frac {1}{4}}(ba)^{2}}}

Historie

Ordet "trapez" kommer fra det græske ord for andet græsk. τραπέζιον "bord" (forkortet fra τράπεζα "bord"), der betyder tabel. På russisk kommer ordet "måltid" (mad) fra dette ord.

Noter

↑ Matematisk encyklopædisk ordbog . - M .: Soviet Encyclopedia , 1988. - S. 587 .
↑ Al elementær matematik . Hentet 6. juli 2015. Arkiveret fra originalen 9. juli 2015. (ubestemt)
↑ Wolfram MathWorld . Hentet 6. juli 2015. Arkiveret fra originalen 19. april 2015. (ubestemt)
↑ Team af forfattere. En moderne elevopslagsbog. 5-11 klassetrin. Alle varer . — Liter, 2015-09-03. - S. 82. - 482 s. — ISBN 9785457410022 .
↑ M. I. Skanavi. Elementær matematik . - 2013. - S. 437. - 611 s. — ISBN 9785458254489 .
↑ Firkanter . Arkiveret 16. september 2015 på Wayback Machine
↑ Geometri ifølge Kiselyov Arkiveret 1. marts 2021 på Wayback Machine , § 99.
↑ Zaitsev V.V., Ryzhkov V.V., Skanavi M.I. Elementary Mathematics. 2. udg., revideret. og yderligere — M.: Nauka, 1974. — 592 s.
↑ Bronstein I. N., Semendyaev K. A. Håndbog i matematik for ingeniører og studerende ved højere uddannelsesinstitutioner 1986. S. 184

Polygoner

Efter antal sider

Monogon
Bigon
Trekant
Firkantet
Pentagon
Sekskant
Heptagon
Oktagon
femkant
Decagon
Hendecagon
Dodecagon
Tretten
tetradekagon
Pentagon
Sekskant
Sytten
ottekant
Nittenagon
Dodecagon
Enogtyve-sidet
22-vinkel
Twentytrigon
Tyve-firkantet
tyve femkant
Oktagon tyve
Tridecagon
Thirty-Biagon
Fyrre kvadratisk
Forty bicagon
pinseven
pinseven
Hexagon
Sixty-quad
Heptagon
Octagon
Nonagon
[ da
Millagon
Ten-thousand-gon
Hundrede tusindedel
Milliogon
uendelighed

korrekt

konveks	Trekant Firkant Pentagon Sekskant Heptagon Oktagon femkant tetradekagon Sytten 257-gon 65537-gon 4294967295-gon
stjerneklar	Pentagram Hexagram Heptagram Octagram ( Star of Lakshmi ) Enneagram Dekagram Endecagram Dodekagram

trekanter

Firkanter

se også